資源簡介

對數函數
1對數的概念
① 概念
一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作
(底數，真數，對數)
② 兩個重要對數
常用對數以為底的對數，記為；
自然對數以無理數為底的對數的對數，記為．
③ 對數式與指數式的互化
對數式 指數式
④ 結論
(1)負數和零沒有對數 (2)
特別地，，，
2 對數的運算
如果，有
① ②
③ ④
⑤ 換底公式
利用換底公式推導下面的結論
① ② ③
特別注意：，
3 對數函數
① 對數函數的概念
函數叫做對數函數，其中是自變量.
② 圖像與性質
圖像
定義域
值域
過定點
奇偶性 非奇非偶
單調性 在上是增函數 在上是減函數
變化對圖像的影響 在第一象限內，越大圖象越靠低； 在第四象限內，越大圖象越靠高．
【題型一】對數的化簡與求值
【典題1】求值
【典題2】 若，且，，，則的值是 .
鞏固練習
1 (★) 已知函數，則 .
2 (★) 　 　．
3(★★) 求值:　 　．
4(★★) 求值:＝　 　．
5(★★) 若，且，則的值　 　．
6(★★★) 已知，，則＝　　.
7(★★★) 已知，若，，則＝　　．
【題型二】對數函數的圖象及應用
【典題1】 函數的圖象大致是(　　)
． ． ． ．
【典題2】 設均為正數，且，，，則(　　)
【典題3】 已知=，若，且，則的取值范圍是 .
鞏固練習
1(★) 已知，函數與函數的圖象可能是(　　)
A． B． C． D．
2(★) 已知圖中曲線分別是函數，，，的圖象，則的大小關系是(　　)
A． B．
C． D．
3(★★) 已知函數，若，且，則的取值范圍是(　　)
A．(2，+∞) B．[2，+∞)
4(★★) 已知函數，若且，則(　　)
．隨值變化
5 (★★★) 已知函數，，則圖象交于兩點，則(　　)
6 (★★★) 已知函數，若互不相等，且，則的取值范圍是　 　．
7 (★★★) 已知函數，，若對任意，總存在兩個，
使得，則實數的取值范圍是　 ．
【題型三】對數函數的性質及應用
角度1 比較對數式的大小
【典題1】已知，則a，b，c的大小關系為(　　)
【典題2】 設，則的大小關系為(　　)
【典題3】 已知，，，則a，b，c的大小關系為(　　)
角度2 求解對數型不等式和方程
【典題1】方程的解集為　 　．
【典題2】不等式的解集為 .
角度3 對數型函數綜合問題
【典題1】 函數的值域是 .
【典題2】 已知函數是上的奇函數，且滿足，當時，，
則方程解的個數是 .
【典題3】設，，則下列敘述正確的是(　　)
．若，則 ．若，則
．若，則 ．若，則
【典題4】已知函數．
求函數的定義域；
判斷函數的奇偶性；
當時，函數，求函數的值域．
【典題5】 設D是函數定義域的一個子集，若存在，使得成立，
則稱是的一個“準不動點”，也稱在區間上存在準不動點．
已知，．
(1)若，求函數的準不動點；
(2)若函數在區間上存在準不動點，求實數的取值范圍．
鞏固練習
1(★) 若，則(　　)
2(★★) 設，則(　　)
3(★★) 是定義在上的函數，且，當時，，則有(　　)
4(★★) 不等式的解集為　 　．
5(★★) 函數的單調遞增區間為　 　．
6(★★) 方程的解集為　 　．
7(★★★) 已知函數，，，且．
(1)若是關于的方程的一個解，求的值；
(2)當且時，解不等式；
(3)若函數在區間上有零點，求的取值范圍．
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1對數的概念
① 概念
一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作
(底數，真數，對數)
② 兩個重要對數
常用對數以為底的對數，記為；
自然對數以無理數為底的對數的對數，記為．
③ 對數式與指數式的互化
對數式 指數式
④ 結論
(1)負數和零沒有對數 (2)
特別地，，，
2 對數的運算
如果，有
① ②
③ ④
⑤ 換底公式
利用換底公式推導下面的結論
① ② ③
特別注意：，
3 對數函數
① 對數函數的概念
函數叫做對數函數，其中是自變量.
② 圖像與性質
圖像
定義域
值域
過定點
奇偶性 非奇非偶
單調性 在上是增函數 在上是減函數
變化對圖像的影響 在第一象限內，越大圖象越靠低； 在第四象限內，越大圖象越靠高．
【題型一】對數的化簡與求值
【典題1】求值
【解析】
【典題2】 若，且，，，則的值是 .
【解析】令．
則，，．
(利用換底公式，把數值化為同底，有利于求值去掉)
，
(，進行估值，要把其值的整數部分求出)
(利用對勾函數可得)
，
,
則，
則．
鞏固練習
1 (★) 已知函數，則 .
【答案】
【解析】，∴．
則．
2 (★) 　 　．
【答案】
＝9
．
3(★★) 求值:　 　．
【答案】
【解析】
4(★★) 求值:＝　 　．
【答案】
【解析】
＝．
故答案為：．
5(★★) 若，且，則的值　 　．
【答案】
【解析】，且，
，，
．
故選：．
6(★★★) 已知，，則＝　　.
【答案】
【解析】，，，
，，
，解得．
故答案為．
7(★★★) 已知，若，，則＝　　．
【答案】
【解析】；
；
；解得或；
；；；；
又；
；；或(舍去)；；
．
故答案為：．
【題型二】對數函數的圖象及應用
【典題1】 函數的圖象大致是(　　)
． ． ． ．
【解析】方法
，
因，由對數函數的性質易得選.
方法 函數圖象變換
故選．
【點撥】涉及對數函數型的函數，往往需要得到其圖象，方法有
① 利用要相應指數函數的圖象通過平移、對稱、翻轉變換得其圖象；
② 利用去掉絕對值得到分段函數得其圖象.
【典題2】 設均為正數，且，，，則(　　)
【解析】 分別作出四個函數，，的圖象，觀察它們的交點情況．由圖象知．故選．
【點撥】
① 中是函數與的交點橫坐標；
② 函數與互為反函數，圖象關于直線對稱. 函數與也是.
【典題3】 已知=，若，且，則的取值范圍是 .
思考痕跡 已知條件，相當于與一直線相交于四個點，四點的橫坐標是，所以想到數形結合.
【解析】 先畫出=的圖象，如圖
互不相同，不妨設．
且，．
由圖可知，關于對稱,
，，即，
故，由圖象可知，
由二次函數的知識可知，
的范圍為．
【點撥】 遇到分段函數，經常用數形結合的方法畫出函數圖象，注意一些關鍵的臨界值，比如處.
鞏固練習
1(★) 已知，函數與函數的圖象可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，則
從而，
函數與函數的單調性是在定義域內同增同減
結合選項可知選，
故答案為
2(★) 已知圖中曲線分別是函數，，，的圖象，則的大小關系是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】選.由已知圖中的四條曲線底數不同及圖象的位置關系，再利用結合圖象求解．
3(★★) 已知函數，若，且，則的取值范圍是(　　)
A．(2，+∞) B．[2，+∞)
【答案】
【解析】函數，
又因為，故，，
又知道，
，即，
設，
由對勾函數的性質可知在單調遞減，，即，
故選：．
4(★★) 已知函數，若且，則(　　)
．隨值變化
【答案】
【解析】函數的圖象如下圖所示：
有圖可知，函數的圖象關于直線對稱，
又，且，
則．
故選：
5 (★★★) 已知函數，，則圖象交于兩點，則(　　)
【答案】
【解析】不妨設，
作出和的圖象，由圖象知，，
則，
則，
即，即，即，
故選：．
6 (★★★) 已知函數，若互不相等，且，則的取值范圍是　 　．
【解析】根據已知畫出函數圖象：
不妨設，
，，
，，
解得，，
．
故答案為．
7 (★★★) 已知函數，，若對任意，總存在兩個，使得，則實數的取值范圍是　 ．
【解析】，，，
作出在[，4]上的函數圖象如圖：
對任意，總存在兩個，使得，
，解得．
故答案為．
【題型三】對數函數的性質及應用
角度1 比較對數式的大小
【典題1】已知，則a，b，c的大小關系為(　　)
【解析】由題意，可知，，
，
．
故選．
【典題2】 設，則的大小關系為(　　)
【解析】 ，
的大小關系為．
故選．
【典題3】 已知，，，則a，b，c的大小關系為(　　)
【解析】由題意，可知，，
，(初步估值)
最大，、都小于，(還比較不出來，進一步估值)
，
，(引入第三數比較)
，故選：．
【點撥】比較對數的大小，主要是利用對數函數的單調性，具體方法有
① 把對數化為同底，利用對數函數的單調性比較大小；
② 若不能化為同底，可對對數進行估值，一般可以與，比較大小；
③ 利用第三個數作為兩個數字大小比較的過渡.
角度2 求解對數型不等式和方程
【典題1】方程的解集為　 　．
【解析】，
，
，解得．
檢驗得不符合， (注意真數的范圍)
方程的解集為．
故答案為．
【典題2】不等式的解集為 .
【解析】
(誤解)
解得或.
【點撥】在處理對數的方程和不等式時不要忘記了“對數中真數”這點.
角度3 對數型函數綜合問題
【典題1】 函數的值域是 .
【解析】
內層函數的值域,
而=在是減函數，故
函數=的值域是.
【點撥】復合函數的值域先求內層函數值域再求外層函數.
【典題2】 已知函數是上的奇函數，且滿足，當時，，則方程解的個數是 .
【解析】 函數是上的奇函數，，
由，可得，的有條對稱軸，
由，可得，的周期．
(注 由以上已知，較容易畫出的圖象，作圖步驟如下
① 畫 ② 根據奇函數的性質 ③ 由對稱軸可得
④ 由周期可得
)
作出在同一坐標系中畫和圖象，
注意到，(注意一些臨界的位置)
從圖象不難看出，其交點個數個．
【點撥】
① 遇到函數綜合性質問題(有單調性，對稱性，周期性等)，一般通過數形結合的方法處理；
② 的周期，
的對稱軸
的周期
的周期.
【典題3】設，，則下列敘述正確的是(　　)
．若，則 ．若，則
．若，則 ．若，則
【解析】方法1 構造函數法
與均為增函數，故在上為增函數，
故，
即，即，
故選．
方法2 取特殊值排除法
對于，
令，，代入得顯然成立，
而，此時可排除選項；
對于選項，
令，，代入得顯然成立，而可排除選項；
令，，代入得顯然成立，而可排除選項；
故選．
【點撥】
① 方法1通過構造函數，利用其單調性進行選項判斷.構造函數的方法到了高二還經常見，可以先熟悉先！
② 方法2“取特殊值排除法”，在取數時一定要滿足題目要求，盡量取容易計算的數值，要大膽嘗試，能排除一個是一個.
【典題4】已知函數．
求函數的定義域；
判斷函數的奇偶性；
當時，函數，求函數的值域．
【解析】 要使函數的解析式有意義，
自變量須滿足，解得，
故函數的定義域為；
由得函數的定義域關于原點對稱，
且，
故函數為奇函數；
當[，]時，令 (分離常數法)
(注 函數圖象如右圖，由向左向下平移一個單位得到的)
故在上為減函數，則，
又為增函數，
故，
故函數的值域為．
【點撥】
① 遇到形如的函數(比如，，等)均可采取“分離常數法”，易求函數的單調性，對稱性，最值等性質；
② 求復合函數的值域，要分清楚內層函數與外層函數，分別對它們的單調性進行分析再求值域，函數的定義域優先考慮.
【典題5】 設D是函數定義域的一個子集，若存在，使得成立，
則稱是的一個“準不動點”，也稱在區間上存在準不動點．
已知，．
(1)若，求函數的準不動點；
(2)若函數在區間上存在準不動點，求實數的取值范圍．
【解析】 (1)當時，可得，，
可得，即，．
當，函數的準不動點為．
(2)方法1 由定義可得方程在上有解，
即方程在上有解, 且
令，，則，
那問題轉化為方程在有解，且，
令，開口向上且，
所以在上與軸只有一個交點，
則只需要，解得，
(一元二次方程根的分布問題，注意數形結合分析)
要使恒成立．
其對稱軸，在上是遞增的，當時最小值，可得．
綜上可得實數的取值范圍是．
方法2
與方法同樣得到方程在有解，且，
即在上有解，且在上恒成立 (分離參數法)
由在上顯然是減函數，其值域為，則；
由在上顯然是減函數，最大值為，則,
綜上可得實數的取值范圍是．
【點撥】
① 在第二問中不要漏了，求解過程中謹記等價轉化，做到嚴謹；
② 第二問的方法是采取了“二次方程根的分布問題”的處理技巧，注意結合二次函數圖象進行思考；方法是采取分離參數法轉而求最值,
鞏固練習
1(★) 若，則(　　)
，；
．
故選：．
2(★★) 設，則(　　)
【解析】，，
；
；；
．
故選：．
3(★★) 是定義在上的函數，且，當時，，則有(　　)
【解析】時，在上單調遞增，
，，)，
又，
)，即，
故選：．
4(★★) 不等式的解集為　 　．
【解析】設，則不等式可化為，
所以，所以．
所以，所以
所以所以解集為
故選．
5(★★) 函數的單調遞增區間為　 　．
6(★★) 方程的解集為　 　．
，，
，解得，或(舍)，
．
方程的解集為．
故答案為：．
7(★★★) 已知函數，，，且．
(1)若是關于的方程的一個解，求的值；
(2)當且時，解不等式；
(3)若函數在區間上有零點，求的取值范圍．
或．
【解析】 (1)是關于的方程的一個解，
，
，
；
(2)當且時，
不等式可化為，
故，
解得；
(3)，
令，
即，
，，
，；
，
，
，
，
或．
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