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第4章 章末綜合提升
類型1　指數與對數的運算
1．本章主要學習了指數冪的運算、對數的運算性質及換底公式，其中指數與對數的互化、應用相應運算性質化簡、求值是考查的重點．
2．掌握指數與對數的運算性質，提升數學運算素養．
【例1】　(1)(多選)(2022·云南師大附中期中)下列計算正確的是(　　)
A．－(6)0－＝－1
B．＋ln (ln e)＝7
C．log23×log34＝log67
D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
(2)(2022·江蘇礦大附中月考)若實數a，b，c滿足3a＝4，4b＝5，5c＝9，則abc＝________．
(1)ABD　(2)2　[(1)對于A中，原式＝－1－＝－1，所以A正確；
對于B中，原式＝＋ln (ln e)＝7＋0＝7，所以B正確；
對于C中，原式＝××＝2，所以C錯誤；
對于D中，原式＝lg 52＋lg 23
－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，所以D正確．故選ABD．
(2)因為3a＝4，4b＝5，5c＝9，
所以a＝log34，b＝log45，c＝log59，
故abc＝log34×log45×log59，
由換底公式可得：abc＝log34××＝log39＝2．]
類型2　指數函數、對數函數的圖象及應用
1．函數y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關于直線y＝x對稱，前者恒過(0，1)點，后者恒過(1，0)點，兩函數的單調性均由底數a決定．在解題中要注意由翻折、平移等變換得出的函數圖象．
2．掌握指數函數、對數函數圖象的作法以及簡單的圖象平移、翻折變換，提升直觀想象和邏輯推理素養．
【例2】　(1)已知a>0且a≠1，則函數f (x)＝ax和g(x)＝loga的圖象只可能是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)已知函數f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b為常數)的圖象如圖，則下列結論正確的是(　　)
A．a>0，b<－1 B．a>0，－1C．0(1)C　(2)D　[(1)函數g(x)的定義域是(－∞，0)，排除A，B；若01，則f (x)＝ax是增函數，此時g(x)＝是增函數，C滿足．故選C．
(2)因為函數f (x)＝loga(x－b)為減函數，所以00，即b>－1，
又因為函數圖象與y軸有交點，所以b<0，所以－1類型3　指數函數、對數函數的性質及應用
1．以函數的性質為依托，結合運算考查函數的圖象性質，以及利用性質進行大小比較、方程和不等式求解等．在解含對數式的方程或不等式時，不能忘記對數中真數大于0，以免出現增根或擴大范圍．
2．掌握指數函數、對數函數的圖象及性質，提升數學運算和邏輯推理素養．
【例3】　(1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)設函數f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，則f (x)是(　　)
A．奇函數，且在(0，1)上是增函數
B．奇函數，且在(0，1)上是減函數
C．偶函數，且在(0，1)上是增函數
D．偶函數，且在(0，1)上是減函數
(3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數f (x)＝logax在區間[a，3a]上的最大值與最小值之差為1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函數y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)C　(2)A　[(1)因為0對于A，函數y＝3x在R上單調遞增，故3x<3y，A錯誤．
對于B，根據底數a對對數函數y＝logax的影響：當0logy3，B錯誤．
對于C，函數y＝log4x在(0，＋∞)上單調遞增，故log4x對于D，函數y＝在R上單調遞減，故，D錯誤．故選C．
(2)由題意可得，函數f (x)的定義域為(－1，1)，且f (－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f (x)，故f (x)為奇函數．又f (x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0，1)上為增函數，故f (x)在(0，1)上為增函數．]
(3)[解]?、僖驗閘oga3>loga2，所以f (x)＝logax在[a，3a]上為增函數．
又f (x)在[a，3a]上的最大值與最小值之差為1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3．
②函數y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－＋2＝＋．
令t＝log3x，因為1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1．
所以y＝＋∈
．
類型4　函數的零點與方程的根
1．函數的零點就是相應方程的根，是相應函數圖象與x軸交點的橫坐標．因此，判斷函數零點的個數問題常轉化為方程根的求解或兩函數圖象交點個數問題．零點存在定理是判斷函數是否存在零點的一種方式，注意其使用條件：(1)連續性；(2)異號性．
2．掌握函數零點存在定理及轉化思想，提升邏輯推理和直觀想象素養．
【例4】　(1)方程的根x0所在的區間為(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)已知函數f (x)＝其中m＞0．若存在實數b，使得關于x的方程f (x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．
(1)B　(2)(3，＋∞)　[(1)令f (x)＝－，易知f (x)在R上單調遞增，f (1)＝－<0，f (2)＝2－>0，
∴f (1)·f (2)<0，∴f (x)在(1，2)上有零點．故選B．
(2)如圖，當x≤m時，f (x)＝|x|．
當x＞m時，f (x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)為增函數．
若存在實數b，使方程f (x)＝b有三個不同的根，
則m2－2m·m＋4m＜|m|．
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3．
故m的取值范圍為(3，＋∞)．]
類型5　函數的實際應用
1．本章主要學習了兩類函數模型：一類是指數型函數模型，通常可表示為y＝a(1＋p)x(其中a為原來的基數，p為增長率，x為時間)；另一類是對數型函數模型，通?？杀硎緸閥＝mlogax＋n(m，n，a為常數，a>0，a≠1，m≠0)．解決的關鍵是依據實際情況所提供的數據求得相應解析式，然后利用相應解析式解決實際問題．
2．掌握函數建模方法，提升數學建模素養．
【例5】　某工廠生產過程中產生的廢氣必須經過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量p(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時)之間的關系為p(t)＝p0e－kt(式中的e為自然對數的底數，p0為污染物的初始含量)．過濾1小時后，檢測發現污染物的含量減少了．
(1)求函數關系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超過初始值的，至少需過濾幾個小時？(參考數據：lg 2≈0.3)
[解]　(1)根據題意，得p0＝p0e－k，
∴e－k＝，∴p(t)＝p0．
(2)由p(t)＝p0≤p0，
得≤10-3，兩邊取對數并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30．
因此，至少需過濾30個小時．第4章 章末綜合提升
類型1　指數與對數的運算
1．本章主要學習了指數冪的運算、對數的運算性質及換底公式，其中指數與對數的互化、應用相應運算性質化簡、求值是考查的重點．
2．掌握指數與對數的運算性質，提升數學運算素養．
【例1】　(1)(多選)(2022·云南師大附中期中)下列計算正確的是(　　)
A．－(6)0－＝－1
B．＋ln (ln e)＝7
C．log23×log34＝log67
D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
(2)(2022·江蘇礦大附中月考)若實數a，b，c滿足3a＝4，4b＝5，5c＝9，則abc＝______．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　指數函數、對數函數的圖象及應用
1．函數y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關于直線y＝x對稱，前者恒過(0，1)點，后者恒過(1，0)點，兩函數的單調性均由底數a決定．在解題中要注意由翻折、平移等變換得出的函數圖象．
2．掌握指數函數、對數函數圖象的作法以及簡單的圖象平移、翻折變換，提升直觀想象和邏輯推理素養．
【例2】　(1)已知a>0且a≠1，則函數f (x)＝ax和g(x)＝loga的圖象只可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
(2)已知函數f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b為常數)的圖象如圖，則下列結論正確的是(　　)
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．0[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　指數函數、對數函數的性質及應用
1．以函數的性質為依托，結合運算考查函數的圖象性質，以及利用性質進行大小比較、方程和不等式求解等．在解含對數式的方程或不等式時，不能忘記對數中真數大于0，以免出現增根或擴大范圍．
2．掌握指數函數、對數函數的圖象及性質，提升數學運算和邏輯推理素養．
【例3】　(1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)設函數f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，則f (x)是(　　)
A．奇函數，且在(0，1)上是增函數
B．奇函數，且在(0，1)上是減函數
C．偶函數，且在(0，1)上是增函數
D．偶函數，且在(0，1)上是減函數
(3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數f (x)＝logax在區間[a，3a]上的最大值與最小值之差為1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函數y＝(logax)2－loga＋2的值域．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型4　函數的零點與方程的根
1．函數的零點就是相應方程的根，是相應函數圖象與x軸交點的橫坐標．因此，判斷函數零點的個數問題常轉化為方程根的求解或兩函數圖象交點個數問題．零點存在定理是判斷函數是否存在零點的一種方式，注意其使用條件：(1)連續性；(2)異號性．
2．掌握函數零點存在定理及轉化思想，提升邏輯推理和直觀想象素養．
【例4】　(1)方程＝的根x0所在的區間為(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)已知函數f (x)＝其中m＞0．若存在實數b，使得關于x的方程f (x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型5　函數的實際應用
1．本章主要學習了兩類函數模型：一類是指數型函數模型，通常可表示為y＝a(1＋p)x(其中a為原來的基數，p為增長率，x為時間)；另一類是對數型函數模型，通?？杀硎緸閥＝mlogax＋n(m，n，a為常數，a>0，a≠1，m≠0)．解決的關鍵是依據實際情況所提供的數據求得相應解析式，然后利用相應解析式解決實際問題．
2．掌握函數建模方法，提升數學建模素養．
【例5】　某工廠生產過程中產生的廢氣必須經過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量p(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時)之間的關系為p(t)＝p0e－kt(式中的e為自然對數的底數，p0為污染物的初始含量)．過濾1小時后，檢測發現污染物的含量減少了．
(1)求函數關系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超過初始值的，至少需過濾幾個小時？(參考數據：lg 2≈0.3)
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