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三角函數(shù)倍角公式
(本專題僅為公式求值、公式變換等鞏固練習(xí)，其應(yīng)用在另一專題講解)
1 二倍角的正弦余弦正切公式
①
②
③
(由、、可推導(dǎo)出，，的公式)
2 降冪公式
(由余弦倍角公式可得)
半角公式
(由降冪公式可得)
萬(wàn)能公式
(由倍角公式可得)
積化和公式
(由和差公式可得)
和化積公式
(由和差公式可得)

【題型一】 倍角公式的運(yùn)用
【典題1】 求值　 　．
【典題2】計(jì)算 .
【典題3】如果，那么 .
【典題4】已知，則的值為 .
【典題5】 若，且，則　　．
鞏固練習(xí)
1(★) 計(jì)算　 　．
2(★) 已知，則　 .
3(★) 若3，則　 .
4(★★) 設(shè)，則的值為　 .
5(★★) 已知，且，則　 .
6 (★★) 已知，若，則　 .
7 (★★) 已知?jiǎng)t　 .
8 (★★) 已知，則　 .
【題型二】 降冪公式的運(yùn)用
【典題1】 在中，若，求.
鞏固練習(xí)
1(★★) 若，則的值為　 .
2(★★) 已知是方程的一根，則 　 .
3(★★) 已知，則的值是　 .
【題型三】角的變換
【典題1】若，則　 .
【典題2】 已知，且，求的值．
鞏固練習(xí)
1(★★) 若，則的值為　　．
2(★★) 已知)，則)　　．
3(★★) 已知，則　　．
4(★★) 已知，且，則　　．
5(★★★) 已知，且，求的值．
6(★★★) 設(shè)，若，求.
【題型四】簡(jiǎn)單的三角恒等變換(選學(xué)內(nèi)容)
【典題1】 若，且，則等于 .
【典題2】在中，，則的最大值是 .
鞏固練習(xí)
1(★★) 　 ．
2(★★) 的值為　 　．
3(★★) 已知為第二象限角，，則的值為 .
4(★★) 若，是第三象限角，則 .
5(★★) 已知，則的值為 .
6(★★★) 已知為銳角，且，那么的取值范圍是　 ．
7(★★★) 　 ．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)三角函數(shù)倍角公式
(本專題僅為公式求值、公式變換等鞏固練習(xí)，其應(yīng)用在另一專題講解)
1 二倍角的正弦余弦正切公式
①
②
③
(由、、可推導(dǎo)出，，的公式)
2 降冪公式
(由余弦倍角公式可得)
半角公式
(由降冪公式可得)
萬(wàn)能公式
(由倍角公式可得)
積化和公式
(由和差公式可得)
和化積公式
(由和差公式可得)

【題型一】 倍角公式的運(yùn)用
【典題1】 求值　 　．
【解析】
.
【典題2】計(jì)算 .
【解析】
【點(diǎn)撥】
① 正切化弦；
② 注意角度之間的關(guān)系，比如互余(與、與)、倍數(shù)關(guān)系、角度相差值是特殊值(與相差).
【典題3】如果，那么 .
【解析】
(化切為弦)
【點(diǎn)撥】
① 本題的思路有二，一是先化簡(jiǎn)所求式子再利用已知條件，化二倍角為一倍角；二是由已知可求，進(jìn)而可得，再求與得結(jié)果，但數(shù)值不好求.
② 化切為弦是常見思路，也可
．方法多樣，多思考.
【典題4】已知，則的值為 .
【解析】，
，
．
【點(diǎn)撥】與是四倍關(guān)系，故可用借助進(jìn)行轉(zhuǎn)化；解題中多用綜合法與分析法求解.
【典題5】 若，且，則　　．
【解析】 ，且，
，
，
①式兩邊平方可得：，解得，
，(巧用，齊次化處理)
可得，解得或．
由①可知，即，(注意對(duì)最后求值的取舍)
.
【點(diǎn)撥】
本題的處理方法很多，平時(shí)要多注意一題多解，提高對(duì)公式靈活運(yùn)用的能力.
比如湊角；得到后能求出和等等.
鞏固練習(xí)
1(★) 計(jì)算　 　．
【答案】
【解析】原式．
2(★) 已知，則　 .
【答案】
【解析】，，，，
則，
3(★) 若3，則　 .
【答案】
【解析】3，
，
．
4(★★) 設(shè)，則的值為　 .
【答案】
【解析】
，，
，
．
5(★★) 已知，且，則　 .
【答案】
【解析】由，得，
即，解得(舍去)，或．
，，
則．
6 (★★) 已知，若，則　 .
【答案】
【解析】，
，可得，
，可得，
，
，
解得，可得．
7 (★★) 已知?jiǎng)t　 .
【答案】
【解析】，，
或 (舍去)，
．
8 (★★) 已知，則　 .
【答案】 或
【解析】已知， ①．
，，可得②，或③．
若②成立，則把①、②平方相加可得 ，
解得．可得：，
若③成立，則有．可得，
綜上可得，，或．
故答案為：或．
【題型二】 降冪公式的運(yùn)用
【典題1】 在中，若，求.
【解析】在中，若
即
即，
即
【點(diǎn)撥】式子中出現(xiàn)“平方”形式，想到降冪公式.
鞏固練習(xí)
1(★★) 若，則的值為　 .
【答案】
【解析】，
．
2(★★) 已知是方程的一根，則 　 .
【答案】
【解析】是方程的一根，
，則，
可得，可得，
，
．
3(★★) 已知，則的值是　 .
【答案】
【解析】，
兩邊平方，可得，可得，
．
【題型三】角的變換
【典題1】若，則　 .
【解析】，
．
【點(diǎn)撥】因?yàn)橐阎呛退蠼侵械南禂?shù)是倍的關(guān)系，故想到與的差是特殊角為關(guān)鍵，則有.
【典題2】 已知，且，求的值．
【解析】 由得，，(注意角度的范圍)
所以(，
由得，，
所以(，
所以
，
所以
【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知角之和與所求角之間差個(gè)特殊角存在兩倍的關(guān)系.
【總結(jié)】
① 當(dāng)已知角只有一個(gè)時(shí)，可已知角與所求角的和或差的值是否為一固定特殊角，或看已知角(所求角)的2倍與所求角(已知角)和或差的值是否為一固定特殊角；
當(dāng)已知角有兩個(gè)時(shí)，主要看兩個(gè)已知角的和或差形式與所求角的關(guān)系；
特殊角為等.
② 常見的角變換有：，，，
等.
③ 在運(yùn)用和差角公式和倍角公式時(shí)，要注意“整體思想”的運(yùn)用.
鞏固練習(xí)
1(★★) 若，則的值為　　．
【答案】
【解析】，
，即，
即．
2(★★) 已知)，則)　　．
【答案】
【解析】，．
，．
．
．
．
3(★★) 已知，則　　．
【答案】
【解析】，
．
4(★★) 已知，且，則　　．
【答案】
【解析】由于，故，．
所以．，所以，
所以．
所以．
5(★★★) 已知，且，求的值．
【答案】
【解析】，，，
，，
，，
則
)－(．
6(★★★) 設(shè)，若，求.
【答案】
【解析】設(shè)，則
.
【題型四】簡(jiǎn)單的三角恒等變換(選學(xué)內(nèi)容)
【典題1】 若，且，則等于 .
【解析】，，
設(shè)，，
，，
，
即，解得.
【點(diǎn)撥】本題利用萬(wàn)能公式，也可利用求出，再求得到.
【典題2】在中，，則的最大值是 .
【解析】方法一 兩角和差公式、二倍角公式
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．
方法二 積化和差
.
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．
【點(diǎn)撥】掌握積化和差公式，對(duì)于處理含涉及的題目較為有利.
鞏固練習(xí)
1(★★) 　 ．
【答案】
【解析】
．
2(★★) 的值為　 　．
【答案】 1
【解析】1
3(★★) 已知為第二象限角，，則的值為 .
【答案】
【解析】為第二象限角，
，
則，
則，，
當(dāng)是偶數(shù)，設(shè)，
則，，此時(shí)為第一象限，
當(dāng)是奇數(shù)，設(shè)，
則，，此時(shí)為第三象限，
則為第一或第三象限，
，
舍去)或，
，
±，
4(★★) 若，是第三象限角，則 .
【答案】
【解析】，是第三象限角，，
則，
5(★★) 已知，則的值為 .
【答案】
【解析】，
．
6(★★★) 已知為銳角，且，那么的取值范圍是　 ．
【答案】
【解析】
為銳角，即
，
故答案為：
7(★★★) 　 ．
【答案】
【解析】
．
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