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5.5.2　簡單的三角恒等變換
第1課時　簡單的三角恒等變換
1．通過二倍角公式的變形公式推導出半角的正弦、余弦、正切公式．(邏輯推理)
2．了解半角公式的結構形式，并能利用半角公式解決簡單的求值問題．(數學運算)
3．了解三角恒等變換的特點、變換技巧，能推導出三角函數的積化和差、和差化積公式．(邏輯推理)
前面我們已經學習了二倍角公式，你能用cos α表示sin2 ，cos2 及tan2 嗎？
知識點　半角公式
(1)sin ＝±；
(2)cos ＝±；
(3)tan ＝±；
(4)tan ＝．
半角公式中的“±”號由三角函數值在的終邊所在象限的符號決定．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)cos ． (　　)
(2)存在α∈R，使得cos cos α． (　　)
(3)對于任意α∈R，sin sin α都不成立． (　　)
(4)若α是第一象限角，則tan ． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
類型1　半角公式的應用
【例1】　(源自湘教版教材)已知sin α＝，求下列條件下sin ，cos ，tan 的值：
(1)0；
(2)角α在第一象限．
[解]　(1)當0時，0．
又sin α＝，
所以cos α＝＝，
所以sin ，
cos ，
tan ．
(2)當角α在第一象限時，2kπ2kπ＋(k∈Z)，則kπkπ＋(k∈Z)．
當k為偶數時，角在第一象限，故由(1)可得
sin ，cos ，tan ．
當k為奇數時，角在第三象限，此時有
sin ＝－，cos ＝－，tan ．
　利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解．
(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據角的范圍，求出相應半角的范圍．
(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tan ，其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題．
[跟進訓練]
1．求sin ，cos ，tan 的值．
[解]　sin ；
cos ；
tan －1．
類型2　化簡求值問題
【例2】　設θ∈(0，π)，化簡：．
[解]　原式＝
＝＝－．
因為0＜θ＜π，所以0＜，
所以cos ＞0，
所以原式＝－cos θ．
　化簡問題中的“三變”
(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯系它們的公式．
(2)變名：觀察三角函數種類的差異，盡量統一函數的名稱，如統一為弦或統一為切．
(3)變式：觀察式子的結構形式的差異，選擇適當的變形途徑，如升冪、降冪、配方、開方等．
[跟進訓練]
2．設α∈，化簡：．
[解]　∵α∈，∈，
∴cos α>0，cos 0，
故原式＝
＝＝－cos ．
類型3　三角恒等式的證明
【例3】　(源自湘教版教材)當α≠2kπ＋π(k∈Z)時，求證：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
[證明]　當a≠2kπ＋π(k∈Z)時，利用二倍角公式及sin2＋cos2＝1，
可得sin α＝2sin cos ．①
cos α＝cos2－sin2．②
將①②兩式相除，可得
tan α＝．
　證明恒等式的一般步驟
(1)先觀察，找出角、函數名稱、式子結構等方面的差異；
(2)本著“復角化單角”“異名化同名”“變換式子結構”“變量集中”等原則，設法消除差異，達到證明的目的．
[跟進訓練]
3．已知3sin β＝sin (2α＋β)，求證：tan (α＋β)＝2tan α．
[證明]　由3sin β＝sin (2α＋β)，得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
即3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α
＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α，
即2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α．
由cos (α＋β)cos α≠0，兩邊同除以cos (α＋β)cos α，
可得tan (α＋β)＝2tan α．
1．已知sin α＝，cos α＝，則tan 等于(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
C　[∵sin α＝，cos α＝，
∴tan －2．]
2．已知sin 2α＝，則cos2＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
D　[cos2，由于sin 2α＝，所以cos2，故選D．]
3．設5π6π，cos ＝a，則sin 等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
D　[若5π6π，則，則sin ＝－＝－．故選D．]
4．化簡的結果為________．
tan 2α　[原式＝·＝tan 2α．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．tan 與sin α，cos α存在怎樣的等量關系？
[提示]　tan ．
2．如何用cos α表示sin2，cos2？
[提示]　sin2，cos2．
3．如何用tan 表示sin α，cos α及tan α？
[提示]　sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中α≠2kπ＋π(k∈Z)．5.5.2　簡單的三角恒等變換
第1課時　簡單的三角恒等變換
1．通過二倍角公式的變形公式推導出半角的正弦、余弦、正切公式．(邏輯推理)
2．了解半角公式的結構形式，并能利用半角公式解決簡單的求值問題．(數學運算)
3．了解三角恒等變換的特點、變換技巧，能推導出三角函數的積化和差、和差化積公式．(邏輯推理)
前面我們已經學習了二倍角公式，你能用cos α表示sin2，cos2及tan2嗎？
知識點　半角公式
(1)sin ＝____________；
(2)cos ＝____________；
(3)tan ＝____________；
(4)tan ＝＝____________．
半角公式中的“±”號由三角函數值在的終邊所在象限的符號決定．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)cos ＝． (　　)
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α． (　　)
(3)對于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立． (　　)
(4)若α是第一象限角，則tan ＝． (　　)
類型1　半角公式的應用
【例1】　(源自湘教版教材)已知sin α＝，求下列條件下sin ，cos ，tan 的值：
(1)0<α<；(2)角α在第一象限．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解．
(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據角的范圍，求出相應半角的范圍．
(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tan ＝＝，其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題．
[跟進訓練]
1．求sin ，cos ，tan 的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　化簡求值問題
【例2】　設θ∈(0，π)，化簡：．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　化簡問題中的“三變”
(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯系它們的公式．
(2)變名：觀察三角函數種類的差異，盡量統一函數的名稱，如統一為弦或統一為切．
(3)變式：觀察式子的結構形式的差異，選擇適當的變形途徑，如升冪、降冪、配方、開方等．
[跟進訓練]
2．設α∈，化簡：．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　三角恒等式的證明
【例3】　(源自湘教版教材)當α≠2kπ＋π(k∈Z)時，求證：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明恒等式的一般步驟
(1)先觀察，找出角、函數名稱、式子結構等方面的差異；
(2)本著“復角化單角”“異名化同名”“變換式子結構”“變量集中”等原則，設法消除差異，達到證明的目的．
[跟進訓練]
3．已知3sin β＝sin (2α＋β)，求證：tan (α＋β)＝2tan α．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知sin α＝，cos α＝，則tan 等于(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
2．已知sin 2α＝，則cos2＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
3．設5π6π，cos ＝a，則sin 等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．化簡的結果為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1． tan 與sin α，cos α存在怎樣的等量關系？
2．如何用cos α表示sin2，cos2？
3．如何用tan 表示sin α，cos α及tan α？第2課時　三角恒等變換的應用
1．能夠利用三角恒等變換對三角函數進行化簡、合并．(數學運算)
2．能夠利用三角恒等變換解決幾何中的問題以及生活中的實際問題．(數學建模)
你從等式sin 20°－cos 20°＝ sin 20°cos 60°－cos 20°sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°的變形化簡中發現了什么？
知識點　輔助角公式
a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符號確定．
若sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，則φ＝________．
－　[因為sin x－cos x＝2＝2sin ，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－．]
類型1　輔助角公式
【例1】　化簡下列各式：
(1)y＝3sin x－cos x；
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；
(3)y＝sin ＋sin ．
[解]　(1)y＝3sin x－cos x＝2
＝2＝2sin ．
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)＝sin 2x cos 2x＋cos22x
＝sin 4x＋＝sin 4x＋cos 4x＋
＝＋
＝＋＝sin ＋．
(3)y＝sin ＋sin ＝sin ＋cos sin ＋sin
＝sin ＋＝sin ．
　將三角函數y＝f (x)化為f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的步驟
(1)將sin x cos x運用二倍角公式化為sin 2x，對sin2x，cos2x運用降冪公式，對sin(x±α)，cos(x±α)運用兩角和與差的公式展開．
(2)將(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化為f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式．
[跟進訓練]
1．化簡：(1)(cos x－sin x)；
(2)3sin x＋3cos x．
[解]　(1)(cos x－sin x)＝×＝2＝2cos ．
(2)3sin x＋3cos x＝6
＝6＝6cos ．
類型2　恒等變換與三角函數的性質
【例2】　已知函數f (x)＝2sin x cos x－2cos2x＋．
(1)求f (x)的最小正周期和對稱中心；
(2)求f (x)的單調遞減區間；
(3)當x∈時，求函數f (x)的最大值及取得最大值時x的值．
思路導引：f (x)f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k研究其性質．
[解]　(1)f (x)＝2sin x cos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
∴f (x)的最小正周期為＝π．
由2x－＝kπ(k∈Z)，可得x＝＋(k∈Z)，
∴函數f (x)的對稱中心為(k∈Z)．
(2)由2x－∈(k∈Z)，
可得x∈(k∈Z)，
∴f (x)的單調遞減區間為(k∈Z)．
(3)當x∈時，2x－∈，
∴2x－，即x＝時，函數f (x)取得最大值，最大值為．
　應用公式解決三角函數綜合問題的步驟
(1)降冪將解析式化為f (x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式：如將sin x cos x運用二倍角公式化為sin 2x，利用降冪公式sin2x＝，cos2x＝將解析式化為一次式．
(2)利用輔助角公式a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式．
(3)將“ωx＋φ”看作一個整體研究函數的性質．
[跟進訓練]
2．(源自湘教版教材)已知函數f (x)＝2sin cos ＋cos ，求函數f (x)的周期、最大值和最小值．
[解]　因為f (x)＝sin ＋cos
＝＝2sin ．
所以f (x)的周期T＝＝4π．
當sin ＝1時，f (x)取得最大值2；
當sin ＝－1時，f (x)取得最小值－2．
類型3　三角函數在實際問題中的應用
【例3】　在扇形OPQ中，OP＝R，圓心角∠POQ＝，若將此木料截成如圖所示的矩形，試求此矩形面積的最大值．
[解]　如圖，作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點M，N，連接OE，設∠MOE＝α，α∈，
在Rt△MOE中，ME＝R sin α，OM＝R cos α，
在Rt△ONH中，＝tan ，得ON＝NH＝R sin α，
則MN＝OM－ON＝R(cos α－sin α)．
設矩形EFGH的面積為S，
則S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－sin α)
＝R2(sin 2α＋cos 2α－)＝2R2sin －R2，
由α∈，則＜2α＋，
所以當2α＋，
即α＝時，Smax＝(2－)R2．
所以矩形面積的最大值為(2－)R2．
　用三角函數解實際問題應注意以下三點
(1)充分借助平面幾何性質，尋找數量關系；
(2)注意實際問題中變量的范圍；
(3)重視三角函數有界性的影響．
[跟進訓練]
3．如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應怎樣截取，才能使△OAB的周長最大？
[解]　如圖，設∠AOB＝α，△OAB的周長為l，則AB＝R sin α，OB＝R cos α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cos α
＝R(sin α＋cos α)＋R＝R sin ＋R．
∵0，∴α＋，
∴l的最大值為R＋R＝(＋1)R，此時，α＋，即α＝．
∴當∠AOB＝時，△OAB的周長最大．
1．(多選)cos α－sin α的化簡結果是(　　)
A．sin B．cos
C．sin D．cos
AD　[cos α－sin α＝cos sin ．故選AD．]
2．函數f (x)＝cos2，x∈R，則f (x)(　　)
A．是奇函數
B．是偶函數
C．既是奇函數，也是偶函數
D．既不是奇函數，也不是偶函數
D　[原式＝＝(1－sin 2x)＝－sin 2x，
此函數既不是奇函數也不是偶函數．故選D．]
3．函數f (x)＝sin2x的最小正周期為________．
π　[因為f (x)＝sin2x＝，
所以f (x)的最小正周期T＝＝π．]
4．在北京召開的國際數學家大會的會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，則cos 2θ＝________．
　[由題意得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，
所以cos θ－sin θ＝，
又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
所以cos θ＋sin θ＝，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試總結解決三角函數綜合問題的步驟．
[提示]　應用公式解決三角函數綜合問題的三個步驟：
↓
↓
利用輔助角公式化為f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，研究其性質
2．用三角函數解決實際問題時，通常選什么作為自變量？求定義域時應注意什么？
[提示]　通常選角作為自變量，求定義域時要注意實際意義和正弦、余弦函數有界性的影響．第2課時　三角恒等變換的應用
1．能夠利用三角恒等變換對三角函數進行化簡、合并．(數學運算)
2．能夠利用三角恒等變換解決幾何中的問題以及生活中的實際問題．(數學建模)
你從等式sin 20°－cos 20°＝ sin 20°·cos 60°－cos 20°sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°的變形化簡中發現了什么？
知識點　輔助角公式
a sin x＋b cos x＝________________(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符號確定．
若sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，則φ＝________．
類型1　輔助角公式
【例1】　化簡下列各式：
(1)y＝3sin x－cos x；
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；
(3)y＝sin ＋sin ．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　將三角函數y＝f (x)化為f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的步驟
(1)將sin x cos x運用二倍角公式化為sin 2x，對sin2x，cos2x運用降冪公式，對sin(x±α)，cos(x±α)運用兩角和與差的公式展開．
(2)將(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝·sin(α＋φ)化為f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式．
[跟進訓練]
1．化簡：(1)(cos x－sin x)；
(2)3sin x＋3cos x．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　恒等變換與三角函數的性質
【例2】　已知函數f (x)＝2sin x cos x－2cos2x＋．
(1)求f (x)的最小正周期和對稱中心；
(2)求f (x)的單調遞減區間；
(3)當x∈時，求函數f (x)的最大值及取得最大值時x的值．
思路導引：f (x)f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k研究其性質．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　應用公式解決三角函數綜合問題的步驟
(1)降冪將解析式化為f (x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式：如將sin x cos x運用二倍角公式化為sin 2x，利用降冪公式sin2x＝，cos2x＝將解析式化為一次式．
(2)利用輔助角公式a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式．
(3)將“ωx＋φ”看作一個整體研究函數的性質．
[跟進訓練]
2．(源自湘教版教材)已知函數f (x)＝2sin ·cos ＋cos ，求函數f (x)的周期、最大值和最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　三角函數在實際問題中的應用
【例3】　在扇形OPQ中，OP＝R，圓心角∠POQ＝，若將此木料截成如圖所示的矩形，試求此矩形面積的最大值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用三角函數解實際問題應注意以下三點
(1)充分借助平面幾何性質，尋找數量關系；
(2)注意實際問題中變量的范圍；
(3)重視三角函數有界性的影響．
[跟進訓練]
3．如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應怎樣截取，才能使△OAB的周長最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)cos α－sin α的化簡結果是(　　)
A．sin B．cos
C．sin D．cos
2．函數f (x)＝cos2，x∈R，則f (x)(　　)
A．是奇函數
B．是偶函數
C．既是奇函數，也是偶函數
D．既不是奇函數，也不是偶函數
3．函數f (x)＝sin2x的最小正周期為________．
4．在北京召開的國際數學家大會的會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，則cos2θ＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試總結解決三角函數綜合問題的步驟．
2．用三角函數解決實際問題時，通常選什么作為自變量？求定義域時應注意什么？

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