資源簡介

任意角的三角函數(shù)
1 任意角的三角函數(shù)的概念
設是一個任意角，，它的終邊與單位圓相交于點.
① 把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù)，記作，即；
② 把點的縱坐標叫做的余弦函數(shù)，記作，即；
③ 把點的縱坐標叫做的正切函數(shù)，記作，即.
正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；正切函數(shù)，
它們統(tǒng)稱三角函數(shù).
2 三角函數(shù)在各個象限的符號
各象限點坐標的符號 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
+ + － －
+ － － +
+ － + －
根據(jù)三角函數(shù)定義可知它們在各個象限符號
(設的終邊上一點符號看，看，符號看)
3 特殊角的三角函數(shù)值表
－ －
利用三角函數(shù)的定義求時對應的三角函數(shù)值.
Eg 如圖所示，的終邊在軸的負半軸，與軸交點為，
則，，.
4 同角三角函數(shù)基本關系式
拓展
【題型一】求三角函數(shù)值
【典題1】 已知角的終邊與單位圓的交點為，則 .
【典題2】 已知角的始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則 .
【題型二】確認三角函數(shù)的符號
【典題1】 的值（ ）
．小于 ．大于 ．等于 ．不存在
【典題2】若且，則終邊在(　　)
．第一象限 ．第二象限 ．第一或第三象限 ．第三或第四象限
【題型三】同角三角函數(shù)基本關系式
【典題1】 已知，，則 .
【典題2】已知是關于的方程的兩個根．
求實數(shù)的值；若，求的值．
【典題3】已知是關于的方程的一個實根，且是第三象限角．
求的值；
求的值．
【典題4】 已知，求.
鞏固練習
1(★) 已知角的項點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若點在角的終邊上，則
． ．
2(★) 若為第二象限角，則下列結論一定成立的是(　　)
．0 ．0 ．0 ．0
3(★) 已知，且為第二象限角，那么 .
4(★) 如果角滿足，那 .
5(★★) 已知，且，則 .
6(★★) 若，且，則 .
7(★★) 已知，則 .
8(★★) 若，則 .
挑戰(zhàn)學霸
若，證明.
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)任意角的三角函數(shù)
1 任意角的三角函數(shù)的概念
設是一個任意角，，它的終邊與單位圓相交于點.
① 把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù)，記作，即；
② 把點的縱坐標叫做的余弦函數(shù)，記作，即；
③ 把點的縱坐標叫做的正切函數(shù)，記作，即.
正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；正切函數(shù)，
它們統(tǒng)稱三角函數(shù).
2 三角函數(shù)在各個象限的符號
各象限點坐標的符號 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
+ + － －
+ － － +
+ － + －
根據(jù)三角函數(shù)定義可知它們在各個象限符號
(設的終邊上一點符號看，看，符號看)
3 特殊角的三角函數(shù)值表
－ －
利用三角函數(shù)的定義求時對應的三角函數(shù)值.
Eg 如圖所示，的終邊在軸的負半軸，與軸交點為，
則，，.
4 同角三角函數(shù)基本關系式
拓展
【題型一】求三角函數(shù)值
【典題1】 已知角的終邊與單位圓的交點為，則 .
【解析】 角α的終邊與單位圓的交點為，則，，
則．
【典題2】 已知角的始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則 .
【解析】 角的始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，
，則，
【點撥】
① 不在單位圓上，故，.
② 設是任意角，它的終邊上任意一點，它與原點的距離是，
則.
【題型二】確認三角函數(shù)的符號
【典題1】 的值（ ）
．小于 ．大于 ．等于 ．不存在
【解析】 因為，，
所以是第二象限角，是第三象限角，
所以，
從而，選.
【典題2】若且，則終邊在(　　)
．第一象限 ．第二象限 ．第一或第三象限 ．第三或第四象限
【解析】 是第二或三象限，
，是第二或四象限，
是第二象限，，
，
可得終邊在第一或第三象限．故選：．
【題型三】同角三角函數(shù)基本關系式
【典題1】 已知，，則 .
【解析】 方法1
，，
又，
且，
為第二象限角，，
.
方法2 ，構造直角三角形如下圖，
在直角三角形中，，
且
為第二象限角，
.
【點撥】
① 若知三者中一個的值，可求另外兩個的值，即“知一得二”；
② 在非解答題中用方法二解題速度更快些，只是要多留意三角函數(shù)的符號.
【典題2】已知是關于的方程的兩個根．
求實數(shù)的值；若，求的值．
【解析】(1)是方程的兩個實根，
①，②，
，即或，
，
即，解得或．
(2)，
，，可得，由(1)可得，
，
，
又 .
(注意判斷的正負)
【點撥】
① ；
② 也是“知一得二”.
【典題3】已知是關于的方程的一個實根，且是第三象限角．
求的值；
求的值．
【解析】(1)是關于的方程的一個實根，且是第三象限角，
或舍去)，
．
(2)
．
【點撥】
① 弦化切技巧
若已知，可求或分子分母齊次的形式，可分子分母同
除以或，化為關于的式子.
② 本題巧妙利用了，當遇到類似化為分子分母齊次的形式.對的巧用要注意.
③ 本題若是選擇填空題當然也可以通過，求出的值，容易想到且計算量也不大，值得考慮.
【典題4】 已知，求.
【解析】方法 解方程組法
由得，解得，
.
方法 對偶式法
設，等式兩邊平方得 ①
將兩邊平方，得 ②
由①+②得，，解得，
方法 弦化切法
將兩邊平方，得
即，
即，解得.
鞏固練習
1(★) 已知角的項點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若點在角的終邊上，則
． ．
【答案】
點在角的終邊上，，故選：．
2(★) 若為第二象限角，則下列結論一定成立的是(　　)
．0 ．0 ．0 ．0
【答案】
【解析】為第二象限角，，．
則，，
為一或三象限角，得．故選：．
3(★) 已知，且為第二象限角，那么 .
【答案】
，且為第二象限角，
，則，
4(★) 如果角滿足，那 .
【答案】
，，即，
那么，
5(★★) 已知，且，則 .
【答案】
【解析】，
兩邊平方，可得，可得，
，
可得，，可得，
．
6(★★) 若，且，則 .
【答案】
【解析】，，
即，∴解得或舍)．
，，．
7(★★) 已知，則 .
【答案】
，
．
8(★★) 若，則 .
【答案】或
【解析】，且，
，，
，則或.
挑戰(zhàn)學霸
若，證明.
【解析】如上圖，在單位圓中，，，
顯然.
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