資源簡介

函數的應用
1 函數模型
一次函數
二次函數
指數函數
指數型函數
對數函數
對數型函數
冪函數
冪函數型
2 增長快慢比較
常見函數圖象
3 函數的零點
① 函數零點的概念
對于函數，使的實數叫做函數的零點.
② 方程根與函數零點的關系
方程有實數根 函數有零點 函數的圖象與軸有交點，且交點橫坐標為.
如 方程的實數根是，
函數與軸的交點橫坐標是，
函數的零點是，而不是.
拓展
方程有實數根函數與函數有交點，且交點橫坐標為.
解惑 若讓你求解 可能知道，那是否只有一個實數根呢？
而方程的實數根函數與函數的交點橫坐標
如圖就較容易得到，方程實數根有3個.
③求函數零點方法
(代數法) 求方程的實數根.
(幾何法) 利用函數的圖象，根據函數的性質判斷零點是否存在或找出零點位置.
4函數零點定理
如果函數在上的圖象是連續不斷的，且，那么函數在至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
5二分法
① 二分法的概念
對于在區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
② 用二分法求方程近似解的步驟
確定區間，驗證，給定精確度；
求區間的中點
計算，
若則就是函數的零點；
若，則令(此時零點
若，則令(此時零點)
判斷是否達到精確度：即若，則得到零點近似值為(或)；否則重復
【題型一】不同函數模型的認識
【典題1】 惠州市某學校物理興趣小組在實驗測試中收集到一組數據如表所示：
用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是(　　)
．
【典題2】 假設有一套住房從年的萬元上漲到年的萬元．如表給出了兩種價格增長方式，其中是按直線上升的房價，是按指數增長的房價，是年以來經過的年數．
萬元
萬元
求函數的解析式；
求函數的解析式；
完成上表空格中的數據，并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，然后比較兩種
【題型二】不同函數模型的應用
【典題1】 某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林．假設一片森林原來的面積為畝，計劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當面積是原來的倍時，所用時間是年．
求森林面積的年增長率；
到今年為止，森林面積為原來的倍，則該地已經植樹造林多少年？
為使森林面積至少達到畝至少需要植樹造林多少年？
(參考數據：
【典題2】 新冠肺炎疫情造成醫用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產企業公司擴大生產提供(萬元)的專項補貼，并以每套元的價格收購其生產的全部防護服．公司在收到政府(萬元)補貼后，防護服產量將增加到萬件)，其中為工廠工人的復工率()．公司生產萬件防護服還需投入成本(萬元)．
將公司生產防護服的利潤(萬元)表示為補貼(萬元)的函數；
對任意的(萬元)，當復工率達到多少時，公司才能不產生虧損？(精確到)．
鞏固練習
(★) 有一組實驗數據如表：
則體現這些數據的最佳函數模型是(　　)
． ． ．
(★) 設光線通過一塊玻璃，強度損失、如果光線原來的強度為，通過塊這樣的玻璃以后強度為，則，那么光線強度減弱到原來的以下時，至少通過這樣的玻璃塊數為(　　)(參考數據：)
(★★) 某地區今年月，月，月患某種傳染病的人數分別為，，．為了預測以后各月的患病人數，甲選擇了模型，乙選擇了模型，其中為患病人數，為月份數，都是常數．結果月，月，月份的患病人數分別為，，．
求的值；你認為誰選擇的模型好．
(★★) 某心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發現其注意力指數與聽課時間之間的關系滿足如圖所示的曲線．當時，曲線是二次函數圖象的一部分，當時，曲線是函數圖象的一部分．根據專家研究，當注意力指數大于等于時聽課效果最佳．
試求的函數關系式；
一道數學難題，講解需要分鐘，問老師能否經過合理安排在學生聽課效果最佳時講完？請說明理由．
(★★) 培養某種水生植物需要定期向培養植物的水中加入物質．已知向水中每投放個單位的物質(單位：天)時刻后水中含有物質的量增加與的函數關系可近似地表示為．根據經驗，當水中含有物質的量不低于時，物質才能有效發揮作用．
若在水中首次投放個單位的物質，計算物質能持續有效發揮作用幾天？
若在水中首次投放個單位的物質，第天再投放個單位的物質，試判斷第天至第天，水中所含物質的量是否始終不超過，并說明理由．
【題型三】求函數的零點
【典題1】下列函數中，在內有零點且單調遞增的是(　　)
． ．
【題型四】函數與方程的關系
【典題1】方程解的情況是( )
有且只有一個根 不僅有根還有其他根
有根和另一個負根 有根和另一個正根
【典題2】 若滿足滿足，則 .
【典題3】 已知函數，若函數有四個不同的零點，，，，則的取值范圍是 .
【典題4】 已知偶函數滿足，且當時，，若關于的方程在上有個解，則實數的取值范圍是 .
鞏固練習
1(★) 下列函數中，是偶函數且不存在零點的是(　　)
．
2(★★) 函數的零點個數是　 ．
3(★★) 若方程且有兩個不同實數根，則的取值范圍是 ．
4(★★) 設依次表示函數，，的零點，則的大小關系為　 ．
5(★★★) 已知函數，函數是最小正周期為的偶函數，且當時，．若函數有個零點，則實數的取值范圍是　 ．
6(★★★) 已知函數，若方程恰有個不同的實數根，則實數的取值范圍為　 　 ．
【題型五】函數零點定理
【典題1】 設函數滿足，若存在零點，則下列選項中一定錯誤的是(　　)
【典題2】 表示不超過的最大整數，例如，．已知是方程的根，則 　 ．
【題型六】二分法
【典題1】 用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為　 ．
鞏固練習
1(★) 設函數，滿足，若存在零點，
則下列選項中一定錯誤的是(　　)
2(★★) [多選題]函數的一個正零點所在的區間不可能是(　　)
3(★★) 已知函數的零點在區間上，則的取值范圍為　 　．
4(★★) 若函數在區間上有一個零點，則實數的取值范圍是　　．
中小學教育資源及組卷應用平臺
21世紀教育網(www.21cnjy.com)函數的應用
1 函數模型
一次函數
二次函數
指數函數
指數型函數
對數函數
對數型函數
冪函數
冪函數型
2 增長快慢比較
常見函數圖象
3 函數的零點
① 函數零點的概念
對于函數，使的實數叫做函數的零點.
② 方程根與函數零點的關系
方程有實數根
函數有零點
函數的圖象與軸有交點，且交點橫坐標為.
如 方程的實數根是，
函數與軸的交點橫坐標是，
函數的零點是，而不是.
拓展
方程有實數根函數與函數有交點，且交點橫坐標為.
解惑 若讓你求解 可能知道，那是否只有一個實數根呢？
而方程的實數根函數與函數的交點橫坐標
如圖就較容易得到，方程實數根有3個.
③求函數零點方法
(代數法) 求方程的實數根.
(幾何法) 利用函數的圖象，根據函數的性質判斷零點是否存在或找出零點位置.
4函數零點定理
如果函數在上的圖象是連續不斷的，且，那么函數在至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
5二分法
① 二分法的概念
對于在區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
② 用二分法求方程近似解的步驟
確定區間，驗證，給定精確度；
求區間的中點
計算，
若則就是函數的零點；
若，則令(此時零點
若，則令(此時零點)
判斷是否達到精確度：即若，則得到零點近似值為(或)；否則重復
【題型一】不同函數模型的認識
【典題1】 惠州市某學校物理興趣小組在實驗測試中收集到一組數據如表所示：
用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是(　　)
．
【解析】方法 由表可知：是關于的增函數；且增幅隨的增大而增大，故只有滿足要求．故選．
方法 作出散點圖，如圖，
由函數擬合可知只有滿足要求．故選．
方法 由表可知：是關于的增函數；故不適合；
對于：，，；故不接近；
對于：，
，．故接近；
對于：
，故不接近．
故選．
【點撥】
判斷最佳函數模型，方法如下
① 根據數據的增減性和增幅，排除不符合的函數；
② 根據表格描點做出散點圖，結合常見函數模型進行判斷；
③ 代點法，把數值代入函數中，若數值偏離較遠則排除.
【典題2】 假設有一套住房從年的萬元上漲到年的萬元．如表給出了兩種價格增長方式，其中是按直線上升的房價，是按指數增長的房價，是年以來經過的年數．
萬元
萬元
求函數的解析式；
求函數的解析式；
完成上表空格中的數據，并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，然后比較兩種
【解析】由題意可設，
當時，；當時，，
，解得，
；
由題意可設，
，，
，解得，
；
表中數據如下：
萬元
萬元
在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，如圖所示：
有圖象可知，呈直線增長，增長速度較慢；呈指數型增長，增長速度較快．
【點撥】求函數的解析式，當已知函數類型時用“待定系數法”.
【題型二】不同函數模型的應用
【典題1】 某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林．假設一片森林原來的面積為畝，計劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當面積是原來的倍時，所用時間是年．
求森林面積的年增長率；
到今年為止，森林面積為原來的倍，則該地已經植樹造林多少年？
為使森林面積至少達到畝至少需要植樹造林多少年？
(參考數據：
【解析】(1)設森林面積的年增長率為，則，解得，
森林面積的年增長率為1；
(2)設已經植樹造林年，則由題意可知，
，，
已經植樹造林年；
(3)設為使森林面積至少達到畝至少需要植樹造林年，則，
，
，
，
故為使森林面積至少達到畝至少需要植樹造林年．
【典題2】 新冠肺炎疫情造成醫用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產企業公司擴大生產提供(萬元)的專項補貼，并以每套元的價格收購其生產的全部防護服．公司在收到政府(萬元)補貼后，防護服產量將增加到萬件)，其中為工廠工人的復工率()．公司生產萬件防護服還需投入成本(萬元)．
將公司生產防護服的利潤(萬元)表示為補貼(萬元)的函數；
對任意的(萬元)，當復工率達到多少時，公司才能不產生虧損？(精確到)．
【解析】
，．
若對任意的，公司都不產生虧損，
則在恒成立，
即， (分離參數法)
記，則，
此時，
由于函數在單調遞增，(對勾函數)
所以當時，，
，
即當工廠工人的復工率達到時，對任意的，公司都不產生虧損．
【點撥】
① 根據題意求出函數的解析式，在實際問題中，特別注意自變量的取值范圍；
② 求函數最值問題中，注意基本不等式和對勾函數的應用.
鞏固練習
(★) 有一組實驗數據如表：
則體現這些數據的最佳函數模型是(　　)
． ． ．
【答案】
【解析】把的值分別代入中，不成立，故不能最佳體現這些數據關系；
把的值分別代入中，不成立，故不能最佳體現這些數據關系；
把的值分別代入中，基本成立，故能最佳體現這些數據關系；
把的值分別代入中，不成立，故不能最佳體現這些數據關系．
故選：．
(★) 設光線通過一塊玻璃，強度損失、如果光線原來的強度為，通過塊這樣的玻璃以后強度為，則，那么光線強度減弱到原來的以下時，至少通過這樣的玻璃塊數為(　　)(參考數據：)
【答案】
【解析】設通過這樣的玻璃x塊，則由題意得，化得，
兩邊同時取常用對數，可得，
因為，所以，
則至少通過塊玻璃，
故選：．
(★★) 某地區今年月，月，月患某種傳染病的人數分別為，，．為了預測以后各月的患病人數，甲選擇了模型，乙選擇了模型，其中為患病人數，為月份數，都是常數．結果月，月，月份的患病人數分別為，，．
求的值；你認為誰選擇的模型好．
【答案】 )，，, ，， 乙模型
【解析】 (1)由甲模型：令，
可得：，，，
解得，，．
由乙模型：設，
可得：，，，
解得，，．
(2)由 (1)可得：，
，
，
；
由乙模型可得：，
，，．
可得：、、比、、更接近真實值．
(★★) 某心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發現其注意力指數與聽課時間之間的關系滿足如圖所示的曲線．當時，曲線是二次函數圖象的一部分，當時，曲線是函數圖象的一部分．根據專家研究，當注意力指數大于等于時聽課效果最佳．
試求的函數關系式；
一道數學難題，講解需要分鐘，問老師能否經過合理安排在學生聽課效果最佳時講完？請說明理由．
【答案】)
教師能夠合理安排時間講完題目
【解析】(1)當時，設，
將點代入得c，
∴當時，；
當時，將點代入，得a，
所以；
(2)當時，，
解得，所以，
當時，
解得，所以，
綜上時學生聽課效果最佳，
此時，
所以教師能夠合理安排時間講完題目．
(★★) 培養某種水生植物需要定期向培養植物的水中加入物質．已知向水中每投放個單位的物質(單位：天)時刻后水中含有物質的量增加與的函數關系可近似地表示為．根據經驗，當水中含有物質的量不低于時，物質才能有效發揮作用．
若在水中首次投放個單位的物質，計算物質能持續有效發揮作用幾天？
若在水中首次投放個單位的物質，第天再投放個單位的物質，試判斷第天至第天，水中所含物質的量是否始終不超過，并說明理由．
【答案】 第天至第天，水中所含物質的量始終不超過
【解析】(1)由題意x，(單位：天)時刻后水中含有物質N的量為．
解，得．
所以若在水中首次投放個單位的物質，物質N能持續有效發揮作用天．
(2)設第天水中所含物質的量為，
則，
，
當且僅當，即 時，等號成立．即當時，．
所以第天至第天，水中所含物質的量始終不超過．
【題型三】求函數的零點
【典題1】下列函數中，在內有零點且單調遞增的是(　　)
． ．
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于，，其定義域為，在上沒有定義，不符合題意；
對于，在上有零點，且在為增函數，符合題意；
對于，為二次函數，在上為減函數，不符合題意；
對于，在上為減函數，不符合題意；
故選：．
【點撥】求函數零點方法：① 代數法，即解方程；② 幾何法，即數形結合.
【題型四】函數與方程的關系
【典題1】方程解的情況是( )
有且只有一個根 不僅有根還有其他根
有根和另一個負根 有根和另一個正根
【解析】方程等價為
設，
則函數在上為減函數，
方程有且只有一個根，故選.
【點撥】本題巧妙的把方程的解轉化為函數與的交點問題.
【典題2】 若滿足滿足，則 .
【解析】 設，，
滿足
是函數與函數交點橫坐標，
滿足
是函數與函數交點橫坐標，
由于函數與函數互為反函數，
所以它們的圖象關于直線軸對稱，
故兩圖象與直線的交點也關于對稱，
所以，
【點撥】
① 指數函數與對數函數互為反函數，它們的圖象關于直線對稱.
② 方程問題轉化為函數問題時，在構造函數時，常把常見的函數模型(一次函數型、二次函數型、反比例函數型，指數函數型、對數函數型等)分開，比如方程與函數，方程函數與函數.
【典題3】 已知函數，若函數有四個不同的零點，，，，則的取值范圍是 .
【解析】(函數的零點等價于函數與的交點)
作出的函數圖象如圖所示，
由圖象知，
而得，
，
令，則，
令，
則在上單調遞減，，
，
即
【點撥】
① 函數零點的問題轉化為函數與的交點問題；
② 遇到分段函數常常需要數形結合；
③ 求的取值范圍，應該根據圖象找出的關系，在利用“消元”的思想把問題化簡成“求的取值范圍”，從而想到構造函數.
【典題4】 已知偶函數滿足，且當時，，若關于的方程在上有個解，則實數的取值范圍是 .
【解析】是偶函數，
，
是以為周期的函數．
關于的方程在上有個解，
關于的方程在上有個解．
做出在一個周期上的函數圖象如圖所示：
令，由函數圖象可知：
當時，只有解，
當或時，有解，
當時，有解，
當時，有解．
關于的方程在和上各有解或和上各有解，
若方程的一解為，則方程的另一解為，不符合題意．
關于的方程在)和上各有解，
，解得．
【點撥】
① 由可得關于對稱，又由于是偶函數，可得函數的周期；
② 在“關于的方程在上有個解”這一步中的區間是，不能是.
鞏固練習
1(★) 下列函數中，是偶函數且不存在零點的是(　　)
．
【答案】
【解析】對于，的對稱軸為軸，故是偶函數，
令得，所以的零點為．不符合題意．
對于，的定義域為，不關于原點對稱，
故不是偶函數，不符合題意．
對于，的定義域為，不關于原點對稱，
故不是偶函數，不符合題意．
對于，，故是偶函數，
令，方程無解．即無零點．
故選：．
2(★★) 函數的零點個數是　 ．
【答案】
【解析】令，則，
因此函數的零點個數即為函數和函數的圖象交點的個數，
在直角坐標系中畫出函數和函數的圖象如下：
由圖象可得有個零點．
故選：．
3(★★) 若方程且有兩個不同實數根，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】方程有兩個不同實數根，等價于函數與的圖象有兩個不同的交點．
當時，如圖(1)有兩個不同交點；
當時，如圖(2)有且僅有一個交點．
故選：．
4(★★) 設依次表示函數，，的零點，則的大小關系為　 ．
【答案】
【解析】函數，x－，的零點，
就是方程的解，
在坐標系中畫出函數，與的圖象，如圖：
可得，
故選：．
5(★★★) 已知函數，函數是最小正周期為的偶函數，且當時，．若函數有個零點，則實數的取值范圍是　 ．
【答案】
有個零點，
與的函數圖象有個交點，
作出得函數圖象如圖所示：
若，即，則與的函數圖象只有個交點，不符合題意；
若，即，則與的函數圖象有無數多個交點，不符合題意；
若，即，若與的函數圖象有個交點，
則，且，
解得：．
故選：．
6(★★★) 已知函數，若方程恰有個不同的實數根，則實數的取值范圍為　 　 ．
【答案】
【解析】作出函數的圖象如圖，
若，顯然無解；
若，則，只有唯一解，不合題意；
若，則在與中分別有一解，但由于，
因此只在上有一解，此時有三個解，不合題意；
若，則在與中分別有一解，在上有一解，此時有三個解，
因此由題意，在中有一解需要得出有兩解，而由于，因此的取值需保證在中的解位于區間中，計算得，可得；
若，則，此時有兩解，不合題意；
若，顯然無解．
綜上，．
故答案為：()．
【題型五】函數零點定理
【典題1】 設函數滿足，若存在零點，則下列選項中一定錯誤的是(　　)
【解析】函數函數的定義域為，函數是增函數，
滿足，說明有個是負數兩個正數(且負數一定是)或個負數，由函數的零點判斷定理可知，函數的零點在，在，在，不可能在．
故選．
【點撥】
① 利用了分離常數法.
② 判斷函數零點所在的區間，就要注意區間上端點對應的函數值(本題中)是正數還是負數.
【典題2】 表示不超過的最大整數，例如，．已知是方程
的根，則 　 ．
【解析】是方程的根，
設，顯然單調遞增，
故只有一個根，
故，所以，
【點撥】
① 若在上是單調函數，則它在上至多只有一個零點.
② 求函數零點的近似值，可利用代入一些數值進行逼近，再用函數的零點判斷定理確認零點的范圍.
【題型六】二分法
【典題1】 用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為　 ．
【解析】根據題意，原來區間的長度等于，每經過二分法的一次操作，區間長度變為
原來的一半，則經過次操作后，區間的長度為，若，即；
故最少為次.
【點撥】二分法每一次操作都會讓區間縮小一半長度.
鞏固練習
1(★) 設函數，滿足，若存在零點，
則下列選項中一定錯誤的是(　　)
【答案】
【解析】函數的定義域為，函數是增函數，
滿足，說明，，，有個是負數一定是兩個正數或個負數，由函數的零點判斷定理可知，函數的零點在，在，在，不可能在．
故選：．
2(★★) [多選題]函數的一個正零點所在的區間不可能是(　　)
【答案】
【解析】函數，把代入，
若，則零點在，，，
，，，
所以，，
所以函數的零點在，
故選：．
3(★★) 已知函數的零點在區間上，則的取值范圍為　 　．
【答案】
【解析】因為函數的零點在區間上是單調遞增，
函數的零點在區間上，
，，，可得
所以，解得．
4(★★) 若函數在區間上有一個零點，則實數的取值范圍是　　．
【答案】
【解析】函數在區間上有一個零點，
若方程的判別式為，可得或，
當時，，有零點，不滿足題意；
當時，，有零點，不滿足題意；
若可得，可得或，
，
可得，解得－，
綜上，
故答案為：.
中小學教育資源及組卷應用平臺
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑