資源簡介

三角函數和差角公式
1 兩角和差的正弦，余弦與正切公式
(理解公式的推導，體會其方法，而不死背公式)
① 余弦兩角和差公式
推導如下
如圖，設單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸為非負半軸為始邊作角，，，它們的終邊分別與單位圓相較于點，連接，，若把扇形繞點旋轉角，則點，分別與重合.根據圓的旋轉對稱性可知，與重合，從而，所以.
根據兩點間的距離公式，得
化簡得
而
②正弦兩角和差公式
推導如下
③正切兩角和差公式
(由、可推導正切的和差角公式)
對公式中的理解，他們可表示為一個數字、一個字母，甚至一個式子
Eg：
對應公式，把；
②
對應公式，把，看成數字；
③，
對應公式，把分別.
對應公式的運用，注意整體變換的思想.
2 輔助角公式
其中.
熟記兩個特殊角的化簡過程
型，配
型，配

【題型一】和差角公式的基本運用
【典題1】 計算 .
【典題2】 .
【典題3】 若，且是方程的兩個根，則 .
【典題4】已知，則　 ．
【典題5】 設，則(　　)
A． B． C． D．
【典題6】 在中，，，則的形狀為　 　．
鞏固練習
1(★) 　 ．
2(★) 若，且，則 　 ．
3(★) 已知：均為銳角，，，則　 ．
4 (★★) 在中，，則 　 ．
5(★★★) 設，若，)，且，則　 ．
6 (★★★) 設，，則的最大值為　 ．
7(★★★) 已知銳角滿足，則的最小值為　 ．
【題型二】角的變換
【典題1】 若，，則 　 ．
【典題2】若，，且，，則的值是 .
【典題3】已知，，則的最大值為 .
鞏固練習
1 (★★) 已知，且，，則　 　．
2 (★★) 若，，，則　　．
3 (★★) 若，，，，則 　　．
4 (★★) 已知，，均為銳角，則　 　．
5 (★★) 已知，，且，則的值　 　．
6 (★★) 若，，且，，則的值是　　．
【題型三】輔助角公式的運用
【典題1】 若，，則，的大小關系是　 　．
【典題2】 設當時，函數取得最小值，則　 ．
【典題3】 已知函數圖象的一條對稱軸為，，且函數在上單調，則的最小值為 .
鞏固練習
1(★★) 已知函數|的最小正周期為，則　 ．
2(★★) 是的內角，其中，則的取值范圍是　 ．
3(★★) 若函數在上的值域為，則的取值范圍為　 ．
4(★★★) 已知函數在(，)上僅有個最值，且是最大值，則實數的取值范圍為　 ．
5(★★★)已知函數對任意的，都有，若在上的值域為，則實數的取值范圍為　 ．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)三角函數和差角公式
1 兩角和差的正弦，余弦與正切公式
(理解公式的推導，體會其方法，而不死背公式)
① 余弦兩角和差公式
推導如下
如圖，設單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸為非負半軸為始邊作角，，，它們的終邊分別與單位圓相較于點，連接，，若把扇形繞點旋轉角，則點，分別與重合.根據圓的旋轉對稱性可知，與重合，從而，所以.
根據兩點間的距離公式，得
化簡得
而
②正弦兩角和差公式
推導如下
③正切兩角和差公式
(由、可推導正切的和差角公式)
對公式中的理解，他們可表示為一個數字、一個字母，甚至一個式子
Eg：
對應公式，把；
②
對應公式，把，看成數字；
③，
對應公式，把分別.
對應公式的運用，注意整體變換的思想.
2 輔助角公式
其中.
熟記兩個特殊角的化簡過程
型，配
型，配

【題型一】和差角公式的基本運用
【典題1】 計算 .
【解析】
(大角化小角)
【典題2】 .
【解析】
【點撥】由可得
【典題3】 若，且是方程的兩個根，則 .
【解析】由已知可得，，
．
，且，，
，則，
．
【點撥】注意考慮角度的范圍.
【典題4】已知，則　 ．
【解析】已知兩等式分別平方得①，
②，
①+②得：，
即，
則．
【典題5】 設，則(　　)
A． B． C． D．
【解析】由題意知，，
即， (正切化弦)
等式兩邊同乘以，得，
所以，
即；(化為同一函數名)
又，
所以，，(注意角度的范圍限制)
所以，所以．
故選：．
【點撥】遇到含正切與正弦余弦的等式，可采取“切化弦”的方法.
【典題6】 在中，，，則的形狀為　 　．
【解析】，
，
，，．
又，
，
，，
，
為等邊三角形.
【點撥】在三角形中，，.
鞏固練習
1(★) 　 ．
【答案】
【解析】
．
2(★) 若，且，則 　 ．
【答案】
【解析】若，且，則，
所以，
所以．
3(★) 已知：均為銳角，，，則　 ．
【答案】
【解析】由于，均為銳角，，，
所以．
所以．
所以．
4 (★★) 在中，，則 　 ．
【答案】
【解析】因為△ABC中，，
；
；
；
，(舍)；
故； ；
.
5(★★★) 設，若，)，且，則　 ．
【答案】
【解析】由得，
，，
因為，，所以，，
由，得，
．
6 (★★★) 設，，則的最大值為　 ．
【解析】由可得，
，
所以，
當且僅當即，時取等號，此時α－β取得最大值．
7(★★★) 已知銳角滿足，則的最小值為　 ．
【答案】
【解析】因為銳角滿足，
所以，
令，，則，
由題意得，，
則
，
當且僅當時取等號，此時的最小值．
【題型二】角的變換
【典題1】 若，，則 　 ．
【解析】 ， ，
，，
又，即在第三象限，(注意角度的范圍)
，
則
【點撥】
① 因為已知角和所求角中的系數是相反數，故想到兩角和是特殊角為關鍵，則有.
② 在角的變換中，要注意已知角與所求角之間的和差是否為定值.
【典題2】若，，且，，則的值是 .
【解析】(找到已知角與所求角之間的關系)
則
(求也，還要求，)
，，
又，，
；
，，
，
，
(確定與的范圍，以確定和的正負號)
，
又，，
，
.
【典題3】已知，，則的最大值為 .
【解析】，，
，
，
即，
，即，
化簡整理得，
當且，即，等號成立，取得最大值．
鞏固練習
1 (★★) 已知，且，，則　 　．
【答案】
【解析】已知，且，
，，．
，
2 (★★) 若，，，則　　．
【答案】
【解析】由于，
所以，，，
故，，
且，，
故．，
所以
，
3 (★★) 若，，，，則 　　．
【答案】
，，
，
，
(
.
4 (★★) 已知，，均為銳角，則　 　．
【答案】
【解析】因為為銳角，且，
所以，，
又因為，
于是，
又為銳角，所以．
5 (★★) 已知，，且，則的值　 　．
【答案】
【解析】，
，
，
則
由得，
6 (★★) 若，，且，，則的值是　　．
【答案】
，，，
又，
，即，，
；
又，，
，
．
又，，
，，
【題型三】輔助角公式的運用
【典題1】 若，，則，的大小關系是　 　．
【解析】化簡可得，，
，
由正弦函數的單調性可知.
【點撥】熟記.
【典題2】 設當時，函數取得最小值，則　 ．
【解析】對于函數，
其中，為銳角．
當時，函數取得最小值，，
即，
故可令，即，
故
，
故答案為：．
【點撥】
① 輔助角公式，要理解其中的含義.
② 涉及到三角函數的性質問題(比如單調性、對稱性、最值等)，往往要通過輔助角公式把函數轉化為的形式.
【典題3】 已知函數圖象的一條對稱軸為，，且函數在上單調，則的最小值為 .
【解析】由題意，，為輔助角，
因為對稱軸，所以，
即，(三角函數對稱軸對應的值是最值)
解得，
所以，對稱軸方程為，
又因為在上具有單調性，且，
設，，則線段的中點為函數的對稱中心，
所以，
顯然當，時，即，時取最小值.
(結合函數圖像分析)
鞏固練習
1(★★) 已知函數|的最小正周期為，則　 ．
【答案】
【解析】因為函數；
故其最小正周期為：.
2(★★) 是的內角，其中，則的取值范圍是　 ．
【答案】
【解析】
)．
，，
.
3(★★) 若函數在上的值域為，則的取值范圍為　 ．
【答案】
【解析】)
當時，函數值是；
當時，函數值是；
當時，函數值是；
又函數在上增，在上減，可得的取值范圍．
4(★★★) 已知函數在(，)上僅有個最值，且是最大值，則實數的取值范圍為　 ．
【答案】
【解析】因為)，
又函數在上僅有個最值，且是最大值，
所以，，且，
解可得，，且，
從而有.
5(★★★)已知函數對任意的，都有，若在上的值域為，則實數的取值范圍為　 ．
【答案】
【解析】，其中，
又題意的最大值為，，，，
若在上的值域為，，.
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