資源簡介

5.7　三角函數的應用
1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數的物理意義．(數學抽象)
2．會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題．(數學建模)
日常生活中，一般家用電器使用的電流都是交流電流，交流電流i與時間t的關系一般可以寫成i＝Imsin (ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常數．顯然，i是t的函數．那么，這種類型的函數在生產生活中有哪些應用？
知識點　函數y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數的物理意義
函數y＝－sin 的初相是－嗎？
[提示]　不是．因為函數y＝－sin ＝ sin ，故其初相是 ．
1．函數y＝3sin 的頻率為________，相位為________，初相為________．
　x－　－　[頻率為，相位為x－，初相為－．]
2．某人的血壓滿足函數式f (t)＝24sin 160πt＋110，其中f (t)為血壓(單位：mmHg)，t為時間(單位：min)，則此人每分鐘心跳的次數為________．
80　[∵f (t)＝24sin 160πt＋110，
∴T＝，f ＝＝80，
∴此人每分鐘心跳的次數為80．]
類型1　三角函數模型在物理學中的應用
【例1】　已知彈簧上掛著的小球做上下振動，它離開平衡位置(靜止時的位置)的距離h(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數關系式為：h＝3sin ．
(1)求小球開始振動的位置；
(2)求小球第一次上升到最高點和下降到最低點的時間；
(3)經過多長時間小球往返振動一次？
(4)每秒內小球能往返振動多少次？
[解]　(1)令t＝0，得h＝3sin ，所以開始振動的位置為平衡位置上方距離平衡位置 cm處．
(2)由題意知，當h＝3時，t的最小值為，即小球第一次上升到最高點的時間為 s．
當h＝－3時，t的最小值為，即小球第一次下降到最低點的時間為 s．
(3)T＝＝π，即經過π s小球往返振動一次．
(4)f ＝，即每秒內小球往返振動次．
　在物理學中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數y＝A sin (ωx＋φ)表示物體振動的位移y隨時間x的變化規律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T＝為周期，表示物體往復振動一次所需的時間，f ＝為頻率，表示物體在單位時間內往復振動的次數．
[跟進訓練]
1．電流I(單位：A)隨時間t(單位：s)變化的函數I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的圖象如圖所示，則t＝ s時的電流為______(A)．
0　[由函數的圖象可得A＝100，且×，故ω＝100π，而I＝100，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，故I(t)＝100sin ，故I＝100sin ＝0(A)．]
類型2　三角函數模型的實際應用
【例2】　(源自蘇教版教材)一半徑為3 m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘逆時針轉動4圈，且當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計算時間．
(1)將點P到水面的距離z(單位：m，在水面下，則z為負數)表示為時間t(單位：s)的函數；
(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間？
思路導引：建系設y＝A sin (ωt＋φ)解決問題．
[解]　(1)如圖，建立平面直角坐標系．
設角φ是以Ox為始邊，OP0為終邊的角．
由OP在t s內所轉過的角為t＝t，可知以Ox為始邊，OP為終邊的角為t＋φ，故P點縱坐標為3sin ，則z＝3sin ＋2．
當t＝0時，z＝0，可得sin φ＝－．
因為－0，所以φ≈－0.73，
故所求函數關系式為z＝3sin ＋2．
(2)令z＝3sin ＋2＝5，得sin ＝1．
取t－0.73＝，解得t≈5.5．
故點P第一次到達最高點大約需要5.5 s．
　解三角函數應用問題的基本步驟
提醒：關注實際意義注明函數的定義域．
[跟進訓練]
2．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120 m，轉盤直徑為110 m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30 min．游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動t min后距離地面的高度為H m，如圖以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式為(　　)
A．H＝55sin ，t∈[0，30]
B．H＝55sin ，t∈[0，30]
C．H＝55sin ＋55，t∈[0，30]
D．H＝55sin ＋65，t∈[0，30]
D　[因為游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30 min，所以游客進倉后第一次到達最高點時摩天輪旋轉半周，大約需要15 min，又因為摩天輪最高點距離地面高度為120 m，所以t＝15時，H＝120．對于A，t＝15時，H＝55sin ＝55sin ＝55，不符合題意；對于B，t＝15時，H＝55sin ＝55sin ＝－55，不符合題意；對于C，t＝15時，H＝55sin ＋55＝55sin ＋55＝0，不符合題意；對于D，t＝15時，H＝55sin ＋65＝55sin ＋65＝120，符合題意．故選D．]
類型3　數據擬合模型的應用
【例3】　某帆板集訓隊在一海濱區域進行集訓，該海濱區域的海浪高度y(單位：米)隨著時間t(0≤t≤24，單位：時)呈周期性變化，每天時刻t的浪高數據的平均值如表：
t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出這些數據的散點圖；
(2)從y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中選一個合適的函數模型，并求出該模型的解析式；
(3)如果確定在一天內的7時到19時之間，當浪高不低于0.8米時才進行訓練，試安排恰當的訓練時間．
[解]　(1)散點圖如圖所示．
(2)由(1)知選擇y＝A sin (ωt＋φ)＋b較合適．令A>0，ω>0，|φ|π．
由圖可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝．
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin ＋1，得φ＝0．
故所求擬合模型的解析式為y＝0.4sin t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin t＋1≥0.8，得sin t≥－．則－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再結合題意可知，應安排在11時到19時訓練較恰當．
　三角函數是基本初等函數之一，是反映周期變化現象的重要函數模型，在數學和其他領域具有重要作用，命題的背景常以波浪、潮汐、摩天輪等具有周期性現象的模型為載體，考查學生收集數據、擬合數據及應用已學知識處理實際問題的能力．
[跟進訓練]
3．一物體相對于某一固定位置的位移y(單位：cm)和時間t(單位：s)之間的一組對應值如表所示，則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關系的一個三角函數式為__________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
y＝－4cos t，t∈[0，＋∞)　[設y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，則從表中數據可以得到A＝4，ω＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin ，即y＝－4cos t，t∈[0，＋∞)．]
1．函數y＝sin 的周期、振幅、初相分別是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
B　[y＝sin 的周期T＝＝6π，振幅為，初相為．故選B．]
2．如圖，一個大風車的半徑為8 m，每12 min旋轉一周，最低點離地面2 m．若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離h(單位：m)與時間t(單位：min)之間的函數關系是(　　)
A．h＝8cos t＋10 B．h＝－8cos t＋10
C．h＝－8sin t＋10 D．h＝－8cos t＋10
D　[由T＝12，排除B；當t＝0時，h＝2，排除A，C．]
3．(多選)如圖所示是一個簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是(　　)
A．該質點的運動周期為0.8 s
B．該質點的振幅為－5 cm
C．該質點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大
D．該質點在0.3 s和0.7 s時的位移為零
AD　[由題圖可知T＝0.6，∴T＝0.8．振幅A＝5 cm，當t＝0.1 s或0.5 s時，v＝0．故選AD．]
4．某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時間之間關系的一個三角函數為________．
y＝0.2sin ＋3.8(φ為常數)　[設所求函數為y＝A sin (ωt＋φ)＋b，
由題意得T＝10，即ω＝，A＝0.2，b＝3.8，
故y＝0.2sin ＋3.8．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在日常生活中哪些問題可由三角函數模型求解？
[提示]　在日常生活中呈周期變化的現象，可利用三角函數模型y＝A sin (ωx＋φ)＋b描述其變化規律，并結合各參數的實際意義解決相關問題．
2．在處理曲線擬合和預測的問題時，通常需要幾個步驟？
[提示]　
正弦型函數與信號處理
兩個周期相同的正弦型函數相加，利用三角恒等變換，一定可以把結果化為同一個周期的正弦型函數．而且，不難看出，這一結果可以推廣到有限多個同周期的正弦型函數．
那么，不同周期的正弦型函數相加，結果會怎樣呢？圖1是函數f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的圖象，由此你能發現什么？
圖1
可以看出，f (x)的圖象呈現的還是周期性變化(事實上，f (x)仍是一個周期函數)．不過，相對于正弦曲線來說，f (x)的圖象變化更加豐富．
那么，這是不是意味著所有的周期函數都可以借助正弦型函數相加來表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如圖2所示是函數f (x)＝的圖象，如圖3所示是某種信號的波形，兩者相似嗎？
圖2
圖3
事實上，在現代社會中，信號處理是非常關鍵的技術．這只要想想我們幾乎每天都在使用的電話或互聯網就可以感受到！而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數！感興趣的同學可以查找有關資料了解更多信息．5．7　三角函數的應用
1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數的物理意義．(數學抽象)
2．會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題．(數學建模)
日常生活中，一般家用電器使用的電流都是交流電流，交流電流i與時間t的關系一般可以寫成i＝Imsin (ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常數．顯然，i是t的函數．那么，這種類型的函數在生產生活中有哪些應用？
知識點　函數y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數的物理意義
函數y＝－sin 的初相是－嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函數y＝3sin 的頻率為________，相位為________，初相為________．
2．某人的血壓滿足函數式f (t)＝24sin 160πt＋110，其中f (t)為血壓(單位：mmHg)，t為時間(單位：min)，則此人每分鐘心跳的次數為________．
類型1　三角函數模型在物理學中的應用
【例1】　已知彈簧上掛著的小球做上下振動，它離開平衡位置(靜止時的位置)的距離h(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數關系式為：h＝3sin ．
(1)求小球開始振動的位置；
(2)求小球第一次上升到最高點和下降到最低點的時間；
(3)經過多長時間小球往返振動一次？
(4)每秒內小球能往返振動多少次？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在物理學中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數y＝A sin (ωx＋φ)表示物體振動的位移y隨時間x的變化規律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T＝為周期，表示物體往復振動一次所需的時間，f ＝為頻率，表示物體在單位時間內往復振動的次數．
[跟進訓練]
1．電流I(單位：A)隨時間t(單位：s)變化的函數I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的圖象如圖所示，則t＝ s時的電流為________(A)．
類型2　三角函數模型的實際應用
【例2】　(源自蘇教版教材)一半徑為3 m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘逆時針轉動4圈，且當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計算時間．
(1)將點P到水面的距離z(單位：m，在水面下，則z為負數)表示為時間t(單位：s)的函數；
(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間？
思路導引：建系設y＝A sin (ωt＋φ)解決問題．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解三角函數應用問題的基本步驟
提醒：關注實際意義注明函數的定義域．
[跟進訓練]
2．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120 m，轉盤直徑為110 m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30 min．游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動t min后距離地面的高度為H m，如圖以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式為(　　)
A．H＝55sin ，t∈
B．H＝55sin ，t∈
C．H＝55sin ＋55，t∈
D．H＝55sin ＋65，t∈
類型3　數據擬合模型的應用
【例3】　某帆板集訓隊在一海濱區域進行集訓，該海濱區域的海浪高度y(單位：米)隨著時間t(0≤t≤24，單位：時)呈周期性變化，每天時刻t的浪高數據的平均值如表：
t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出這些數據的散點圖；
(2)從y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中選一個合適的函數模型，并求出該模型的解析式；
(3)如果確定在一天內的7時到19時之間，當浪高不低于0.8米時才進行訓練，試安排恰當的訓練時間．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函數是基本初等函數之一，是反映周期變化現象的重要函數模型，在數學和其他領域具有重要作用，命題的背景常以波浪、潮汐、摩天輪等具有周期性現象的模型為載體，考查學生收集數據、擬合數據及應用已學知識處理實際問題的能力．
[跟進訓練]
3．一物體相對于某一固定位置的位移y(單位：cm)和時間t(單位：s)之間的一組對應值如表所示，則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關系的一個三角函數式為__________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1．函數y＝sin 的周期、振幅、初相分別是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
2．如圖，一個大風車的半徑為8 m，每12 min旋轉一周，最低點離地面2 m．若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離h(單位：m)與時間t(單位：min)之間的函數關系是(　　)
A．h＝8cos t＋10
B．h＝－8cos t＋10
C．h＝－8sin t＋10
D．h＝－8cos t＋10
3．(多選)如圖所示是一個簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是(　　)
A．該質點的運動周期為0.8 s
B．該質點的振幅為－5 cm
C．該質點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大
D．該質點在0.3 s和0.7 s時的位移為零
4．某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時間之間關系的一個三角函數為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在日常生活中哪些問題可由三角函數模型求解？
2．在處理曲線擬合和預測的問題時，通常需要幾個步驟？
正弦型函數與信號處理
兩個周期相同的正弦型函數相加，利用三角恒等變換，一定可以把結果化為同一個周期的正弦型函數．而且，不難看出，這一結果可以推廣到有限多個同周期的正弦型函數．
那么，不同周期的正弦型函數相加，結果會怎樣呢？圖1是函數f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的圖象，由此你能發現什么？
圖1
可以看出，f (x)的圖象呈現的還是周期性變化(事實上，f (x)仍是一個周期函數)．不過，相對于正弦曲線來說，f (x)的圖象變化更加豐富．
那么，這是不是意味著所有的周期函數都可以借助正弦型函數相加來表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如圖2所示是函數f (x)＝的圖象，如圖3所示是某種信號的波形，兩者相似嗎？
圖2
圖3
事實上，在現代社會中，信號處理是非常關鍵的技術．這只要想想我們幾乎每天都在使用的電話或互聯網就可以感受到！而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數！感興趣的同學可以查找有關資料了解更多信息．

展開更多......

收起↑