資源簡介

任意角和弧度制
1 任意角
① 角的定義與分類
角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.
如下圖，一條射線的端點是，從起始位置按逆時針旋轉到終止位置，形成角，射線分別是角的始邊和終邊.
逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角，不旋轉為零角.
② 終邊相等的角
與角終邊相同的角的集合為
PS表達式中的不能漏！
③ 象限角的概念
角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角.
PS 終邊落在坐標軸上，不能稱為象限角.
2 弧度制
① 弧度的定義
弧長等于半徑時，所對的圓心角為弧度的圓心角，記作.
即:半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角為，那么
② 角度與弧度的轉化
③ 特殊角的角度與弧度對應表
角度
弧度
④ 弧長與扇形面積計算公式
弧長； 扇形面積，(為圓的半徑)
注 為弧度制.
【題型一】角的集合表示及象限角的判定
【典題1】 已知集合銳角，小于的角，第一象限的角，下列說法：
，，，.
其中正確的是　 　．
【典題2】 寫出如圖所示陰影部分的角的范圍．
【典題3】 若是第三象限的角，則可能是第 象限角.
【題型二】扇形的弧長及面積公式
【典題1】 弧度的角終邊在第 象限.
【典題2】 已知的圓心角所對的弦長為，求這個圓心角所對的弧長．
【典題3】 已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是．
(1)若，，求扇形的弧所在的弓形面積；
(2)若扇形的周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？
鞏固練習
1(★) 下列說法正確的是(　　)
．終邊相同的角相等 ．相等的角終邊相同
．小于的角是銳角 ．第一象限的角是正角
2(★) 的終邊在第幾象限 (　　)
A．一　　　　　 B．二 C．三 D．四
3(★) °化成弧度是 (　　)
．π ．
4 (★★) 已知是第二象限角，則是(　　)
．銳角 ．第一象限角
．第一、三象限角 ．第二、四象限角
5 (★★) 已知圓與直線相切于點，點同時從點出發，沿著直線l向右、沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當運動到點時，點也停止運動，連接(如圖)，則陰影部分面積的大小關系是(　　)
，再，最后
6 (★★) 與終邊相同的最小正角是　 　．
7 (★★) 中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫．如圖，是書畫家唐寅的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為　 　．
8 (★★) 已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐的高為　 　．
挑戰學霸
河南大學自招真題
我們知道當點時，鬧鐘的個指針完全重合，請說出除了點外，是否還有其他時間，針完全重合.如有請舉出；若無，給出理由.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)任意角和弧度制
1 任意角
① 角的定義與分類
角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.
如下圖，一條射線的端點是，從起始位置按逆時針旋轉到終止位置，形成角，射線分別是角的始邊和終邊.
逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角，不旋轉為零角.
② 終邊相等的角
與角終邊相同的角的集合為
PS表達式中的不能漏！
③ 象限角的概念
角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角.
PS 終邊落在坐標軸上，不能稱為象限角.
2 弧度制
① 弧度的定義
弧長等于半徑時，所對的圓心角為弧度的圓心角，記作.
即:半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角為，那么
② 角度與弧度的轉化
③ 特殊角的角度與弧度對應表
角度
弧度
④ 弧長與扇形面積計算公式
弧長； 扇形面積，(為圓的半徑)
注 為弧度制.
【題型一】角的集合表示及象限角的判定
【典題1】 已知集合銳角，小于的角，第一象限的角，下列說法：
，，，.
其中正確的是　 　．
【解析】銳角的范圍為°，小于角為包含負角．
第一象限角為，
與之間沒有包含的關系，故錯；，但，故②錯；
，不一定包含于，故④錯；③對.
其中正確的是：③
【典題2】 寫出如圖所示陰影部分的角的范圍．
【解析】(1)因為與角終邊相同的角可寫成，的形式，
角終邊相同的角可寫成，的形式，
所以圖(1)陰影部分的角的范圍可表示為
．
(2)因為與角終邊相同的角可寫成的形式，
°角終邊相同的角可寫成，的形式，
所以圖(2)中角的范圍為，．
【點撥】 表示與角終邊相同的角的集合時不要把漏了.
【典題3】 若是第三象限的角，則可能是第 象限角.
【解析】方法1 不等式法
是第三象限角，即．
，(以下對就被除的余數分類討論)
當時，，為第一象限角；
當時，，為第三象限角．
當時，，為第四象限角．
所以可能是第一、三、四象限角.
方法2 八卦圖法
先把直角坐標系每個象限平均分成份，從軸正半軸上方各區域標上，找到標有所在象限數字所在的區域，該區域在哪個象限，則的終邊就在哪個象限.
故可能是第一、三、四象限角.
【點撥】
① 方法中令，是從的余數角度思考，故也可令.
② 方法中的解題套路
判斷的象限
① 每個象限平分份；② 從軸上方逆時針開始標數；③ 找到所在象限數字.
例：判斷的象限(是第二象限的角)
① 每個象限平分份； ② 從軸上方逆時針開始標數； ③ 找到所在象限數字.
【題型二】扇形的弧長及面積公式
【典題1】 弧度的角終邊在第 象限.
【解析】 因為，所以弧度的角終邊在第三象限．
【點撥】，則.
【典題2】 已知的圓心角所對的弦長為，求這個圓心角所對的弧長．
【解析】 如圖，
過點作于，并延長交于
，且.
在中，，從而弧的長為
【典題3】 已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是．
(1)若，，求扇形的弧所在的弓形面積；
(2)若扇形的周長是一定值，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？
【解析】 (1)設弧長為，弓形面積為，
，，
．
(2)法一 扇形周長，
，
．
(利用基本不等式)
當且僅當，即時，扇形面積有最大值．
法二：由已知，，
，(二次函數最值問題)
當時，，此時，
當扇形圓心角為弧度時，扇形面積有最大值．
【點撥】
① 弧長，扇形面積(為圓的半徑)；
② 求函數最值，可把函數化簡為，再利用基本不等式求解.
鞏固練習
1(★) 下列說法正確的是(　　)
．終邊相同的角相等 ．相等的角終邊相同
．小于的角是銳角 ．第一象限的角是正角
【答案】
【解析】終邊相同的角相差周角的整數倍，不正確；相等的角終邊一定相同；所以正確；小于的角是銳角可以是負角；第一象限的角是正角，也可以是負角．
故選：．
2(★) 的終邊在第幾象限 (　　)
A．一　　　　　 B．二 C．三 D．四
【答案】
【解析】選　因.是第三象限角．
3(★) °化成弧度是 (　　)
．π ．
【答案】
．故選：．
4 (★★) 已知是第二象限角，則是(　　)
．銳角 ．第一象限角
．第一、三象限角 ．第二、四象限角
【答案】
【解析】是第二象限角，所以，，
，，
是第一象限或第三象限角，
故選：．
5 (★★) 已知圓與直線相切于點，點同時從點出發，沿著直線l向右、沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當運動到點時，點也停止運動，連接(如圖)，則陰影部分面積的大小關系是(　　)
，再，最后
【答案】
【解析】如圖所示，
直線與圓相切，，
，，
，
，即，
．
故選：．
6 (★★) 與終邊相同的最小正角是　 　．
【答案】 °
，
與終邊相同，又終邊相同的兩個角相差的整數倍，
在上，只有與終邊相同，
與終邊相同的最小正角是，
故答案為：．
7 (★★) 中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫．如圖，是書畫家唐寅的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為　 　．
【答案】
【解析】如圖，設，，
由題意可得：，解得：，
所以．
故答案為：．
8 (★★) 已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐的高
為　 　．
【答案】
【解析】設此圓的底面半徑為，高為，母線為，
圓錐的側面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，
，得，解之得，
因此，此圓錐的高．
故答案為：．
挑戰學霸
河南大學自招真題
我們知道當點時，鬧鐘的個指針完全重合，請說出除了點外，是否還有其他時間，針完全重合.如有請舉出；若無，給出理由.
【解析】每小時時針、分針旋轉一次，速度為時針,分針，相差，
故在時分至時分之間，時針和分針完全重合的時刻為時分，它們是：
1時5分27.27秒 2時10分54.54秒 3時16分21.82秒 4時21分49.09秒
5時27分16.36秒 6時32分43.64秒 7時38分10.91秒 8時43分38.18秒
9時49分5.45秒 10時54分32.73秒 12時00分00秒
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這些時刻里除了時外，“分”和“秒“的值相差都很大，分針和秒針顯然不可能重合.所以僅在時三針重合.21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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