資源簡介

第1課時　函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象及變換
1．理解勻速圓周運動的數學模型．(數學建模)
2．理解參數A，ω，φ對函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的影響．(直觀想象)
3．掌握y＝sin x與y＝A sin (ωx＋φ)圖象間的變換關系，并能正確地指出其變換步驟．(邏輯推理)
在物理中，簡諧運動中單擺對平衡的位移y與時間x的關系、交流電的電流y與時間x的關系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函數．如圖(1)所示是某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖象．
(1)　　　　　　　　　　　(2)　
將測得的圖象放大如圖(2)所示，可以看出它和正弦曲線很相似．那么函數y＝A sin (ωx＋φ)與函數y＝sin x有什么關系呢？
知識點　A，ω，φ對函數y＝A sin (ωx＋φ)圖象的影響
(1)φ對y＝sin (x＋φ)，x∈R圖象的影響
(2)ω(ω＞0)對y＝sin (ωx＋φ)圖象的影響
(3)A(A＞0)對y＝A sin (ωx＋φ)圖象的影響
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝sin 3x的圖象向左平移個單位長度所得圖象的解析式是y＝sin ． (　　)
(2)y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標都變為原來的2倍所得圖象的解析式是y＝sin 2x． (　　)
(3)y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標都變為原來的2倍所得圖象的解析式是y＝sin x． (　　)
2．函數y＝sin 圖象上所有點的橫坐標保持不變，將縱坐標________(填“伸長”或“縮短”)為原來的________倍，將會得到函數y＝3sin 的圖象．
類型1　勻速圓周運動的數學模型
【例1】　如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心，r為半徑作圓，A為圓周上的一點，以Ox為始邊，射線OA為終邊的角為α，則點A的坐標是________，從A點出發，以恒定的角速度ω逆時針轉動，經過t秒轉動到點B，點B在y軸上的投影為點C，則點C的縱坐標y與時間t的函數關系為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　勻速圓周運動的數學模型一般都歸結為正弦型函數，求解時注意結合正弦函數的定義．
[跟進訓練]
1．已知以原點O為圓心的單位圓上有一質點P，它從初始位置P0開始，按逆時針方向以角速度1 rad/s做圓周運動．則點P的縱坐標y關于時間t的函數關系為(　　)
A．y＝sin ，t≥0
B．y＝sin ，t≥0
C．y＝cos ，t≥0
D．y＝cos ，t≥0
類型2　平移變換
【例2】　(1)將函數y＝sin x的圖象向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的圖象的解析式是(　　)
A．y＝sin ＋2
B．y＝sin －2
C．y＝sin －2
D．y＝sin ＋2
(2)(2022·浙江高考)為了得到函數y＝2sin 3x的圖象，只要把函數y＝2sin 圖象上所有的點(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圖象平移變換的方法
(1)確定平移方向和平移的量是解決平移變換的關鍵．
(2)當x的系數是1時，若φ＞0，則左移φ個單位長度；若φ＜0，則右移|φ|個單位長度．
(3)當x的系數是ω(ω＞0)時，若φ＞0，則左移個單位長度；若φ＜0，則右移個單位長度．
[跟進訓練]
2．為了得到y＝sin 的圖象，只需將函數y＝cos x的圖象向右平移__________個單位長度．
類型3　伸縮變換
【例3】　已知函數y＝sin ，該函數的圖象可由y＝sin x，x∈R的圖象經過怎樣的變換得到？(至少用兩種不同的方法)
思路導引：先平移后伸縮還是先伸縮后平移．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函數圖象變換的法一(先平移后伸縮)和法二(先伸縮后平移)需要注意以下兩點：
(1)兩種變換中平移的單位長度不同，分別是|φ| 和，但平移方向是一致的．
(2)雖然兩種平移單位長度不同，但平移時平移的對象已有變化，所以得到的結果是一致的．
[跟進訓練]
3．把函數y＝f (x)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的2倍，再把縱坐標縮短到原來的，所得圖象的解析式是y＝2sin ，則f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3cos x B．f (x)＝3sin x
C．f (x)＝3cos x＋3 D．f (x)＝sin 3x
1．(2022·北京通州期末)將函數y＝sin x的圖象C向左平移個單位長度得到曲線C1，然后再使曲線C1上各點的橫坐標變為原來的得到曲線C2，最后再把曲線C2上各點的縱坐標變為原來的2倍得到曲線C3，則曲線C3對應的函數是(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
2．為了得到函數y＝4sin ，x∈R的圖象，只需將函數y＝4sin ，x∈R的圖象上所有點的(　　)
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變
3．(2022·河南新鄉一中月考)已知P是半徑為3 cm的圓形砂輪邊緣上的一個質點，它從初始位置P0開始，按逆時針方向做勻速圓周運動，角速度為 rad/s．如圖，以砂輪圓心為原點，建立平面直角坐標系xOy，若∠P0Ox＝，則點P到x軸的距離d關于時間t(單位：s)的函數關系為(　　)
A．d＝3
B．d＝3
C．d＝3
D．d＝3
4．函數y＝cos x圖象上各點的縱坐標不變，把橫坐標變為原來的2倍，得到圖象的解析式為y＝cos ωx，則ω的值為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
你能描述一下由y＝sin x的圖象，通過圖象變換得到函數y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種不同的變換途徑嗎？第1課時　函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象及變換
1．理解勻速圓周運動的數學模型．(數學建模)
2．理解參數A，ω，φ對函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的影響．(直觀想象)
3．掌握y＝sin x與y＝A sin (ωx＋φ)圖象間的變換關系，并能正確地指出其變換步驟．(邏輯推理)
在物理中，簡諧運動中單擺對平衡的位移y與時間x的關系、交流電的電流y與時間x的關系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函數．如圖(1)所示是某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖象．
(1)　　　　　　　　　　(2)
將測得的圖象放大如圖(2)所示，可以看出它和正弦曲線很相似．那么函數y＝A sin (ωx＋φ)與函數y＝sin x 有什么關系呢？
知識點　A，ω，φ對函數y＝A sin (ωx＋φ)圖象的影響
(1)φ對y＝sin (x＋φ)，x∈R圖象的影響
(2)ω(ω＞0)對y＝sin (ωx＋φ)圖象的影響
(3)A(A＞0)對y＝A sin (ωx＋φ)圖象的影響
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝sin 3x的圖象向左平移個單位長度所得圖象的解析式是y＝sin ． (　　)
(2)y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標都變為原來的2倍所得圖象的解析式是y＝sin 2x． (　　)
(3)y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標都變為原來的2倍所得圖象的解析式是y＝sin x． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．函數y＝sin 圖象上所有點的橫坐標保持不變，將縱坐標________(填“伸長”或“縮短”)為原來的________倍，將會得到函數y＝3sin 的圖象．
[答案]　伸長　3
類型1　勻速圓周運動的數學模型
【例1】　如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心，r為半徑作圓，A為圓周上的一點，以Ox為始邊，射線OA為終邊的角為α，則點A的坐標是________，從A點出發，以恒定的角速度ω逆時針轉動，經過t秒轉動到點B(x，y)，點B在y軸上的投影為點C，則點C的縱坐標y與時間t的函數關系為________．
　y＝r sin (ωt＋α)(t≥0)
[設A(x0，y0)，則＝cos α，＝sin α，
所以x0＝r cos α，y0＝r sin α，即A．
經過t秒，以射線OB為終邊的角為ωt＋α，則B，
所以點C的縱坐標y與時間t的函數關系為y＝r sin (ωt＋α)(t≥0)．]
　勻速圓周運動的數學模型一般都歸結為正弦型函數，求解時注意結合正弦函數的定義．
[跟進訓練]
1．已知以原點O為圓心的單位圓上有一質點P，它從初始位置P0開始，按逆時針方向以角速度1 rad/s做圓周運動．則點P的縱坐標y關于時間t的函數關系為(　　)
A．y＝sin ，t≥0
B．y＝sin ，t≥0
C．y＝cos ，t≥0
D．y＝cos ，t≥0
A　[當時間為t時，點P所在角的終邊對應的角等于t＋，所以點P的縱坐標y關于時間t的函數關系為y＝sin ，t≥0．]
類型2　平移變換
【例2】　(1)將函數y＝sin x的圖象向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的圖象的解析式是(　　)
A．y＝sin ＋2 B．y＝sin －2
C．y＝sin －2 D．y＝sin ＋2
(2)(2022·浙江高考)為了得到函數y＝2sin 3x的圖象，只要把函數y＝2sin 圖象上所有的點(　　)
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
(1)D　(2)D　[(1)向左平移個單位長度得y＝sin ，再向上平移2個單位長度得y＝sin ＋2，故選D．
(2)因為y＝2sin 3x＝2sin ，所以把函數y＝2sin 圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數y＝2sin 3x的圖象．故選D．]
　圖象平移變換的方法
(1)確定平移方向和平移的量是解決平移變換的關鍵．
(2)當x的系數是1時，若φ＞0，則左移φ個單位長度；若φ＜0，則右移|φ|個單位長度．
(3)當x的系數是ω(ω＞0)時，若φ＞0，則左移個單位長度；若φ＜0，則右移個單位長度．
[跟進訓練]
2．為了得到y＝sin 的圖象，只需將函數y＝cos x的圖象向右平移__________個單位長度．
　[y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ，只需把y＝cos x的圖象向右平移個單位長度即得到y＝sin ．]
類型3　伸縮變換
【例3】　已知函數y＝sin ，該函數的圖象可由y＝sin x，x∈R的圖象經過怎樣的變換得到？(至少用兩種不同的方法)
思路導引：先平移后伸縮還是先伸縮后平移．
[解]　法一(先平移后伸縮)：
①把函數y＝sin x的圖象向左平移個單位長度，可以得到函數y＝sin 的圖象；
②把函數y＝sin 的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可以得到函數y＝sin 的圖象；
③把函數y＝sin 的圖象上各點的縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變，可以得到函數y＝sin 的圖象．
法二(先伸縮后平移)：
①把函數y＝sin x的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，而縱坐標不變，得到函數y＝sin 2x的圖象；
②把函數y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度，可以得到函數y＝sin 的圖象；
③把函數y＝sin 的圖象上各點的縱坐標縮短到原來的，而橫坐標不變，可以得到函數y＝sin 的圖象．
　三角函數圖象變換的法一(先平移后伸縮)和法二(先伸縮后平移)需要注意以下兩點：
(1)兩種變換中平移的單位長度不同，分別是|φ|和，但平移方向是一致的．
(2)雖然兩種平移單位長度不同，但平移時平移的對象已有變化，所以得到的結果是一致的．
[跟進訓練]
3．把函數y＝f (x)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的2倍，再把縱坐標縮短到原來的，所得圖象的解析式是y＝2sin ，則f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3cos x B．f (x)＝3sin x
C．f (x)＝3cos x＋3 D．f (x)＝sin 3x
A　[y＝2sin y＝3sin y＝3sin y＝3sin ＝3sin ＝3cos x．
故選A．]
1．(2022·北京通州期末)將函數y＝sin x的圖象C向左平移個單位長度得到曲線C1，然后再使曲線C1上各點的橫坐標變為原來的得到曲線C2，最后再把曲線C2上各點的縱坐標變為原來的2倍得到曲線C3，則曲線C3對應的函數是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
C　[由題得C1：y＝sin ，所以C2：y＝sin ，得到C3：y＝2sin ．故選C．]
2．為了得到函數y＝4sin ，x∈R的圖象，只需將函數y＝4sin ，x∈R的圖象上所有點的(　　)
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變
A　[函數y＝4sin 的圖象上各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到y＝4sin 的圖象．]
3．(2022·河南新鄉一中月考)已知P是半徑為3 cm的圓形砂輪邊緣上的一個質點，它從初始位置P0開始，按逆時針方向做勻速圓周運動，角速度為 rad/s．如圖，以砂輪圓心為原點，建立平面直角坐標系xOy，若∠P0Ox＝，則點P到x軸的距離d關于時間t(單位：s)的函數關系為(　　)
A．d＝3 B．d＝3
C．d＝3 D．d＝3
D　[由題意可知，經過t秒后，點P在角t－的終邊上，由三角函數定義可知，點P到x軸的距離d＝3．故選D．]
4．函數y＝cos x圖象上各點的縱坐標不變，把橫坐標變為原來的2倍，得到圖象的解析式為y＝cos ωx，則ω的值為________．
　[函數y＝cos xy＝cos x．所以ω＝．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
你能描述一下由y＝sin x的圖象，通過圖象變換得到函數y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種不同的變換途徑嗎？
[提示]　(1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin ＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．第2課時　函數y＝A sin (ωx＋φ)圖象及性質的應用
1．會用“五點法”畫函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象．(直觀想象)
2．能夠根據y＝A sin (ωx＋φ)的圖象確定其解析式．(直觀想象、數學運算)
3．掌握函數y＝A sin (ωx＋φ)的性質．(數學運算)
類型1　“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象
【例1】　作出函數y＝sin 在一個周期內的簡圖．
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　用“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象關鍵是抓住五個關鍵點，即三個“平衡點”(即ωx＋φ分別取0，π，2π時x所對應的點)、一個“波峰點”、一個“波谷點”．
[跟進訓練]
1．已知函數f (x)＝cos ，在給定坐標系中作出函數f (x)在[0，π]上的圖象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　求函數y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
【例2】　如圖是函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的一部分，求此函數的解析式．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　給出y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的一部分，確定A，ω，φ的方法
(1)逐一定參法：如果從圖象可直接確定A和ω，則選取“五點法”中的“第一零點”的數據代入“ωx＋φ＝0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”)求得φ或選取最大值點時代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，選取最小值點時代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
(2) 五點對應法：將若干特殊點代入函數式，可以求得相關待定系數A，ω，φ．這里需要注意的是，要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點，并能正確代入列式．
(3)圖象變換法：運用逆向思維的方法，先確定函數的基本解析式y＝A sin ωx，再根據圖象平移、伸縮規律確定相關的參數．
[跟進訓練]
2．已知函數f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，則函數f (x)的解析式為(　　)
A．y＝2cos ＋4
B．y＝2cos ＋4
C．y＝4cos ＋2
D．y＝4cos ＋2
類型3　函數y＝A sin (ωx＋φ)性質的綜合應用
【例3】　已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ<π)是R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區間上是單調函數，求φ和ω的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
將本例中“偶函數”改為“奇函數”，“其圖象關于點M對稱，且在區間上是單調函數”改為“在區間上為增函數”，試求ω的最大值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　研究y＝A sin (ωx＋φ)的性質的兩種方法
(1)客觀題可用驗證法：x＝θ為對稱軸，則f (θ)＝±A；(θ，0)為對稱中心，則f (θ)＝0；[m，n]為函數單調區間，則[ωm＋φ，ωn＋φ]為y＝sin x單調區間的子區間．
(2)主觀題主要利用整體代換法，令ωx＋φ＝t，則原問題轉化為研究y＝A sin t的性質．
[跟進訓練]
3．(多選)已知函數f (x)＝sin ，以下命題中為真命題的是(　　)
A．函數f (x)的圖象關于直線x＝對稱
B．x＝－是函數f (x)的一個零點
C．函數f (x)的圖象可由g(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到
D．函數f (x)在上是增函數
1．已知函數f (x)＝A sin (A＞0)在它的一個最小正周期內的圖象上，最高點與最低點的距離是5，則A等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
2．已知函數y＝sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
3．(多選)設函數f (x)＝cos ，則下列結論正確的是(　　)
A．f (x)的一個周期為－2π
B．y＝f (x)的圖象關于直線x＝對稱
C．f (x＋π)的一個零點為x＝
D．f (x)在上單調遞減
4．在函數y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的一個周期上，當x＝時，有最大值2，當x＝時，有最小值－2，則ω＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．作函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)圖象時，其五個關鍵點有何特征？
2．求函數y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
3．在研究函數y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性質時，常采用什么方法？第2課時　函數y＝A sin (ωx＋φ)圖象及性質的應用
1．會用“五點法”畫函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象．(直觀想象)
2．能夠根據y＝A sin (ωx＋φ)的圖象確定其解析式．(直觀想象、數學運算)
3．掌握函數y＝A sin (ωx＋φ)的性質．(數學運算)
類型1　“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象
【例1】　作出函數y＝sin 在一個周期內的簡圖．
[解]　列表：
2x＋ 0 π 2π
x －
y＝sin 0 0 － 0
描點、連線，如圖所示．
　用“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象關鍵是抓住五個關鍵點，即三個“平衡點”(即ωx＋φ分別取0，π，2π時x所對應的點)、一個“波峰點”、一個“波谷點”．
[跟進訓練]
1．已知函數f (x)＝cos ，在給定坐標系中作出函數f (x)在[0，π]上的圖象．
[解]　f (x)＝cos ，列表如下．
2x－ － 0 π
x 0 π
f (x) 1 0 －1 0
圖象如圖．
類型2　求函數y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
【例2】　如圖是函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的一部分，求此函數的解析式．
思路導引：
[解]　法一(逐一定參法)：
由圖象知A＝3, T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ)．∵點在函數圖象上，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又|φ|，∴φ＝，∴y＝3sin ．
法二(五點對應法)：
由圖象知A＝3．∵圖象過點和，
∴解得
∴y＝3sin ．
法三(圖象變換法)：
由A＝3，T＝π，點在圖象上，
可知函數圖象由y＝3sin 2x向左平移個單位長度而得，
∴y＝3sin ，即y＝3sin ．
　給出y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的一部分，確定A，ω，φ的方法
(1)逐一定參法：如果從圖象可直接確定A和ω，則選取“五點法”中的“第一零點”的數據代入“ωx＋φ＝0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”)求得φ或選取最大值點時代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，選取最小值點時代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
(2) 五點對應法：將若干特殊點代入函數式，可以求得相關待定系數A，ω，φ．這里需要注意的是，要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點，并能正確代入列式．
(3)圖象變換法：運用逆向思維的方法，先確定函數的基本解析式y＝A sin ωx，再根據圖象平移、伸縮規律確定相關的參數．
[跟進訓練]
2．已知函數f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，則函數f (x)的解析式為(　　)
A．y＝2cos ＋4
B．y＝2cos ＋4
C．y＝4cos ＋2
D．y＝4cos ＋2
A　[由函數f (x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函數f (x)的周期為×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因為點在函數f (x)的圖象上，
所以6＝2cos ＋4，所以cos ＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以f (x)＝2cos ＋4．故選A．]
類型3　函數y＝A sin (ωx＋φ)性質的綜合應用
【例3】　已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φπ)是R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區間上是單調函數，求φ和ω的值．
[解]　∵f (x)在R上是偶函數，
∴當x＝0時，f (x)取得最大值或最小值，
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z．又0≤φπ，∴φ＝．
由f (x)的圖象關于點M對稱，
可知sin ＝0，解得ω＝k－，k∈Z．
又f (x)在上是單調函數，∴T≥π，即≥π，∴0ω≤2，
∴當k＝1時，ω＝；當k＝2時，ω＝2．綜上，φ＝，ω＝或2．
[母題探究]
將本例中“偶函數”改為“奇函數”，“其圖象關于點M對稱，且在區間上是單調函數”改為“在區間上為增函數”，試求ω的最大值．
[解]　因為f (x)是奇函數，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0．
因為f (x)＝sin ωx在上是增函數，
所以 ，
于是，
解得0＜ω≤，所以ω的最大值為．
　研究y＝A sin (ωx＋φ)的性質的兩種方法
(1)客觀題可用驗證法：x＝θ為對稱軸，則f (θ)＝±A；(θ，0)為對稱中心，則f (θ)＝0；[m，n]為函數單調區間，則[ωm＋φ，ωn＋φ]為y＝sin x單調區間的子區間．
(2)主觀題主要利用整體代換法，令ωx＋φ＝t，則原問題轉化為研究y＝A sin t的性質．
[跟進訓練]
3．(多選)已知函數f (x)＝sin ，以下命題中為真命題的是(　　)
A．函數f (x)的圖象關于直線x＝對稱
B．x＝－是函數f (x)的一個零點
C．函數f (x)的圖象可由g(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到
D．函數f (x)在上是增函數
ABD　[令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，當k＝0時，x＝，即函數f (x)的圖象關于直線x＝對稱，選項A正確；令2x＋＝kπ(k∈Z)，當k＝0時，x＝－，即x＝－是函數f (x)的一個零點，選項B正確；2x＋＝2，故函數f (x)的圖象可由g(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到，選項C錯誤；若x∈，則2x＋∈，故f (x)在上是增函數，選項D正確．故選ABD．]
1．已知函數f (x)＝A sin (A＞0)在它的一個最小正周期內的圖象上，最高點與最低點的距離是5，則A等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
B　[函數f (x)＝A sin (A>0)的周期T＝＝6．∵函數f (x)＝A sin (A>0)在它的一個最小正周期內的圖象上，最高點與最低點的距離是5，∴，∴A＝2，故選B．]
2．已知函數y＝sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
D　[依題意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2．
又sin ＝sin ＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
由|φ|，得φ＝－．故選D．]
3．(多選)設函數f (x)＝cos ，則下列結論正確的是(　　)
A．f (x)的一個周期為－2π
B．y＝f (x)的圖象關于直線x＝對稱
C．f (x＋π)的一個零點為x＝
D．f (x)在上單調遞減
ABC　[因為T＝2π，故－2π也是f (x)的一個周期，A正確；f ＝cos ＝cos 3π＝－1，故B正確；由f (x＋π)＝cos＝－cos ＝0得x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，當k＝0時x＝，故C正確；函數f (x)＝cos 的圖象可由y＝cos x的圖象向左平移個單位得到，如圖可知，f (x)在上先遞減后遞增，D錯誤．
]
4．在函數y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的一個周期上，當x＝時，有最大值2，當x＝時，有最小值－2，則ω＝________．
2　[由題意得－，所以T＝π，又T＝＝π，解得ω＝2．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．作函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)圖象時，其五個關鍵點有何特征？
[提示]　 “五點法”中的五個點分別為函數的三個零點和兩個最值點．
2．求函數y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
[提示]　逐一定參法；五點對應法；圖象變換法．
3．在研究函數y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性質時，常采用什么方法？
[提示]　采用“換元”法整體代換，將(ωx＋φ)看作一個整體，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性質求解．

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