資源簡介

5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1．了解任意角的概念，能正確區分正角、零角和負角．(數學抽象)
2．理解象限角的意義，掌握終邊相同的角的意義與表示．(數學抽象)
在生活中，擰緊螺絲時，需要將扳手順時針方向旋轉；擰松螺絲時，需要將扳手逆時針方向旋轉，可以旋轉一圈，也可以旋轉多圈．為了描述這種現象，需要對角的概念進行推廣．
知識點1　角的概念與分類
(1)角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．
(2)角的分類
類型 定義 圖示
正角 按逆時針方向旋轉形成的角
負角 按順時針方向旋轉形成的角
零角 射線OA沒有做任何旋轉，終邊OB與OA重合
知識點2　角的加法與減法
設α，β是任意兩個角，－α為角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的終邊旋轉角β．
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知識點3　象限角
把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限．
知識點4　終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．
終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？
[提示]　終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數倍；相等的角，終邊相同．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)－30°是第四象限角． (　　)
(2)第二象限角是鈍角． (　　)
(3)225°是第三象限角． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．下圖中從OA旋轉到OB，OB1，OB2時所成的角度分別是________、________、________．
圖(1)　　　　　　　　　圖(2)
[答案]　390°　－150°　60°
3．如圖(1)，∠AOC＝________；如圖(2)，∠AOC＝________．
圖(1)　　　　　　圖(2)
[答案]　110°　－70°
類型1　任意角的概念
【例1】　(1)下列結論：
①始邊相同而終邊不同的角一定不相等；
②小于90°的角是第一象限角；
③鈍角比第三象限角小；
④角α與－α的終邊關于x軸對稱．
其中正確的結論為________(填序號)．
(2)如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉60°到OB處，再按順時針方向旋轉820°至OC處，則β＝__________．
(1)①④　(2)－40°　[(1)①正確；②錯誤，如α＝－30°是第四象限角；③錯誤，如α＝－110°；④正確．
(2)由題意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．]
　理解角的概念的關鍵與技巧
(1)關鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．
[跟進訓練]
1．經過2個小時，鐘表上的時針旋轉形成的角為(　　)
A．60°　　　B．－60°　　　C．30°　　　D．－30°
B　[鐘表的時針旋轉一周形成的角是－360°，其中每小時旋轉形成的角是－＝－30°，所以經過2個小時旋轉形成的角是－60°．故選B．]
類型2　終邊相同的角的表示及應用
　求與已知角終邊相同的角
【例2】　(源自人教B版教材)分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來．
(1)60°；(2)－21°．
[解]　(1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°≤60°＋k·360°<720°，得－1－≤k<2－，所以k可取－1，0或1．因此S中滿足－360°≤β<720°的元素是
60°＋(－1)×360°＝－300°，
60°＋0×360°＝60°，
60°＋1×360°＝420°．
(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°≤－21°＋k·360°<720°，得－1＋≤k<2＋，
所以k可取0，1或2．
因此S中滿足－360°≤β<720°的元素是
－21°＋0×360°＝－21°，
－21°＋1×360°＝339°，
－21°＋2×360°＝699°．
　求終邊在給定直線上的角的集合
【例3】　在0°～360°范圍內，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為________．
120°，300°　[與角－60°的終邊在同一條直線上的角可表示為β＝－60°＋k·180°，k∈Z．
∵所求角在0°～360°范圍內，
∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z，
解得≤k≤，k∈Z，∴k＝1或2．
當k＝1時，β＝120°；
當k＝2時，β＝300°．]
　終邊相同角常用的三個結論
(1)終邊相同的角之間相差360°的整數倍．
(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍．
(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數倍．
[跟進訓練]
2．已知α＝－1 845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的負角；
(3)－360°～720°之間的角．
[解]　因為－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角與－45°角的終邊相同，
所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．
(1)最小的正角為315°．
(2)最大的負角為－45°．
(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°．
類型3　象限角及區域角的表示
　象限角的表示
【例4】　若α是第一象限角，則－是(　　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
D　[因為α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以－k·180°－45°<－<－k·180°，k∈Z，
所以－是第二、四象限角．故選D．]
　區域角的表示
【例5】　如圖所示．
(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．
思路導引：
[解]　(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[母題探究]
若將本例(2)改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(實線為包括邊界，虛線為不包含邊界)的角的集合如何表示？
[解]　在0°～360°范圍內，終邊落在陰影部分的角為60°≤β＜105°與240°≤β＜285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
　
1．表示區間角的3個步驟
第一步：先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界．
第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區間角集合．
提醒：表示區間角時要注意實線邊界與虛線邊界的差異．
2．nα或所在象限的判斷方法
(1)用不等式表示出角nα或的范圍；
(2)用旋轉的觀點確定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z．
由0°＜＜30°，每次逆時針旋轉120°可得終邊的位置．
[跟進訓練]
3．(1)若θ是第二象限角，那么和90°－θ都不是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)寫出終邊落在陰影部分的角的集合．
(1)B　[∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<(2)[解]　在0°～360°范圍內，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150°≤β≤225°，則所有滿足條件的角β為{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．銳角是第一象限角
B．第一象限角都是銳角
C．小于90°的角是銳角
D．大于0°小于90°的角是銳角
[答案]　AD
2．下列各個角中與角2 024°終邊相同的角的度數是(　　)
A．－149° B．679°
C．321° D．224°
D　[因為2 024°＝360°×5＋224°，所以與2 024°終邊相同的角是224°．故選D．]
3．角－870°的終邊所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故選C．]
4．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(不包含邊界)，那么角α的集合是________．
[答案]　{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．任意角的分類有哪幾種？
[提示]　按旋轉方向分為：正角、負角和零角；按角的終邊所在位置可分為象限角和軸上角．
2．運用終邊相同的角時應注意哪些問題？
[提示]　所有與角α終邊相同的角，連同角α在內可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運用時需注意k是整數，這個條件不能漏掉．
3．若角α與角β的終邊在一條直線上，則α與β存在怎樣的等量關系？
[提示]　若角α與角β的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差180°的整數倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1．了解任意角的概念，能正確區分正角、零角和負角．(數學抽象)
2．理解象限角的意義，掌握終邊相同的角的意義與表示．(數學抽象)
在生活中，擰緊螺絲時，需要將扳手順時針方向旋轉；擰松螺絲時，需要將扳手逆時針方向旋轉，可以旋轉一圈，也可以旋轉多圈．為了描述這種現象，需要對角的概念進行推廣．
知識點1　角的概念與分類
(1)角可以看成一條________繞著它的________旋轉所成的________．
(2)角的分類
類型 定義 圖示
正角 按________方向旋轉形成的角
負角 按________方向旋轉形成的角
零角 射線OA沒有做任何旋轉，終邊OB與OA重合
知識點2　角的加法與減法
設α，β是任意兩個角，________為角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的________旋轉角β．
(2)α－β：α－β＝________．
知識點3　象限角
把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與________重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的________在第幾象限，就說這個角是第幾__________；如果角的終邊在________，那么就認為這個角不屬于任何一個象限．
知識點4　終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝______________}，
即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．
終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)－30°是第四象限角． (　　)
(2)第二象限角是鈍角． (　　)
(3)225°是第三象限角． (　　)
2．下圖中從OA旋轉到OB，OB1，OB2時所成的角度分別是________、________、________．
圖(1)　　　　　　　　　圖(2)
3．如圖(1)，∠AOC＝________；如圖(2)，∠AOC＝________．
圖(1)　　　　　　圖(2)
類型1　任意角的概念
【例1】　(1)下列結論：
①始邊相同而終邊不同的角一定不相等；
②小于90°的角是第一象限角；
③鈍角比第三象限角小；
④角α與－α的終邊關于x軸對稱．
其中正確的結論為________(填序號)．
(2)如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉60°到OB處，再按順時針方向旋轉820°至OC處，則β＝__________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　理解角的概念的關鍵與技巧
(1)關鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．
[跟進訓練]
1．經過2個小時，鐘表上的時針旋轉形成的角為(　　)
A．60°　　　B．－60°　　　C．30°　　　D．－30°
類型2　終邊相同的角的表示及應用
　求與已知角終邊相同的角
【例2】　(源自人教B版教材)分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來．
(1)60°；(2)－21°．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求終邊在給定直線上的角的集合
【例3】　在0°～360°范圍內，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　終邊相同角常用的三個結論
(1)終邊相同的角之間相差360°的整數倍．
(2)終邊在同一直線上的角之間相差________的整數倍．
(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差________的整數倍．
[跟進訓練]
2．已知α＝－1 845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的負角；
(3)－360°～720°之間的角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　象限角及區域角的表示
　象限角的表示
【例4】　若α是第一象限角，則－是(　　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　區域角的表示
【例5】　如圖所示．
(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
若將本例(2)改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(實線為包括邊界，虛線為不包含邊界)的角的集合如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．表示區間角的3個步驟
第一步：先按逆時針的方向找到區域的________和________．
第二步：按由小到大分別標出________和________對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上________的整數倍，即得區間角集合．
提醒：表示區間角時要注意實線邊界與虛線邊界的差異．
2．nα或所在象限的判斷方法
(1)用不等式表示出角nα或的范圍；
(2)用旋轉的觀點確定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z．
由0°＜＜30°，每次逆時針旋轉120°可得終邊的位置．
[跟進訓練]
3．(1)若θ是第二象限角，那么和90°－θ都不是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)寫出終邊落在陰影部分的角的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．銳角是第一象限角
B．第一象限角都是銳角
C．小于90°的角是銳角
D．大于0°小于90°的角是銳角
2．下列各個角中與角2 024°終邊相同的角的度數是(　　)
A．－149°　　　B．679°　　　C．321°　　　D．224°
3．角－870°的終邊所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(不包含邊界)，那么角α的集合是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．任意角的分類有哪幾種？
2．運用終邊相同的角時應注意哪些問題？
3．若角α與角β的終邊在一條直線上，則α與β存在怎樣的等量關系？5.1.2　弧度制
1．體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數集的一一對應關系．(數學抽象)
2．能對弧度和角度進行正確的轉換，掌握弧度制下的弧長公式和扇形面積公式．(數學運算)
如圖是一種折疊扇．折疊扇打開、合攏的過程可以抽象成扇形圓心角的變大、變小．那么在這個過程中，扇形的什么量在發生變化？什么量沒發生變化？由此你能想到度量角的其他辦法嗎？
知識點1　角度制與弧度制
(1)度量角的兩種制度
角度制 定義 用度作為單位來度量角的單位制
1度的角 周角的為1度的角，記作1°
弧度制 定義 以弧度為單位來度量角的單位制
1弧度 的角 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．1弧度記作1 rad
(2)弧度數的計算
比值與所取的圓的半徑大小是否有關？
[提示]　一定大小的圓心角α所對應的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無關．
(3)角度制與弧度制的換算
知識點2　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則
?度量單位類別 α為角度制 α為弧度制
扇形的弧長 l＝ l＝αR
扇形的面積 S＝ S＝＝
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)1弧度就是1°的圓心角所對的弧． (　　)
(2)用弧度表示的都是正角． (　　)
(3)160°化為弧度制是π rad． (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．(1) rad化為角度是________．
(2)105°的弧度數是________ rad．
(1)252°　(2)　[(1) rad＝＝252°；
(2)105°＝105× rad＝ rad．]
3．(1)若扇形的半徑不變，圓心角擴大為原來的2倍，則扇形的弧長擴大為原來的________倍；
(2)半徑為2，圓心角為的扇形的面積是________．
(1)2　(2)　[(1)由l＝|α|R知，當半徑不變，圓心角擴大為原來的2倍，則扇形的弧長擴大為原來的2倍．
(2)由已知得S扇＝××22＝．]
類型1　角度與弧度的互化與應用
【例1】　將下列各角度與弧度互化：
(1)67.5°；(2)112°30′；(3)；(4)3．
[解]　(1)67.5°＝67.5×．
(2)112°30′＝112.5°＝112.5×．
(3)×＝405°．
(4)3＝3×≈3×57.30°＝171.90°．
　角度制與弧度制互化的關鍵與方法
(1)關鍵：抓住互化公式π rad＝180°是關鍵．
(2)方法：度數×＝弧度數；弧度數×＝度數．
(3)角度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度．
[跟進訓練]
1．(1)(多選)下列轉化結果正確的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
(2)將下表中的角度與弧度互化．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度 π
(1)ABD　(2)角度：30°　75°　270°　360°　弧度：0　　　　　　π　[(1)對于A，60°＝60× rad＝ rad；對于B，－π rad＝－×180°＝－600°；對于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；對于D， rad＝×180°＝15°．故選ABD．]
類型2　用弧度制表示角的集合
【例2】　(1)下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
(2)用弧度寫出終邊落在如圖陰影部分(不包括邊界)內的角的集合．
(1)C　[A，B中弧度與角度混用，錯誤．
π＝2π＋，所以π與終邊相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也與45°終邊相同．故選C．]
(2)[解]　30°＝ rad，150°＝ rad．
終邊落在題干圖中陰影區域內角的集合(不包括邊界)是．
　
1．弧度制下與角α終邊相同的角的表示
在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數倍．
2．根據已知圖形寫出區域角的集合的步驟
(1)仔細觀察圖形．
(2)寫出區域邊界作為終邊時角的表示．
(3)用不等式表示區域范圍內的角．
提醒：角度制與弧度制不能混用．
[跟進訓練]
2．已知角α＝－1 125°．
(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限角；
(2)在[－4π，4π]范圍內找出與β終邊相同的角的集合．
[解]　(1)－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋，其中<2π，
所以是第四象限角，
所以－1 125°是第四象限角．
(2)依題意得，與β終邊相同的角為＋2kπ，k∈Z，由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，可知k＝－2，－1，0，1，所以所求角的集合為．
類型3　弧長公式與扇形面積公式的應用
【例3】　已知扇形的周長為8 cm．
(1)若該扇形的圓心角為2 rad，求該扇形的面積；
(2)求該扇形的面積的最大值，并指出對應的圓心角．
思路導引：(1)
(2)
[解]　設扇形的半徑為r，弧長為l，面積為S．
(1)由題意得：2r＋l＝8，l＝2r，
解得r＝2，l＝4，所以S＝lr＝4(cm2)．
(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0，4)，
則S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
當r＝2時，Smax＝4，此時l＝4，圓心角α＝＝2 rad．
　扇形的弧長和面積的求解策略
靈活運用扇形弧長公式、面積公式列方程(組)求解是解決此類問題的關鍵，有時運用函數思想、轉化思想解決扇形中的最值問題，將扇形面積表示為半徑r的函數，轉化為關于r的二次函數．
[跟進訓練]
3．中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．若一幅扇面的尺寸如圖所示，則該扇面的面積為________ cm2．
704　[如圖，設∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由題意可得解得r＝．
所以S扇面＝S扇面OCD－S扇面OAB＝×64－×24×＝704(cm2)．]
1．(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A．半圓所對的圓心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑
D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度
ABC　[根據弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確，D錯誤．]
2．已知α＝－3 rad，則角α的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[∵α＝－3 rad≈－3×57.30°＝－171.9°，
∴角α的終邊在第三象限．故選C．]
3．若扇形的半徑為10 cm，圓心角為60°，則扇形的弧長為________ cm，面積為________ cm2．
　　[已知扇形的圓心角α＝60°＝，
半徑r＝10 cm，則弧長l＝α·r＝×10＝(cm)，
面積S＝lr＝××10＝(cm2)．]
4．在[0，4π]中，與72°角終邊相同的角有________．(用弧度表示)
π，π　[因為終邊與72°角相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
當k＝0時，θ＝72°＝π rad；
當k＝1時，θ＝432°＝π rad，
所以在[0，4π]中與72°終邊相同的角有π，π．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．角度制與弧度制怎樣轉化？
[提示]　1°＝ rad，1 rad＝°．
2．角度制和弧度制下，扇形的弧長和面積公式分別是什么？
[提示]　
度量單位類別 角度制 弧度制
弧長 l＝ l＝|α|r
面積 S＝ S＝lr＝5.1.2　弧度制
1．體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數集的一一對應關系．(數學抽象)
2．能對弧度和角度進行正確的轉換，掌握弧度制下的弧長公式和扇形面積公式．(數學運算)
如圖是一種折疊扇．折疊扇打開、合攏的過程可以抽象成扇形圓心角的變大、變小．那么在這個過程中，扇形的什么量在發生變化？什么量沒發生變化？由此你能想到度量角的其他辦法嗎？
知識點1　角度制與弧度制
(1)度量角的兩種制度
角度制 定義 用____作為單位來度量角的單位制
1度的角 周角的______為1度的角，記作1°
弧度制 定義 以____為單位來度量角的單位制
1弧度 的角 長度等于________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．1弧度記作1 ________
(2)弧度數的計算
比值與所取的圓的半徑大小是否有關？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)角度制與弧度制的換算
知識點2　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則
度量單位類別 α為角度制 α為弧度制
扇形的弧長 l＝______ l＝______
扇形的面積 S＝______ S＝______＝______
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)1弧度就是1°的圓心角所對的弧． (　　)
(2)用弧度表示的都是正角． (　　)
(3)160°化為弧度制是π rad． (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大． (　　)
2．(1) rad化為角度是________．
(2)105°的弧度數是________ rad．
3．(1)若扇形的半徑不變，圓心角擴大為原來的2倍，則扇形的弧長擴大為原來的______倍；
(2)半徑為2，圓心角為的扇形的面積是________．
類型1　角度與弧度的互化與應用
【例1】　將下列各角度與弧度互化：
(1)67.5°；(2)112°30′；(3)；(4)3．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　角度制與弧度制互化的關鍵與方法
(1)關鍵：抓住互化公式π rad＝180°是關鍵．
(2)方法：度數×＝弧度數；弧度數×＝度數．
(3)角度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度．
[跟進訓練]
1．(1)(多選)下列轉化結果正確的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
(2)將下表中的角度與弧度互化．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度 2π
類型2　用弧度制表示角的集合
【例2】　(1)下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
(2)用弧度寫出終邊落在如圖陰影部分(不包括邊界)內的角的集合．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．弧度制下與角α終邊相同的角的表示
在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數倍．
2．根據已知圖形寫出區域角的集合的步驟
(1)仔細觀察圖形．
(2)寫出區域邊界作為終邊時角的表示．
(3)用不等式表示區域范圍內的角．
提醒：角度制與弧度制不能混用．
[跟進訓練]
2．已知角α＝－1 125°．
(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限角；
(2)在[－4π，4π]范圍內找出與β終邊相同的角的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　弧長公式與扇形面積公式的應用
【例3】　已知扇形的周長為8 cm．
(1)若該扇形的圓心角為2 rad，求該扇形的面積；
(2)求該扇形的面積的最大值，并指出對應的圓心角．
思路導引：(1)
(2)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　扇形的弧長和面積的求解策略
靈活運用扇形弧長公式、面積公式列方程(組)求解是解決此類問題的關鍵，有時運用函數思想、轉化思想解決扇形中的最值問題，將扇形面積表示為半徑r的函數，轉化為關于r的二次函數．
[跟進訓練]
3．中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．若一幅扇面的尺寸如圖所示，則該扇面的面積為________ cm2．
1．(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A．半圓所對的圓心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑
D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度
2．已知α＝－3 rad，則角α的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若扇形的半徑為10 cm，圓心角為60°，則扇形的弧長為______ cm，面積為______ cm2．
4．在[0，4π]中，與72°角終邊相同的角有________．(用弧度表示)
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．角度制與弧度制怎樣轉化？
2．角度制和弧度制下，扇形的弧長和面積公式分別是什么？

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