資源簡介

4.5　函數的應用(二)
4.5.1　函數的零點與方程的解
1．了解函數的零點、方程的解與圖象交點三者之間的聯系．(直觀想象)
2．了解函數零點存在定理、會判斷函數零點的個數．(邏輯推理)
請觀察下圖，這是氣象局測得的某地特殊一天的一張氣溫變化模擬函數圖(即一個連續不間斷的函數圖象)，由于圖象中有一段被不小心擦掉了，現在有人想了解一下當天7時到11時之間有無可能出現溫度是0攝氏度的時刻，你能幫助他嗎？
知識點1　函數的零點
(1)函數的零點
對于函數y＝f (x)，把使f (x)＝0的實數x叫做函數y＝f (x)的零點．
(2)方程、函數、函數圖象之間的關系
方程f (x)＝0有實數解 函數y＝f (x)的圖象與x軸有公共點 函數y＝f (x)有零點．
函數的零點是函數與x軸的交點嗎？
[提示]　不是．函數的零點不是一點，而是一個數，該數是函數圖象與x軸交點的橫坐標．
知識點2　函數零點存在定理
如果函數y＝f (x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f (a)f (b)<0，那么，函數y＝f (x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，這個c也就是方程f (x)＝0的解．
(1)定理要求具備兩個條件：①函數在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的；②f (a)f (b)<0．兩個條件缺一不可．
(2)利用函數零點存在定理只能判斷出零點是否存在，而不能確定零點的個數．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若f (a)·f (b)>0，則f (x)在[a，b]內無零點． (　　)
(2)設f (x)＝，由于f (－1)f (1)<0，所以f (x)＝在(－1，1)內有零點． (　　)
(3)若f (x)在(a，b)內有零點，則f (a)·f (b)<0． (　　)
(4)若函數f (x)的圖象在區間[a，b]上是一條連續不斷的曲線，且f (a)·f (b)<0，則f (x)在區間(a，b)內只有一個零點． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
類型1　求函數的零點
【例1】　(1)函數f (x)＝的零點為________；
(2)若函數f (x)＝ax－b(a≠0)的零點為3，則函數g(x)＝bx2＋ax的零點為________．
(1)－3和e2　(2)0和－　[(1)當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
當x>0時，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2．
所以函數f (x)＝的零點為－3和e2．
(2)由已知得f (3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a．
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝．所以函數g(x)的零點為0和－．]
　函數零點的求法
(1)代數法：求方程f (x)＝0的實數根．
(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以將它與函數y＝f (x)的圖象聯系起來．圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點．
[跟進訓練]
1．(1)若函數f (x)＝＋a的零點是1，則實數a＝________；
(2)函數f (x)＝(lg x)2－lg x的零點為________．
(1)－　(2)1和10　[(1)由f (1)＝＋a＝0得a＝－．
(2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10．]
類型2　確定函數零點所在的區間
【例2】　(1)函數f (x)＝ln (x＋1)－的零點所在的大致區間是(　　)
A．(3，4)　　　B．(2，e)　　　C．(1，2)　　　D．(0，1)
(2)根據表格內的數據，可以斷定方程ex－x－3＝0的一個根所在區間是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
(1)C　(2)C　[(1)因為f (1)＝ln 2－<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函數f (x)在(0，＋∞)上單調遞增，
所以函數的零點所在區間為(1，2)．故選C．
(2)構造函數f (x)＝ex－x－3，由上表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f (0)＝1－3＝－2<0，f (1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f (2)＝7.39－5＝2.39>0，f (3)＝20.08－6＝14.08>0，
f (1)·f (2)<0，所以方程的一個根所在區間為(1，2)，故選C．]
　判斷函數零點所在區間的3個步驟
(1)代入：將區間端點值代入函數求出函數的值．
(2)判斷：把所得的函數值相乘，并進行符號判斷．
(3)結論：若符號為正且函數在該區間內是單調函數，則在該區間內無零點，若符號為負且函數連續，則在該區間內至少有一個零點．
[跟進訓練]
2．若函數f (x)＝x＋(a∈R)在區間(1，2)上有零點，則a的值可能是(　　)
A．－2　　　B．0　　　C．1　　　D．3
A　[f (x)＝x＋(a∈R)的圖象在(1，2)上是連續不斷的，逐個選項代入驗證，當a＝－2時，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0．故f (x)在區間(1，2)上有零點，同理，其他選項不符合．故選A．]
類型3　函數零點個數問題
　判斷函數零點個數
【例3】　判斷下列函數零點的個數：
(1)f (x)＝x2－；
(2)f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2．
[解]　(1)法一：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函數f (x)＝x2－只有一個零點．
法二：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，設g(x)＝x2(x≠0)，h(x)＝(x≠0)，在同一坐標系中分別畫出函數g(x)和h(x)的圖象如圖所示．
由圖象可知，兩個函數圖象只有一個交點，故函數f (x)只有一個零點．
(2)法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，
f (2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0，
∴f (x)＝0在(0，2)上必定存在實根．
又f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在區間(－1，＋∞)上為增函數，故f (x)有且只有一個零點．
法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg (x＋1)，在同一平面直角坐標系中作出h(x)與g(x)的圖象如圖所示．
由圖象知g(x)＝lg (x＋1)和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一個公共點，即f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一個零點．
　根據零點個數求參數范圍
【例4】　函數f (x)＝若函數g(x)＝f (x)－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是(　　)
A．0C．b<0 D．－1思路導引：
B　[作出函數f (x)＝的圖象如圖所示．
令g(x)＝0，可得f (x)＝b，畫出直線y＝b，可得當－1　判斷函數零點個數的常用方法
(1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的個數就是函數f (x)零點的個數．
(2)圖象法：直接作出函數f (x)的圖象，圖象與x軸公共點的個數就是函數f (x)零點的個數．
(3)f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐標系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，則兩個圖象公共點的個數就是函數y＝f (x)零點的個數．
[跟進訓練]
3．(1)已知函數f (x)＝則函數g(x)＝f (x)＋x－3的零點個數為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)若函數y＝|x2－4x＋3|－a有兩個零點，則實數a的取值范圍是________．
(1)B　(2)a>1或a＝0　[(1)令g(x)＝0，得f (x)＝－x＋3，畫出函數f (x)和y＝－x＋3的圖象，如圖所示：
函數g(x)的零點個數即f (x)和y＝－x＋3的圖象的交點個數，結合圖象知有2個交點，故函數g(x)有2個零點．故選B．
(2)由題意知：函數y＝|x2－4x＋3|與y＝a的圖象有兩個交點，作出函數y＝|x2－4x＋3|的圖象，如圖所示．
若函數y＝|x2－4x＋3|與y＝a的圖象有兩個交點，則a>1或a＝0．所以實數a的取值范圍是a>1或a＝0．]
1．函數y＝2x－1的零點是(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．2
A　[由2x－1＝0得x＝．]
2．函數f (x)＝2x－的零點所在的區間是(　　)
A．(1，＋∞) 　　B．　　 C．　　 D．
B　[f (1)＝2－1＝1>0，f ＝－2＝－2<0，即f f (1)<0，且f (x)的圖象在內是一條連續不斷的曲線，故f (x)的零點所在的區間是．]
3．對于函數f (x)，若f (－1)·f (3)<0，則(　　)
A．方程f (x)＝0一定有實數解
B．方程f (x)＝0一定無實數解
C．方程f (x)＝0一定有兩實根
D．方程f (x)＝0可能無實數解
D　[∵函數f (x)的圖象在(－1，3)上未必連續，故盡管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x)＝0在(－1，3)上可能無實數解．故選D．]
4．二次函數y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則函數有________個零點．
2　[由Δ＝b2－4ac>0得二次函數y＝ax2＋bx＋c有兩個零點．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數的零點、相應方程的根及圖象之間存在怎樣的內在聯系？
[提示]　函數的零點、函數的圖象與x軸的交點、對應方程的根的關系：
2．函數零點存在定理滿足的條件有哪些？
[提示]　定理要求具備兩條：①函數在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線；②f (a)·f (b)<0．
3．探求函數零點個數的方法有哪些？
[提示]　解方程法；圖象交點個數法；定理法．4.5　函數的應用(二)
4.5.1　函數的零點與方程的解
1．了解函數的零點、方程的解與圖象交點三者之間的聯系．(直觀想象)
2．了解函數零點存在定理、會判斷函數零點的個數．(邏輯推理)
請觀察下圖，這是氣象局測得的某地特殊一天的一張氣溫變化模擬函數圖(即一個連續不間斷的函數圖象)，由于圖象中有一段被不小心擦掉了，現在有人想了解一下當天7時到11時之間有無可能出現溫度是0攝氏度的時候，你能幫助他嗎？
知識點1　函數的零點
(1)函數的零點
對于函數y＝f (x)，把使________________叫做函數y＝f (x)的零點．
(2)方程、函數、函數圖象之間的關系
方程f (x)＝0有實數解 函數y＝f (x)的圖象與________有公共點 函數y＝f (x)有________．
函數的零點是函數與x軸的交點嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　函數零點存在定理
如果函數y＝f (x)在區間[a，b]上的圖象是一條________的曲線，且有____________，那么，函數y＝f (x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得________，這個c也就是方程f (x)＝0的解．
(1)定理要求具備兩個條件：①函數在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的；②f (a)f (b)<0．兩個條件缺一不可．
(2)利用函數零點存在定理只能判斷出零點是否存在，而不能確定零點的個數．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若f (a)·f (b)>0，則f (x)在[a，b]內無零點． (　　)
(2)設f (x)＝，由于f (－1)f (1)<0，所以f (x)＝在(－1，1)內有零點． (　　)
(3)若f (x)在(a，b)內有零點，則f (a)·f (b) <0． (　　)
(4)若函數f (x)的圖象在區間[a，b]上是一條連續不斷的曲線，且f (a)·f (b)<0，則f (x)在區間(a，b)內只有一個零點． (　　)
類型1　求函數的零點
【例1】　(1)函數f (x)＝的零點為________；
(2)若函數f (x)＝ax－b(a≠0)的零點為3，則函數g(x)＝bx2＋ax的零點為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數零點的求法
(1)代數法：求方程f (x)＝0的實數根．
(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以將它與函數y＝f (x)的圖象聯系起來．圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點．
[跟進訓練]
1．(1)若函數f (x)＝＋a的零點是1，則實數a＝________；
(2)函數f (x)＝(lg x)2－lg x的零點為________．
類型2　確定函數零點所在的區間
【例2】　(1)函數f (x)＝ln (x＋1)－的零點所在的大致區間是(　　)
A．(3，4)　　　B．(2，e)　　　C．(1，2)　　　D．(0，1)
(2)根據表格內的數據，可以斷定方程ex－x－3＝0的一個根所在區間是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A．(－1，0)　　　B．(0，1)　　　C．(1，2)　　　D．(2，3)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷函數零點所在區間的3個步驟
(1)代入：將區間________代入函數求出函數的值．
(2)判斷：把所得的函數值________，并進行符號判斷．
(3)結論：若符號為________且函數在該區間內是單調函數， 則在該區間內無零點，若符號為________且函數連續，則在該區間內____________零點．
[跟進訓練]
2．若函數f (x)＝x＋(a∈R)在區間(1，2)上有零點，則a的值可能是(　　)
A．－2　　　B．0　　　C．1　　　D．3
類型3　函數零點個數問題
　判斷函數零點個數
【例3】　判斷下列函數零點的個數：
(1)f (x)＝x2－；
(2)f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根據零點個數求參數范圍
【例4】　函數f (x)＝若函數g(x)＝f (x)－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是(　　)
A．0C．b<0 D．－1思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷函數零點個數的常用方法
(1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的個數就是函數f (x)零點的個數．
(2)圖象法：直接作出函數f (x)的圖象，圖象與x軸公共點的個數就是函數f (x)零點的個數．
(3)f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐標系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，則兩個圖象公共點的個數就是函數y＝f (x)零點的個數．
[跟進訓練]
3．(1)已知函數f (x)＝則函數g(x) ＝f (x)＋x－3的零點個數為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)若函數y＝|x2－4x＋3|－a有兩個零點，則實數a的取值范圍是________．
1．函數y＝2x－1的零點是(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．2
2．函數f (x)＝2x－的零點所在的區間是(　　)
A．(1，＋∞) 　　B．　　 C．　　 D．
3．對于函數f (x)，若f (－1)·f (3)<0，則(　　)
A．方程f (x)＝0一定有實數解
B．方程f (x)＝0一定無實數解
C．方程f (x)＝0一定有兩實根
D．方程f (x)＝0可能無實數解
4．二次函數y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則函數有________個零點．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數的零點、相應方程的根及圖象之間存在怎樣的內在聯系？
2．函數零點存在定理滿足的條件有哪些？
3．探求函數零點個數的方法有哪些？4.5.2　用二分法求方程的近似解
1．通過具體實例理解二分法的概念及其使用條件．(數學抽象)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計算器用二分法求方程的近似解．(邏輯推理、數學運算)
在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障，這是一條10 km長的線路，如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多．每查一個點要爬一次電線桿子，10 km長的線路大約有200多根電線桿子．可是維修線路的工人師傅只要至多爬7次電線桿子就能把故障排除了．
問題：你知道他是如何做到的嗎？
知識點1　二分法的定義
對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f (a)f (b)<0的函數y＝f (x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
若函數y＝f (x)在定義域內有零點，該零點是否一定能用二分法求解？
[提示]　不一定．二分法只適用于函數的變號零點(即函數在零點兩側符號相反)，因此函數在零點兩側同號的零點不能用二分法求解，如f (x)＝(x－1)2的零點就不能用二分法求解．
知識點2　二分法求函數零點近似值的步驟
(1)確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f (a)f (b)＜0．
(2)求區間(a，b)的中點c．
(3)計算f (c)，并進一步確定零點所在的區間：
①若f (c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點；
②若f (a)f (c)＜0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；
③若f (c)f (b)＜0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c．
(4)判斷是否達到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)
(2)函數f (x)＝|x|可以用二分法求零點． (　　)
(3)用二分法求函數零點的近似值時，每次等分區間后，零點必定在右側區間內． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
類型1　二分法概念的理解
【例1】　(1)(多選)下列函數圖象與x軸均有交點，其中能用二分法求圖中函數零點的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
(2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零點，但不能用二分法求出，則c的值是(　　)
A．9　　　B．8　　　C．7　　　D．6
(1)ACD　(2)A　[(1)二分法的理論依據是零點存在定理，必須滿足零點兩側函數值異號才能求解．而選項B圖中零點兩側函數值同號，即曲線經過零點時不變號，稱這樣的零點為不變號零點．另外，選項A，C，D零點兩側函數值異號，稱這樣的零點為變號零點．故選ACD．
(2)由題意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9．故選A．]
　運用二分法求函數的零點應具備的2個條件
(1)函數圖象在零點附近連續不斷．
(2)在該零點左右函數值異號．
只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數零點．
[跟進訓練]
1．(多選)下列關于函數y＝f (x)，x∈[a，b]的敘述中，正確的是(　　)
A．二分法既是一種求值方法，又是一種解決實際問題的思想，有著廣泛應用
B．若x0是f (x)在區間[a，b]上的零點，則可用二分法求x0的近似值
C．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位
D．用二分法求方程的根時，得到的都是近似值
AC　[結合二分法的原理可知AC正確．]
類型2　用二分法求方程的近似解
【例2】　用二分法求2x＋x＝4在區間(1，2)內的近似解(精確度為0.2)．
參考數據：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[解]　令f (x)＝2x＋x－4，
則f (1)＝2＋1－4<0，f (2)＝22＋2－4>0．
區間 區間中點值xn f (xn)的值及符號
(1，2) x1＝1.5 f (x1)＝0.33>0
(1，1.5) x2＝1.25 f (x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f (x3)＝－0.035<0
(1.375，1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在區間(1，2)內的近似解可取為1.375．
　利用二分法求方程近似解的過程圖示
[跟進訓練]
2．(多選)用二分法求函數f (x)＝5x＋7x－2的一個零點，其參考數據如下：
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f (x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根據上述數據，可得f (x)＝5x＋7x－2的一個零點近似值(精確度0.05)為(　　)
A．0.625　　B．0.093 75　　C．0.125　　D．0.096
BCD　[已知f (0.093 75)<0，f (0.125)>0，則函數f (x)的零點的初始區間為(0.093 75，0.125)，所以零點在區間(0.093 75，0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合題意．]
1．用二分法求函數y＝f (x)在區間[2，4]上的唯一零點的近似值時，驗證f (2)f (4)<0，取區間(2，4)的中點x1＝＝3，計算得f (2)f (x1)<0，則此時零點x0所在的區間是(　　)
A．(2，4) 　　B．(2，3)　　C．(3，4) 　　D．無法確定
[答案]　B
2．已知函數f (x)的圖象如圖所示，其中零點的個數與可以用二分法求解的零點的個數分別為(　　)
A．4，4　　B．3，4　　 C．5，4　　D．4，3
D　[圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數為4；左右函數值異號的零點有3個，所以可以用二分法求解的零點的個數為3．故選D．]
3．用二分法求函數f (x)在區間(a，b)內的唯一零點時，精確度為0.001，則結束計算的條件是(　　)
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
B　[據二分法的步驟知當區間長度|a－b|小于精確度ε時，便可結束計算．故選B．]
4．用二分法求函數f (x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：
x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f (x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
據此數據，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解(精確度為0.01)可取________．(答案不唯一)
1.56　[f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)<0，
且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，
∴區間(1.556 2，1.562 5)內的任意實數均是函數f (x)的零點，不妨取1.56．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是什么？
[提示]　函數圖象在零點附近是連續不斷的，且該零點為變號零點．
2．用二分法求方程的近似解，如何決定步驟的結束？
[提示]　當零點所在區間的兩個端點值之差的絕對值小于精確度時，二分法步驟結束．
3．用二分法求方程的近似解時，精確度不同對零點有影響嗎？
[提示]　精確度決定步驟的始終，故精確度不同，零點可能會不同．
二分法在搜索中的應用
日常生活中，我們經常要利用計算機、網絡來搜索信息．二分法在搜索的過程中扮演著非常重要的角色．
下圖中的15個數是按從小到大排列的．
2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77
如果隨機給出一個不大于100的自然數x，要讓計算機查找x是否在上面這列數中，設計怎樣的查找方法，才能保證不管給出的是什么數，都能在指定的步驟內查到結果呢？
如果讓計算機將x逐一與圖中的數去比較，那么在有些情況下，只要比較1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情況下，卻要比較15次才能完成任務(例如x＝80)．
如果我們用二分法的思想來查找，情況就不一樣了：每一次都讓x與序列中正中間的數進行大小比較，通過這種方式縮小其可能的位置范圍．例如，x＝13時的查找過程可用下圖表示．
由此不難看出，不管給出的是什么數，最多4次就能完成任務．
計算機中的很多搜索程序都是用類似方法編寫的，而且二分法在故障排除、實驗設計方面都有應用，感興趣的同學去查閱有關書籍和網站吧！4.5.2　用二分法求方程的近似解
1．通過具體實例理解二分法的概念及其使用條件．(數學抽象)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計算器用二分法求方程的近似解．(邏輯推理、數學運算)
在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障，這是一條10 km長的線路，如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多．每查一個點要爬一次電線桿子，10 km 長的線路大約有200多根電線桿子．可是維修線路的工人師傅只要至多爬7次電線桿子就能把故障排除了．
問題：你知道他是如何做到的嗎？
知識點1　二分法的定義
對于在區間[a，b]上圖象_______且_______的函數y＝f (x)，通過不斷地把它的零點所在區間________，使所得區間的兩個端點逐步逼近________，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
若函數y＝f (x)在定義域內有零點，該零點是否一定能用二分法求解？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　二分法求函數零點近似值的步驟
(1)確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f (a)f (b)＜0．
(2)求區間(a，b)的中點c．
(3)計算f (c)，并進一步確定零點所在的區間：
①若f (c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點；
②若f (a)f (c)＜0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；
③若f (c)f (b)＜0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c．
(4)判斷是否達到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)
(2)函數f (x)＝|x|可以用二分法求零點． (　　)
(3)用二分法求函數零點的近似值時，每次等分區間后，零點必定在右側區間內． (　　)
類型1　二分法概念的理解
【例1】　(1)(多選)下列函數圖象與x軸均有交點，其中能用二分法求圖中函數零點的是(　　)
A　 　　　B　　　　C　　 　D
(2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零點，但不能用二分法求出，則c的值是(　　)
A．9　　　B．8　　　C．7　　　D．6
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　運用二分法求函數的零點應具備的2個條件
(1)函數圖象在零點附近連續不斷．
(2)在該零點左右函數值異號．
只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數零點．
[跟進訓練]
1．(多選)下列關于函數y＝f (x)，x∈[a，b]的敘述中，正確的是(　　)
A．二分法既是一種求值方法，又是一種解決實際問題的思想，有著廣泛應用
B．若x0是f (x)在區間[a，b]上的零點，則可用二分法求x0的近似值
C．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位
D．用二分法求方程的根時，得到的都是近似值
類型2　用二分法求方程的近似解
【例2】　用二分法求2x＋x＝4在區間(1，2)內的近似解(精確度為0.2)．
參考數據：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用二分法求方程近似解的過程圖示
[跟進訓練]
2．(多選)用二分法求函數f (x)＝5x＋7x－2的一個零點，其參考數據如下：
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f (x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根據上述數據，可得f (x)＝5x＋7x－2的一個零點近似值(精確度0.05)為(　　)
A．0.625 B．0.093 75
C．0.125 D．0.096
1．用二分法求函數y＝f (x)在區間[2，4]上的唯一零點的近似值時，驗證f (2)f (4)<0，取區間(2，4)的中點x1＝＝3，計算得f (2)f (x1)<0，則此時零點x0所在的區間是(　　)
A．(2，4) B．(2，3)
C．(3，4) D．無法確定
2．已知函數f (x)的圖象如圖所示，其中零點的個數與可以用二分法求解的零點的個數分別為(　　)
A．4，4　　　B．3，4　　　C．5，4　　　D．4，3
3．用二分法求函數f (x)在區間(a，b)內的唯一零點時，精確度為0.001，則結束計算的條件是(　　)
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
4．用二分法求函數f (x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：
x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f (x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
據此數據，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解(精確度為0.01)可取________．(答案不唯一)
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是什么？
2．用二分法求方程的近似解，如何決定步驟的結束？
3．用二分法求方程的近似解時，精確度不同對零點有影響嗎？
二分法在搜索中的應用
日常生活中，我們經常要利用計算機、網絡來搜索信息．二分法在搜索的過程中扮演著非常重要的角色．
下圖中的15個數是按從小到大排列的．
2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77
如果隨機給出一個不大于100的自然數x，要讓計算機查找x是否在上面這列數中，設計怎樣的查找方法，才能保證不管給出的是什么數，都能在指定的步驟內查到結果呢？
如果讓計算機將x逐一與圖中的數去比較，那么在有些情況下，只要比較1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情況下，卻要比較15次才能完成任務(例如x＝80)．
如果我們用二分法的思想來查找，情況就不一樣了：每一次都讓x與序列中正中間的數進行大小比較，通過這種方式縮小其可能的位置范圍．例如，x＝13時的查找過程可用下圖表示．
由此不難看出，不管給出的是什么數，最多4次就能完成任務．
計算機中的很多搜索程序都是用類似方法編寫的，而且二分法在故障排除、實驗設計方面都有應用，感興趣的同學去查閱有關書籍和網站吧！4.5.3　函數模型的應用
1．會利用已知函數模型解決實際問題．(數學運算)
2．能建立函數模型解決實際問題．(數學建模)
3．了解擬合函數模型并解決實際問題．(數據分析)
兔子是一種可愛的動物，尤其很受小朋友的喜愛．但是這樣的兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數量不斷增加，不到100年，兔子們占領了整個澳大利亞，數量達到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至20世紀五十年代，科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．
兔子為什么會如此快地從幾只增長到75億只呢？原來在理想的環境中，種群數量呈指數增長；在有限制的環境中，種群數量呈對數增長．
知識點　常見函數模型
一次函數模型 y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)
二次函數模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
指數函數模型 y＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
對數函數模型 y＝mlogax＋n(m，a，n為常數，m≠0，a>0且a≠1)
冪函數模型 y＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
分段函數模型 y＝
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)銀行利率、細胞分裂等增長率問題可以用指數函數模型來表述． (　　)
(2)在函數建模中，散點圖可以幫助我們選擇恰當的函數模型． (　　)
(3)在選擇實際問題的函數模型時，必須使所有的數據完全符合該函數模型． (　　)
(4)用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無存在意義了． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3) ×　(4) ×
類型1　利用已知函數模型解決實際問題
【例1】　(2022·江西贛州月考)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為L＝，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G0表示衰減速度．已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓練迭代輪數至少為(參考數據：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．72　　　B．74　　　C．76　　　D．78
B　[由于L＝，所以L＝，
依題意0.4＝，則D＝，L＝0.5×．
由L＝0.5×<0.2，得
≈73.9，
所以所需的訓練迭代輪數至少為74次．故選B．]
　已知函數模型解決實際問題，往往給出的函數解析式含有參數，需要將題中的數據代入函數模型，求得函數模型中的參數，再將問題轉化為已知函數解析式求函數值或自變量的值．
[跟進訓練]
1．(2022·河南新鄉期中)塑料主要分為可降解塑料和不可降解塑料，其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解，而可降解塑料只需5～8年就可完全分解．現有某種可降解塑料的分解率y與時間x(月)近似滿足函數關系式y＝mnx(其中m，n為非零常數)．當經過28個月時，這種可降解塑料的分解率為10%，當經過56個月時，這種可降解塑料的分解率為50%，則這種可降解塑料完全分解(分解率為100%)至少需要經過(參考數據：取lg 2＝0.3)(　　)
A．86個月　　B．80個月　　C．68個月　　D．60個月
C　[由題意得得
所以y＝．令y＝＝1，得＝50，所以x＝28log550＝28(log525＋log52)＝28＝28＝68．
故選C．]
類型2　自建確定性函數模型解決實際問題
【例2】　(2022·浙江杭州期末)根據專家對高一學生上課注意力進行的研究，發現注意力集中程度的指數p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當t∈(0，12]時，曲線是二次函數圖象的一部分，其中頂點A(10，80)，且過點B(12，78)；當t∈(12，40]時，曲線是函數p＝loga(t－7)＋79(0(1)試求p＝f (t)的函數關系式；
(2)若不是聽課效果最佳，建議老師多提問，增加學生活動環節，問在什么時間段老師多提問，增加學生活動環節？
[解]　(1) t∈(0，12]，p＝f (t)＝m(t－10)2＋80，
將(12，78)代入得m＝－．
所以t∈(0，12]時，
p＝f (t)＝－(t－10)2＋80．
將(12，78)代入p＝f (t)＝loga(t－7)＋79得a＝，
所以t∈(12，40]時，p＝f (t)＝＋79．
所以p＝f (t)＝
(2)當t∈(0，12]時，由－(t－10)2＋80≥77得10－≤t≤12．
當t∈(12，40]時，由＋79≥77得12所以當t∈(0，10－)和(32，40]這兩個時間段時老師多提問，增加活動環節．
　自建模型時主要抓住四個關鍵：“求什么，設什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務．
設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設核心因素為自變量．
列什么就是把問題已知條件用所設變量表示出來，可以是方程、函數、不等式等．
限制什么主要是指自變量所應滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等．
[跟進訓練]
2．據觀測統計，某濕地公園某種珍稀鳥類的現有個數約1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個數；
(2)寫出y(珍稀鳥類的個數)關于x(經過的年數)的函數關系式；
(3)約經過多少年以后，這種鳥類的個數達到現有個數的3倍或以上？(結果為整數)(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　(1)依題意，一年后這種鳥類的個數為
1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，
兩年后這種鳥類的個數為1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．
(2)由題意可知珍稀鳥類的現有個數約1 000只，并以平均每年8%的速度增加，則所求的函數關系式為y＝1 000×1.08x，x∈N．
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，兩邊取常用對數得
lg 1.08x≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3，
考慮到lg 1.08>0，故x≥，
故x≥，
因為lg 108＝lg (33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥≈≈14.3．約經過15年以后，這種鳥類的個數達到現有個數的3倍或以上．
類型3　擬合數據構建函數模型解決實際問題
【例3】　(2022·廈門期末)在密閉培養環境中，某類細菌的繁殖速度在初期會較快，隨著單位體積內細菌數量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量y(單位：百萬個)與培養時間x(單位：時)的關系為：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根據表格中的數據畫出散點圖如下：
為了描述從第2小時開始細菌數量隨時間變化的關系，現有以下三種模型供選擇：
①y＝alog2x＋b，②y＝a＋b，③y＝2x－a＋b．
(1)選出你認為最符合實際的函數模型，并說明理由；
(2)利用(4，4)和(8，4.5)這兩組數據求出你選擇的函數模型的解析式，并預測從第2小時開始，至少再經過多少個小時，細菌數量達到5百萬個．
[解]　(1)依題意，所選函數必須滿足三個條件：
①定義域包含[2，＋∞)；
②增函數；
③隨著自變量的增加，函數值的增長速度變小．
因為函數y＝a＋b的定義域為[3，＋∞)，x＝2時無意義，故不符合實際的函數模型；函數y＝2x－a＋b隨著自變量的增加，函數值的增長速度變大，故不符合實際的函數模型．因為函數y＝alog2x＋b可以同時符合上述條件，所以應該選擇函數y＝alog2x＋b．
(2)依題意知
解得所以y＝log2x＋3．
令y＝log2x＋3≥5，解得x≥16．
所以，至少再經過14個小時，細菌數量達到5百萬個．
　函數擬合與預測的一般步驟
(1)根據原始數據、表格，繪出散點圖．
(2)通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線．
(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式．
(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．
[跟進訓練]
3．數據顯示，某新創業的IT公司2022年上半年五個月的收入情況如表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入/萬元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根據上述數據，在建立該公司2022年月收入y(萬元)與月份x的函數模型時，給出兩個函數模型y＝與y＝供選擇．
(1)你認為哪個函數模型較好，建立坐標系畫出散點圖，并結合散點圖簡單說明理由；
(2)試用你認為較好的函數模型，分析大約從第幾個月開始，該公司的月收入會超過100萬元？(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1；月份取整數)
[解]　(1)根據表格提供的數據，畫出散點圖以及函數y＝與y＝的圖象：
觀察發現，這些點基本上是落在函數y＝圖象上或附近，因此用y＝這一函數模型．
(2)當＝100時，2x＝300，
∵28＝256<300，29＝512>300，且1≤x≤12，x∈N，∴x＝9，
∴大約在9月份該公司的月收入會超過100萬元．
1．某研究小組在一項實驗中獲得一組關于y，t的數據，將其整理得到如圖所示的散點圖．下列函數中，最能近似刻畫y與t之間關系的是(　　)
A．y＝2t　　B．y＝2t2　　C．y＝t3　　D．y＝log2t
D　[由題圖知，該函數可能是y＝log2t．故選D．]
2．據報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內減少了5%，如果按此速度，設2021年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m，則從2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數關系式是(　　)
A．y＝·m
B．y＝·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
A　[設北冰洋每年冬季冰雪覆蓋面積為上一年的q%．由題意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝，所以從2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數關系式為y＝·m．故選A．]
3．在一次數學實驗中，采集到如下一組數據：
x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
則下列函數(其中a，b為待定系數)中，與x，y的函數關系最接近的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝bx
C．y＝ax2＋b D．y＝
B　[散點圖如圖：
由散點圖可知，此函數圖象不是直線，排除A；此函數圖象是上升的，是增函數，排除C，D．故選B．]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數是________(lg 2≈0.301 0)．
4　[設至少要洗x次，則≤，
所以x≥≈3.322，
所以至少需清洗4次．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
解決函數應用問題的基本步驟是什么？
[提示]　利用函數知識和函數觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：
(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原．
這些步驟用框圖表示如圖：4.5.3　函數模型的應用
1．會利用已知函數模型解決實際問題．(數學運算)
2．能建立函數模型解決實際問題．(數學建模)
3．了解擬合函數模型并解決實際問題．(數據分析)
兔子是一種可愛的動物，尤其很受小朋友的喜愛．但是這樣的兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數量不斷增加，不到100年，兔子們占領了整個澳大利亞，數量達到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至20世紀五十年代，科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．
兔子為什么會如此快地從幾只增長到75億只呢？原來在理想的環境中，種群數量呈指數增長；在有限制的環境中，種群數量呈對數增長．
知識點　常見函數模型
一次函數模型 y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)
二次函數模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
指數函數模型 y＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
對數函數模型 y＝mlogax＋n(m，a，n為常數，m≠0，a>0且a≠1)
冪函數模型 y＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
分段函數模型 y＝
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)銀行利率、細胞分裂等增長率問題可以用指數函數模型來表述． (　　)
(2)在函數建模中，散點圖可以幫助我們選擇恰當的函數模型． (　　)
(3)在選擇實際問題的函數模型時，必須使所有的數據完全符合該函數模型． (　　)
(4)用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無存在意義了． (　　)
類型1　利用已知函數模型解決實際問題
【例1】　(2022·江西贛州月考)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為L＝，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G0表示衰減速度．已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓練迭代輪數至少為(參考數據：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．72　　　B．74　　　C．76　　　D．78
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知函數模型解決實際問題，往往給出的函數解析式含有參數，需要將題中的數據代入函數模型，求得函數模型中的參數，再將問題轉化為已知函數解析式求函數值或自變量的值．
[跟進訓練]
1．(2022·河南新鄉期中)塑料主要分為可降解塑料和不可降解塑料，其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解，而可降解塑料只需5～8年就可完全分解．現有某種可降解塑料的分解率y與時間x(月)近似滿足函數關系式y＝mnx(其中m，n為非零常數)．當經過28個月時，這種可降解塑料的分解率為10%，當經過56個月時，這種可降解塑料的分解率為50%，則這種可降解塑料完全分解(分解率為100%)至少需要經過(參考數據：取lg 2＝0.3)(　　)
A．86個月 B．80個月
C．68個月 D．60個月
類型2　自建確定性函數模型解決實際問題
【例2】　(2022·浙江杭州期末)根據專家對高一學生上課注意力進行的研究，發現注意力集中程度的指數p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當t∈(0，12]時，曲線是二次函數圖象的一部分，其中頂點A(10，80)，且過點B(12，78)；當t∈(12，40]時，曲線是函數p＝loga(t－7)＋79(0(1)試求p＝f (t)的函數關系式；
(2)若不是聽課效果最佳，建議老師多提問，增加學生活動環節，問在什么時間段老師多提問，增加學生活動環節？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　自建模型時主要抓住四個關鍵：“求什么，設什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務．
設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設核心因素為自變量．
列什么就是把問題已知條件用所設變量表示出來，可以是方程、函數、不等式等．
限制什么主要是指自變量所應滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等．
[跟進訓練]
2．據觀測統計，某濕地公園某種珍稀鳥類的現有個數約1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個數；
(2)寫出y(珍稀鳥類的個數)關于x(經過的年數)的函數關系式；
(3)約經過多少年以后，這種鳥類的個數達到現有個數的3倍或以上？(結果為整數)(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　擬合數據構建函數模型解決實際問題
【例3】　(2022·廈門期末)在密閉培養環境中，某類細菌的繁殖速度在初期會較快，隨著單位體積內細菌數量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量y(單位：百萬個)與培養時間x(單位：時)的關系為：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根據表格中的數據畫出散點圖如下：
為了描述從第2小時開始細菌數量隨時間變化的關系，現有以下三種模型供選擇：
①y＝alog2x＋b，②y＝a＋b，③y＝2x－a＋b．
(1)選出你認為最符合實際的函數模型，并說明理由；
(2)利用(4，4)和(8，4.5)這兩組數據求出你選擇的函數模型的解析式，并預測從第2小時開始，至少再經過多少個小時，細菌數量達到5百萬個．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數擬合與預測的一般步驟
(1)根據原始數據、表格，繪出________．
(2)通過觀察散點圖，畫出________________________．
(3)求出擬合直線或擬合曲線的_________________________________________．
(4)利用____________，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．
[跟進訓練]
3．數據顯示，某新創業的IT公司2022年上半年五個月的收入情況如表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入/萬元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根據上述數據，在建立該公司2022年月收入y(萬元)與月份x的函數模型時，給出兩個函數模型y＝與y＝供選擇．
(1)你認為哪個函數模型較好，建立坐標系畫出散點圖，并結合散點圖簡單說明理由；
(2)試用你認為較好的函數模型，分析大約從第幾個月開始，該公司的月收入會超過100萬元？(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1；月份取整數)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某研究小組在一項實驗中獲得一組關于y，t的數據，將其整理得到如圖所示的散點圖．下列函數中，最能近似刻畫y與t之間關系的是(　　)
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
2．據報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內減少了5%，如果按此速度，設2021年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m，則從2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數關系式是(　　)
A．y＝·m
B．y＝·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
3．在一次數學實驗中，采集到如下一組數據：
x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
則下列函數(其中a，b為待定系數)中，與x，y的函數關系最接近的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝bx
C．y＝ax2＋b D．y＝
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數是________(lg 2≈0.301 0)．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
解決函數應用問題的基本步驟是什么？

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