資源簡介

4.4　對數函數
4.4.1　對數函數的概念
1．理解對數函數的概念，知道對數函數模型是一類重要的函數模型．(數學抽象)
2．會求簡單的對數型函數的定義域．(數學運算)
我們已經知道，假設有機體生存時碳14的含量為1，那么有機體死亡x年后體內碳14的含量y滿足
y＝，也就是說，y是x的函數．
在得到古生物的樣品時，考古學家能夠測量出其中的碳14含量y，你認為考古學家們能利用這個值推斷出古生物的死亡時間x嗎？給定一個y值，有多少個x值與之對應？這里的x能看成y的函數嗎？為什么？
知識點　對數函數的概念
函數y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)．
對數函數的自變量恰好是指數函數的函數值，故對數函數的定義域是(0，＋∞)，底數a>0，且a≠1．
(1)y＝logxa(a>0，且a≠1)是對數函數嗎？
(2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是對數函數嗎？
[提示]　都不是．
1．函數y＝loga(x－1)的定義域為________．
[答案]　(1，＋∞)
2．若對數函數f (x)的圖象過點(4，2)，那么f (x)＝________．
log2x　[設對數函數f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f (4)＝loga4＝2得a2＝4，∴a＝±2．
又a>0，且a≠1，∴a＝2，故f (x)＝log2x．]
類型1　對數函數的概念及應用
【例1】　(1)下列給出的函數：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝，其中是對數函數的為(　　)
A．③④⑤　　B．②④⑥　　C．①③⑤⑥　　D．③⑥
(2)若函數y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數函數，則a＝________．
(3)已知對數函數的圖象過點(16，4)，則＝________．
(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由對數函數定義知，③⑥是對數函數，故選D．
(2)因為函數y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數函數，
所以
解得a＝4．
(3)設對數函數為f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，
由f (16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f (x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1．]
　判斷一個函數是對數函數的方法
[跟進訓練]
1．若函數f (x)＝(a2＋a－5)logax是對數函數，則a＝________．
2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．
又a>0且a≠1，所以a＝2．]
類型2　對數函數的定義域
【例2】　(源自湘教版教材)求下列函數的定義域：
(1)y＝log0.5(3－x)；
(2)y＝log2x－3(x2＋3)．
[解]　(1)要使函數有意義，需3－x>0，即x3．
所以函數y＝log0.5(3－x)的定義域是(－∞，3)．
(2)要使函數有意義，需2x－3>0且2x－3≠1，即x>且x≠2．
所以函數y＝log2x－3(x2＋3)的定義域是∪(2，＋∞)．
　求對數型函數的定義域時應遵循的原則
(1)分母不能為0．
(2)根指數為偶數時，被開方數非負．
(3)對數的真數大于0，底數大于0且不為1．
[跟進訓練]
2．求下列函數的定義域．
(1)y＝；
(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解]　(1)∵x＞0，且lg x≠0，
∴x＞0且x≠1．
∴函數y＝＞0且x≠1}．
(2)由題意得解得
故函數y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定義域為．
類型3　對數函數模型的應用
【例3】　已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，現給某病人靜脈注射了該藥物1個單位，設經過y個小時后，藥物在病人血液中的量為x個單位，求y與x的關系式．
思路導引：
[解]　由題意可知(1－20%)y＝x，0x≤1，
即y＝log0.8x，0x≤1．
y與x的關系式為y＝log0.8x，0x≤1．
　利用指數、對數函數解決應用問題
(1)列出指數關系式x＝ay，并根據實際問題確定變量的范圍．
(2)利用指對互化轉化為對數函數y＝logax．
(3)代入自變量的值后，利用對數的運算性質、換底公式計算．
[跟進訓練]
3．一種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩余的質量約是原來的75%，估計經過多少年，該物質的剩余質量是原來的(結果保留1位有效數字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　假設經過x年，該物質的剩余質量是原來的，根據題意得0.75x＝．
所以x＝log0.75≈4(年)．
故估計經過4年，該物質的剩余質量是原來的．
1．(多選)下列函數是對數函數的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
[答案]　BD
2．(2022·廣東東莞期中)函數f (x)＝＋lg (x－2)的定義域為(　　)
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C． D．
B　[由題意可得，解得x>2．故選B．]
3．已知對數函數y＝f (x)的圖象過點M(9，2)，則此對數函數的解析式為________．
f (x)＝log3x　[設此對數函數的解析式為f (x)＝logax(a>0且a≠1)，則2＝loga9，所以a2＝9．又a＞0，所以a＝3．所以f (x)＝log3x．]
4．某公司為了業務發展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額為x萬元時，獎勵y萬元．若公司擬定的獎勵方案中獎勵金額y與銷售額x的關系式為y＝2log4x－2，某業務員要得到5萬元獎勵，則他的銷售額應為________萬元．
128　[由題意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何判斷一個函數是不是對數函數？
[提示]　判斷一個函數是對數函數必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：
(1)系數為1．
(2)底數為大于0且不等于1的常數．
(3)對數的真數僅有自變量x．
2．解決對數函數定義域問題應從哪些方面考慮？
[提示]　除了要特別注意真數和底數外，還要遵循前面學習過的求函數定義域的方法，比如函數解析式為分式、根式等情形．4.4　對數函數
4.4.1　對數函數的概念
1．理解對數函數的概念，知道對數函數模型是一類重要的函數模型．(數學抽象)
2．會求簡單的對數型函數的定義域．(數學運算)
我們已經知道，假設有機體生存時碳14的含量為1，那么有機體死亡x年后體內碳14的含量y滿足y＝，也就是說，y是x的函數．
在得到古生物的樣品時，考古學家能夠測量出其中的碳14含量y，你認為考古學家們能利用這個值推斷出古生物的死亡時間x嗎？給定一個y值，有多少個x值與之對應？這里的x能看成y的函數嗎？為什么？
知識點　對數函數的概念
函數y＝________(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中________是自變量，函數的定義域是________．
對數函數的自變量恰好是指數函數的函數值，故對數函數的定義域是(0，＋∞)，底數a>0，且a≠1．
(1)y＝logxa(a>0，且a≠1)是對數函數嗎？
(2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是對數函數嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函數y＝loga(x－1)的定義域為________．
2．若對數函數f (x)的圖象過點(4，2)，那么f (x)＝________．
類型1　對數函數的概念及應用
【例1】　(1)下列給出的函數：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝，其中是對數函數的為(　　)
A．③④⑤　　B．②④⑥　　C．①③⑤⑥　　D．③⑥
(2)若函數y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數函數，則a＝________．
(3)已知對數函數的圖象過點(16，4)，則＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個函數是對數函數的方法
[跟進訓練]
1．若函數f (x)＝(a2＋a－5)logax是對數函數，則a＝________．
類型2　對數函數的定義域
【例2】　(源自湘教版教材)求下列函數的定義域：
(1)y＝log0.5(3－x)；
(2)y＝log2x－3(x2＋3)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求對數型函數的定義域時應遵循的原則
(1)分母不能為0．
(2)根指數為偶數時，被開方數非負．
(3)對數的真數大于0，底數大于0且不為1．
[跟進訓練]
2．求下列函數的定義域．
(1)y＝；
(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　對數函數模型的應用
【例3】　已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，現給某病人靜脈注射了該藥物1個單位，設經過y個小時后，藥物在病人血液中的量為x個單位，求y與x的關系式．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用指數、對數函數解決應用問題
(1)列出指數關系式x＝ay，并根據實際問題確定變量的范圍．
(2)利用指對互化轉化為對數函數y＝logax．
(3)代入自變量的值后，利用對數的運算性質、換底公式計算．
[跟進訓練]
3．一種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩余的質量約是原來的75%，估計經過多少年，該物質的剩余質量是原來的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列函數是對數函數的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
2．(2022·廣東東莞期中)函數f (x)＝＋lg (x－2)的定義域為(　　)
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C． B．
3．已知對數函數y＝f (x)的圖象過點M(9，2)，則此對數函數的解析式為________．
4．某公司為了業務發展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額為x萬元時，獎勵y萬元．若公司擬定的獎勵方案中獎勵金額y與銷售額x的關系式為y＝2log4x－2，某業務員要得到5萬元獎勵，則他的銷售額應為________萬元．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何判斷一個函數是不是對數函數？
2．解決對數函數定義域問題應從哪些方面考慮？4.4.2　對數函數的圖象和性質
第1課時　對數函數的圖象和性質
1．初步掌握對數函數的圖象和性質．(直觀想象、數學抽象)
2．會利用對數函數的單調性比較大小．(邏輯推理、數學運算)
　　分別求出對數函數y＝log2x在自變量取，1，2，4，8時所對應的函數值(填寫下表)，并由此猜測對數函數y＝log2x的定義域、值域、奇偶性、單調性，嘗試說明理由．
x 1 2 4 8
y＝log2x
知識點　對數函數的圖象和性質
a的范圍 01
圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性質 定點 (1，0)，即x＝1時，y＝0
單調性 在(0，＋∞)上是減函數 在(0，＋∞)上是增函數
對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象的“上升”或“下降”與誰有關？
[提示]　底數a與1的關系決定了對數函數圖象的升降．
當a>1時，對數函數的圖象“上升”；當0函數f (x)＝loga(x＋1)的圖象必經過定點________．
(0，0)　[由x＋1＝1得x＝0，∴f (x)的圖象必過定點(0，0)．]
類型1　對數函數的圖象問題
【例1】　(1)如圖，若C1，C2分別為函數y＝logax和y＝logbx的圖象，則(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函數y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(3，2)，則實數b＝________，c＝________．
(3)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)滿足f (－5)＝1，試畫出函數f (x)的圖象．
(1)B　(2)－2　2　[(1)結合圖象可知0x1＝a，x2＝b，結合圖知b(2)由于函數圖象恒過定點(3，2)，故
]
(3)[解]　因為f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f (x)＝log5|x|＝
所以函數y＝log5|x|的圖象如圖所示．
[母題探究]
把本例(3)改為f (x)＝＋2，試作出其圖象．
[解]　第一步：作y＝log2x的圖象，如圖(1)所示．
(1)　　　　　　　(2)
第二步：將y＝log2x的圖象沿x軸向左平移1個單位長度，得y＝log2(x＋1)的圖象，如圖(2)所示．
第三步：將y＝log2(x＋1)的圖象在x軸下方的部分作關于x軸的對稱變換，得y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖(3)所示．
第四步：將y＝|log2(x＋1)|的圖象沿y軸向上平移2個單位長度，即得到所求的函數圖象，如圖(4)所示．
(3)　　　　　　　(4)　
　函數圖象的變換規律
(1)一般地，函數y＝f (x±a)＋b(a，b為實數)的圖象是由函數y＝f (x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個單位長度，再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的．
(2)含有絕對值的函數的圖象一般是經過對稱變換得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的圖象是關于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數y＝|f (x)|的圖象與y＝f (x)的圖象在f (x)≥0的部分相同，在f (x)<0的部分關于x軸對稱．
[跟進訓練]
1．當a>1時，在同一坐標系中，函數y＝a－x與y＝logax的圖象為(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是減函數，y＝logax是增函數，故選C．]
類型2　比較對數值的大小
【例2】　(源自北師大版教材)比較下列各題中兩個數的大小：
(1)log25.3，log24.7；
(2)log0.27，log0.29；
(3)log3π，logπ3；
(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．
[解]　(1)因為2>1，所以函數y＝log2x在定義域(0，＋∞)上是增函數．由5.3>4.7，得log25.3>log24.7．
(2)因為0<0.2<1，所以函數y＝log0.2x在定義域(0，＋∞)上是減函數．
由7<9，得log0.27>log0.29．
(3)因為3>1，所以函數y＝log3x在定義域(0，＋∞) 上是增函數．
由π>3，得log3π>log33＝1．
同理可得1＝logππ>logπ3．
因此log3π>logπ3．
(4)當a>1時，函數y＝logax在定義域(0，＋∞)上是增函數，
此時由3.1<5.2，得loga3.1當0此時由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2．
　比較對數值大小的常用方法
(1)同底數的利用對數函數的單調性．
(2)同真數的利用對數函數的圖象或用換底公式轉化．
(3)底數和真數都不同，找中間量．
[跟進訓練]
2．比較下列各組值的大小：
(1)log5與log5；
(2)2與2；
(3)log23與log54．
[解]　(1)法一(單調性法)：對數函數y＝log5x在(0，＋∞)上是增函數，而，所以log5法二(中間值法)：因為log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(單調性法)：由于2＝，2＝，
對數函數y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數，
且>，所以0>log2>log2，
所以，
所以2<2．
法二(圖象法)：如圖，在同一坐標系中分別畫出y＝x及y＝x的圖象，由圖易知：2<2．
(3)取中間值1，
因為log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
類型3　解對數不等式
【例3】　解下列關于x的不等式：
(1)x>(4－x)；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
思路導引：
[解]　(1)由題意可得解得0所以原不等式的解集為{x|0(2)當a>1時，原不等式等價于解得x>4．
當0解得綜上所述，當a>1時，原不等式的解集為{x|x>4}；
當0　常見的對數不等式的3種類型
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．
(2)形如logax＞b的不等式，應將b化為以a為底數的對數式的形式，再借助y＝logax的單調性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用圖象求解．
[跟進訓練]
3．已知loga<1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范圍．
[解]　由loga<1得loga(1)當a>1時，有a>，此時a>1．
(2)當0所以a的取值范圍是∪(1，＋∞)．
1．函數y＝logax的圖象如圖所示，則實數a的可能取值為(　　)
A．5　　B．　　 C．　　D．
A　[由題圖可知，a>1，故選A．]
2．函數y＝的定義域是(　　)
A．　　B．[2，＋∞)　　C．　　D．
D　[依題意0<2x－3≤1，解得3．設a＝log32，b＝log52，c＝log23，則(　　)
A．a>c>b　　B．b>c>a　　C．c>b>a　　D．c>a>b
D　[a＝log32log22＝1，由對數函數的性質可知log524．若lg (2x－4)≤1，則x的取值范圍是________．
{x|2∴0<2x－4≤10，即2回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如圖，曲線C1，C2，C3，C4分別對應y＝，y＝，y＝，y＝的圖象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小關系嗎？
[提示]　作直線y＝1，它與各曲線C1，C2，C3，C4的交點的橫坐標就是各對數的底數，由此可判斷出各底數的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0．
2．如何解對數不等式logaf (x)>logag(x)(a>0，且a≠1)
[提示]　分01兩類分別求解．
當0logag(x) 0當a>1時，logaf (x)>logag(x) f (x)>g(x)>0．
3．比較對數值大小的常用方法有哪些？
[提示]　(1)單調性法；(2)圖象法；(3)中間量法．4.4.2　對數函數的圖象和性質
第1課時　對數函數的圖象和性質
1．初步掌握對數函數的圖象和性質．(直觀想象、數學抽象)
2．會利用對數函數的單調性比較大小．(邏輯推理、數學運算)
分別求出對數函數y＝log2x在自變量取，，，1，2，4，8時所對應的函數值(填寫下表)，并由此猜測對數函數y＝log2x的定義域、值域、奇偶性、單調性，嘗試說明理由．
x 1 2 4 8
y＝log2x
知識點　對數函數的圖象和性質
a的范圍 01
圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性質 定點 ________，即x＝______時，y＝______
單調性 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象的“上升”或“下降”與誰有關？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
函數f (x)＝loga(x＋1)的圖象必經過定點________．
類型1　對數函數的圖象問題
【例1】　(1)如圖，若C1，C2分別為函數y＝logax和y＝logbx的圖象，則(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函數y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(3，2)，則實數b＝_______，c＝________．
(3)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)滿足f (－5)＝1，試畫出函數f (x)的圖象．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
把本例(3)改為f (x)＝＋2，試作出其圖象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數圖象的變換規律
(1)一般地，函數y＝f (x±a)＋b(a，b為實數)的圖象是由函數y＝f (x)的圖象沿x軸向左或向右平移________個單位長度，再沿y軸向上或向下平移________個單位長度得到的．
(2)含有絕對值的函數的圖象一般是經過對稱變換得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的圖象是關于直線________對稱的軸對稱圖形；函數y＝|f (x)|的圖象與y＝f (x)的圖象在______的部分相同，在________的部分關于x軸對稱．
[跟進訓練]
1．當a>1時，在同一坐標系中，函數y＝a－x與y＝logax的圖象為(　　)
A　　　　B　　　 　C　　　　D
類型2　比較對數值的大小
【例2】　(源自北師大版教材)比較下列各題中兩個數的大小：
(1)log25.3，log24.7；
(2)log0.27，log0.29；
(3)log3π，logπ3；
(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比較對數值大小的常用方法
(1)同底數的利用______________________．
(2)同真數的利用對數函數的__________或用________轉化．
(3)底數和真數都不同，找________．
[跟進訓練]
2．比較下列各組值的大小：
(1)log5與log5；
(2)2與2；
(3)log23與log54．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　解對數不等式
【例3】　解下列關于x的不等式：
(1)x>(4－x)；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常見的對數不等式的3種類型
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．
(2)形如logax＞b的不等式，應將b化為以a為底數的對數式的形式，再借助y＝logax的單調性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用圖象求解．
[跟進訓練]
3．已知loga<1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函數y＝logax的圖象如圖所示，則實數a的可能取值為(　　)
A．5　　B．　　 C．　　D．
2．函數y＝的定義域是(　　)
A．　　B．[2，＋∞)　　C．　　D．
3．設a＝log32，b＝log52，c＝log23，則(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
4．若lg (2x－4)≤1，則x的取值范圍是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如圖，曲線C1，C2，C3，C4分別對應y＝，y＝，y＝，y＝的圖象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小關系嗎？
2．如何解對數不等式logaf (x)>logag(x)(a>0，且a≠1)
3．比較對數值大小的常用方法有哪些？第2課時　對數函數性質的應用
能解決與對數型函數的單調性、值域、奇偶性等相關的問題．(邏輯推理、數學運算)
類型1　對數型復合函數的單調性
【例1】　討論函數f (x)＝loga(3x2－2x－1)的單調性．
思路導引：
[解]　由3x2－2x－1＞0得函數的定義域為．
①當a＞1時，若x＞1，則u＝3x2－2x－1為增函數，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數；
若x＜－，則u＝3x2－2x－1為減函數，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數，
②當0＜a＜1時，若x＞1，則f (x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數；若x＜－，則f (x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數．
　形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數的單調區間的求法：
第一步：求函數f (x)的定義域；
第二步：求函數g(x)在定義域上的單調區間；
第三步：應用復合函數單調性的“同增異減”原則，得出f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的單調區間．
[跟進訓練]
1．已知函數y＝(x2－ax＋a)在區間(－∞，)上單調遞增，求實數a的取值范圍．
[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上單調遞減，∵0<<1，∴y＝g(x)是關于g(x)的減函數．而已知復合函數y＝(x2－ax＋a)在區間(－∞，)上單調遞增，
∴只要g(x)在(－∞，)上單調遞減，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范圍是[2，2＋2]．
類型2　對數型復合函數的值域
【例2】　求下列函數的值域：
(1)y＝(3＋2x－x2)；
(2)求函數f (x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
[解]　(1)設u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4．
因為u>0，所以0又y＝u在(0，4]上為減函數，
所以u≥4＝－2，
所以y＝(3＋2x－x2)的值域為[－2，＋∞)．
(2)f (x)＝log2(4x)·
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
設log2x＝t．
∵x∈，∴t∈[－1，2]，
則有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函數圖象的對稱軸為t＝－，
∴函數y＝－(t2＋t－2)在上是增函數，在上是減函數，
∴當t＝－時，有最大值，且ymax＝．
當t＝2時，有最小值，且ymin＝－2．
∴f (x)的值域為
　對于形如y＝logaf (x)(a>0，且a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f (x)兩個函數．
(2)求u的取值范圍，注意u>0．
(3)利用y＝logau的單調性求值域．
[跟進訓練]
2．求下列函數的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)f (x)＝log2·log2．
[解]　(1)因為x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2．
所以y＝log2(x2＋4)的值域為[2，＋∞)．
(2)∵f (x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)＝，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴當log2x＝，即x＝＝2時，f (x)取得最小值－；
當log2x＝0，即x＝1時，f (x)取得最大值2，
∴函數f (x)的值域是．
類型3　對數型復合函數的奇偶性
【例3】　已知函數f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函數y＝f (x)的定義域；
(2)判斷函數y＝f (x)的奇偶性；
(3)若f (m－2)＜f (m)，求m的取值范圍．
[解]　(1)要使函數f (x)有意義，則
解得－2∴函數y＝f (x)的定義域為{x|－2(2)由(1)可知，函數y＝f (x)的定義域為{x|－2∵f (－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f (x)，
∴函數y＝f (x)為偶函數．
(3)∵函數f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)，
當0≤x<2時，函數y＝f (x)為減函數，
當－2∴不等式f (m－2)由解得0＜m＜2．
綜上所述，m的取值范圍是(0，1)．
　對數函數本身不具有奇偶性，但有些函數與對數函數復合后，就具有奇偶性了，如y＝loga|x|就是偶函數．一般利用函數奇偶性的定義，并結合對數的運算性質來判斷這類函數的奇偶性．
[跟進訓練]
3．已知函數f (x)＝是奇函數，其中a為常數．
(1)求a的值；
(2)若當x∈(1，＋∞)時，f (x)＋(x－1)[解]　(1)∵函數f (x)是奇函數，
∴函數f (x)的定義域關于原點對稱且a≠0．
由>0，得(x－1)(1－ax)>0，
令(x－1)(1－ax)＝0，
得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1，
經驗證，a＝－1滿足題意．
(2)∵f (x)＋(x－1)＝＋(x－1)＝(1＋x)，
∴當x>1時，(1＋x)<－1，
又當x∈(1，＋∞)時，f (x)＋(x－1)即實數m的取值范圍是[－1，＋∞)．
1．已知函數f (x)＝x，x∈，則f (x)的值域是(　　)
A．　　B．　　C．[0，2] 　　D．
A　[因為函數f (x)＝x，x∈是減函數，所以函數f (x)的最小值為f ＝，函數f (x)的最大值為f ＝＝2．所以函數f (x)的值域為．]
2．函數y＝(－x2－2x＋3) 的單調遞增區間是(　　)
A．[－1，1) B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
A　[由題意，得要使函數y＝(－x2－2x＋3)有意義，則滿足－x2－2x＋3>0，
即x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)<0，解得－3即函數的定義域為(－3，1)，
令g(x)＝－x2－2x＋3，則函數g(x)表示圖象開口向下，對稱軸方程為x＝－1的拋物線，
所以函數g(x)在區間(－3，－1]上單調遞增，在區間[－1，1)上單調遞減，
又由函數y＝x在定義域上是減函數，
所以y＝(－x2－2x＋3)的單調遞增區間為[－1，1)．]
3．(多選)已知函數f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的圖象經過點(4，2)，則下列命題正確的有(　　)
A．函數為增函數
B．函數為偶函數
C．若x>1，則f (x)>0
D．若0ACD　[由題知2＝loga4，即a＝2，故f (x)＝log2x．所以函數為增函數，故A正確；
f (x)＝log2x不為偶函數，故B錯誤；
當x>1時，f (x)＝log2x>log21＝0成立，故C正確；
因為f (x)＝log2x的圖象往上凸，故若0則4．函數f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域為________．
[1，＋∞)　[令u＝x2＋2x＋4，則u＝(x＋1)2＋3≥3，
∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，
即函數f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域為[1，＋∞)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．求解形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數的單調性需注意哪些問題？
[提示]　首先注意函數的定義域、其次求解時注意滿足“同增異減”的原則．
2．若f (x)∈(m，＋∞)，則y＝logaf (x)(a>1)的值域一定是(logam，＋∞)嗎？
[提示]　不一定，必須保證m>0才可以．第2課時　對數函數性質的應用
　　能解決與對數型函數的單調性、值域、奇偶性等相關的問題．(邏輯推理、數學運算)
類型1　對數型復合函數的單調性
【例1】　討論函數f (x)＝loga(3x2－2x－1)的單調性．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數的單調區間的求法：
第一步：求函數f (x)的________；
第二步：求函數________在定義域上的單調區間；
第三步：應用復合函數單調性的“________”原則，得出f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的單調區間．
[跟進訓練]
1．已知函數y＝(x2－ax＋a)在區間(－∞，)上單調遞增，求實數a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　對數型復合函數的值域
【例2】　求下列函數的值域：
(1)y＝(3＋2x－x2)；
(2)求函數f (x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對于形如y＝logaf (x)(a>0，且a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f (x)兩個函數．
(2)求u的取值范圍，注意u>0．
(3)利用y＝logau的單調性求值域．
[跟進訓練]
2．求下列函數的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)f (x)＝log2·log2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　對數型復合函數的奇偶性
【例3】　已知函數f (x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函數y＝f (x)的定義域；
(2)判斷函數y＝f (x)的奇偶性；
(3)若f (m－2)＜f (m)，求m的取值范圍．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對數函數本身不具有奇偶性，但有些函數與對數函數復合后，就具有奇偶性了，如y＝loga|x|就是偶函數．一般利用函數奇偶性的定義，并結合對數的運算性質來判斷這類函數的奇偶性．
[跟進訓練]
3．已知函數f (x)＝是奇函數，其中a為常數．
(1)求a的值；
(2)若當x∈(1，＋∞)時，f (x)＋(x－1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知函數f (x)＝x，x∈，則f (x)的值域是(　　)
A．　　B．　　C．[0，2] 　　D．
2．函數y＝(－x2－2x＋3) 的單調遞增區間是(　　)
A．[－1，1) B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
3．(多選)已知函數f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的圖象經過點(4，2)，則下列命題正確的有(　　)
A．函數為增函數
B．函數為偶函數
C．若x>1，則f (x)>0
D．若04．函數f (x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．求解形如f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數的單調性需注意哪些問題？
2．若f (x)∈(m，＋∞)，則y＝logaf (x)(a>1)的值域一定是(logam，＋∞)嗎？4.4.3　不同函數增長的差異
1．了解常用的描述現實生活中不同增長規律的函數模型．(數據分析、直觀想象)
2．會分析具體的實際問題，通過建模解決實際問題．(數據分析、數學建模)
一家世界500強公司曾經出過類似這樣的一道面試題：
現在有一套房子，價格200萬元，假設房價每年上漲10%，某人每年能固定攢下40萬元，如果他想買這套房子，在不貸款，收入不增加的前提下，這個人需要多少年才能攢夠錢買這套房子？
A．5年　B．7年　C．8年　D．9年　E．永遠買不起
房子的價格逐年構成什么樣的函數？這個人的逐年收入構成什么函數？你能給出這道題的答案嗎？為什么？
知識點　三種函數模型的增長差異
函數 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的增減性 增函數 增函數 增函數
圖象的變化 趨勢 隨x增大逐漸近似與y軸平行 隨x增大逐漸近似與x軸平行 保持固定增長速度
增長速度 y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會遠遠大于y＝kx(k>0)的增長速度，y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢
增長結果 存在一個x0，當x>x0時，有ax>kx>logax
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)當x每增加一個單位長度時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數． (　　)
(2)函數y＝2x比y＝2x增長的速度更快些．(　　)
(3)當a>1，n>0時，在區間(0，＋∞)上，對任意的x，總有logax(4)對數函數y＝logax(a＞1)的增長特點是隨自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
類型1　幾類函數模型的增長差異
【例1】　(1)下列函數中，增長速度最快的是(　　)
A．y＝2 024x B．y＝2 024
C．y＝log2 024x D．y＝2 024x
(2)三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
則與x呈對數型函數、指數型函數、冪函數型函數變化的變量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
(1)A　(2)C　[(1)指數函數y＝ax，在a>1時呈爆炸式增長，并且隨a值的增大，增長速度越快．故選A．
(2)由指數函數、對數函數、冪函數的增長速度比較，指數函數增長最快，對數函數增長最慢，由題中表格可知，y1是冪函數，y2是指數函數，y3是對數函數．]
　常見的函數模型及增長特點
(1)線性函數模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．
(2)指數函數模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇加快，形象地稱為“指數爆炸”．
(3)對數函數模型y＝logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．
(4)冪函數y＝xn(n>0)的增長速度介于指數增長和對數增長之間．
[跟進訓練]
1．下列函數中，增長速度越來越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
B　[D中一次函數的增長速度不變；A，C中函數的增長速度越來越快；只有B中對數函數的增長速度越來越慢，符合題意．]
類型2　函數增長速度的比較
【例2】　(1)(多選)如圖，能使得不等式log2xA．x>2 B．x>4
C．0(2)已知函數f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．
①指出圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；
②借助圖象，比較f (x)和g(x)的大小．
(1)BC　[結合圖象可知，當x∈(0，2)∪(4，＋∞)時，有log2x(2)[解]　①C1對應的函數為g(x)＝0.5x－1，C2對應的函數為f (x)＝ln x．
②當x∈(0，x1)時，g(x)>f (x)；
當x∈(x1，x2)時，g(x)當x∈(x2，＋∞)時，g(x)>f (x)；
當x＝x1或x2時，g(x)＝f (x)．
綜上，當x＝x1或x2時，g(x)＝f (x)；
當x∈(x1，x2)時，g(x)當x∈(0，x1)或(x2，＋∞)時，g(x)>f (x)．
　由圖象判斷指數函數、對數函數和冪函數的方法
根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和冪函數時，通常是觀察函數圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數是指數函數，圖象趨于平緩的函數是對數函數．
[跟進訓練]
2．函數f (x)＝2x和g(x)＝2x的圖象如圖所示，設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數；
(2)結合函數圖象，判斷f 與g，f (2 024)與g(2 024)的大小．
[解]　(1)C1對應的函數為g(x)＝2x，C2對應的函數為f (x)＝2x．
(2)∵f (1)＝g(1)，f (2)＝g(2)，
從圖象上可以看出，當1＜x＜2時，f (x)＜g(x)，
∴f ＜g；
當x＞2時，f (x)＞g(x)，∴f (2 024)＞g(2 024)．
類型3　函數模型的選擇
【例3】　某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制訂一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且資金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金總數不超過3萬元，同時資金不超過利潤的20%．現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？
思路導引：
[解]　作出函數y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求．
　幾類不同增長函數模型選擇的方法
(1)增長速度不變，即自變量增加相同量時，函數值的增量相等，此時的函數模型是一次函數模型．
(2)增長速度越來越快，即自變量增加相同量時，函數值的增量成倍增加，此時的函數模型是指數函數模型．
(3)增長速度越來越慢，即自變量增加相同量時，函數值的增量越來越小，此時的函數模型是對數函數模型．
[跟進訓練]
3．為了減少自身消費的碳排放，節省燃料．經多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(40≤v≤120)的數據關系如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
為描述Q與v的關系，現有以下三種模型供選擇：
Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，
Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv．
(1)請選出你認為最符合實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；
(2)選擇一段長度為100 km的平坦高速路段進行測試，這輛車應以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
[解]　(1)該函數模型應為增函數，故第一種函數模型不符合；
若選擇第二種模型，代入(40，5.2)得5.2＝0.04×40＋b，解得b＝3.6，
∴Q(v)＝0.04v＋3.6，此時Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，與實際數據相差較大，故第二種不符合；
經觀察﹐第三種函數模型最符合實際，
代入(40，5.2)，可得0.000 025×403－0.004×402＋c×40＝5.2，即1.6－6.4＋c×40＝5.2，解得c＝0.25，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v，
此時，Q(60)＝6，Q(90)＝8.325，Q(100)＝10，Q(120)＝15.6，符合題意，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v．
(2)設總耗油量為W，
∵W＝×Q＝0.002 5v2－0.4v＋25
＝0.002 5(v－80)2＋9，40≤v≤120，
當v＝80時，W取得最小值為9，
∴這輛車應以80 km/h的速度行駛才能使總耗油量最少．
1．下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
A　[結合指數函數、對數函數及一次函數的圖象變化趨勢可知A正確．故選A．]
2．如表是函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此判斷它最可能的函數模型是(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函數模型 B．二次函數模型
C．指數函數模型 D．對數函數模型
A　[隨著自變量每增加1函數值增加2，函數值的增量是均勻的，故為線性函數即一次函數模型．故選A．]
3．三個變量y1，y2，y3隨變量x變化的數據如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
其中關于x呈指數增長的變量是________．
y2　[由指數函數的變化規律可知，y2隨x的變化呈指數增長．]
4．某工廠8年來某種產品總產量C與時間t(年)的函數關系如圖所示．
以下四種說法：
①前三年產量增長的速度越來越快；②前三年產量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產品停止生產；④第三年后產量保持不變．
其中說法正確的序號是________．
②③　[結合圖象可知②③正確，故填②③．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
如何描述三種函數模型的增長差異？
[提示]　直線上升、指數爆炸、對數增長
對于直線y＝kx＋b(k＞0)、指數函數y＝ax(a>1)、對數函數y＝logbx(b>1)，當自變量變得很大時，指數函數比一次函數增長得快，一次函數比對數函數增長得快，并且一次函數直線上升，其增長量固定不變．
指數爆炸與生活哲學
指數函數的爆炸式增長源自指數運算的性質．對指數運算不熟悉的人，在估計指數運算的值時，可能會出現比較大的誤差．例如，你能猜出以下各指數運算的值大概是多少嗎？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如圖所示，有人還用上述這些指數運算的值形象地解釋了一些生活哲學，你覺得有道理嗎？4.4.3　不同函數增長的差異
1．了解常用的描述現實生活中不同增長規律的函數模型．(數據分析、直觀想象)
2．會分析具體的實際問題，通過建模解決實際問題．(數據分析、數學建模)
一家世界500強公司曾經出過類似這樣的一道面試題：
現在有一套房子，價格200萬元，假設房價每年上漲10%，某人每年能固定攢下40萬元，如果他想買這套房子，在不貸款，收入不增加的前提下，這個人需要多少年才能攢夠錢買這套房子？
A．5年　　B．7年　　C．8年D．9年　　E．永遠買不起
房子的價格逐年構成什么樣的函數？這個人的逐年收入構成什么函數？你能給出這道題的答案嗎？為什么？
知識點　三種函數模型的增長差異
函數 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0)
在(0，＋∞) 上的增減性 ________ ________ ________
圖象的變化 趨勢 隨x增大逐漸近似與____平行 隨x增大逐漸近似與____平行 保持固定增長速度
增長速度 y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長速度______，會遠遠大于y＝kx(k>0)的增長速度，y＝logax(a>1)的增長速度______
增長結果 存在一個x0，當x>x0時，有________________
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)當x每增加一個單位長度時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數． (　　)
(2)函數y＝2x比y＝2x增長的速度更快些． (　　)
(3)當a>1，n>0時，在區間(0，＋∞)上，對任意的x，總有logax(4)對數函數y＝logax(a＞1)的增長特點是隨自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢． (　　)
類型1　幾類函數模型的增長差異
【例1】　(1)下列函數中，增長速度最快的是(　　)
A．y＝2 024x B．y＝2 024
C．y＝log2 024x D．y＝2 024x
(2)三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
則與x呈對數型函數、指數型函數、冪函數型函數變化的變量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常見的函數模型及增長特點
(1)線性函數模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．
(2)指數函數模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇加快，形象地稱為“指數爆炸”．
(3)對數函數模型y＝logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．
(4)冪函數y＝xn(n>0)的增長速度介于指數增長和對數增長之間．
[跟進訓練]
1．下列函數中，增長速度越來越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
類型2　函數增長速度的比較
【例2】　(1)(多選)如圖，能使得不等式log2xA．x>2 B．x>4
C．0(2)已知函數f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．
①指出圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；
②借助圖象，比較f (x)和g(x)的大小．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由圖象判斷指數函數、對數函數和冪函數的方法
根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和冪函數時，通常是觀察函數圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數是指數函數，圖象趨于平緩的函數是對數函數．
[跟進訓練]
2．函數f (x)＝2x和g(x)＝2x的圖象如圖所示，設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數；
(2)結合函數圖象，判斷f 與g，f (2 024) 與g(2 024)的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　函數模型的選擇
【例3】　某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制訂一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且資金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金總數不超過3萬元，同時資金不超過利潤的20%．現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　幾類不同增長函數模型選擇的方法
(1)增長速度不變，即自變量增加相同量時，函數值的增量相等，此時的函數模型是一次函數模型．
(2)增長速度越來越快， 即自變量增加相同量時，函數值的增量成倍增加，此時的函數模型是指數函數模型．
(3)增長速度越來越慢，即自變量增加相同量時，函數值的增量越來越小，此時的函數模型是對數函數模型．
[跟進訓練]
3．為了減少自身消費的碳排放，節省燃料．經多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(40≤v≤120)的數據關系如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
為描述Q與v的關系，現有以下三種模型供選擇：Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，
Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv．
(1)請選出你認為最符合實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；
(2)選擇一段長度為100 km的平坦高速路段進行測試，這輛車應以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
2．如表是函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此判斷它最可能的函數模型是(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函數模型 B．二次函數模型
C．指數函數模型 D．對數函數模型
3．三個變量y1，y2，y3隨變量x變化的數據如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
其中關于x呈指數增長的變量是________．
4．某工廠8年來某種產品總產量C與時間t(年)的函數關系如圖所示．
以下四種說法：
①前三年產量增長的速度越來越快；②前三年產量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產品停止生產；④第三年后產量保持不變．
其中說法正確的序號是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
如何描述三種函數模型的增長差異？
指數爆炸與生活哲學
指數函數的爆炸式增長源自指數運算的性質．對指數運算不熟悉的人，在估計指數運算的值時，可能會出現比較大的誤差．例如，你能猜出以下各指數運算的值大概是多少嗎？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如圖所示，有人還用上述這些指數運算的值形象地解釋了一些生活哲學，你覺得有道理嗎？
1.01365≈37.78
0.99365≈0.03
積跬步以至千里
積怠惰以至深淵1.02365≈1 377.41
1.01365≈37.78
多百分之一的努力
得千份收獲
1.01219×0.98146≈0.46
三天打魚兩天曬網
終將一無所獲
0.9550≈0.08
如果每次失敗的概率是95%
連續失敗50次的概率不到8%

展開更多......

收起↑