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三角函數的圖像與性質
1 周期函數
一般地，對于函數，如果存在一個非零常數，使得定義域內的每一個值，都滿足
，那么函數就叫做周期函數，叫做該函數的周期.
PS
①從解析式來看：任一自變量對應函數值與增加后對應函數值相等；
②從圖象看：整體函數圖象是由一部分圖象像“分身術”一樣向兩邊延申，而那一部分圖象的水平長度就是其正周期！
③ 三角函數就是典型的周期函數.
2 正弦函數，余弦函數的圖像與性質
注 表中的
圖像
定義域
值域
最值 當時，；
當時，. 當時，；
當時，.
周期性
對稱中心
對稱軸
單調性 在上是增函數；
在上是減函數. 在上是增函數；
在上是減函數.
3 正切函數的圖像與性質
注 表中的
圖像
定義域
值域
最值 既無最大值也無最小值
周期性
對稱中心
對稱軸 無對稱軸
單調性 在上是增函數

【題型一】求解三角函數的性質
性質1 周期性
【典題1】 的最小正周期是（ )
【典題2】下列函數中，最小正周期為的是(　　)
性質2 對稱性
【典題1】 函數的圖象(　　)
．關于點對稱 ．關于點對稱
．關于直線對稱 關于直線對稱
【典題2】 已知函數圖象關于直線對稱，則函數在區間上零點的個數為 .
性質3 單調性
【典題1】 函數的一個單調遞減區間是(　　)
． ． ． ．
【典題2】若，則 (　　)
性質4 最值
【典題1】 若函數的最小正周期為，則在上的值域為　 　．
【典題2】 已知函數在上的最大值為，最小值為，則的取值范圍是 .
鞏固練習
1(★)下列函數中最小正周期為的函數是(　　)
2(★) 下列函數中，關于直線對稱的是(　　)
． ． ． ．
3(★) 設函數，則下列結論錯誤的是(　　)
的一個周期為
的圖象關于直線對稱
的一個零點為
在區間[]上單調遞減
4(★) 下列函數中，以為周期且在區間單調遞增的是(　　)
5(★) 關于函數的性質，下列敘述不正確的是(　　)
．的最小正周期為
．是偶函數
．的圖象關于直線(k∈Z)對稱
．在每一個區間內單調遞增
6 (★★) 下列函數中，以為周期，為對稱軸，且在上單調遞增的函數是(　　)
． ． ． ．
7 (★★) 已知直線分別是曲線與的對稱軸，
則(　　)
8 (★★) 關于函數有下述四個結論：
①是周期函數；②的最小值為；③的圖象關于軸對稱；④在區間單調遞增．
其中所有正確結論的編號是(　　)
．①② ．①③ ．②③ ．②④
9 (★★★)已知函數)的最小正周期為，且關于中心對稱，則下列結論正確的是(　　)
10(★★★) 已知是上的奇函數，若的圖象關于直線對稱，且在區間內是單調函數，則(　　)
． ． ． ．
【題型二】根據三角函數性質求解參數的值或范圍
【典題1】 已知，函數的圖象在區間上有且僅有一條對稱軸，則實數的取值范圍是　 　.
【典題2】 已知函數在區間上單調遞減,則的取值范圍為 .
【典題3】 已知函數，在區間，上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是(　　)
． ． ． ．
鞏固練習
1(★★) 設，若在上為增函數，則的取值范圍是　 　．
2(★★) 已知函數在上單調遞增，則的最大值是　 　.
3(★★) 設函數若在區間上單調，且，則的最小正周期為　 　．
4(★★★) 已知函數滿足，，且在區間上單調，則取值的個數有　 個．
5(★★★) 已知函數在區間上的值域為，則的取值范圍為　 　．
【題型三】 綜合解答題
【典題1】 已知函數．
當時，求的值；
令，若對任意都有恒成立，求的最大值．
【典題2】 已知函數．
當時，求函數的最大值；
如果對于區間上的任意一個，都有成立，求的取值范圍．
鞏固練習
1(★★★) 已知函數(其中的圖象上相鄰兩個最高點的距離為．
求函數的圖象的對稱軸；
若函數在內有兩個零點求的取值范圍及的值．
2(★★★) 已知函數，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為．
(1)求函數的單調區間和對稱中心．
(2)若關于的方程在上有實數解，求實數的取值范圍．
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1 周期函數
一般地，對于函數，如果存在一個非零常數，使得定義域內的每一個值，都滿足
，那么函數就叫做周期函數，叫做該函數的周期.
PS
①從解析式來看：任一自變量對應函數值與增加后對應函數值相等；
②從圖象看：整體函數圖象是由一部分圖象像“分身術”一樣向兩邊延申，而那一部分圖象的水平長度就是其正周期！
③ 三角函數就是典型的周期函數.
2 正弦函數，余弦函數的圖像與性質
注 表中的
圖像
定義域
值域
最值 當時，；
當時，. 當時，；
當時，.
周期性
對稱中心
對稱軸
單調性 在上是增函數；
在上是減函數. 在上是增函數；
在上是減函數.
3 正切函數的圖像與性質
注 表中的
圖像
定義域
值域
最值 既無最大值也無最小值
周期性
對稱中心
對稱軸 無對稱軸
單調性 在上是增函數

【題型一】求解三角函數的性質
性質1 周期性
【典題1】 的最小正周期是（ )
【解析】,
故是的周期，由選項可知選.
【點撥】從定義出發：存在一個非零常數，使得定義域內的每一個值，都滿足，則叫做該函數的周期.
【典題2】下列函數中，最小正周期為的是(　　)
【解析】由圖可知函數不是周期函數，故不正確；
由于函數的周期為，故不正確；
由圖可知函數的周期，故不正確；
由圖可知函數的周期為，故正確，
故選：．
【點撥】
① 函數,的最小正周期,
函數的最小正周期；
② 利用函數的對稱變換與翻轉變換，利用圖象判斷函數周期更容易些.
性質2 對稱性
【典題1】 函數的圖象(　　)
．關于點對稱 ．關于點對稱
．關于直線對稱 關于直線對稱
【解析】方法1 對于函數，
(求出函數的所有對稱軸和對稱中心再判斷)
令，則則函數的對稱軸是，
若，解得；若，解得，故排除；
令，則則函數的對稱中心是，
若，解得，可排除；
若，解得，故關于點對稱.
故選：．
方法2 對于函數，
當時，，而不是正弦函數的對稱中心，故錯誤；
當時，，而是正弦函數的對稱中心，故正確；
當時，，而不是正弦函數的對稱軸，故錯誤；
當時，，而不是正弦函數的對稱軸，故錯誤；
故選：．
【點撥】本題兩種方法，
方法1是求出三角函數的全部對稱軸或對稱中心(此時把看成整體)，再判斷；
方法2是把問題轉化正弦函數的性質判斷；
對于三角函數
① 若是其對稱軸，則是正弦函數的對稱軸；
② 若是其對稱中心，則滿足函數的對稱中心.
對于三角函數類似.
【典題2】 已知函數圖象關于直線對稱，則函數在區間上零點的個數為 .
【解析】函數圖象關于直線對稱，
，(的對稱軸是)
，，
由知，時，，
故，
令得，．
因為，所以時，滿足條件，
故零點有三個．
性質3 單調性
【典題1】 函數的一個單調遞減區間是(　　)
． ． ． ．
【解析】 (求出函數的全部減區間)
解得，，
時，；時，；時，，
是的一個單調遞減區間．
故選：．
【點撥】
① 復合函數的單調性：同增異減
函數可看成與組成復合函數.因為是減函數，求函數的減區間，則把代入的增區間求出的范圍.
② 判斷是否的一個單調遞減區間，也可以采取前面判斷對稱性的方法.具體想法如下
是的一個單調遞減區間
是的一個單調遞增區間
由，而]不是的增區間；
故不是的一個單調遞增區間，不是的一個單調遞減區間，即選項錯誤.
作某些選擇題這樣做會簡潔些.
【典題2】若，則 (　　)
【解析】(顯然選項是由函數單調性作出判斷)
令，解得，
故在上遞增，
由函數的周期性易得函數在上遞增，關于對稱，
(由于在內，需要了解函數在其附近的單調性，相當數形結合的思路)
其中比離對稱軸更近些，所以，而接近，
所以．
故選：．
性質4 最值
【典題1】 若函數的最小正周期為，則在上的值域為　 　．
【解析】依題意得，．
，，
，即的值域是.
【典題2】 已知函數在上的最大值為，最小值為，則的取值范圍是 .
【解析】函數的周期為，
且對稱軸為，對稱中心，，
的圖象大致如圖所示；
區間正好是函數個周期，在一個周期內討論就行，
設的中點為，
由圖可知，
當點落在對稱軸上，即時，，，
此時取得最小值為；
當點落在對稱中心上，即時，，，
此時的值為；
的取值范圍是．
【點撥】
① 對于正弦函數、余弦函數，由圖可知，相對而言靠近對稱軸位置，函數值變化較慢，而靠近對稱中心位置函數值變化較快些.
② 本題也屬于“縱向距”問題，數形結合處理恰當.
鞏固練習
1(★)下列函數中最小正周期為的函數是(　　)
【答案】
【解析】、函數的最小正周期，不滿足條件；
、函數的最小正周期為，不滿足條件；
、的最小正周期為，不滿足條件；
、的周期，滿足條件．
故選：D．
2(★) 下列函數中，關于直線對稱的是(　　)
． ．
． ．
【答案】
【解析】將代入，得函數值為，
故是的一條對稱軸，
故選：D．
3(★) 設函數，則下列結論錯誤的是(　　)
的一個周期為 的圖象關于直線對稱
的一個零點為 在區間[]上單調遞減
【答案】
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于x)，其周期，正確；
對于)，令，解可得，即的對稱軸為，當時，，即的圖象關于直線對稱，正確；
對于)，當時，)，則不是)的零點，錯誤；
對于)，，
解可得，即函數的遞減區間為]，
則函數在[]上遞減，又由[，]，則在區間[]上遞減，正確；
故選：．
4(★) 下列函數中，以為周期且在區間單調遞增的是(　　)
【答案】
【解析】由于的周期為，故不滿足條件；
由于的周期為，故不滿足條件；
由于的最小正周期為，在區間上，單調遞增，故滿足條件；
由于的最小正周期為，在區間上，單調遞減，故不滿足條件，
故選：．
5(★) 關于函數的性質，下列敘述不正確的是(　　)
．的最小正周期為
．是偶函數
．的圖象關于直線(k∈Z)對稱
．在每一個區間內單調遞增
【答案】
【解析】對于函數的性質，根據該函數的圖象知，其最小正周期為，錯誤；
又，所以是定義域上的偶函數，正確；
根據函數的圖象知，的圖象關于直線對稱，正確；
根據的圖象知，在每一個區間內單調遞增，正確．
故選：．
6 (★★) 下列函數中，以為周期，為對稱軸，且在上單調遞增的函數是(　　)
． ．
． ．
【答案】
【解析】的周期為，不滿足條件，故排除；
的周期為，不滿足條件，故排除；
對于，故函數的周期為，
當時，，為最大值，故函數為對稱軸，
且該函數在在上單調遞增的函數，故滿足條件；
由于，當時，不存在，故函數的圖象不以為對稱軸，故排除，
故選：．
7 (★★) 已知直線分別是曲線與的對稱軸，
則(　　)
【答案】
【解析】由得，即的對稱軸為，，
的對稱軸為，，
直線，分別是曲線與的對稱軸，
，k∈Z，，，
則，，，
則，
故選：．
8 (★★) 關于函數有下述四個結論：
①是周期函數；②的最小值為；
③的圖象關于軸對稱；④在區間單調遞增．
其中所有正確結論的編號是(　　)
．①② ．①③ ．②③ ．②④
【解析】函數，其中的周期為，的周期為，所以函數的最小正周期為，故函數為周期函數．①是周期函數；正確．
②函數的最小值為，所以：的最小值為；錯誤．
③由于，的圖象關于軸對稱；
④在區間單調遞減．故錯誤．
故選：．
9 (★★★)已知函數)的最小正周期為，且關于中心對稱，則下列結論正確的是(　　)
【解析】函數的最小周期是，，得，
則f，
關于中心對稱，
，，即，，
，
當時，，即)，
則函數在[，]上遞增，在，上遞減，，
，(，即，
故選：．
10(★★★) 已知是上的奇函數，若的圖象關于直線對稱，且在區間內是單調函數，則(　　)
． ． ． ．
【答案】
【解析】是上的奇函數，所以，，
當時，．所以，
由于，
所以，整理得，整理得．
當時，，函數x，
由于，
所以，故函數是單調遞減函數．
當時，函數，
由于，
所以，由于內單調，故函數不為單調函數．
當時，，函數在區間內也不是單調函數，
所以，
故．
故選：．
【題型二】根據三角函數性質求解參數的值或范圍
【典題1】 已知，函數的圖象在區間上有且僅有一條對稱軸，則實數的取值范圍是　 　.
【解析】 由，解得，
則的對稱軸，
由在上有一條對稱軸，則，(存在性)
即，①
而對稱軸只有一條，則要滿足且，(唯一性)
即 ②
由①②可得，解得；
當時，由①②可得； 當時，由①②可得；
當時，由①②可得；
故答案為：．
【點撥】
① 本題的思路是先求出函數的對稱軸，再數形結合處理；理解“有且僅有一條對稱軸”，存在一條對稱軸在區間內，而其左右的對稱軸在區間外；
② 本題涉及到兩個參數，求的是的取值范圍，方法是得到和的關系式，再
由的特殊性求出的取值(或范圍)，進而求的取值范圍.
【典題2】 已知函數在區間上單調遞減,則的取值范圍為 .
【解析】 的單調遞減區間為，
(注 由函數圖象易得)
由，得，
即函數的單調遞減區間為[，]，，
若在區間上單調遞減，
則且，
得，，
只能取；
當時，，即，即的取值范圍是．
【點撥】本題先得到的單調減區間再由復合函數單調性得到求出的減區間[，]，，根據題意肯定可得[，].
【典題3】 已知函數，在區間，上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是 (　　)
． ． ． ．
【解析】方法一 復合函數法
令，，則．
函數在區間上單調遞增，
， ．
當時，，
函數在區間恰好取一次最大值，
，．
綜上所知，故選．
方法二 特殊值法
當時，令，，
則，則函數在區間上不單調，
不合題意，排除．
當時，令，
則，則函數在區間取不到最大值，
不合題意，排除．故選：．
【點撥】根據三角函數性質求解參數的值或范圍此類問題，往往都會限制函數在某個區間上的對稱軸、單調性、最值等，此時最簡單的想法就是先求出該函數的全部對稱軸、單調區間等，再結合函數的圖象判斷求出來的對稱軸、單調性等與區間端點的關系！
鞏固練習
1(★★) 設，若在上為增函數，則的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】設，在上，∈[，]，
由于為增函數，∴，即 ，
求得 ，故選：．
2(★★) 已知函數在上單調遞增，則的最大值是　 　.
【答案】
【解析】由函數在區間上單調遞增，
可得，求得，故的最大值為，
3(★★) 設函數若在區間上單調，且，則的最小正周期為　 　．
【答案】
【解析】函數，，，若在區間上單調，
則，．
，為的一條對稱軸，
且(即為的一個對稱中心，
，解得，，
4(★★★) 已知函數滿足，，且在區間上單調，則取值的個數有　 個．
【解析】設函數的最小正周期為，則，
，，
，，即，，
又在區間上單調，
，解得，
可以為，即為共個值．
5(★★★) 已知函數在區間上的值域為，則的取值范圍為　 　．
【答案】
【解析】在區間上，]，
)的值域為，，
，，，.
【題型三】 綜合解答題
【典題1】 已知函數．
當時，求的值；
令，若對任意都有恒成立，求的最大值．
【解析】，即為
即有，
可得，或，
即有或，
由，
可得，可得；
即，
令，可得，
對任意都有恒成立，
即為，；
則
解得，即的最大值為．
【點撥】
① 若，則或
② 第二問涉及恒成立問題，采取了二次函數零點的分布問題的方法即通過二次函數的圖象分析便可求解.
【典題2】 已知函數．
當時，求函數的最大值；
如果對于區間上的任意一個，都有成立，求的取值范圍．
【解析】 當時，，
，
當，即時，．
依題得 ，
即對任意恒成立．
當時，，則，
對任意恒成立．
令，則，
對任意恒成立，
于是．
又，當且僅當 ，即時取等號；
．
【點撥】第二問涉及恒成立問題，利用了分離參數法和換元法.
鞏固練習
1(★★★) 已知函數(其中的圖象上相鄰兩個最高點的距離為．
求函數的圖象的對稱軸；
若函數在內有兩個零點求的取值范圍及的值．
【答案】 ；
.
【解析】已知函數)(其中)的圖象上相鄰兩個最高點的距離，，
故函數)．
令， 得，，
故函數的圖象的對稱軸方程為．
(2)由(1)可知函數)．
，x
，
要使函數在內有兩個零點．
，且
即的取值范圍是．
函數在內有兩個零點，，
可得，是關于對稱軸是對稱的；
對稱軸方，．得，
在內的對稱軸或
當時，可得，
當時，可得，
．
2(★★★) 已知函數，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為．
(1)求函數的單調區間和對稱中心．
(2)若關于的方程在上有實數解，求實數的取值范圍．
【答案】單調遞增區間
，
.
【解析】(1)函數，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為．
周期T，即，那么，可得．
)
令，，
可得：，
可得函數的單調遞增區間，
令，，
可得：，∴可得函數的單調遞減區間，
令，可得：，可得函數的對稱中心為，
(2)方程在上有實數解，
，
，即，
令，
上，
，則在上有解， )，
令，當且僅當時，取等號．即．
任取，有．
因此在上單調遞減，因此，
所以范圍．
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