資源簡介

4.3　對數
4.3.1　對數的概念
1．理解對數的概念，掌握對數的基本性質．(數學抽象)
2．掌握指數式與對數式的互化，能應用對數的定義和性質解方程．(數學運算)
某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…．
問題　依次類推，那么1個這樣的細胞分裂x次得到細胞個數N是多少？分裂多少次得到細胞個數為8個，256個呢？如果已知細胞分裂后的個數N，如何求分裂次數呢？
知識點1　對數的概念
(1)對數的定義：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
(2)兩種特殊的對數：
①常用對數：通常，我們將以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為lg N；
②自然對數：以e為底的對數稱為自然對數，并把logeN記為ln N(其中e＝2.718 28…)．
對數運算是指數運算的逆運算
1．x＝logaN中為什么規定N>0
[提示]　x＝logaN是由ax＝N(a>0，且a≠1)變形而來的，由于正數的任意次冪都是正數，即ax＝N>0，所以要規定N>0．
2．在指數式與對數式中，a，x，N這三個量有何異同？
[提示]　
類別 表達式 名稱
a x N
指數式 ax＝N 底數 指數 冪值
對數式 x＝logaN 底數 對數 真數
知識點2　對數的基本性質
(1)負數和0沒有對數；
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
填空：
(1)ln e＝________；(2)lg 10＝________；
(3)ln 1＝________；(4)lg 1＝________．
[答案]　(1)1　(2)1　(3)0　(4)0
類型1　對數的定義及其應用
【例1】　(1)在對數式y＝log(x－2)(4－x)中，實數x的取值范圍是________．
(2)將下列對數式化為指數式或將指數式化為對數式：
①2-7＝；②＝－5；③lg 1 000＝3；④ln x＝2．
(1)(2，3)∪(3，4)　[由題意可知
解得2(2)[解]　①由2-7＝，可得log2＝－7．
②由 32＝－5，可得＝32．
③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000．
④由ln x＝2，可得e2＝x．
　指數式與對數式互化的方法
(1)將指數式化為對數式，只需要將冪作為真數，指數當成對數值，底數不變，寫出對數式；
(2)將對數式化為指數式，只需將真數作為冪，對數值作為指數，底數不變，寫出指數式．
[跟進訓練]
1．將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 10 000＝4．
[解]　(1)因為43＝64，所以log464＝3．
(2)因為ln a＝b，所以eb＝a．
(3)因為＝n，所以＝m．
(4)因為lg 10 000＝4，所以104＝10 000．
類型2　利用指數式與對數式的關系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx 8＝6；
(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x．
[解]　(1)x＝＝＝4-2＝．
(2)x6＝8，所以x＝．
(3)10x＝100＝102，于是x＝2．
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2．
　求對數式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步驟
(1)設logaN＝m．
(2)將logaN＝m寫成指數式am＝N．
(3)將N寫成以a為底的指數冪N＝ab，則m＝b，即logaN＝b．
[跟進訓練]
2．計算：(1)log9 27；(2)81；(3)．
[解]　(1)設x＝log9 27，則9x＝27，32x＝33，∴x＝．
(2)設x＝＝34，∴x＝16．
(3)令x＝625，∴()x＝＝54，∴x＝3．
類型3　對數相關性質及恒等式的應用
　對數相關性質的應用
【例3】　求下列各式中的x的值．
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)ln (log3x)＝1．
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5．
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3，∴x＝103．
(3)由ln (log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e．
　對數恒等式的應用
【例4】　(1)設＝25，則x的值等于(　　)
A．10 B．13
C．100 D．±100
(2)若x＝，則x＝________．
(1)B　(2)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故選B．
法二：由＝52得log5(2x－1)＝2，即2x－1＝52＝25，∴x＝13，故選B．
(2)x＝＝．]
　
1．利用對數性質求解的兩類問題的解法
(1)求多重對數式的值，解題方法是由內到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“log”后再求解．
2．性質＝N與logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一個正實數轉化為以a為底的指數形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數轉化為一個實數．
[跟進訓練]
3．(源自湘教版教材)求下列各式的值：
(1)log2；
(2)log0.61；
(3)；
(4)．
[解]　(1)log2＝log22-1＝－1；
(2)log0.61＝log0.60.60＝0；
(3)＝·2-2＝；
(4)＝2log25＝5．
1．下列選項中，可以求對數的是(　　)
A．0　　　B．－5　　　C．π　　　D．－x2
C　[根據對數的定義，得0和負數沒有對數，所以選項A，B不可以求對數，又－x2≤0，所以選項D沒有對數，因為π>0，所以選項C可以求對數．]
2．log3＝(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
B　[令log3＝t，則3t＝＝3-4，∴t＝－4．故選B．]
3．已知logx16＝2，則x等于(　　)
A．4　　　B．±4　　　C．256　　　D．2
A　[由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，
又x>0，且x≠1，∴x＝4．]
4．計算：＋2log31－3log77＋3ln 1＝________．
0　[原式＝3＋0－3＋0＝0．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．指數式與對數式存在怎樣的關系？
[提示]　ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)．
2．若方程logaf (x)＝0，則f (x)等于多少？若方程＝1呢？(其中a>0，且a≠1)
[提示]　若logaf (x)＝0，則f (x)＝1；
若logaf (x)＝1，則f (x)＝a．
3．下列等式成立嗎？
(1)logaab＝b；(2)＝N(其中a>0，且a≠1，N>0)．
[提示]　均成立．4.3　對數
4.3.1　對數的概念
1．理解對數的概念，掌握對數的基本性質．(數學抽象)
2．掌握指數式與對數式的互化，能應用對數的定義和性質解方程．(數學運算)
某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…．
問題　依次類推，那么1個這樣的細胞分裂x次得到細胞個數N是多少？分裂多少次得到細胞個數為8個，256個呢？如果已知細胞分裂后的個數N，如何求分裂次數呢？
知識點1　對數的概念
(1)對數的定義：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以________為底________的對數，記作________，其中a叫做對數的________，N叫做________．
(2)兩種特殊的對數：
①常用對數：通常，我們將以__________為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為________；
②自然對數：以________為底的對數稱為自然對數，并把logeN記為________(其中e＝2.718 28…)．
對數運算是指數運算的逆運算
1．x＝logaN中為什么規定N>0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在指數式與對數式中，a，x，N這三個量有何異同？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　對數的基本性質
(1)負數和0________對數；
(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．
填空：
(1)ln e＝________；(2)lg 10＝________；(3)ln 1＝________；(4)lg 1＝________．
類型1　對數的定義及其應用
【例1】　(1)在對數式y＝log(x－2)(4－x)中，實數x的取值范圍是________．
(2)將下列對數式化為指數式或將指數式化為對數式：
①2-7＝；②＝－5；③lg 1 000＝3；④ln x＝2．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指數式與對數式互化的方法
(1)將指數式化為對數式，只需要將冪作為真數，指數當成對數值，底數不變，寫出對數式；
(2)將對數式化為指數式，只需將真數作為冪，對數值作為指數，底數不變，寫出指數式．
[跟進訓練]
1．將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 10 000＝4．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　利用指數式與對數式的關系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx 8＝6；(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求對數式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步驟
(1)設logaN＝m．
(2)將logaN＝m寫成指數式am＝N．
(3)將N寫成以a為底的指數冪N＝ab，則m＝b，即logaN＝b．
[跟進訓練]
2．計算：(1)log9 27；(2)81；(3)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　對數相關性質及恒等式的應用
　對數相關性質的應用
【例3】　求下列各式中的x的值．
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)ln (log3x)＝1．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對數恒等式的應用
【例4】　(1)設＝25，則x的值等于(　　)
A．10 B．13
C．100 D．±100
(2)若x＝，則x＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．利用對數性質求解的兩類問題的解法
(1)求多重對數式的值，解題方法是由內到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“log”后再求解．
2．性質＝N與logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一個正實數轉化為以a為底的指數形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數轉化為一個實數．
[跟進訓練]
3．(源自湘教版教材)求下列各式的值：
(1)log2；
(2)log0.61；
(3)；
(4)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列選項中，可以求對數的是(　　)
A．0　　　B．－5　　　C．π　　　D．－x2
2．log3＝(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
3．已知logx16＝2，則x等于(　　)
A．4 B．±4
C．256 D．2
4．計算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．指數式與對數式存在怎樣的關系？
2．若方程logaf (x)＝0，則f (x)等于多少？若方程＝1呢？(其中a>0，且a≠1)
3．下列等式成立嗎？
(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N(其中a>0，且a≠1，N>0)．4.3.2　對數的運算
第1課時　對數的運算
1．掌握積、商、冪的對數運算性質，理解其推導過程和成立的條件．(邏輯推理)
2．會運用運算性質進行一些簡單的化簡與證明．(數學運算)
(1)計算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎樣的運算關系嗎？
(2)計算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能發現什么規律？
知識點　對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
三條運算性質成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
類型1　對數的運算性質
【例1】　(源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga(x3y5)；
(3)loga．
[解]　(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz．
(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．
(3)loga＝loga(x2)
＝logax2＋loga
＝2logax＋logay－logaz．
　求解此類問題的步驟
第一步：看對數式的真數部分的組成形式：積、商還是冪；
第二步：用對數的運算性質拆解，即把對數式分解成對數式的和、差形式；
第三步：逆用運算性質，檢驗算式是否正確．
[跟進訓練]
1．求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315．
[解]　(1)法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7．
法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7．
(2)lg 5＋lg 2＝lg (5×2)＝lg 10＝1．
(3)ln 3＋ln ＝ln ＝ln 1＝0．
(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33-1＝－1．
類型2　帶有附加條件的對數式求值
【例2】　(源自蘇教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(結果保留4位小數)：
(1)lg 12；(2)lg ．
[解]　(1)lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3≈2×0.301 0＋0.477 1＝1.079 1．
(2)lg ＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2≈3×0.477 1－4×0.301 0＝0.227 3．
　對數式表示的兩種方式
(1)
(2)
[跟進訓練]
2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3．
[解]　由3b＝5，得log35＝b．
∴log3＝log3log330
＝log35＋log36＝＋log32＋log33
＝＋a＋．
類型3　利用對數的運算性質化簡、求值
【例3】　計算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10
＝．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．
(3)原式＝＝＝＝．
　
1．利用對數性質求值的解題關鍵是化異為同，先使各項底數相同，再找真數間的聯系．
2．對于復雜的運算式，可先化簡再計算．化簡問題的常用方法：
(1)“拆”：將積(商)的對數拆成兩對數之和(差)；
(2)“收”：將同底對數的和(差)收成積(商)的對數．
[跟進訓練]
3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25．
[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1．
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3．
1．(2022·江蘇淮安中學期中)下列等式成立的是(　　)
A．log223＝3log22
B．log2(8＋4)＝log28＋log24
C．log2(8－4)＝log28－log24
D．＝log2
A　[對于A，log223＝3log22，故A正確；
對于B，log2(8＋4)＝log212，故B錯誤；
對于C，log2(8－4)＝log24＝log222＝2log22＝2，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤；
故選A．]
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，則lg 的值為(　　)
A．a－b2　　B．a－2b　　C．　　D．
B　[∵lg 3＝a，lg 7＝b，
∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b．]
3．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4
C　[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2．故選C．]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－loga；
(4)logax；(5)＝loga．
其中正確的有________．(填序號)
(3)(5)　[根據對數的運算性質logaM n＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)與(5)正確．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．對數有哪些運算性質？
[提示]　(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga ＝logaM－logaN；
＝mlogab．(其中a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)
2．運用對數的運算性質應注意哪些問題？
[提示]　(1)在各對數有意義的前提下才能應用運算性質．
(2)在運算過程中避免出現以下錯誤：
①logaNn＝(logaN)n，
②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．4.3.2　對數的運算
第1課時　對數的運算
1．掌握積、商、冪的對數運算性質，理解其推導過程和成立的條件．(邏輯推理)
2．會運用運算性質進行一些簡單的化簡與證明．(數學運算)
(1)計算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎樣的運算關系嗎？
(2)計算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能發現什么規律？
知識點　對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝________________；
(2)loga＝________________；
(3)logaM n＝________(n∈R)．
三條運算性質成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
類型1　對數的運算性質
【例1】　(源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga(x3y5)；
(3)loga．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解此類問題的步驟
第一步：看對數式的真數部分的組成形式：________、________還是________；
第二步：用對數的運算性質拆解，即把對數式分解成對數式的和、差形式；
第三步：逆用運算性質，檢驗算式是否正確．
[跟進訓練]
1．求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　帶有附加條件的對數式求值
【例2】　(源自蘇教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(結果保留4位小數)：
(1)lg 12；(2)lg ．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對數式表示的兩種方式
(1)
(2)
[跟進訓練]
2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用對數的運算性質化簡、求值
【例3】　計算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．利用對數性質求值的解題關鍵是化異為同，先使各項底數相同，再找真數間的聯系．
2．對于復雜的運算式，可先化簡再計算．化簡問題的常用方法：
(1)“拆”：將積(商)的對數拆成兩對數之和(差)；
(2)“收”：將同底對數的和(差)收成積(商)的對數．
[跟進訓練]
3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2022·江蘇淮安中學期中)下列等式成立的是(　　)
A．log223＝3log22
B．log2(8＋4)＝log28＋log24
C．log2(8－4)＝log28－log24
D．＝log2
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，則lg 的值為(　　)
A．a－b2　　B．a－2b　　C．　　D．
3．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga．
其中正確的有________．(填序號)
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．對數有哪些運算性質？
2．運用對數的運算性質應注意哪些問題？第2課時　換底公式
1．掌握換底公式及其推論．(邏輯推理)
2．能將一般對數轉化為自然對數和常用對數，并能進行簡單的化簡、計算．(數學運算)
大家可能已經看出，對數值的計算并不容易，比如lg 3，lg 5，log35等．事實上，在沒有計算器的時代，人們曾花費了大量的精力，求出一些常用對數的近似值，制成表格以供大家查詢使用．這樣一來，大家就可以根據已知的值和對數運算法則，求出另一些對數的值，例如，由lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0可得出lg 15＝lg 3＋lg 5≈0.477 1＋0.699 0＝1.176 1．
但是我們知道，對數的底可以是任意不等于1的正數，那么知道常用對數的值，能不能求出任意對數的值呢？比如，能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？
知識點　對數換底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，則有logab＝．
換底公式的作用：
(1)將不同底對數轉換為相同底對數；
(2)同底對數相除的運算；
(3)將底數轉換為常用對數或自然對數計算．
1．logab與logba(a>0，a≠1；b>0，b≠1)存在什么關系？
[提示]　logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
2．與logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)存在什么關系？
[提示]　＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)．
1．化簡：log832＝________．
　[log832＝．]
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，則log721＝________．(用a，b表示)
　[log721＝．]
類型1　運用換底公式化簡求值
【例1】　(源自北師大版教材)計算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－－．
[解]　根據對數的換底公式，得
(1)log4＋log23－log0.5＝＋log23－
＝log2＋log23－log25＝log2＝log21＝0．
(2)(log32＋log23)2－－
＝－－
＝＋＋2－－＝2．
　利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
[跟進訓練]
1．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
[解]　(1)原式＝＝4．
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝·()＝log25·3log52＝×3＝13．
類型2　對數運算中的條件求值問題
【例2】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
思路導引：
(1)
(2)
[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436．
∴＝2log363＝log369，
＝log364．
∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1．
(2)∵18b＝5，∴b＝log185．
又log189＝a，
∴log3645＝＝．
[母題探究]
在本例(2)的條件下，求log915(用a，b表示)
[解]　∵log189＝a，∴log183＝．
又log185＝b，∴log915＝＝．
　條件求值問題的求解方法
帶有附加條件的代數式求值問題，需要對已知條件和所求式子進行化簡轉化，原則上是化為同底的對數，以便利用對數的運算法則．要整體把握對數式的結構特征，靈活運用指數式與對數式互化進行解題．
[跟進訓練]
2．已知3x＝4y＝6z，求證：＋．
[證明]　設3x＝4y＝6z＝m(m>0)，
則x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m．
所以＝logm3，＝logm4，＝logm6．
故＋＝logm3＋logm4＝logm3＋logm4＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝．
類型3　實際問題中的對數運算
【例3】　中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：C＝Wlog2，它表示在被高斯白噪聲干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬W、信道內所傳信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香農公式，若不改變信道帶寬W，而將信噪比從1 000提升至5 000，則C大約增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20%　　B．23%　　C．28%　　D．50%
B　[將信噪比從1 000提升至5 000，C大約增加了＝≈≈0.233，所以C大約增加了23%．故選B．]
　關于對數運算在實際問題中的應用
(1)在與對數相關的實際問題中，先將題目中數量關系理清，再將相關數據代入，最后利用對數運算性質、換底公式進行計算．
(2)在與指數相關的實際問題中，可將指數式利用取對數的方法，轉化為對數運算，從而簡化復雜的指數運算．
[跟進訓練]
3．某化工廠生產一種溶液，按市場需求，雜質含量不能超過0.1%．若初始時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少，要使產品達到市場要求，則至少應過濾的次數為(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9
C　[設至少需要過濾n次，
則0.02×＝0.001，即．
所以n lg ＝lg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，
即n＝≈7.4．
又n∈N，所以n≥8．所以至少過濾8次才能使產品達到市場要求．]
1．(多選)下列等式正確的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
[答案]　ABC
2．＝(　　)
A．　　　B．2　　　C．
B　[原式＝log39＝log332＝2log33＝2．故選B．]
3．設10a＝2，lg 3＝b，則log26＝(　　)
A．　　　C．ab　　　D．a＋b
B　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝．故選B．]
4．已知2a＝5b＝10，則＋＝________．
1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＝log102＝lg 2，＝lg 5，∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．對數有哪些運算性質？
[提示]　(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
＝mlogab．其中(a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)
2．你能用對數的換底公式證明嗎？
[提示]　logNM．
3．常見的換底公式變形有哪些？
[提示]　(1)logab＝．
(2)logab·logba＝1(其中a>0，且a≠1，b>0, 且b≠1)．
指數的換底公式
很多關于大數的故事里(例如“棋盤上的學問”“64片金片在3根金針上移動”)都涉及264這個數．
(1)你能用64個2相乘算出它的值嗎？
(2)你會用計算器得出它的結果嗎？
(3)如果恰好你手頭沒有計算器，又需要你馬上估計出它的值，你有什么辦法？
分析　(1)如果你愿意不厭其煩地計算，可以得出
264＝18 446 744 073 709 551 616．
(2)使用科學計算器，可以算出
264≈1.844 674 407×1019．
(3)若把264換成以10為底的冪，則便于估計它的值．怎么轉換呢？
根據指數函數的性質，對于數2一定存在唯一的常數α，使得2＝10α(如圖)．由對數的概念，得α＝lg 2．
因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．
也就是說，264是1019和1020之間的數．因此，264秒大概是5 849億年，而太陽的壽命大約是100億年．
一般地，對于任意不為1的正數a和b，有a＝，所以對任意的實數α，都有
aα＝．
這就是指數的換底公式．
例如，可以用上述公式把以3為底的冪轉換為以10或以e為底的冪：
35＝105lg 3，35＝e5ln 3．第2課時　換底公式
1．掌握換底公式及其推論．(邏輯推理)
2．能將一般對數轉化為自然對數和常用對數，并能進行簡單的化簡、計算．(數學運算)
大家可能已經看出，對數值的計算并不容易，比如lg 3，lg 5，log35等．事實上，在沒有計算器的時代，人們曾花費了大量的精力，求出一些常用對數的近似值，制成表格以供大家查詢使用．這樣一來，大家就可以根據已知的值和對數運算法則，求出另一些對數的值，例如，由lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0可得出lg 15＝lg 3＋lg 5≈0.477 1＋0.699 0＝1.176 1．
但是我們知道，對數的底可以是任意不等于1的正數，那么知道常用對數的值，能不能求出任意對數的值呢？比如，能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？
知識點　對數換底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，則有logab＝________．
換底公式的作用：
(1)將不同底對數轉換為相同底對數；
(2)同底對數相除的運算；
(3)將底數轉換為常用對數或自然對數計算．
1．logab與logba(a>0，a≠1；b>0，b≠1)存在什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．與logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)存在什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．化簡：log832＝________．
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，則log721＝________．(用a，b表示)
類型1　運用換底公式化簡求值
【例1】　(源自北師大版教材)計算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－－．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
[跟進訓練]
1．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　對數運算中的條件求值問題
【例2】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
思路導引：
(1)
(2)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
在本例(2)的條件下，求log915(用a，b表示)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　條件求值問題的求解方法
帶有附加條件的代數式求值問題，需要對已知條件和所求式子進行化簡轉化，原則上是化為同底的對數，以便利用對數的運算法則．要整體把握對數式的結構特征，靈活運用指數式與對數式互化進行解題．
[跟進訓練]
2．已知3x＝4y＝6z，求證：＋＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　實際問題中的對數運算
【例3】　中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：C＝Wlog2，它表示在被高斯白噪聲干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬W、信道內所傳信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香農公式，若不改變信道帶寬W，而將信噪比從1 000提升至5 000，則C大約增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20%　　　B．23%　　　C．28%　　　D．50%
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　關于對數運算在實際問題中的應用
(1)在與對數相關的實際問題中，先將題目中數量關系理清，再將相關數據代入，最后利用對數運算性質、換底公式進行計算．
(2)在與指數相關的實際問題中，可將指數式利用取對數的方法，轉化為對數運算，從而簡化復雜的指數運算．
[跟進訓練]
3．某化工廠生產一種溶液，按市場需求，雜質含量不能超過0.1%．若初始時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少，要使產品達到市場要求，則至少應過濾的次數為(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9
1．(多選)下列等式正確的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
2．＝(　　)
A．　　　B．2　　　C．
3．設10a＝2，lg 3＝b，則log26＝(　　)
A．　　　C．ab　　　D．a＋b
4．已知2a＝5b＝10，則＋＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．對數有哪些運算性質？
2．你能用對數的換底公式證明＝logNM嗎？
3．常見的換底公式變形有哪些？
指數的換底公式
很多關于大數的故事里(例如“棋盤上的學問”“64片金片在3根金針上移動”)都涉及264這個數．
(1)你能用64個2相乘算出它的值嗎？
(2)你會用計算器得出它的結果嗎？
(3)如果恰好你手頭沒有計算器，又需要你馬上估計出它的值，你有什么辦法？
分析　(1)如果你愿意不厭其煩地計算，可以得出
264＝18 446 744 073 709 551 616．
(2)使用科學計算器，可以算出
264≈1.844 674 407×1019．
(3)若把264換成以10為底的冪，則便于估計它的值．怎么轉換呢？
根據指數函數的性質，對于數2一定存在唯一的常數α，使得2＝10α(如圖)．由對數的概念，得α＝lg 2．
因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．
也就是說，264是1019和1020之間的數．因此，264秒大概是5 849億年，而太陽的壽命大約是100億年．
一般地，對于任意不為1的正數a和b，有a＝，所以對任意的實數α，都有
aα＝．
這就是指數的換底公式．
例如，可以用上述公式把以3為底的冪轉換為以10或以e為底的冪：
35＝105lg 3，35＝e5ln 3．

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