資源簡介

5.5.1　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
第1課時　兩角差的余弦公式
1．了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程．(邏輯推理)
2．掌握兩角差的余弦公式的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算)
觀察下表中的數(shù)據(jù)：
cos (60°－30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos (120°－60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
－
從中你能發(fā)現(xiàn)cos (α－β)與cos α，cos β，sin α，sin β間的內(nèi)在關(guān)系嗎？
知識點　兩角差的余弦公式
公式：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
(1)簡記符號：C(α－β)．
(2)適用條件：公式中的角α，β是任意角．
(1)公式的左端為兩角差的余弦，右端為這兩角的同名三角函數(shù)值積的和．可用“余余正正號相反”記憶公式．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一個角，也可以是角的組合，如cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)·sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α．
當(dāng)α＝，β＝時，cos (α－β)＝cos α＋cos β成立．那么當(dāng)α，β∈R時，cos (α－β)＝cos α＋cos β恒成立嗎？
[提示]　不恒成立，如當(dāng)α＝，β＝時，cos (α－β)＝，cos α＋cos β＝．
cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________．
0　[原式＝cos (30°－120°)＝cos (－90°)＝0．]
類型1　給角求值問題
【例1】　(1)cos 15°的值是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
(2)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)＝________．
(1)D　(2)　[(1)cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×．
(2)原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos (－35°－25°)＝cos (－60°)＝cos 60°＝．]
　利用兩角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求值：(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
(2)cos(θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)sin (θ＋10°)．
[解]　(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin (90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos (90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos (44°－14°)＝cos 30°＝．
(2)cos (θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)sin (θ＋10°)＝cos [(θ＋70°)－(θ＋10°)]＝cos 60°＝．
類型2　給值求值問題
【例2】　已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，α，β均為銳角，求cos β的值．
思路導(dǎo)引：
[解]　因為sin α＝，且α為銳角，
所以cos α＝＝．
由cos (α＋β)＝－和0α＋β180°，
得sin (α＋β)＝＝．
于是cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×．
　給值求值問題的解題策略
(1)求解此類問題先要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，根據(jù)需要進(jìn)行拆角或湊角的變換．
(2)常見角的變換有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知sin ，α∈，求cos α的值．
[解]　∵α∈，∴＋α∈，
∴cos ＝－
＝－＝－．
∵α＝－，
∴cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×．
類型3　給值求角問題
【例3】　已知sin α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[解]　因為sin α＝，0＜α＜，
所以cos α＝＝．
因為cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，
所以sin (α－β)＝＝，
所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×．
因為0＜β＜，所以β＝．
　已知三角函數(shù)值求角的解題步驟
(1)界定角的范圍：根據(jù)條件確定所求角的范圍．
(2)求所求角的某個三角函數(shù)值：根據(jù)角的范圍選擇求哪一個三角函數(shù)值，原則是由所求的三角函數(shù)值能確定角所在的象限．
(3)求角：結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知α，β均為銳角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
[解]　∵α，β均為銳角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×．
又sin αsin β，∴0，∴－α－β0，故α－β＝－．
1．cos 20°等于(　　)
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
B　[cos 20°＝cos (30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°·sin 10°．]
2．已知α為銳角，β為第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，則cos (α－β)的值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
A　[∵α為銳角，cos α＝，∴sin α＝＝，
∵β為第三象限角，sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－．故選A．]
3．cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)＝________．
　[ 原式＝cos [θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝．]
4．已知α，β為銳角，cos α＝，sin (α＋β)＝，則角β＝________．
　[∵α為銳角，cos α＝，∴sin α＝．又∵β為銳角，∴0α＋βπ．
∵sin (α＋β)＝sin α，∴α＋βπ，∴cos (α＋β)＝－，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×．∵β為銳角，∴β＝．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．公式C(α－β)的結(jié)構(gòu)有何特點？
[提示]
可用口訣“余余正正，號相反”記憶公式．
2．公式C(α－β)中角α，β的適用條件是什么？
[提示]　公式中的α，β不僅可以是任意具體的角，也可以是一個“團(tuán)體”，如cos 中的“”相當(dāng)于公式中的角α，“”相當(dāng)于公式中的角β．
3．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能談一下“活用公式”的具體體現(xiàn)嗎？
[提示]　公式的運用要“活”，體現(xiàn)在正用、逆用、變用．而變用又涉及兩個方面．
①公式本身的變用，如cos (α－β)－cos αcos β＝sin αsin β．
②角的變用，也稱為角的變換，如：
cos α＝cos [(α＋β)－β]，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]．5.5.1　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
第1課時　兩角差的余弦公式
1．了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程．(邏輯推理)
2．掌握兩角差的余弦公式的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算)
觀察下表中的數(shù)據(jù)：
cos (60°－30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos (120°－60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
－
從中你能發(fā)現(xiàn)cos (α－β)與cos α，cos β，sin α，sin β間的內(nèi)在關(guān)系嗎？
知識點　兩角差的余弦公式
公式：cos (α－β)＝______________________________．
(1)簡記符號：C(α－β)．
(2)適用條件：公式中的角α，β是任意角．
(1)公式的左端為兩角差的余弦，右端為這兩角的同名三角函數(shù)值積的和．可用“余余正正號相反”記憶公式．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一個角，也可以是角的組合，如cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)·sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α．
當(dāng)α＝，β＝時，cos (α－β)＝cos α＋cos β成立．那么當(dāng)α，β∈R時，cos (α－β)＝cos α＋cos β恒成立嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________．
類型1　給角求值問題
【例1】　(1)cos 15°的值是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
(2)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)·sin (α＋25°)＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用兩角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求值：(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
(2)cos (θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)·sin (θ＋10°)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　給值求值問題
【例2】　已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，α，β均為銳角，求cos β的值．
思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　給值求值問題的解題策略
(1)求解此類問題先要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，根據(jù)需要進(jìn)行拆角或湊角的變換．
(2)常見角的變換有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知sin ＝，α∈，求cos α的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　給值求角問題
【例3】　已知sin α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知三角函數(shù)值求角的解題步驟
(1)________________：根據(jù)條件確定所求角的范圍．
(2)求所求角的________________：根據(jù)角的范圍選擇求哪一個三角函數(shù)值，原則是由所求的三角函數(shù)值能確定角所在的象限．
(3)________：結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知α，β均為銳角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．cos 20°等于(　　)
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
2．已知α為銳角，β為第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，則cos (α－β)的值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
3．cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)＝________．
4．已知α，β為銳角，cos α＝，sin (α＋β)＝，則角β＝________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．公式C(α－β)的結(jié)構(gòu)有何特點？
2．公式C(α－β)中角α，β的適用條件是什么？
3．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能談一下“活用公式”的具體體現(xiàn)嗎？第2課時　兩角和與差的正弦、余弦公式
1．掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式．(邏輯推理)
2．會用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等．(數(shù)學(xué)運算)
你能借助公式C(α－β)推導(dǎo)出C(α＋β)嗎？如何推導(dǎo)？如何實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，由此可以導(dǎo)出S(α＋β)嗎？讓我們一起進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)課堂．
知識點　三個公式
(1)兩角和的余弦公式
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，簡記作C(α＋β)．
(2)兩角和的正弦公式
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，簡記作S(α＋β)；
(3)兩角差的正弦公式
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，簡記作S(α－β)．
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin α＝________，sin ＝________．
[答案]　－　－
2．(1)cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________．
(2)sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝________．
[答案]　(1)　(2)
類型1　給角求值問題
【例1】　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
(2)＝________．
(1)B　(2)2－　[(1)法一：原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－．
法二：原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°
＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin (40°－70°)＝sin (－30°)
＝－sin 30°＝－．
(2)原式＝＝
＝＝＝2－．]
　解決給角求值問題的策略
(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形．
(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項并消項求值，變形后注意進(jìn)行約分，解題時要逆用或變用公式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；
(2)sin 15°＋sin 75°＝________．
(1)　(2) 　[(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝．
(2)sin 15°＋sin 75°＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝．]
類型2　給值求值問題
【例2】　已知sin α＝，cos β＝－，且α為第一象限角，β為第二象限角．求cos (α＋β)、sin (α－β)的值．
[解]　因為α為第一象限角，β為第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝．
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－．
所以 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－．
[母題探究]
若本例條件不變，求sin (α＋β)的值．
[解]　由本例可知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×．
　給值求值問題的解題策略
(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．
(2)當(dāng)“已知角”有一個時，應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自蘇教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β＝，α，β均為銳角，求sin α的值．
[解]　由α，β均為銳角，可知0°α＋β180°，從而sin β>0，sin (α＋β)>0．
由cos (α＋β)＝，得
sin (α＋β)＝＝．
由cos β＝，得sin β＝＝．
由公式S(α－β)，可得
sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)·sin β＝×－×．
類型3　給值求角問題
【例3】　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均為鈍角，求α＋β的值．
[解]　因為α和β均為鈍角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－＝－，cos β＝－＝－．
由α和β均為鈍角，得πα＋β2π，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×．所以α＋β＝．
　已知三角函數(shù)值求角的方法
已知三角函數(shù)值求角，在選三角函數(shù)時，可按以下原則：一般地，已知正弦、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍為，選正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都可；若角的范圍是，選正弦函數(shù)比余弦函數(shù)好；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)比正弦函數(shù)好．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．若sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．
[解]　因為α∈，β∈，且sin α＝－，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝，因此sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－×＋×，又因為α∈，β∈，
所以α＋β∈，故α＋β＝．
1．化簡：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
D　[原式＝sin (21°－81°)＝－sin 60°＝－．故選D．]
2．sin 105°的值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝×＋×．故選D．]
3．化簡：sin cos α－cos sin α＝________．
　[原式＝sin ＝sin ．]
4．若cos α＝－，α∈，則cos ＝________．
－　[因為cos α＝－，α∈，
所以sin α＝＝，
所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝－×－×＝－．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α＋β)，S(α－β)間存在怎樣的聯(lián)系？
[提示]　
2．根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一般的步驟是什么？
[提示]　根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一般先求出該角的某個三角函數(shù)值，再確定該角的取值范圍，最后得出該角的大小．第2課時　兩角和與差的正弦、余弦公式
1．掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式．(邏輯推理)
2．會用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等．(數(shù)學(xué)運算)
你能借助公式C(α－β)推導(dǎo)出C(α＋β)嗎？如何推導(dǎo)？如何實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，由此可以導(dǎo)出S(α＋β)嗎？讓我們一起進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)課堂．
知識點　三個公式
(1)兩角和的余弦公式
cos (α＋β)＝________________________，其中α，β∈R，簡記作C(α＋β)．
(2)兩角和的正弦公式
sin (α＋β)＝________________________，其中α，β∈R，簡記作S(α＋β)；
(3)兩角差的正弦公式
sin (α－β)＝________________________，其中α，β∈R，簡記作S(α－β)．
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin α＝________，sin ＝________．
2．(1)cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________．
(2)sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝________．
類型1　給角求值問題
【例1】　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
(2)＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決給角求值問題的策略
(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形．
(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項并消項求值，變形后注意進(jìn)行約分，解題時要逆用或變用公式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；
(2)sin 15°＋sin 75°＝________．
類型2　給值求值問題
【例2】　已知sin α＝，cos β＝－，且α為第一象限角，β為第二象限角．求cos (α＋β)、sin(α－β) 的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
若本例條件不變，求sin (α＋β)的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　給值求值問題的解題策略
(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．
(2)當(dāng)“已知角”有一個時，應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自蘇教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β ＝，α，β均為銳角，求sin α的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　給值求角問題
【例3】　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均為鈍角，求α＋β的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知三角函數(shù)值求角的方法
已知三角函數(shù)值求角，在選三角函數(shù)時，可按以下原則：一般地，已知正弦、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍為，選正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都可；若角的范圍是，選正弦函數(shù)比余弦函數(shù)好；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)比正弦函數(shù)好．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．若sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．化簡：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
2．sin 105°的值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
3．化簡：sin cos α－cos sin α＝________．
4．若cos α＝－，α∈，則cos ＝________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α＋β)，S(α－β)間存在怎樣的聯(lián)系？
2．根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一般的步驟是什么？第3課時　兩角和與差的正切公式
1．能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．(邏輯推理)
2．能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明．(數(shù)學(xué)運算)
3．熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算)
根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系tan θ＝，怎樣由sin (α＋β)以及cos (α＋β)的公式將tan (α＋β)用tan α，tan β來表示？如何將tan (α－β)用tan α，tan β來表示？
知識點　兩角和與差的正切公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的 正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1
兩角差的 正切 T(α－β) tan (α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
T(α±β)體現(xiàn)了tan αtan β與tan α±tan β的內(nèi)在聯(lián)系．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． (　　)
(2)對任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×
2．(1)已知tan α＝2，則tan ＝________；
(2)＝________．
[答案]　(1)－3　(2)
類型1　公式的正用、逆用
【例1】　(源自人教B版教材)求下列各式的值．
(1)tan 75°；(2)；(3)．
[解]　(1)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝2＋．
(2)＝tan (17°＋43°)＝tan 60°＝．
(3)因為tan 45°＝1，所以＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝．
　公式T(α±β)的正用、逆用
一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換，如tan ＝1，tan ，tan 等．
要特別注意tan ，tan 之間的互化或變形．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)若tan α＝，tan (α＋β)＝，則tan β＝(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
(2)計算：＝________．
(1)A　(2)1　[(1)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝．
(2)原式＝＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1．]
類型2　公式的變形應(yīng)用
【例2】　求值：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°；
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)．
[解]　(1)∵tan 67°－tan 22°
＝tan (67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1．
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2．
[母題探究]
1．將例2(1)中的角同時增加1°結(jié)果又如何？
[解]　∵tan 45°＝tan (68°－23°)＝，
∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，
即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1．
2．能否為例2(1)歸納出一個一般結(jié)論？若能，試證明．
[解]　一般結(jié)論：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，
則tan α－tan β－tan αtan β＝1．
證明：∵tan 45°＝tan (α－β)＝，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
即tan α－tan β－tan αtan β＝1．
　兩角和的正切公式的常見4種變形
(1)tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)．
(2)1－tan αtan β＝．
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)．
(4)tan αtan β＝1－．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．若α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
[解]　∵α＋β＝45°，∴tan (α＋β)＝tan 45°＝1．
∴原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝1＋tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β
＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2．
類型3　公式的綜合應(yīng)用
【例3】　(源自蘇教版教材)如圖，有三個相同的正方形相接，求證：α＋β＝．
[證明]　由題圖可知tan α＝，tan β＝，
從而得tan (α＋β)＝＝1．
因為α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)．
在區(qū)間(0，π)內(nèi)，正切值為1的角只有1個，
即tan ＝1．故α＋β＝．
　探究利用公式T(α±β)求角的步驟
(1)求值：根據(jù)題設(shè)條件求角的某一三角函數(shù)值．
(2)確定所求角的范圍(范圍討論的過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解)，根據(jù)范圍找出角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知點A，B的橫坐標(biāo)分別為，．
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
[解]　(1)由條件得cos α＝，cos β＝．
∵α，β為銳角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝．
因此tan α＝＝7，tan β＝．
∴tan (α＋β)＝＝－3．
(2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝＝，
∴tan (α＋2β)＝＝－1．
∵α，β為銳角，∴0α＋2β，∴α＋2β＝．
1．若tan α＝3，tan β＝，則tan (α－β)等于(　　)
A．3　　　B．－3　　　C．　　　D．－
C　[tan (α－β)＝．故選C．]
2．與相等的是(　　)
A．tan 66° B．tan 24°
C．tan 42° D．tan 21°
B　[原式＝＝tan (45°－21°)＝tan 24°．]
3．已知sin α＝，且α為銳角，tan β＝－3，且β為鈍角，則角α＋β的值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
B　[因為sin α＝，且α為銳角，
所以cos α＝，tan α＝，
所以tan (α＋β)＝＝－1．
又α＋β∈，故α＋β＝．]
4．計算tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝________．
1　[由tan (α＋β)＝的變形
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)得：
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35°，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．你能分析一下T(α±β)公式的特征嗎？
[提示]　公式的右邊為分式形式，其中分子為tan α，tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和．
公式中左邊的加減號與右邊分子上的加減號相同，與分母上的加減號相反．
符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”．
2．兩角和與差的正切公式揭示了tan αtan β與哪些式子的關(guān)系？當(dāng)式子中同時出現(xiàn)這些關(guān)系中的幾個時常怎么處理？
[提示]　揭示了tan αtan β與tan α＋tan β，tan αtan β與tan α－tan β之間的關(guān)系．
若化簡的式子中出現(xiàn)了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”兩個整體，常考慮tan (α±β)的變形公式．第3課時　兩角和與差的正切公式
1．能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．(邏輯推理)
2．能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明．(數(shù)學(xué)運算)
3．熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算)
根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系tan θ＝，怎樣由sin (α＋β)以及cos (α＋β)的公式將tan (α＋β)用tan α，tan β來表示？如何將tan (α－β)用tan α，tan β來表示？
知識點　兩角和與差的正切公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角 和的 正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ __________ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1
兩角 差的 正切 T(α－β) tan (α－β)＝ ____________ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
T(α±β)體現(xiàn)了tan αtan β與tan α±tan β的內(nèi)在聯(lián)系．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． (　　)
(2)對任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立． (　　)
2．(1)已知tan α＝2，則tan ＝________；
(2)＝________．
類型1　公式的正用、逆用
【例1】　(源自人教B版教材)求下列各式的值．
(1)tan 75°；
(2)；
(3)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　公式T(α±β)的正用、逆用
一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換，如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特別注意tan ＝，tan ＝之間的互化或變形．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)若tan α＝，tan (α＋β)＝，則tan β＝(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
(2)計算： ＝________．
類型2　公式的變形應(yīng)用
【例2】　求值：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°；
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．將例2(1)中的角同時增加1°結(jié)果又如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．能否為例2(1)歸納出一個一般結(jié)論？若能，試證明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　兩角和的正切公式的常見4種變形
(1)tan α＋tan β＝___________________________________________．
(2)1－tan αtan β＝____________．
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝________________________________．
(4)tan αtan β＝1－．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．若α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　公式的綜合應(yīng)用
【例3】　(源自蘇教版教材)如圖，有三個相同的正方形相接，求證：α＋β＝．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　探究利用公式T(α±β)求角的步驟
(1)求值：根據(jù)題設(shè)條件求角的某一三角函數(shù)值．
(2)確定所求角的范圍(范圍討論的過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解)，根據(jù)范圍找出角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知點A，B的橫坐標(biāo)分別為，．
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若tan α＝3，tan β＝，則tan (α－β)等于(　　)
A．3　　　B．－3　　　C．　　　D．－
2．與相等的是(　　)
A．tan 66°　　　B．tan 24°　　　C．tan 42°　　　D．tan 21°
3．已知sin α＝，且α為銳角，tan β＝－3，且β為鈍角，則角α＋β的值為(　　)
A．　　　C．
4．計算tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．你能分析一下T(α±β)公式的特征嗎？
2．兩角和與差的正切公式揭示了tan αtan β與哪些式子的關(guān)系？當(dāng)式子中同時出現(xiàn)這些關(guān)系中的幾個時常怎么處理？第4課時　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．能利用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(邏輯推理)
2．能利用二倍角公式進(jìn)行化簡、求值、證明．(數(shù)學(xué)運算)
在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，則上述公式會有什么變化？
對于cos 2α的等式能否可以變成只含有sin α或cos α的式子？
知識點　二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函數(shù) 公式 簡記
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan2α＝ T2α
倍角公式中的“倍角”是相對而言的．如4α是2α的二倍，“α＋β”是“”的二倍等等．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)sin α＝2sin cos ． (　　)
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． (　　)
(3)對任意角α，總有tan 2α＝． (　　)
(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
類型1　二倍角公式的正用、逆用
【例1】　求下列各式的值．
(1)1－2sin2 750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°．
[解]　(1)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500°＝cos (4×360°＋60°)＝cos 60°＝．
(2)原式＝＝＝＝2．
(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝．
　應(yīng)用二倍角公式化簡(求值)的策略
(1)化簡求值關(guān)注四個方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α．
(3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α cos αcos 2αcos 22α…cos 2n-1α＝．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)；
(3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°．
[解]　(1)原式＝－＝－cos π＝－cos ＝cos ．
(2) 原式＝2×＝－2．
(3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°
＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝
＝
＝．
類型2　條件求值問題
【例2】　已知sin ，0x，求的值．
[解]　原式＝＝＝2sin ．
∵sin ＝cos ，且0x，
∴＋x∈，∴sin ，
∴原式＝2×．
　當(dāng)遇到“±x”這樣的角時可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論溝通．
cos 2x＝sin ＝2sin cos ．
類似的變換還有：
cos 2x＝sin ＝2sin cos ，
sin 2x＝cos ＝2cos2－1，
sin 2x＝－cos ＝1－2cos2等．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知sin ，則sin 2α的值為(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
(2)已知sin ，那么cos 等于(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
(1)C　(2)A　[(1)sin 2α＝－cos ＝2sin2－1
＝2×－1＝－．故選C．
(2)cos ＝－cos ＝－cos
＝2sin2－1＝2×－1＝－．故選A．]
類型3　二倍角公式的綜合應(yīng)用
【例3】　(2022·東北師大附中月考)已知 tan ＝2．
(1)求tan α；
(2)求 的值．
[解]　(1)由tan ＝2得＝2，
即＝2，解得tan ，
所以tan α＝．
(2)＝．
　給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個觀察方向：
(1)有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化．
(2)尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．證明：．
[證明]　原式變形為1＋sin4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*)
而(*)式右邊＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)＝(2cos22θ＋2sin2θcos 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos 4θ＝左邊，
∴(*)式成立，即原式得證．
1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值為(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．　　　D．－
D　[因為sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－．故選D．]
2．若sin ，則cos α等于(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　C．
C　[cos α＝1－2sin2＝1－2×．故選C．]
3．化簡＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．　　　D．－1
B　[＝2．故選B．]
4．已知cos ，x∈，則cos 2x＝________．
－　[sin 2x＝cos ＝2cos2－1＝－，因為x∈，則2x∈，因此cos 2x＝－＝－．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．本節(jié)學(xué)習(xí)了哪些二倍角公式？
[提示]　sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝．
2．二倍角公式的常見變形有哪些？
[提示]　(1)sinαcos α＝sin 2α；
(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；
(3)cos2α＝，sin2α＝等．第4課時　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．能利用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(邏輯推理)
2．能利用二倍角公式進(jìn)行化簡、求值、證明．(數(shù)學(xué)運算)
在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，則上述公式會有什么變化？
對于cos 2α的等式能否可以變成只含有sin α或cos α的式子？
知識點　二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函數(shù) 公式 簡記
正弦 sin 2α＝____________ S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝____________ C2α
正切 tan2α＝____________ T2α
倍角公式中的“倍角”是相對而言的．如4α是2α的二倍，“α＋β”是“”的二倍等等．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)sin α＝2sin cos ． (　　)
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． (　　)
(3)對任意角α，總有tan 2α＝． (　　)
(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α． (　　)
類型1　二倍角公式的正用、逆用
【例1】　求下列各式的值．
(1)1－2sin2750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　應(yīng)用二倍角公式化簡(求值)的策略
(1)化簡求值關(guān)注四個方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α．
(3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α cos αcos 2αcos 22α…cos 2n-1α＝．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)；
(3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　條件求值問題
【例2】　已知sin ＝，0[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　當(dāng)遇到“±x”這樣的角時可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論溝通．
cos 2x＝sin ＝2sin cos ．
類似的變換還有：
cos 2x＝sin ＝2sin cos ，
sin 2x＝cos ＝2cos2－1，
sin 2x＝－cos ＝1－2cos2等．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知sin ，則sin 2α的值為(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
(2)已知sin ，那么cos 等于(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
類型3　二倍角公式的綜合應(yīng)用
【例3】　(2022·東北師大附中月考)已知 tan ＝2．
(1)求tan α；
(2)求 的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個觀察方向：
(1)有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化．
(2)尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．證明：＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值為(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．　　　D．－
2．若sin ，則cos α等于(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　C．
3．化簡＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．　　　D．－1
4．已知cos ，x∈，則cos 2x＝________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．本節(jié)學(xué)習(xí)了哪些二倍角公式？
2．二倍角公式的常見變形有哪些？

展開更多......

收起↑