資源簡(jiǎn)介

5.2.1　三角函數(shù)的概念
第1課時(shí)　任意角三角函數(shù)的定義
借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象)
初中的時(shí)候我們學(xué)過(guò)，在一個(gè)直角三角形中，如果銳角α的對(duì)邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則有sin α＝，cos α＝，tan α＝．
當(dāng)α是一個(gè)銳角時(shí)，上述正弦、余弦與正切，能否通過(guò)α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義呢？這種定義的方式能否推廣到任意角？
知識(shí)點(diǎn)　任意角的三角函數(shù)的定義
?條件 如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)
定義 正弦 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即y＝sin α
余弦 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cos α，即x＝cos α
正切 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切，記作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函數(shù) 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R 余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R 正切函數(shù)y＝tan x，x≠Z
三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角α終邊上位置是否有關(guān)？
[提示]　無(wú)關(guān)．三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)sin α表示sin 與α的乘積． (　　)
(2)設(shè)角α終邊上的點(diǎn)P(x，y)，r＝|OP|≠0，則sin α＝，且y越大，sin α的值越大． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，則sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．
[答案]　－　
類(lèi)型1　單位圓法求三角函數(shù)值
【例1】　(源自北師大版教材)在單位圓中，α＝－．
(1)畫(huà)出角α；
(2)求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值．
[解]　(1)如圖，以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)M．于是α＝∠MOP＝－即為所作的角．
(2)設(shè)點(diǎn)P(u，v)，則u＝，v＝－，sin ＝v＝－，cos ＝u＝．
　首先求出角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用任意角的三角函數(shù)的定義求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求的正弦、余弦和正切值．
[解]　在直角坐標(biāo)系中，作∠AOB＝(如圖)．易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以sin ，cos ＝－，tan ＝－．
類(lèi)型2　坐標(biāo)法求三角函數(shù)值
　角的終邊過(guò)定點(diǎn)
【例2】　若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
[解]　因?yàn)閞＝＝5|a|，
①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝，cos α＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1．
②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝，cos α＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
　角的終邊在定直線(xiàn)上
【例3】　已知角α的終邊落在直線(xiàn)x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解]　∵角α的終邊落在直線(xiàn)x＋y＝0上，
∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(t，－t)(t≠0)．
則r＝＝2|t|．
當(dāng)t>0時(shí)，r＝2t，sin α＝＝－，cos α＝，tan α＝＝－；
當(dāng)t<0時(shí)，r＝－2t，sin α＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－．
　利用定義的推廣形式求值的方法
(1)取點(diǎn)：在終邊上取異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)P(x，y)；
(2)計(jì)算r：r＝|OP|＝；
(3)求值：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知角α的終邊在函數(shù)y＝－x(x>0)的圖象上，求sin α，cos α的值．
[解]　在函數(shù)y＝－x(x>0)的圖象上取一點(diǎn)(2，－1)，則sin α＝＝－，cos α＝．
1．(多選)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列表示正確的是(　　)
A．sin α＝－ B．cos α＝
C．tan α＝－ D．tan α＝－
[答案]　ABD
2．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，則tan α的值為(　　)
A．1　　　B．－1　　　C．　　　D．－
B　[由三角函數(shù)定義知tan α＝＝－1．故選B．]
3．sin ＝________，cosπ＝________．
1　－1　[∵單位圓x2＋y2＝1與角，π的終邊的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，1)，(－1，0)，
∴sin ＝1，cos π＝－1．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．若角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin α，cos α，tan α分別等于多少？
[提示]　sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
2．若角α的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，則sin α，cos α，tan α分別等于多少？
[提示]　 sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
3．若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，求解時(shí)注意什么？
[提示]　若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類(lèi)討論．5.2.1　三角函數(shù)的概念
第1課時(shí)　任意角三角函數(shù)的定義
　　借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象)
初中的時(shí)候我們學(xué)過(guò)，在一個(gè)直角三角形中，如果銳角α的對(duì)邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則有sin α＝，cos α＝，tan α＝．
當(dāng)α是一個(gè)銳角時(shí)，上述正弦、余弦與正切，能否通過(guò)α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義呢？這種定義的方式能否推廣到任意角？
知識(shí)點(diǎn)　任意角的三角函數(shù)的定義
條件 如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)
定義 正弦 點(diǎn)P的________叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即y＝________
余弦 點(diǎn)P的________叫做α的余弦函數(shù)，記作cos α，即x＝________
正切 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的________叫做α的正切，記作tan α，即＝______(x≠0)
三角 函數(shù) 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈______ 余弦函數(shù)y＝cos x，x∈______ 正切函數(shù)y＝tan x，x≠________
三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角α終邊上位置是否有關(guān)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)sin α表示sin 與α的乘積． (　　)
(2)設(shè)角α終邊上的點(diǎn)P(x，y)，r＝|OP|≠0，則sin α＝，且y越大，sin α的值越大． (　　)
2．已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，則sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．
類(lèi)型1　單位圓法求三角函數(shù)值
【例1】　(源自北師大版教材)在單位圓中，α＝－．
(1)畫(huà)出角α；
(2)求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　首先求出角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用任意角的三角函數(shù)的定義求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求的正弦、余弦和正切值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類(lèi)型2　坐標(biāo)法求三角函數(shù)值
　角的終邊過(guò)定點(diǎn)
【例2】　若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　角的終邊在定直線(xiàn)上
【例3】　已知角α的終邊落在直線(xiàn)x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用定義的推廣形式求值的方法
(1)取點(diǎn)：在終邊上取異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)P(x，y)；
(2)計(jì)算r：r＝|OP|＝________；
(3)求值：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝(x≠0)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知角α的終邊在函數(shù)y＝－x的圖象上，求sin α，cos α的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列表示正確的是(　　)
A．sin α＝－ B．cos α＝
C．tan α＝－ D．tan α＝－
2．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，則tan α的值為(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
3．sin ＝________，cos π＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．若角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin α，cos α，tan α分別等于多少？
2．若角α的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，則sin α，cos α，tan α分別等于多少？
3．若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，求解時(shí)注意什么？第2課時(shí)　三角函數(shù)值的符號(hào)及公式一
1．能利用三角函數(shù)的定義，判斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)．(邏輯推理)
2．通過(guò)任意角的三角函數(shù)的定義，理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
從定義與實(shí)例都可以看出，任意角的正弦、余弦與正切，都既有可能是正數(shù)，也有可能是負(fù)數(shù)，還可能為0．它們的符號(hào)與什么有關(guān)？試總結(jié)出任意角的正弦、余弦與正切符號(hào)的規(guī)律．
知識(shí)點(diǎn)1　正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)
(1)圖示：
(2)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知識(shí)點(diǎn)2　誘導(dǎo)公式一
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sin α>0． (　　)
(2)若sin α>0，則α是第一或第二象限角． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×
2．求值：
(1)sin 390°＝________；
(2)cos (－330°)＝________；
(3)tan 750°＝________．
(1)　(2)　(3)　[(1)sin 390°＝sin (360°＋30°)＝sin 30°＝．
(2)cos (－330°)＝cos (－360°＋30°)＝cos 30°＝．
(3)tan 750°＝tan (720°＋30°)＝tan 30°＝．]
類(lèi)型1　判斷三角函數(shù)值的符號(hào)
【例1】　(源自人教B版教材)確定下列各值的符號(hào)．
(1)cos 260°；(2)sin ；(3)tan (－672°20′)；(4)tan ．
[解]　(1)因?yàn)?60°是第三象限角，所以cos 260°<0．
(2)因?yàn)椋堑谒南笙藿牵詓in <0．
(3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan (－672°20′)>0．
(4)由＋2π，可知是第三象限角，所以tan >0．
　判斷三角函數(shù)值符號(hào)的兩個(gè)步驟
(1)定象限：確定角α所在的象限．
(2)定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來(lái)判斷．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．判斷下列各式的符號(hào)：
(1)sin 145°cos (－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5．
[解]　(1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，
∴sin 145°cos (－210°)＜0．
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0．
類(lèi)型2　三角函數(shù)值符號(hào)的應(yīng)用
【例2】　(源自湘教版教材)設(shè)sin θ<0且tan θ>0，試確定θ是第幾象限角．
[解]　因?yàn)閟in θ<0，所以θ的終邊在第三、四象限，或y軸負(fù)半軸上；又因?yàn)閠an θ>0，所以θ的終邊在第一、三象限．
因此滿(mǎn)足sin θ<0且tan θ>0的θ是第三象限角．
　由三角函數(shù)值的符號(hào)確定α角的終邊所在象限問(wèn)題，應(yīng)首先依據(jù)題目中所有三角函數(shù)值的符號(hào)來(lái)確定角α的終邊所在的象限，則它們的公共象限即為所求．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知點(diǎn)P(tan α，cos α)在第四象限，則角α終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(1)C　(2)－2＜a≤3　[(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有由此可判斷角α終邊在第三象限．故選C．
(2)因?yàn)閏os α≤0，sin α＞0，
所以角α的終邊在第二象限或y軸非負(fù)半軸上，因?yàn)棣两K邊過(guò)(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3．]
類(lèi)型3　誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用
【例3】　求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin cos＋tan cos．
[解]　(1)原式＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋．
(2)原式＝sin cos ＋tan cos
＝sin cos ＋tan cos ＝×＋1×．
　利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟
(1)定形：將已知的任意角寫(xiě)成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值．
(3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．化簡(jiǎn)下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos (－1 080°)；
(2)sin ＋cosπ·tan 4π．
[解]　(1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
(2)sin ＋cos π·tan 4π
＝sin ＋cos π·tan 0
＝sin ＋0＝．
1．已知sin α＞0，cos α＜0，則角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B　[由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)知，角α是第二象限角．故選B．]
2．sin (－315°)的值是(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
C　[sin (－315°)＝sin (－360°＋45°)＝sin 45°＝．故選C．]
3．(多選)下列選項(xiàng)中，符號(hào)為負(fù)的是(　　)
A．sin (－100°) B．cos (－220°)
C．tan 10 D．cosπ
ABD　[－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cos (－220°)<0；10∈在第三象限，故tan 10>0；cos π＝－1<0．]
4．計(jì)算：sin ＋cos＋tan ＝________．
2　[原式＝sin ＋cos ＋tan ＝sin ＋cos ＋tan ＋＋1＝2．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．三角函數(shù)值的符號(hào)有何規(guī)律？
[提示]　“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
2．誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征及作用是什么？
[提示]　(1)公式一的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．
(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：①左、右為同一三角函數(shù)；②公式左邊的角為α＋2kπ，右邊的角為α．
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°)角的三角函數(shù)值．
三角函數(shù)在單位圓中的幾何表示及應(yīng)用
設(shè)角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，如圖(1)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于點(diǎn)M，作PN垂直y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．以A為原點(diǎn)建立y′軸與y軸同向，y′軸與α的終邊(或其反向延長(zhǎng)線(xiàn))相交于點(diǎn)T(或T′)，如圖(2)，則tan α＝AT(或AT′)．
我們把有向線(xiàn)段OM，ON和AT(或AT′)分別叫做α的余弦線(xiàn)、正弦線(xiàn)和正切線(xiàn)，它們分別是余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)的一種幾何表示．
圖(1)　　　　　　　　　　圖(2)第2課時(shí)　三角函數(shù)值的符號(hào)及公式一
1．能利用三角函數(shù)的定義，判斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)．(邏輯推理)
2．通過(guò)任意角的三角函數(shù)的定義，理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
從定義與實(shí)例都可以看出，任意角的正弦、余弦與正切，都既有可能是正數(shù)，也有可能是負(fù)數(shù)，還可能為0．它們的符號(hào)與什么有關(guān)？試總結(jié)出任意角的正弦、余弦與正切符號(hào)的規(guī)律．
知識(shí)點(diǎn)1　正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)
(1)圖示：
(2)口訣：“一全正，二________，三______，四________”．
知識(shí)點(diǎn)2　誘導(dǎo)公式一
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sin α>0． (　　)
(2)若sin α>0，則α是第一或第二象限角． (　　)
2．求值：
(1)sin 390°＝________；
(2)cos (－330°)＝________；
(3)tan 750°＝________．
類(lèi)型1　判斷三角函數(shù)值的符號(hào)
【例1】　(源自人教B版教材)確定下列各值的符號(hào)．
(1)cos 260°；
(2)sin ；
(3)tan (－672°20′)；
(4)tan ．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷三角函數(shù)值符號(hào)的兩個(gè)步驟
(1)定象限：確定角α所在的象限．
(2)定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即“____________________________”來(lái)判斷．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．判斷下列各式的符號(hào)：
(1)sin 145°cos (－210°)；
(2)sin 3·cos 4·tan 5．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類(lèi)型2　三角函數(shù)值符號(hào)的應(yīng)用
【例2】　(源自湘教版教材)設(shè)sin θ<0且 tan θ>0，試確定θ是第幾象限角．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由三角函數(shù)值的符號(hào)確定α角的終邊所在象限問(wèn)題，應(yīng)首先依據(jù)題目中所有三角函數(shù)值的符號(hào)來(lái)確定角α的終邊所在的象限，則它們的公共象限即為所求．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知點(diǎn)P(tan α，cos α)在第四象限，則角α終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
類(lèi)型3　誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用
【例3】　求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin cos ＋tan cos ．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟
(1)定形：將已知的任意角寫(xiě)成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值．
(3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．化簡(jiǎn)下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)；
(2)sin ＋cos π·tan 4π．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知sin α＞0，cos α＜0，則角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．sin (－315°)的值是(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
3．(多選)下列選項(xiàng)中，符號(hào)為負(fù)的是(　　)
A．sin (－100°) B．cos (－220°)
C．tan 10 D．cos π
4．計(jì)算：sin ＋cos ＋tan ＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．三角函數(shù)值的符號(hào)有何規(guī)律？
2．誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征及作用是什么？
三角函數(shù)在單位圓中的幾何表示及應(yīng)用
設(shè)角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，如圖(1)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于點(diǎn)M，作PN垂直y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．以A為原點(diǎn)建立y′軸與y軸同向，y′軸與α的終邊(或其反向延長(zhǎng)線(xiàn))相交于點(diǎn)T(或T′)，如圖(2)，則tan α＝AT(或AT′)．
我們把有向線(xiàn)段OM，ON和AT(或AT′)分別叫做α的余弦線(xiàn)、正弦線(xiàn)和正切線(xiàn)，它們分別是余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)的一種幾何表示．
圖(1)　　　　　　　　　圖(2)5.2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1．理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用．(邏輯推理)
2．會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
我們已經(jīng)知道，如果P(x，y)是α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，r＝，則sin α＝，cos α＝．
如果選取的P點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足x2＋y2＝1，則上述正弦與余弦的表達(dá)式有什么變化？由此你能給出任意角正弦和余弦的一個(gè)表示嗎？
知識(shí)點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α．
這就是說(shuō)，同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1．
思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1． (　　)
(2)sin2＋cos2＝1． (　　)
(3)對(duì)任意的角α，都有tan α＝成立． (　　)
(4)若sin α＝，則cos α＝． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
類(lèi)型1　直接應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值
【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[解]　∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝，
tan α＝＝－．
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝．
　求三角函數(shù)值的方法
(1)已知sin θ(或cosθ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cosθ)常用以下方式求解
提醒：當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開(kāi)方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源自蘇教版教材)已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
[解]　由＝tan α＝，得sin α＝cos α．
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1．
解得cos2α＝．
又由tan α>0，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，則
cos α＝，tan α＝，sin α＝；
若α是第三象限角，則
cos α＝－，tan α＝，sin α＝－．
類(lèi)型2　變形應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值
　弦切互化求值
【例2】　已知tan α＝3，計(jì)算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sinαcos α＋1．
[解]　(1)法一：(切化弦法)
由 tan α＝3，得sin α＝3cos α．
所以原式＝．
法二：(弦化切法)
由tan α＝3得，
原式＝．
(2)原式＝＝＋1＝．
　“sin α±cos α”“sin αcos α”型求值問(wèn)題
【例3】　已知sin α＋cos α＝－，0<<π．
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[解]　(1)由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2＝，即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，
所以sin αcos α＝－．
(2)因?yàn)?<<π，
所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0．
所以sin α－cos α＝．
　
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
2．已知tan α，求關(guān)于sin α和cos α齊次式的值的基本方法
已知角α的正切值，求由sin α和cos α構(gòu)成的齊次式(每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)相同或分子、分母的次數(shù)相同)的值．
(1)形如的分式，可將分子、分母同時(shí)除以cos α；形如分子、分母同時(shí)除以cos2α，將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值．
(2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋ccos2α的式子，可將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cos2α，轉(zhuǎn)化為形如求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知sinα＋cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝________．
(2)已知2cos2α－3sinαcos α＝，則tan α＝______．
(1)－　(2)或－　[(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，則sin α>0，cos α<0，∴α∈，
故sin α－cos α＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
(2)由題中等式易知cos α≠0，
則2cos2α－3sinαcos α＝＝，
整理得9tan2α＋30tanα－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－．]
類(lèi)型3　應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)證明
【例4】　(1)化簡(jiǎn)＝________．
(2)求證：．
(1)1　[原式＝＝＝1．]
(2)[證明]　法一：(切化弦)
左邊＝，
右邊＝＝．
因?yàn)閟in2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)，
所以，所以左邊＝右邊．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因?yàn)橛疫叄剑?br/>＝＝＝＝左邊，
所以原等式成立．
　
1．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧
(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱(chēng)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
2．證明三角恒等式常用的方法
(1)由繁到簡(jiǎn)法：從一邊開(kāi)始，證得它等于另一邊，一般是由比較復(fù)雜的一邊開(kāi)始化簡(jiǎn)到另一邊，其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性．
(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子，其依據(jù)是等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等．
(3)比較法：即證左邊－右邊＝0或證＝1．
(4)綜合法：即由一個(gè)已知成立的等式(如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)化簡(jiǎn)tan α，其中α是第二象限角．
(2)求證：＝．
(1)[解]　因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵詓in α＞0，cos α＜0．
故tan α＝tan α＝tan α·＝＝－1．
(2)[證明]　左邊＝＝
＝＝＝右邊．
所以原等式成立．
1．若sin α＝－，且α為第三象限角，則tan α的值等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
C　[因?yàn)閟in α＝－，且α為第三象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝．]
2．已知tan α＝－，則的值是(　　)
A．　　　B．3　　　C．－　　　D．－3
A　[因?yàn)閠an α＝－，
所以＝＝．故選A．]
3．cos2x等于(　　)
A．tanx　　　B．sin x　　　C．cosx　　　D．
D　[原式＝·cos2x＝·cos2x
＝·cos2x＝．故選D．]
4．已知sin θ＋cosθ＝，則tan θ＋＝________．
－4　[∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－，
∴tan θ＋＋＝－4．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．sin α，cos α，tan α間存在怎樣的等量關(guān)系？
[提示]　sin2 α＋cos2 α＝1，tanα＝，sin2α＝1－cos2 α，cos2 α＝1－sin2 α，sinα＝tan αcos α，…．
2．如何實(shí)現(xiàn)“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之間的互化？
[提示]　借助(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α實(shí)現(xiàn)三者之間的轉(zhuǎn)化．
3．常用哪些方法證明三角恒等式？
[提示]　(1)從右證到左．
(2)從左證到右．
(3)左右歸一．
(4)比較法．
(5)綜合法等．
更多三角函數(shù)及關(guān)系式
除了正弦、余弦與正切之外，在工程、機(jī)械等學(xué)科中，還經(jīng)常要用到角的更多三角函數(shù)．
事實(shí)上，如果P(x，y)是α終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，記r＝，則r>0，此時(shí)
(1)稱(chēng)為α的正割，記作sec α，即sec α＝；
(2)稱(chēng)為α的余割，記作csc α，即csc α＝；
(3)稱(chēng)為α的余切，記作cot α，即cot α＝．
由上述定義可知，當(dāng)α的終邊在y軸上時(shí)，sec α沒(méi)有意義；當(dāng)α的終邊在x軸上時(shí)，cot α，csc α沒(méi)有意義．
同樣地，我們可以借助向量得到正割線(xiàn)、余割線(xiàn)、余切線(xiàn)等三角函數(shù)線(xiàn)，請(qǐng)感興趣的讀者自己探討．
正割、余割、余切也稱(chēng)為角α的三角函數(shù)，從上述定義可以看出，在各三角函數(shù)都有意義的前提下，它們實(shí)際上分別是余弦、正弦和正切的倒數(shù)，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝．
另外，由于
tan2α＋1＝＋1＝＝＝sec2α，
因此tan2α＋1＝sec2α．
類(lèi)似地，還能得到cot2α＋1＝csc2α．
習(xí)慣上，人們經(jīng)常借助如圖所示的六邊形圖形來(lái)記憶三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及上述三角函數(shù)關(guān)系式：圖中六邊形的每一條對(duì)角線(xiàn)上的兩個(gè)元素之積為1，即
cosαsec α＝1，
sin αcsc α＝1，
tan αcot α＝1．
每一個(gè)倒立的正三角形中，上方兩個(gè)頂點(diǎn)元素的平方和等于下方頂點(diǎn)元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
你能從圖中發(fā)現(xiàn)更多的關(guān)系嗎？嘗試一下吧！5.2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1．理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用．(邏輯推理)
2．會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
我們已經(jīng)知道，如果P(x，y)是α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，r＝，則sin α＝，cos α＝．
如果選取的P點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足x2＋y2＝1，則上述正弦與余弦的表達(dá)式有什么變化？由此你能給出任意角正弦和余弦的一個(gè)表示嗎？
知識(shí)點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝________；
(2)商數(shù)關(guān)系：＝________．
這就是說(shuō)，同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1．
思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1． (　　)
(2)sin2＋cos2＝1． (　　)
(3)對(duì)任意的角α，都有tan α＝成立． (　　)
(4)若sin α＝，則cos α＝． (　　)
類(lèi)型1　直接應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值
【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求三角函數(shù)值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
提醒：當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開(kāi)方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源自蘇教版教材)已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類(lèi)型2　變形應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值
　弦切互化求值
【例2】　已知tan α＝3，計(jì)算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sinαcos α＋1．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“sin α±cos α”“sin αcos α”型求值問(wèn)題
【例3】　已知sin α＋cos α＝－，0<α<π．
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin α±cos α)2＝________________．
2．已知tan α，求關(guān)于sin α和cos α齊次式的值的基本方法
已知角α的正切值，求由sin α和cos α構(gòu)成的齊次式(每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)相同或分子、分母的次數(shù)相同)的值．
(1)形如的分式，可將分子、分母同時(shí)除以______________________；形如分子、分母同時(shí)除以________，將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值．
(2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，可將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為_(kāi)_______，轉(zhuǎn)化為形如
求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知sinα＋cos α＝，α∈(0，π)，則tan α ＝________．
(2)已知2cos2α－3sinαcos α＝，則tan α＝______．
類(lèi)型3　應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)證明
【例4】　(1)化簡(jiǎn)＝________．
(2)求證：＝．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧
(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱(chēng)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
2．證明三角恒等式常用的方法
(1)由繁到簡(jiǎn)法：從一邊開(kāi)始，證得它等于另一邊，一般是由比較復(fù)雜的一邊開(kāi)始化簡(jiǎn)到另一邊，其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性．
(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子，其依據(jù)是等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等．
(3)比較法：即證左邊－右邊＝0或證＝1．
(4)綜合法：即由一個(gè)已知成立的等式(如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)化簡(jiǎn)tan α，其中α是第二象限角．
(2)求證：＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若sin α＝－，且α為第三象限角，則tan α的值等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
2．已知tan α＝－，則的值是(　　)
A．　　　B．3　　　C．－　　　D．－3
3．cos2x等于(　　)
A．tanx B．sin x
C．cos x D．
4．已知sin θ＋cos θ＝，則tan θ＋＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．sin α，cos α，tan α間存在怎樣的等量關(guān)系？
2．如何實(shí)現(xiàn)“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之間的互化？
3．常用哪些方法證明三角恒等式？
更多三角函數(shù)及關(guān)系式
除了正弦、余弦與正切之外，在工程、機(jī)械等學(xué)科中，還經(jīng)常要用到角的更多三角函數(shù)．
事實(shí)上，如果P(x，y)是α終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，記r＝，則r>0，此時(shí)
(1)稱(chēng)為α的正割，記作sec α，即
sec α＝；
(2)稱(chēng)為α的余割，記作csc α，即
csc α＝；
(3)稱(chēng)為α的余切，記作cot α，即
cot α＝．
由上述定義可知，當(dāng)α的終邊在y軸上時(shí)，sec α沒(méi)有意義；當(dāng)α的終邊在x軸上時(shí)，cot α，csc α沒(méi)有意義．
同樣地，我們可以借助向量得到正割線(xiàn)、余割線(xiàn)、余切線(xiàn)等三角函數(shù)線(xiàn)，請(qǐng)感興趣的讀者自己探討．
正割、余割、余切也稱(chēng)為角α的三角函數(shù)，從上述定義可以看出，在各三角函數(shù)都有意義的前提下，它們實(shí)際上分別是余弦、正弦和正切的倒數(shù)，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝．
另外，由于
tan2α＋1＝＋1
＝
＝＝sec2α，
因此tan2α＋1＝sec2α．
類(lèi)似地，還能得到cot2α＋1＝csc2α．
習(xí)慣上，人們經(jīng)常借助如圖所示的六邊形圖形來(lái)記憶三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及上述三角函數(shù)關(guān)系式：圖中六邊形的每一條對(duì)角線(xiàn)上的兩個(gè)元素之積為1，即
cosαsec α＝1，
sin αcsc α＝1，
tan αcot α＝1．
每一個(gè)倒立的正三角形中，上方兩個(gè)頂點(diǎn)元素的平方和等于下方頂點(diǎn)元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
你能從圖中發(fā)現(xiàn)更多的關(guān)系嗎？嘗試一下吧！

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