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第5章 章末綜合提升
類型1　三角函數式的化簡與求值
1．對于三角函數的化簡與求值問題，要抓住三角函數的同角基本關系及和、差、倍、半角等公式及其變形．特別地，公式cos2α＝，sin2α＝常用來降冪．
2．誘導公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數值的化簡公式．記憶規律是：奇變偶不變，符號看象限．
3．掌握三角函數中公式的正用、逆用及變形用，提升邏輯推理和數學運算素養．
【例1】　(1)化簡： ＝________．
(2)已知sin sin ，α∈，則的值為__________．
(1)tan　(2)－　[(1)原式＝
＝＝tan ．
(2)∵＋，
∴sin ＝cos ．
∴sin sin ＝sin cos
＝sin ，∴sin ，
即cos 2α＝．
又α∈，
∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－．
∴cos2α＝．
∴＝－．]
類型2　三角函數的圖象與性質
1．三角函數的性質包括定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性質時，常視“ωx＋φ”為一個整體求解．
2．函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象
①“五點法”作圖；②圖象伸縮、平移變換．
3．掌握三角函數的圖象和性質，培養直觀想象和數學運算素養．
　三角函數的圖象變換
【例2】　(1)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，則下列結論正確的是(　　)
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
(2)設函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則A＋ω＋φ＝________．
(1)D　(2)3＋　[(1)因為y＝sin ＝cos ＝cos ，所以曲線C1：y＝cos x上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到曲線y＝cos 2x，再把得到的曲線y＝cos 2x向左平移個單位長度，得到曲線y＝cos 2＝cos ．故選D．
(2)由圖可知A＝2，－，所以T＝2π，所以ω＝1．再根據f ＝2，得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因為－，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋．]
　三角函數的性質
【例3】　(2022·天津南開期末)已知函數f (x)＝2sin sin x－2cos2x＋．
(1)求f (x)的最小正周期和對稱中心；
(2)求f (x)的單調遞減區間；
(3)當x∈時，求函數f (x)的最大值及取得最大值時x的值．
[解]　(1)f (x)＝2sin sin x－2cos2x＋
＝2sin x cos x－2cos2x＋
＝sin 2x－2＋
＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
所以函數y＝f (x)的最小正周期為T＝＝π．
由2x－＝kπ，可得x＝＋，
函數y＝f (x)的對稱中心為．
(2)解不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得kπ＋≤x≤kπ＋．
因此，函數y＝f (x)的單調遞減區間為．
(3)當x∈時，≤2x－≤，
所以當2x－，即x＝時，
函數y＝f (x)取得最大值，最大值為．
類型3　三角函數模型的應用
1．在幾何圖形中，引入參數角，用其來表示邊等量，這樣就會把一些幾何的最值問題轉化為三角函數的最值問題．
2．通過建立三角函數模型，提升數學建模素養．
【例4】　(2022·山東濟寧鄒城期中)我市某旅游區有一個人工湖，如圖所示，它的邊界是由圓O的半個圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和直徑MN構成．已知圓O的半徑為1千米．為增加旅游收入，現在該人工湖上規劃建造兩個觀景區：其中荷花池觀景區的形狀為矩形ABCD；噴泉觀景區的形狀為△CDP．要求端點A，B均在直徑MN上，端點C，D均在圓弧MPN上．設OC與直徑MN所成的角為θ．
(1)試用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積；
(2)若在矩形ABCD兩側線段AD，BC的位置架起兩座觀景橋，已知建造觀景橋的費用為每千米8萬元(包含橋的寬度費用)，建造噴泉觀景區費用為每平方千米16萬元，建造荷花池的總費用為5萬元．問：θ的角度為多少時，建造該觀景區總費用最低，并求出其最低費用值．(結果保留整數)
[解]　(1)由題意，∠COB＝θ∈，
易得OB＝cos θ，BC＝sin θ．
所以矩形ABCD的面積為S＝2cos θsin θ，
△CDP的面積為S△CDP＝×2cos θ(1－sin θ)＝cos θ－sin θcos θ．
(2)設建造觀景區所需總費用為F(θ)，
由題意，F(θ)＝16(cos θ－sin θcos θ)＋8×2sin θ＋5，θ∈，
即F(θ)＝16(sin θ＋cos θ－sin θcos θ)＋5，θ∈，
令f (θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，θ∈，
設sin θ＋cos θ＝t，則2sin θcos θ＝t2－1，
由t＝sin θ＋cos θ＝sin ∈(1，]，
從而f (t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1．
當t＝，即θ＝時，有f (t)min＝－．
所以F(θ)的最小值為16＋5＝16－3≈20(萬元)．
故當θ＝時，建造該觀該景區總費用最低，且最低費用約為20萬元．第5章 章末綜合提升
類型1　三角函數式的化簡與求值
1．對于三角函數的化簡與求值問題，要抓住三角函數的同角基本關系及和、差、倍、半角等公式及其變形．特別地，公式cos2α＝，sin2α＝常用來降冪．
2．誘導公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數值的化簡公式．記憶規律是：奇變偶不變，符號看象限．
3．掌握三角函數中公式的正用、逆用及變形用，提升邏輯推理和數學運算素養．
【例1】　(1)化簡： ＝________．
(2)已知sin sin ＝，α∈，則的值為__________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　三角函數的圖象與性質
1．三角函數的性質包括定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性質時，常視“ωx＋φ”為一個整體求解．
2．函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象
①“五點法”作圖；②圖象伸縮、平移變換．
3．掌握三角函數的圖象和性質，培養直觀想象和數學運算素養．
　三角函數的圖象變換
【例2】　(1)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，則下列結論正確的是(　　)
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
(2)設函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則A＋ω＋φ＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函數的性質
【例3】　(2022·天津南開期末)已知函數f ＝2sin sin x－2cos2x＋．
(1)求f 的最小正周期和對稱中心；
(2)求f 的單調遞減區間；
(3)當x∈時，求函數f (x)的最大值及取得最大值時x的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　三角函數模型的應用
1．在幾何圖形中，引入參數角，用其來表示邊等量，這樣就會把一些幾何的最值問題轉化為三角函數的最值問題．
2．通過建立三角函數模型，提升數學建模素養．
【例4】　(2022·山東濟寧鄒城期中)我市某旅游區有一個人工湖，如圖所示，它的邊界是由圓O的半個圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和直徑MN構成．已知圓O的半徑為1千米．為增加旅游收入，現在該人工湖上規劃建造兩個觀景區：其中荷花池觀景區的形狀為矩形ABCD；噴泉觀景區的形狀為△CDP．要求端點A，B均在直徑MN上，端點C，D均在圓弧MPN上．設OC與直徑MN所成的角為θ．
(1)試用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積；
(2)若在矩形ABCD兩側線段AD，BC的位置架起兩座觀景橋，已知建造觀景橋的費用為每千米8萬元(包含橋的寬度費用)，建造噴泉觀景區費用為每平方千米16萬元，建造荷花池的總費用為5萬元．問：θ的角度為多少時，建造該觀景區總費用最低，并求出其最低費用值．(結果保留整數)
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