資源簡介

5.4　三角函數的圖象與性質
5.4.1　正弦函數、余弦函數的圖象
1．理解正弦曲線和余弦曲線間的關系，會用“五點(畫圖)法”畫給定區間上的正弦函數、余弦函數的圖象．(直觀想象)
2．掌握正弦函數與余弦函數圖象間的關系以及圖象的變換，能通過函數圖象解決簡單的問題．(直觀想象)
如圖，將一個漏斗掛在架子上，做一個簡易的單擺，在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸．把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，這就是簡諧運動的圖象．物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”．你能描述一下該類曲線的特征嗎？
知識點　正弦函數、余弦函數的圖象
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象
圖象 畫法 五點法 五點法
關鍵 五點 (0，0)，，(π，0)， ，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)
正(余) 弦曲線 正(余)弦函數的圖象叫做正(余)弦曲線
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正弦函數y＝sin x的圖象向左右和上下無限伸展． (　　)
(2)正弦函數y＝sin x的圖象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的圖象形狀相同，只是位置不同． (　　)
(3)正弦函數y＝sin x(x∈R)的圖象關于x軸對稱． (　　)
(4)余弦函數y＝cos x(x∈R)的圖象關于原點成中心對稱． (　　)
(5)將余弦函數y＝cos x(x∈R)的圖象向右平移個單位長度即可得到正弦函數y＝sin x(x∈R)的圖象． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
類型1　正弦(余弦)函數圖象的初步認識
【例1】　下列敘述中正確的個數是(　　)
①y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象關于點P(π，0)成中心對稱；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象關于直線x＝π成軸對稱；
③正弦、余弦函數的圖象不超過直線y＝1和y＝－1所夾的范圍．
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
D　[分別畫出函數y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象，由圖象(略)觀察可知①②③均正確．故選D．]
　正、余弦曲線的對稱性
函數 對稱中心 對稱軸
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
提醒：對稱中心處函數值為0，對稱軸處函數值為－1或1．
[跟進訓練]
1．(多選)下列關于正弦函數、余弦函數的圖象的描述，正確的是(　　)
A．都可由[0，2π]內的圖象向上、向下無限延展得到
B．都是對稱圖形
C．都與x軸有無數個交點
D．y＝sin (－x)的圖象與y＝sin x的圖象關于x軸對稱
BCD　[由正弦、余弦函數的圖象知，B，C，D正確．]
類型2　用“五點法”作三角函數的圖象
【例2】　用“五點法”作出下列函數的簡圖．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[解]　(1)①取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
②描點連線，如圖所示．
(2)①取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1＋cos x 0 －1 －2 －1 0
②描點連線，如圖所示．
　作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的圖象的三個步驟
[跟進訓練]
2．用“五點法”畫出函數y＝＋sin x，x∈[0，2π]的圖象．
[解]　取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
描點，并將它們用光滑的曲線連接起來．(如圖)
類型3　正弦(余弦)函數圖象的應用
【例3】　利用正弦函數的圖象，求滿足sin x≥，x∈[0，2π]的x的集合．
思路導引：
[解]　在同一平面直角坐標系下，作出函數y＝sin x，x∈[0，2π]以及直線y＝的圖象，如圖，
由函數的圖象知，sin ＝sin ．
根據圖象可知，sin x≥的解集為．
[母題探究]
1．在本例中把“x∈[0，2π]”改為“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
[解]　在x∈[0，2π]上的解集為．
所以x∈R時，不等式的解集為．
2．求不等式cos x≤，x∈R的解集．
[解]　作出余弦函數y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x的集合為，k∈Z．
　利用三角函數圖象解sin x>a(或cos x>a)的3個步驟
(1)作出直線y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的圖象．
(2)確定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)確定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范圍時，一般先利用圖象求出x∈[0，2π]范圍內x的取值范圍，然后根據終邊相同角的同一三角函數值相等，寫出原不等式的解集．
[跟進訓練]
3．利用正弦曲線，求滿足sin x≤的x的集合．
[解]　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的圖象．如圖所示，作直線y＝，根據特殊角的正弦值，可知該直線與y＝sin x，x∈[0，2π]的交點橫坐標為和；
作直線y＝，該直線與y＝sin x，x∈[0，2π]的交點橫坐標為和．
觀察圖象可知，在[0，2π]上，當x≤，或≤x時，不等式sin x≤成立．
所以sin x≤的解集為
．
1．(多選)用“五點法”畫y＝3cos x，x∈[0，2π]的圖象時，下列是關鍵點的是(　　)
A．　　B．　　C．(π，0)　　D．(2π，3)
BD　[五個關鍵點依次為(0，3)，，(π，－3)，，(2π，3)．故選BD．]
2．在同一平面直角坐標系內，函數y＝sin x，x∈[0，2π]與y＝sin x，x∈[2π，4π]的圖象(　　)
A．重合 B．形狀相同，位置不同
C．關于y軸對稱 D．形狀不同，位置不同
B　[根據正弦曲線的作法可知函數y＝sin x，x∈[0，2π]與y＝sin x，x∈[2π，4π]的圖象只是位置不同，形狀相同．]
3．函數y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的簡圖是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
B　[y＝sin (－x)＝－sin x與y＝sin x關于x軸對稱．故選B．]
4．不等式cos x0，x∈[0，2π]的解集為________．
[答案]　
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．畫正(余)弦曲線的五個關鍵點分別是什么？
[提示]　正弦曲線：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦曲線：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．余弦曲線與正弦曲線的形狀完全一樣嗎？如何通過平移余弦曲線得到正弦曲線？
[提示]　余弦曲線與正弦曲線形狀相同；平移方法不唯一，如由y＝cos x的圖象向右平移個單位長度可得y＝sin x的圖象．
課時分層作業(四十八)　正弦函數、余弦函數的圖象
一、選擇題
1．若點M在函數y＝sin x的圖象上，則m等于(　　)
A．0　　　B．1　　　C．－1　　　D．2
C　[當x＝時，y＝sin ＝1，故－m＝1，m＝－1．故選C．]
2．要得到正弦曲線，只要將余弦曲線(　　)
A．向右平移個單位長度
B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度
D．向左平移π個單位長度
A　[由于cos ＝sin x，所以只需將y＝cos x 的圖象向右平移個單位長度即可．]
3．下列函數圖象相同的是(　　)
A．f (x)＝sin x與g(x)＝sin (π＋x)
B．f (x)＝sin 與g(x)＝sin
C．f (x)＝sin x與g(x)＝sin (－x)
D．f (x)＝sin (2π＋x)與g(x)＝sin x
D　[對于A，g(x)＝sin (π＋x)＝－sin x，故兩函數圖象不同；
對于B，f (x)＝－cos x，g(x)＝cos x，故兩函數圖象不同；
對于C，g(x)＝sin (－x)＝－sin x，故兩函數圖象不同；
對于D，f (x)＝sin (2π＋x)＝sin x＝g(x)，符合題意，故選D．]
4．函數y＝sin |x|的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
B　[y＝sin |x|＝
結合選項可知B正確．]
5．(多選)下列在(0，2π)上的區間能使cos x>sin x成立的是(　　)
A． B．
C． D．∪
AC　[在同一平面直角坐標系中，畫出正、余弦函數的圖象，如圖，
在(0，2π)上，當cos x＝sin x時，x＝或x＝，結合圖象可知滿足cos x>sin x的是和．]
二、填空題
6．函數y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝－的交點有________個．
2　[由圖象可知：函數y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝－有兩個交點．]
7．函數y＝－cos x(x≥0)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標為________．
(π，1)　[函數y＝－cos x(x≥0)的圖象如圖所示：
則圖象中與y軸最近的最高點的坐標為(π，1)．]
8．在[0，2π]內，不等式sin x－的解集為________．
　[由圖可知，當x∈時，不等式sin x－成立．
]
三、解答題
9．用“五點法”作下列函數的簡圖．
(1)y＝2sin x(x∈[0，2π])；
(2)y＝sin ．
[解]　(1)列表如下：
x 0 π 2π
2sin x 0 2 0 －2 0
描點連線如圖：
(2)列表如下：
x π 2π
sin 0 1 0 －1 0
描點連線如圖：
10．方程sin x＝的根的個數是(　　)
A．7　　　B．8　　　C．9　　　D．10
A　[在同一坐標系內畫出y＝和y＝sin x的圖象如圖所示：
根據圖象可知方程有7個根．故選A．]
11．如圖所示，函數y＝cos x·|tan x|的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
C　[當0≤x＜時，y＝cos x·|tan x|＝sin x；
當＜x≤π時，y＝cos x·|tan x|＝－sin x；
當π＜x＜時，y＝cos x·|tan x|＝sin x，故其圖象為C．]
12．方程x2－cos x＝0的實數解的個數是________，所有的實數解的和為________．
2　0　[作出函數y＝cos x與y＝x2的圖象，如圖所示，
由圖象可知，兩函數圖象有兩個交點，且兩個交點關于y軸對稱，故原方程有兩個實數解，且兩個實數解之和為0．]
13．函數y＝2cos x，x∈[0，2π]的圖象和直線y＝2圍成的一個封閉的平面圖形的面積是________．
4π　[如圖所示，將余弦函數的圖象在x軸下方的部分補到x軸的上方，可得一個矩形，其面積為2π×2＝4π．
]
14．用“五點法”作出函數y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的簡圖，并回答下列問題：
(1)觀察函數圖象，寫出滿足下列條件的x的區間．
①y>1；②y1．
(2)若直線y＝a與y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的圖象有兩個交點，求a的取值范圍．
[解]　列表如下：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖：
(1)由圖象可知，圖象在直線y＝1上方部分時y>1，在直線y＝1下方部分時y1，所以①當x∈(－π，0)時，y>1；②當x∈(0，π)時，y1．
(2)如圖所示，當直線y＝a與y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的圖象有兩個交點時，1a3或－1a1，所以a的取值范圍是(－1，1)∪(1，3)．
15．函數f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點，求k的取值范圍．
[解]　f (x)＝sin x＋2|sin x|＝
圖象如圖所示，
若使f (x)的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點，根據圖象可得k的取值范圍是(1，3)．5.4　三角函數的圖象與性質
5.4.1　正弦函數、余弦函數的圖象
1．理解正弦曲線和余弦曲線間的關系，會用“五點(畫圖)法”畫給定區間上的正弦函數、余弦函數的圖象．(直觀想象)
2．掌握正弦函數與余弦函數圖象間的關系以及圖象的變換，能通過函數圖象解決簡單的問題．(直觀想象)
如圖，將一個漏斗掛在架子上，做一個簡易的單擺，在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸．把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，這就是簡諧運動的圖象．物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”．你能描述一下該類曲線的特征嗎？
知識點　正弦函數、余弦函數的圖象
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象
圖象 畫法 五點法 五點法
關鍵 五點 ________， ，________， ，________ ________，， ________，， ________
正(余) 弦曲線 正(余)弦函數的______叫做正(余)弦曲線
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正弦函數y＝sin x的圖象向左右和上下無限伸展． (　　)
(2)正弦函數y＝sin x的圖象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的圖象形狀相同，只是位置不同． (　　)
(3)正弦函數y＝sin x(x∈R)的圖象關于x軸對稱． (　　)
(4)余弦函數y＝cos x(x∈R)的圖象關于原點成中心對稱． (　　)
(5)將余弦函數y＝cos x(x∈R)的圖象向右平移個單位長度即可得到正弦函數y＝sin x (x∈R)的圖象． (　　)
類型1　正弦(余弦)函數圖象的初步認識
【例1】　下列敘述中正確的個數是(　　)
①y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象關于點P(π，0)成中心對稱；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象關于直線x＝π成軸對稱；
③正弦、余弦函數的圖象不超過直線y＝1和y＝－1所夾的范圍．
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　正、余弦曲線的對稱性
函數 對稱中心 對稱軸
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
提醒：對稱中心處函數值為0，對稱軸處函數值為－1或1．
[跟進訓練]
1．(多選)下列關于正弦函數、余弦函數的圖象的描述，正確的是(　　)
A．都可由[0，2π]內的圖象向上、向下無限延展得到
B．都是對稱圖形
C．都與x軸有無數個交點
D．y＝sin (－x)的圖象與y＝sin x的圖象關于x軸對稱
類型2　用“五點法”作三角函數的圖象
【例2】　用“五點法”作出下列函數的簡圖．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的圖象的三個步驟
[跟進訓練]
2．用“五點法”畫出函數y＝＋sin x，x∈[0，2π]的圖象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　正弦(余弦)函數圖象的應用
【例3】　利用正弦函數的圖象，求滿足sin x≥，x∈[0，2π]的x的集合．
思路導引：作出直線y＝及函數y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．在本例中把“x∈[0，2π]”改為“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．求不等式cos x≤，x∈R的解集．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用三角函數圖象解sin x>a(或cos x>a)的3個步驟
(1)作出直線y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的圖象．
(2)確定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)確定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范圍時，一般先利用圖象求出x∈[0，2π]范圍內x的取值范圍，然后根據終邊相同角的同一三角函數值相等，寫出原不等式的解集．
[跟進訓練]
3．利用正弦曲線，求滿足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)用“五點法”畫y＝3cos x，x∈[0，2π]的圖象時，下列是關鍵點的是(　　)
A．　　B．　　C．(π，0)　　D．(2π，3)
2．在同一平面直角坐標系內，函數y＝sin x，x∈[0，2π]與y＝sin x，x∈[2π，4π]的圖象(　　)
A．重合
B．形狀相同，位置不同
C．關于y軸對稱
D．形狀不同，位置不同
3．函數y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的簡圖是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
4．不等式cos x<0，x∈[0，2π]的解集為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．畫正(余)弦曲線的五個關鍵點分別是什么？
2．余弦曲線與正弦曲線的形狀完全一樣嗎？如何通過平移余弦曲線得到正弦曲線？5.4.2　正弦函數、余弦函數的性質
第1課時　周期性與奇偶性
1．理解周期函數的概念，能熟練地求出簡單三角函數的周期．(數學抽象、邏輯推理)
2．會根據之前所學結合函數的圖象研究三角函數的奇偶性，能正確判斷一些三角函數的變式的奇偶性．(直觀想象)
明日復明日，明日何其多．我生待明日，萬事成蹉跎．如果今天是星期六，從明天起為第一天，那么至少再過幾天為星期六？三角函數是否具有周期性？
知識點1　函數的周期性
(1)周期函數：設函數f (x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函數f (x)就叫做周期函數．非零常數T叫做這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f (x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f (x)的最小正周期．
知識點2　正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性
函數 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函數 偶函數
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若sin ＝sin ，則是函數y＝sin x的一個周期． (　　)
(2)所有的周期函數都有最小正周期． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．函數y＝sin 的最小正周期為________，該函數是________函數(填奇偶性)．
2π　偶　[y＝sin ＝cos x，故此函數的最小正周期為2π且是偶函數．]
類型1　三角函數的周期
【例1】　求下列函數的周期：
(1)f (x)＝cos ；(2)f (x)＝|sin x|．
[解]　(1)法一(定義法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f (x＋π)，即f (x＋π)＝f (x)，
∴函數f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵y＝cos ，
∴ω＝2．
又T＝＝π．
∴函數f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(2)法一(定義法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期為π．
法二(圖象法)：
作出函數y＝|sin x|的圖象如圖所示．
由圖象可知T＝π．
　求三角函數周期的方法
(1)公式法：對形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A≠0，ω≠0)的函數，T＝．
(2)定義法：即利用周期函數的定義求解．
(3)圖象法：即通過觀察函數圖象求其周期．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[跟進訓練]
1．求下列函數的最小正周期：
(1)y＝7sin x，x∈R；
(2)y＝sin 2x，x∈R；
(3)y＝|cos x|，x∈R．
[解]　(1)因為7sin (x＋2π)＝7sin x，由周期函數的定義知，y＝7sin x的周期為2π．
(2)因為sin 2(x＋π)＝sin (2x＋2π)＝sin 2x，由周期函數的定義知，y＝sin 2x的周期為π．
(3) y＝|cos x|的圖象如圖(實線部分)所示．
由圖象可知，y＝|cos x|的周期為π．
類型2　三角函數奇偶性的判斷
【例2】　判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)顯然x∈R，f (x)＝cos ，
∵f (－x)＝cos ＝cos ＝f (x)，
∴f (x)是偶函數．
(2)由得cos x＝，
∴f (0)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f (x)既是奇函數又是偶函數．
(3)∵1＋sin x≠0，
∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定義域不關于原點對稱，
∴該函數是非奇非偶函數．
　
1．判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱；
二看f (x)與f (－x)的關系．
2．對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷．
提醒：研究函數性質應遵循“定義域優先”的原則．
[跟進訓練]
2．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；(2)f (x)＝cos sin ．
[解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定義域為R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)為偶函數．
(2)f (x)的定義域為R，由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因為f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)為奇函數．
類型3　三角函數的奇偶性與周期性的綜合應用
【例3】　(1)下列函數中是奇函數，且最小正周期是π的函數是(　　)
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，若f (x)的最小正周期為π，且當x∈時，f (x)＝sin x，則f 等于(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
(1)D　(2)D　[(1)y＝cos |2x|是偶函數，y＝|sin 2x|是偶函數，y＝sin ＝cos 2x是偶函數，y＝cos ＝－sin 2x是奇函數，根據公式得其最小正周期T＝π．故選D．
(2)f ＝f ＝f
＝f ＝f ＝f ＝sin ．]
[母題探究]
若本例(2)中的“偶函數”改為“奇函數”，“π”改為“”，其他條件不變，結果如何？
[解]　f ＝f ＝f
＝－f ＝－sin ＝－．
　與三角函數奇偶性有關的結論
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
[跟進訓練]
3．(1)設函數f (x)(x∈R)滿足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，則函數y＝f (x)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)函數y＝f (x)是R上的周期為3的偶函數，且f (－1)＝3，則f (2 023)＝________．
(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，則f (x)是偶函數，圖象關于y軸對稱．
由f (x＋2)＝f (x)，則f (x)的周期為2．故選B．
(2)∵f (x)為周期是3的偶函數，
∴f (2 023)＝f (3×674＋1)＝f (1)＝f (－1)＝3．]
1．函數y＝sin 的最小正周期為(　　)
A．π　　　B．2π　　　C．4π　　　D．
C　[T＝＝4π．故選C．]
2．函數f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數
A　[f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)為奇函數．故選A．]
3．函數f (x)＝7sin 是(　　)
A．周期為3π的偶函數　 B．周期為2π的奇函數
C．周期為3π的奇函數　 D．周期為的偶函數
A　[∵f (x)＝7cos x，∴T＝3π，為偶函數．故選A．]
4．若函數y＝f (x)是定義在R上的周期為3的奇函數且f (1)＝3，則f (5)＝________．
－3　[由已知得f (x＋3)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，則f (x)是周期函數嗎？
[提示]　不一定．若T≠0，則f (x)是周期函數，否則不是．
2．你能寫出計算f (x)＝A sin (ωx＋φ)與g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式嗎？
[提示]　函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)與g(x)＝A cos (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都為T＝．
3．你能歸納一下正弦函數與余弦函數的奇偶性和對稱性嗎？
[提示]　正弦函數為奇函數，其圖象關于原點對稱；余弦函數為偶函數，其圖象關于y軸對稱．
正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．5.4.2　正弦函數、余弦函數的性質
第1課時　周期性與奇偶性
1．理解周期函數的概念，能熟練地求出簡單三角函數的周期．(數學抽象、邏輯推理)
2．會根據之前所學結合函數的圖象研究三角函數的奇偶性，能正確判斷一些三角函數的變式的奇偶性．(直觀想象)
明日復明日，明日何其多．我生待明日，萬事成蹉跎．如果今天是星期六，從明天起為第一天，那么至少再過幾天為星期六？三角函數是否具有周期性？
知識點1　函數的周期性
(1)周期函數：設函數f (x)的定義域為D，如果存在一個________T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且________________，那么函數f (x)就叫做周期函數．__________叫做這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f (x)的所有周期中存在一個最小的__________，那么這個最小__________就叫做f (x)的最小正周期．
知識點2　正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性
函數 y＝sin x y＝cos x
周期 ________________ 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π ________
奇偶性 ________ ________
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若sin ＝sin ，則是函數y＝sin x的一個周期． (　　)
(2)所有的周期函數都有最小正周期． (　　)
2．函數y＝sin 的最小正周期為______，該函數是________函數(填奇偶性)．
類型1　三角函數的周期
【例1】　求下列函數的周期：
(1)f (x)＝cos ；
(2)f (x)＝|sin x|．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求三角函數周期的方法
(1)公式法：對形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A≠0，ω≠0)的函數，T＝．
(2)定義法：即利用周期函數的定義求解．
(3)圖象法：即通過觀察函數圖象求其周期．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[跟進訓練]
1．求下列函數的最小正周期：
(1)y＝7sin x，x∈R；
(2)y＝sin 2x，x∈R；
(3)y＝|cos x|，x∈R．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　三角函數奇偶性的判斷
【例2】　判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱；
二看f (x)與f (－x)的關系．
2．對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷．
提醒：研究函數性質應遵循“定義域優先”的原則．
[跟進訓練]
2．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　三角函數的奇偶性與周期性的綜合應用
【例3】　(1)下列函數中是奇函數，且最小正周期是π的函數是(　　)
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定義在R上的函數f (x)既是偶函數，又是周期函數，若f (x)的最小正周期為π，且當x∈時，f (x)＝sin x，則f 等于(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
若本例(2)中的“偶函數”改為“奇函數”，“π”改為“”，其他條件不變，結果如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　與三角函數奇偶性有關的結論
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數，則φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數，則φ＝kπ(k∈Z)．
[跟進訓練]
3．(1)設函數f (x)(x∈R)滿足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，則函數y＝f (x)的圖象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(2)函數y＝f (x)是R上的周期為3的偶函數，且f (－1)＝3，則f (2 023)＝________．
1．函數y＝sin 的最小正周期為(　　)
A．π　　　B．2π　　　C．4π　　　D．
2．函數f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．非奇非偶函數
3．函數f (x)＝7sin 是(　　)
A．周期為3π的偶函數　
B．周期為2π的奇函數
C．周期為3π的奇函數　
D．周期為的偶函數
4．若函數y＝f (x)是定義在R上的周期為3的奇函數且f (1)＝3，則f (5)＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，則f (x)是周期函數嗎？
2．你能寫出計算f (x)＝A sin (ωx＋φ)與g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式嗎？
3．你能歸納一下正弦函數與余弦函數的奇偶性和對稱性嗎？第2課時　單調性與最值
1．會求函數y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的單調區間．(數學運算)
2．能利用單調性比較函數值的大小以及求函數的最值、值域等問題．(邏輯推理、數學運算)
過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，該工具包含了許多物理學原理，人們在設計過山車時巧妙地運用了這些原理．一個基本的過山車構造中，包含了爬升、滑落、倒轉(兒童過山車沒有倒轉)幾個循環路徑．正弦曲線、余弦曲線也像過山車一樣“爬升”“滑落”，這是它們的哪些性質？
知識點　正弦函數、余弦函數的圖象和性質
解析式 y＝sin x y＝cos x
圖象
值域 [－1，1] [－1，1]
單調 性 在(k∈Z)上單調遞增，在(k∈Z)上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上單調遞增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上單調遞減
最值 x＝＋2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正弦函數、余弦函數在R上都是單調函數． (　　)
(2)存在x∈R滿足cos x＝1.2． (　　)
(3)函數y＝－sin x，x∈的最大值為0． (　　)
(4)函數y＝sin x的增區間恰好是y＝sin (－x)的減區間． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．函數y＝－2cos x的最大值為________，此時x＝________．
2　π＋2kπ，k∈Z　[當x＝π＋2kπ，k∈Z時y＝－2cos x取得最大值2．]
3．函數y＝sin x的圖象的對稱軸方程為________，對稱中心為________．
x＝＋kπ，k∈Z　(kπ，0)，k∈Z
類型1　求正弦函數、余弦函數的單調區間
【例1】　求函數y＝2sin 的單調區間．
[解]　令z＝x－，則y＝2sin z．
∵z＝x－是增函數，
∴y＝2sin z單調遞增時，
函數y＝2sin 也單調遞增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函數y＝2sin 的單調遞增區間為(k∈Z)．
同理可求函數y＝2sin 的單調遞減區間為(k∈Z)．
[母題探究]
1．求函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調區間．
[解]　由例題知f (x)＝2sin 的單調遞增區間為k∈Z．
又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調遞減區間為．
∴函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．
2．求函數y＝sin 的單調遞增區間．
[解]　y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的單調遞增區間是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函數y＝sin 的單調遞增區間為，k∈Z．
　求解與正弦、余弦函數有關的單調區間的兩個技巧
(1)數形結合法：結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)整體代換：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間時，應采用整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出原函數的單調區間．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間同上．
提醒：復合函數的單調性遵循“同增異減”的規律．
[跟進訓練]
1．(源自湘教版教材)求函數y＝cos 的單調遞增區間．
[解]　cos ＝cos ．
令z＝2x－，函數y＝cos z的單調遞增區間是[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z．
由π＋2kπ≤2x－≤2π＋2kπ，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
因此，函數y＝cos 的單調遞增區間是，k∈Z．
類型2　利用三角函數的單調性比較大小
【例2】　利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小．
(1)sin 與sin ；
(2)sin 196°與cos 156°；
(3)cos 與cos ．
[解]　(1)∵－＜－＜－，且y＝sin x在上是單調遞增的，
∴sin ＞sin ．
(2)sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos (180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
從而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°．
(3)cos ＝cos π
＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π
＝cos ＝cos ．
∵0＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是單調遞減的，
∴cos π＜cos ，
即cos ＜cos ．
　三角函數值大小比較的策略
(1)利用誘導公式，對于正弦函數來說，一般將兩個角轉化到或內；對于余弦函數來說，一般將兩個角轉化到[－π，0]或[0，π]內．
(2)不同名的函數化為同名的函數．
(3)自變量不在同一單調區間化至同一單調區間內，借助正弦、余弦函數的單調性來比較大小．
[跟進訓練]
2．比較下列各組數的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1．
[解]　(1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因為0＜＜π，
而y＝cos x在[0，π]上單調遞減，
所以cos ＞cos ，即cos ＞cos ．
(2)因為cos 1＝sin ，
而0＜－1＜1＜，且y＝sin x在上單調遞增，所以sin ＜sin 1，即cos 1＜sin 1．
類型3　正弦函數、余弦函數的最值問題
　正弦、余弦函數的最值(值域)問題
【例3】　求函數y＝2cos ，x∈的值域．
[解]　∵－x，∴02x＋，
∴－cos 1，
∴函數y＝2cos ，x∈的值域為(－1，2)．
　二次函數型三角函數最值(值域)問題
【例4】　求函數y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值時的x的集合．
思路導引：
[解]　y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx
＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sin x－2)2＋5．
所以當sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z時，ymax＝4；
當sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z時，ymin＝－4．
所以ymax＝4，此時x的取值集合是；
ymin＝－4，此時x的取值集合是．
　三角函數最值問題的3種常見類型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函數(或余弦函數)的有界性，注意對a正負的討論．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sin x，轉化為二次函數y＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要根據定義域來確定．
[跟進訓練]
3．求函數y＝cos2x－sinx，x∈的最值．
[解]　y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－＋．
因為－≤x≤，－≤sin x≤，
所以當sin x＝－，即x＝－時，函數取得最大值，ymax＝；
當sin x＝，即x＝時，函數取得最小值，ymin＝－．
1．下列命題中正確的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限內單調遞減
B．y＝sin x在第一象限和第三象限內單調遞增
C．y＝cos x在上單調遞減
D．y＝sin x在上單調遞增
D　[對于y＝cos x，該函數的單調遞減區間為[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A錯誤，C錯誤；對于y＝sin x，該函數的單調遞增區間為，k∈Z，故B錯誤，D正確．]
2．y＝2cos x的值域是(　　)
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[－2，0] D．R
A　[因為x∈R，所以y＝2cos x∈[－2，2]．故選A．]
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
＞　[sin ＝sin ＝sin ，
因為0＜，y＝sin x在上是單調遞增函數，所以sin ＜sin ，即sin ＞sin ．]
4．函數y＝1－sin 2x的單調遞增區間為________．
(k∈Z)　[求函數y＝1－sin 2x的單調遞增區間，轉化為求函數y＝sin 2x的單調遞減區間，由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函數y＝1－sin 2x的單調遞增區間是(k∈Z)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區間？
[提示]　把ωx＋φ看成一個整體，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區間即為單調遞增區間，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區間即為單調遞減區間．若ω＜0，先利用誘導公式把ω轉化為正數后，再利用上述整體思想求出相應的單調區間．
2．如何利用函數單調性比較sin α與sin β的大小關系？
[提示]　比較三角函數值的大小，先利用誘導公式把問題轉化為同一單調區間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單調性作出判斷．
3．求三角函數最值或值域的常用方法有哪些？
[提示]　單調性法、配方法或換元法等．第2課時　單調性與最值
1．會求函數y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的單調區間．(數學運算)
2．能利用單調性比較函數值的大小以及求函數的最值、值域等問題．(邏輯推理、數學運算)
過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，該工具包含了許多物理學原理，人們在設計過山車時巧妙地運用了這些原理．一個基本的過山車構造中，包含了爬升、滑落、倒轉(兒童過山車沒有倒轉)幾個循環路徑．正弦曲線、余弦曲線也像過山車一樣“爬升”“滑落”，這是它們的哪些性質？
知識點　正弦函數、余弦函數的圖象和性質
解析式 y＝sin x y＝cos x
圖象
值域 ________ ________
單調 性 在(k∈Z)上單調遞增，在(k∈Z)上單調遞減 在________________上單調遞增， 在__________________上單調遞減
最值 x＝____________時，ymax＝1；x＝______________時，ymin＝－1 x＝__________時，ymax＝1；x＝____________時，ymin＝－1
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正弦函數、余弦函數在R上都是單調函數． (　　)
(2)存在x∈R滿足cos x＝1.2． (　　)
(3)函數y＝－sin x，x∈的最大值為0． (　　)
(4)函數y＝sin x的增區間恰好是y＝sin (－x)的減區間． (　　)
2．函數y＝－2cos x的最大值為________，此時x＝________．
3．函數y＝sin x的圖象的對稱軸方程為________，對稱中心為________．
類型1　求正弦函數、余弦函數的單調區間
【例1】　求函數y＝2sin 的單調區間．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．求函數f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的單調區間．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．求函數y＝sin 的單調遞增區間．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解與正弦、余弦函數有關的單調區間的兩個技巧
(1)數形結合法：結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)整體代換：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間時，應采用整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出原函數的單調區間．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間同上．
提醒：復合函數的單調性遵循“同增異減”的規律．
[跟進訓練]
1．(源自湘教版教材)求函數y＝cos 的單調遞增區間．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　利用三角函數的單調性比較大小
【例2】　利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小．
(1)sin 與sin ；
(2)sin 196°與cos 156°；
(3)cos 與cos ．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函數值大小比較的策略
(1)利用誘導公式，對于正弦函數來說，一般將兩個角轉化到或內；對于余弦函數來說，一般將兩個角轉化到[－π，0]或[0，π]內．
(2)不同名的函數化為同名的函數．
(3)自變量不在同一單調區間化至同一單調區間內，借助正弦、余弦函數的單調性來比較大小．
[跟進訓練]
2．比較下列各組數的大小：
(1)cos ，cos ；(2)cos 1，sin1．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　正弦函數、余弦函數的最值問題
　正弦、余弦函數的最值(值域)問題
【例3】　求函數y＝2cos ，x∈的值域．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二次函數型三角函數最值(值域)問題
【例4】　求函數y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值時的x的集合．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函數最值問題的3種常見類型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函數(或余弦函數)的________，注意對________的討論．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得________的范圍，然后求得________________________的范圍，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝________，轉化為二次函數y＝____________求最值，t的范圍需要根據________來確定．
[跟進訓練]
3．求函數y＝cos2x－sinx，x∈的最值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列命題中正確的是(　　)
A．y＝cos x在第一象限和第四象限內單調遞減
B．y＝sin x在第一象限和第三象限內單調遞增
C．y＝cos x在上單調遞減
D．y＝sin x在上單調遞增
2．y＝2cos x的值域是(　　)
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[－2，0] D．R
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
4．函數y＝1－sin 2x的單調遞增區間為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區間？
2．如何利用函數單調性比較sin α與sin β的大小關系？
3．求三角函數最值或值域的常用方法有哪些？5.4.3　正切函數的性質與圖象
1．了解正切函數圖象的畫法，理解并掌握正切函數的性質．(直觀想象、數學抽象)
2．能利用正切函數的圖象與性質解決有關問題．(直觀想象、數學運算)
類比借助單位圓繪制函數y＝sin x圖象的方法，先畫出y＝tan x的圖象，進而借助圖象分析函數性質，這就是本節課的知識，讓我們來一起學習．
知識點　正切函數的圖象與性質
解析式 y＝tan x
圖象
定義域 _
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函數
對稱中心 ，k∈Z
單調性 在每一個區間，k∈Z上都單調遞增
正切函數在整個定義域上是單調遞增的嗎？
[提示]　不是．正切函數在每一個區間(k∈Z)上是單調遞增的，但在整個定義域上不具有單調性．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正切函數的定義域和值域都是R． (　　)
(2)正切函數圖象是中心對稱圖形，有無數個對稱中心． (　　)
(3)正切函數圖象有無數條對稱軸，其對稱軸是x＝kπ±，k∈Z． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
類型1　正切函數的圖象
【例1】　函數y＝tan 在一個周期內的圖象是(　　)
　
A　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　D
A　[法一：利用“三點兩線法”列表、描點、連線的方法畫簡圖比較．
法二：當x＝時，tan ＝0，排除C、D．
當x＝時，tan ＝tan ，無意義，排除B．故選A．]
　解決與正切函數有關的圖象識別問題的常用方法
(1)作圖法：先作出相關函數的圖象，再對照選項確定正確答案．
(2)性質法：研究相關函數的性質(特別是定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、特殊點、函數值變化規律等)，排除相關選項，從而確定正確答案．
[跟進訓練]
1．(1)圖中的圖形分別是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈內的大致圖象，那么由a到d對應的函數關系式應是(　　)
a　　　　　　　　　　b
c　　　　　　　　　　d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多選)與函數y＝tan 的圖象不相交的一條直線是(　　)
A．x＝　　B．x＝－　　C．x＝　　D．x＝－
(1)D　(2)AD　[(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是單調遞減的，只有圖象d符合，即d對應③．故選D．
(2)令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，∴直線x＝＋，k∈Z與函數y＝tan 的圖象不相交，
令k＝－1，得x＝－，令k＝0，得x＝．]
類型2　正切函數的周期性、奇偶性與對稱性
【例2】　(1)函數f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性為(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．非奇非偶函數
D．既是奇函數又是偶函數
(2)y＝tan 的最小正周期為________；對稱中心為________．
(1)A　(2)　(k∈Z)　[(1)由題意可知，自變量x的取值范圍為．
又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，
∴f (x)為奇函數，故選A．
(2)T＝，令2x＋(k∈Z)，
則x＝－(k∈Z)．
所以對稱中心為(k∈Z)．]
　與正切函數有關的周期性、奇偶性解題策略
(1)一般地，函數y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期為T＝，常常利用此公式來求周期．
(2)判斷函數的奇偶性要先求函數的定義域，判斷其是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數無奇偶性；若對稱，再判斷f (－x)與f (x)的關系．
[跟進訓練]
2．(1)函數y＝tan 的一個對稱中心是(　　)
A．(0，0)　　B．　　C．　　D．(π，0)
(2)函數f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期為π的奇函數
B．周期為π的偶函數
C．周期為的奇函數
D．周期為的偶函數
(1)C　(2)D　[(1)令x＋，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
所以函數y＝tan 的對稱中心是，k∈Z．令k＝2，可得函數的一個對稱中心為．
(2)f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)為偶函數，T＝．故選D．]
類型3　正切函數的單調性
　比較大小
【例3】　(源自湘教版教材)利用函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
[解]　(1)由于 －－π－3.1－3－π，
且函數y＝tan x 在區間上單調遞增，
因此tan (－3.1)tan (－3)．
(2)由于－＋π＋π，且函數y＝tan x在區間上單調遞增，因此tan tan ．
　求正切函數的單調區間
【例4】　求函數y＝3tan 的單調區間．
[解]　y＝3tan ＝－3tan ，
由－＋kπ＜2x－＋kπ，k∈Z得，
－＋＜x＜＋，k∈Z，
所以y＝3tan 的單調遞減區間為，k∈Z．
　
1．運用正切函數單調性比較大小的方法
(1)運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內．
(2)運用單調性比較大小關系．
2．求函數y＝tan (ωx＋φ)的單調區間的方法
當ω>0時，先把ωx＋φ看成一個整體，解－＋kπωx＋φ＋kπ，k∈Z即可；當ω0時，先用誘導公式把ω化為正值再求單調區間．
[跟進訓練]
3．(1)函數y＝tan 的單調遞增區間為________．
(2)利用正切函數的單調性比較下列各組中兩個正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；
②tan π________tan ．
(1)，k∈Z　(2)①>　②>　[(1)由kπ－x－kπ＋，k∈Z，得kπ－xkπ＋，k∈Z，
所以函數y＝tan 的單調遞增區間是，k∈Z．
(2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因為y＝tan x在上單調遞增，
所以tan 220°>tan 200°．
②tan π＝tan ＝tan ，tan ＝tan ＝tan ，
因為－，
y＝tan x在上單調遞增，所以tan ，
即tan π>tan ．]
1．函數y＝2tan 的最小正周期是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[T＝．故選B．]
2．(多選)已知函數f (x)＝tan 2x，則下列結論正確的是(　　)
A．f (x)是奇函數
B．f (x)的定義域是
C．f (x)在上單調遞增
D．y＝f (x)的圖象的對稱中心是，k∈Z
ACD　[f (x)的定義域為，B錯誤；f (－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f (x)，∴f (x)是奇函數，A正確；令－＋kπ2x＋kπ，k∈Z，則－＋x＋，k∈Z，故f (x)在上單調遞增，C正確；令2x＝，k∈Z，則x＝，k∈Z，故y＝f (x)的圖象的對稱中心是，k∈Z，D正確．故選ACD．]
3．不等式tan x≥1的解集為________．
　[因為tan x≥1＝tan ，
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z．]
4．比較大小：tan ________tan ．
　[因為tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0，y＝tan x在上單調遞增，
所以tan tan ，即tan tan ．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
你能歸納比較正切函數與正弦函數、余弦函數的性質嗎？
[提示]　
性質 正切函數(y＝tan x) 正弦函數(y＝sin x)、 余弦函數(y＝cos x)
定義域 R
值域 R [－1，1]
最值 無 最大值為1
最小值為－1
單調性 僅有單調遞增區間，不存在單調遞減區間 單調遞增區間、單調遞減區間均存在
奇偶性 奇函數 正弦函數是奇函數
余弦函數是偶函數
周期性 T＝π T＝2π
對稱性 有無數個對稱中心，不存在對稱軸 對稱中心和對稱軸均有無數個5.4.3　正切函數的性質與圖象
1．了解正切函數圖象的畫法，理解并掌握正切函數的性質．(直觀想象、數學抽象)
2．能利用正切函數的圖象與性質解決有關問題．(直觀想象、數學運算)
類比借助單位圓繪制函數y＝sin x圖象的方法，先畫出y＝tan x的圖象，進而借助圖象分析函數性質，這就是本節課的知識，讓我們來一起學習．
知識點　正切函數的圖象與性質
解析式 y＝tan x
圖象
定義域 ____________________
值域 ____________________
周期 ____________________
奇偶性 ____________________
對稱 中心 ____________________
單調性 在每一個區間____________________上都單調遞增
正切函數在整個定義域上是單調遞增的嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正切函數的定義域和值域都是R． (　　)
(2)正切函數圖象是中心對稱圖形，有無數個對稱中心． (　　)
(3)正切函數圖象有無數條對稱軸，其對稱軸是x＝kπ±，k∈Z． (　　)
類型1　正切函數的圖象
【例1】　函數y＝tan 在一個周期內的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決與正切函數有關的圖象識別問題的常用方法
(1)作圖法：先作出相關函數的圖象，再對照選項確定正確答案．
(2)性質法：研究相關函數的性質(特別是定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、特殊點、函數值變化規律等)，排除相關選項，從而確定正確答案．
[跟進訓練]
1．(1)圖中的圖形分別是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈內的大致圖象，那么由a到d對應的函數關系式應是(　　)
a　　　　　　　　　　b
c　　　　　　　　　　d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多選)與函數y＝tan 的圖象不相交的一條直線是(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
類型2　正切函數的周期性、奇偶性與對稱性
【例2】　(1)函數f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性為(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．非奇非偶函數
D．既是奇函數又是偶函數
(2)y＝tan 的最小正周期為______；對稱中心為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　與正切函數有關的周期性、奇偶性解題策略
(1)一般地，函數y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期為T＝，常常利用此公式來求周期．
(2)判斷函數的奇偶性要先求函數的定義域，判斷其是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數無奇偶性；若對稱，再判斷f (－x)與f (x)的關系．
[跟進訓練]
2．(1)函數y＝tan 的一個對稱中心是(　　)
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
(2)函數f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期為π的奇函數
B．周期為π的偶函數
C．周期為的奇函數
D．周期為的偶函數
類型3　正切函數的單調性
　比較大小
【例3】　(源自湘教版教材)利用函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)tan(－3)，tan (－3.1)；(2)tan ，tan ．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求正切函數的單調區間
【例4】　求函數y＝3tan 的單調區間．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．運用正切函數單調性比較大小的方法
(1)運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內．
(2)運用單調性比較大小關系．
2．求函數y＝tan (ωx＋φ)的單調區間的方法
當ω>0時，先把ωx＋φ看成一個整體，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；當ω<0 時，先用誘導公式把ω化為正值再求單調區間．
[跟進訓練]
3．(1)函數y＝tan 的單調遞增區間為________．
(2)利用正切函數的單調性比較下列各組中兩個正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；
②tan π________tan ．
1．函數y＝2tan 的最小正周期是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．(多選)已知函數f (x)＝tan 2x，則下列結論正確的是(　　)
A．f (x)是奇函數
B．f (x)的定義域是
C．f (x)在上單調遞增
D．y＝f (x)的圖象的對稱中心是，k∈Z
3．不等式tan x≥1的解集為________．
4．比較大小：tan ________tan ．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
你能歸納比較正切函數與正弦函數、余弦函數的性質嗎？

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