資源簡介

函數(shù)的圖像和性質
1 性質
(1) 簡諧運動可用函數(shù)，表示，
是振幅，周期，頻率 ，相位，初相.
(2) 對的影響
影響函數(shù)的最值，影響周期，影響函數(shù)水平位置.
2 函數(shù)的變換
(1) 平移變換
① 將圖像沿軸向左(右)平移個單位(左加右減)；
②將圖像沿軸向上(下)平移個單位(上加下減).
PS 向左平移個單位，得到的函數(shù)不是， 而是.
(2) 伸縮變換
①
將圖像橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的倍(伸長，縮短).
②
將圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍(縮短，伸長)；
問題 怎么理解呢？例：若將圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍，那得到的函數(shù)是呢？
解析 我們把的圖象想象成一條彈簧，若縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍，那說明彈簧被壓縮了，則周期變小，會變大(與成反比，即變換后的函數(shù)應該是.

【題型一】函數(shù)圖象的變換
【典題1】 將函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮短為原來的倍，再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是(　　)
．函數(shù)的最小正周期為
．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為
．函數(shù)的圖象有一條對稱軸為
．函數(shù)的圖象有一個對稱中心為
鞏固練習
1(★) 將函數(shù)的圖象先左移，再縱坐標不變，橫坐標縮為原來的，所得圖象的解析式為(　　)
2(★) 將函數(shù))的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象．若，則(　　)
． ． ． ．
3(★★) 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象(　　)
．向右平移個單位 ．向左平移個單位
．向右平移個單位 ．向左平移個單位
4(★★) 已知函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸的間距為，現(xiàn)將的圖象向左平移個單位后得到一個偶函數(shù)，則的一個可能取值為(　　)
． ． ．
5(★★) 已知函數(shù)的最小正周期為，且圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖象(　　)
．關于點對稱 ．關于直線對稱
．在[，]單調遞增 ．在單調遞減
6(★★★) 將函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮短為原來的倍，再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是(　　)
．函數(shù)的最小正周期為
．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為
．函數(shù)的圖象有一條對稱軸為
．函數(shù)的圖象有一個對稱中心為
【題型二】由函數(shù)的部分圖象求解析式
【典題1】 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下述四個結論：①；②；③是奇函數(shù)；④是偶函數(shù)中，其中所有正確結論的編號是 .
【典題2】 已知函數(shù)，，且上單調，則函數(shù)的解析式是 .
鞏固練習
1(★) 函數(shù)(其中，)的圖象如圖，則此函數(shù)表達式為 .
2(★★) 如圖，函數(shù)與坐標軸的三個交點滿足，，為的中點，，則的值為 .
3 (★★) 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點，，則下列說法中錯誤的是(　　)
．直線是圖象的一條對稱軸
．的圖象可由向左平移個單位而得到
的最小正周期為
在區(qū)間(，)上單調遞增
4 (★★★) 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)求的單調遞增區(qū)間和對稱中心坐標；
(3)將的圖象向左平移個單位，再講橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，最后將圖象向上平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的最大值和最小值．
5 (★★★) 如圖是函數(shù)的部分圖象，是它與軸的兩個不同交點，是之間的最高點且橫坐標為，點是線段的中點．
(1)求函數(shù)的解析式及上的單調增區(qū)間；
(2)若時，函數(shù)的最小值為求實數(shù)的值．
【題型三】三角函數(shù)模型的簡單應用一
【典題1】已知函數(shù)．
(1)求的最小值并寫出此時的取值集合；(2)若，求出的單調減區(qū)間.
【典題2】已知函數(shù)．
求的對稱中心；
設常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；
若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的值．
【典題3】已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調減區(qū)間；
(2)設方程在內有兩個相異的實數(shù)根、，求實數(shù)的取值范圍及的值；
(3)若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
鞏固練習
1(★★) 已知函數(shù)．
求函數(shù)的最小正周期；求函數(shù)的單調增區(qū)間；求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
2(★★) 已知函數(shù)的最小正周期為．
(1)求圖象的對稱軸方程；
(2)將圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)，求函數(shù)在上的值域．
3(★★★) 已知函數(shù)，其中．
(1)求使的的取值范圍；
(2)若函數(shù)，且對任意的，恒有成立，求實數(shù)的最大值．
4(★★★★) 已知函數(shù)，)，函數(shù)的圖象經過點且的最小正周期為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有的點向下平移個單位長度，再函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，再將圖象上所有的點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)圖象，令函數(shù)，區(qū)間(且)滿足：在上至少有個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．
(3)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【題型四】三角函數(shù)模型的簡單應用二
【典題1】 如圖，一個水輪的半徑為，水輪軸心距離水面的高度為，已知水輪按逆時針勻速轉動，每分鐘轉動圈，當水輪上點從水中浮現(xiàn)時的起始(圖中點)開始計時，記為點距離水面的高度關于時間的函數(shù)，則下列結論正確的是(　　)
．
．若，則
．不論為何值，是定值
【典題2】 某公司欲生產一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設計如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點為半圈上一點(異于)，點在線段上，且滿足．已知，，設．
為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足，且達到最大．當為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；
為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足∠，且達到最大．當為何值時，取得最大值，并求該最大值．
鞏固練習
1(★★) 水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時秒．經過t秒后，水斗旋轉到點，設的坐標為，其縱坐標滿足．則下列敘述錯誤的是(　　)
A．
B．當時，點到軸的距離的最大值為
C．當時，函數(shù)單調遞減
D．當時，
2(★★) 某游樂場中半徑為米的摩天輪逆時針(固定從一側觀察)勻速旋轉，每分鐘轉一圈，其最低點離底面米，如果以你從最低點登上摩天輪的時刻開始計時，那么你與底面的距離高度(米)隨時間(秒)變化的關系式為 .
3(★★) 如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內接矩形，為上一動點，問：點在怎樣的位置時，矩形的面積最大？并求出這個最大值．
4(★★★) 如圖，某正方形公園，在區(qū)域內準備修建三角形花園，滿足與平行(點在上)，且(單位：百米)．設∠，的面積為(單位：百米平方)．
求關于的函數(shù)解析式
求的最大值，并求出取到最大值時的值．
5(★★★) 某農場有一塊扇形農田，如圖所示．已知扇形的圓心角為，半徑為米，點在上，于，于．現(xiàn)要在和區(qū)域中分別種植甲、乙兩種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜單位面積年產值之比為．設∠，．
(1)用分別表示和的面積；
(2)當為何值時，讀農場種植甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大？
6(★★★★) 如圖，半圓的直徑，為圓心，，為半圓上的點．
(1)請你為點確定位置，使的周長最大，并說明理由；
(2)已知，設∠，當為何值時，
①四邊形的周長最大，最大值是多少？
②四邊形的面積最大，最大值是多少？
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1 性質
(1) 簡諧運動可用函數(shù)，表示，
是振幅，周期，頻率 ，相位，初相.
(2) 對的影響
影響函數(shù)的最值，影響周期，影響函數(shù)水平位置.
2 函數(shù)的變換
(1) 平移變換
① 將圖像沿軸向左(右)平移個單位(左加右減)；
②將圖像沿軸向上(下)平移個單位(上加下減).
PS 向左平移個單位，得到的函數(shù)不是， 而是.
(2) 伸縮變換
①
將圖像橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的倍(伸長，縮短).
②
將圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍(縮短，伸長)；
問題 怎么理解呢？例：若將圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍，那得到的函數(shù)是呢？
解析 我們把的圖象想象成一條彈簧，若縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍，那說明彈簧被壓縮了，則周期變小，會變大(與成反比，即變換后的函數(shù)應該是.

【題型一】函數(shù)圖象的變換
【典題1】 將函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮短為原來的倍，再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是(　　)
．函數(shù)的最小正周期為
．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為
．函數(shù)的圖象有一條對稱軸為
．函數(shù)的圖象有一個對稱中心為
【解析】函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮短為原來的倍，
再向右平移個單位得到的圖象．
與比較 (利用誘導公式轉化同函數(shù)名)
又由于，所以．
所以，故函數(shù)的周期為，錯誤；
令，解得，
所以函數(shù)單調遞增區(qū)間為，故正確；
由于，則取不到最值，不是對稱軸，
，不是對稱中心，即，錯誤．
故選：．
鞏固練習
1(★) 將函數(shù)的圖象先左移，再縱坐標不變，橫坐標縮為原來的，所得圖象的解析式為(　　)
【答案】
【解析】函數(shù)，其圖象先左移個單位，得的圖象；
再縱坐標不變，橫坐標縮為原來的，得函數(shù)的圖象；
所以函數(shù)的解析式為．故選：．
2(★) 將函數(shù))的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象．若，則(　　)
． ． ． ．
【答案】
【解析】將函數(shù))的圖象向左平移個單位長度，
可得 的圖象，
因為，所以，即，
所以或．
因為，所以，，故選：C．
3(★★) 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象(　　)
．向右平移個單位 ．向左平移個單位
．向右平移個單位 ．向左平移個單位
【答案】
【解析】為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向左平移個單位．故選：．
4(★★) 已知函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸的間距為，現(xiàn)將的圖象向左平移個單位后得到一個偶函數(shù)，則的一個可能取值為(　　)
． ． ．
【解析】函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸的間距為，所以，解得，
現(xiàn)將的圖象向左平移個單位后得到一個為偶函數(shù)，
則，整理得，
當時，．故選：B．
5(★★) 已知函數(shù)的最小正周期為，且圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖象(　　)
．關于點對稱 ．關于直線對稱
．在[，]單調遞增 ．在單調遞減
【答案】
【解析】的最小正周期為，，得，
此時，
圖象向右平移個單位后得到)，
若函數(shù)為偶函數(shù)，則，，得，
，當時，，
則)，
則，故關于點不對稱，故錯誤，
，故關于直線不對稱，故錯誤，
當時，，，
此時函數(shù)為增函數(shù)，故正確，
當時，，，
此時函數(shù)不單調，故錯誤，故選：．
6(★★★) 將函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮短為原來的倍，再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是(　　)
．函數(shù)的最小正周期為
．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為
．函數(shù)的圖象有一條對稱軸為
．函數(shù)的圖象有一個對稱中心為
【解析】函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮短為原來的倍，再向右平移個單位得到：的圖象．
與比較，
又由于，所以．
故，得到，
所以：．
故函數(shù)的周期為，錯誤；
令，解得，
函數(shù)單調遞增區(qū)間為，故正確；
由于，可得錯誤．故選：．
【題型二】由函數(shù)的部分圖象求解析式
【典題1】 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下述四個結論：①；②；③是奇函數(shù)；④是偶函數(shù)中，其中所有正確結論的編號是 .
【解析】由函數(shù)圖象的最值可得，
由，解得，所以，
此時
代入得，
，
又，，
，
①、②正確；
不是奇函數(shù)，③錯誤；
，
為偶函數(shù)，④正確．
綜上知，正確的命題序號是①②④．
【點撥】由函數(shù)()的部分圖象求解析式的方法
(1) 求：通過函數(shù)最值求解，得；
(2) 求：根據(jù)圖象求出周期，再利用求出；
(3) 求：求出后代入函數(shù)圖象一最值點，求出.
【典題2】 已知函數(shù)，，
且上單調，則函數(shù)的解析式是 .
【解析】 對于函數(shù))，
由，可得函數(shù)的圖象關于直線對稱；
又，可得函數(shù)的圖象關于點(，對稱，即；
，解得，
；
上單調
，，(由單調區(qū)間得到周期范圍)
，
又， ，
(，0)是對稱中心，，
即，又 ，
.
【點撥】
① 對于函數(shù)，
若，則是其對稱軸；若，則是其對稱中心；
② 處理三角函數(shù)，多注意其對稱性，結合圖象進行分析.
鞏固練習
1(★) 函數(shù)(其中，)的圖象如圖，則此函數(shù)表達式為 .
【答案】
【解析】如圖所示，，，可得，，解得，
所以，
因為函數(shù)過，代入，
得，即，，
當時，φ．所以，故選：．
2(★★) 如圖，函數(shù)與坐標軸的三個交點滿足，，為的中點，，則的值為 .
【答案】
【解析】由∠，所以，設，則，
又為的中點，所以；
又，即；
整理得，解得或(不合題意，舍去)；
所以，；
所以，解得T=8，所以8，解得；
把代入，即，
由，得；
把代入，
得，解得．
3 (★★) 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點，，則下列說法中錯誤的是(　　)
．直線是圖象的一條對稱軸
．的圖象可由向左平移個單位而得到
的最小正周期為
在區(qū)間(，)上單調遞增
【答案】
【解析】由函數(shù)部分圖象，點，，
，，，)．
再根據(jù)五點法作圖可得，求得，故 )．
令，求得，為最大值，
故直線是圖象的一條對稱軸，故正確；
把向左平移個單位，可得)的圖象，故不正確；
)的最小正周期為 ，故正確；
在區(qū)間上，，故)單調遞增，故選：．
4 (★★★) 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)求的單調遞增區(qū)間和對稱中心坐標；
(3)將的圖象向左平移個單位，再講橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，最后將圖象向上平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的最大值和最小值．
【答案】
單調遞增區(qū)間，對稱中心坐標
.
【解析】(1)由圖象可知，可得：，，
又由于，可得：，所以，
由圖象及五點法作圖可知：，所以，
所以．
(2)由(1)知，
令，，
得，，
所以的單調遞增區(qū)間為，
令，，得，，
所以的對稱中心的坐標為．
(3)由已知的圖象變換過程可得：)，
因為，所以，
所以當，得x時，取得最小值，
當，即時，取得最大值．
5 (★★★) 如圖是函數(shù)的部分圖象，是它與軸的兩個不同交點，是之間的最高點且橫坐標為，點是線段的中點．
(1)求函數(shù)的解析式及上的單調增區(qū)間；
(2)若時，函數(shù)的最小值為求實數(shù)的值．
【答案 】，
【解析】(1)取的中點為，則，
因為為的中點，且在軸上，則且，則，
所以，，則，
，所以
所以，
由，解得，
由，所以，
即，
令解得，
又，
所以函數(shù)在上的單調增區(qū)間為；
(2)因為，所以，
所以，所以，
令，則，
則，
①當1，即時，，解得:，
②當，即時，，解得:舍)，
③當即時，，解得(舍)，
綜合①②③得實數(shù)的值為．
【題型三】三角函數(shù)模型的簡單應用一
【典題1】已知函數(shù)．
(1)求的最小值并寫出此時的取值集合；
(2)若，求出的單調減區(qū)間.
【解析】(1)由于
（二倍角公式、兩角和差公式）
(輔助角公式)
)
令，，解得，，
可得的最小值為，此時的取值集合為；
(2)由，，
可得，，
所以的單調減區(qū)間為，，
因為，當時，減區(qū)間為；
當時，減區(qū)間為．
綜上，時的單調減區(qū)間為和．
【點撥】
① 解析式的化簡中用積化和差公式更簡潔些；
②本題通過各種公式(兩角和差公式、倍角公式、積化和差公式等)轉化，最終把函數(shù)的解析式轉化為或的形式求解函數(shù)的各性質(單調性、對稱性、周期、最值等).
【典題2】已知函數(shù)．
求的對稱中心；
設常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；
若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的值．
【解析】(1) (函數(shù)解析式轉化為形式)
．
所以對稱中心，
(2)，由，
解得，
的增區(qū)間為，
在上是增函數(shù)，
(是函數(shù)增區(qū)間的子集，而，故)
當時，有，
，解得，
的取值范圍是．
，
(注意，)
令，
則，
，，
而，
則，
(問題轉化為動軸定區(qū)間最值問題，分對稱軸在區(qū)間左中右)
①當時，即時，，
令，解得(舍)．
②當時，即時，，
令，解得或(舍)，
③當時，即時，在處，，
由，解得，
綜上所述或．
【典題3】已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調減區(qū)間；
(2)設方程在內有兩個相異的實數(shù)根、，求實數(shù)的取值范圍及的值；
(3)若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】(1)
　
．
當時，，
(函數(shù)化為)
由，得，．
當時，函數(shù)的單調減區(qū)間為，；
(2) (將問題逐步等價轉化，化成“最簡問題”)
方程在內有兩個相異的實數(shù)根，
即在內有兩個相異的實數(shù)根，
也就是在內有兩個相異的實數(shù)根，
當)時，，
即在內有兩個相異的實數(shù)根，
(數(shù)形結合，與在內相交于兩點)
易得在內的值域是，
即，此時；
(3)若對任意實數(shù)，恒成立，
則恒成立，
即恒成立，(換元法化為二次函數(shù)恒成立問題)
令，則恒成立．
可得，即．
實數(shù)的取值范圍是．　
鞏固練習
1(★★) 已知函數(shù)．
求函數(shù)的最小正周期；
求函數(shù)的單調增區(qū)間；
求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】(1) (2) ， (3)
【解析】
，
(1)最小正周期；
(2)令，，則，，
故單調增區(qū)間為：，，
(3)當時，，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．
2(★★) 已知函數(shù)的最小正周期為．
(1)求圖象的對稱軸方程；
(2)將圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)，求函數(shù)在上的值域．
【答案】 (1)．(2)．
【解析】
(1)，
由于函數(shù)的最小正周期為，故，所以；
令，整理得，
故函數(shù)的對稱軸方程為．
(2)由于，
由于，所以，
故．
3(★★★) 已知函數(shù)，其中．
(1)求使的的取值范圍；
(2)若函數(shù)，且對任意的，恒有成立，求實數(shù)的最大值．
【答案】 (1) ， (2)
【解析】(1)，
，即，
所以，，解得，，
即使的的取值范圍是，．
(2)令
，
因為對任意的，恒有成立，
所以當時，為增函數(shù)，
所以，解得，　所以實數(shù)的最大值為．　
4(★★★★) 已知函數(shù)，)，函數(shù)的圖象經過點且的最小正周期為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有的點向下平移個單位長度，再函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，再將圖象上所有的點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)圖象，令函數(shù)，區(qū)間(且)滿足：在上至少有個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．
(3)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】(1)，
又函數(shù)的最小正周期為，，．
．
又函數(shù)經過點，所以，
于是
因為，所以．
故．
(2)由題意，．
令得：，
或，
解得：或
相鄰兩個零點之間的距離為或．
若最小，則均為的零點，
此時在區(qū)間分別恰有，，…，零點．
在區(qū)間恰有個零點．
至少有一個零點．
，即．
檢驗可知，在恰有個零點，滿足題意(可有可無)
的最小值為．
(3)由題意得．
，，
．
設，．則．
設．
則在上是增函數(shù)．
當時，，．
故實數(shù)的取值范圍是．
【題型四】三角函數(shù)模型的簡單應用二
【典題1】 如圖，一個水輪的半徑為，水輪軸心距離水面的高度為，已知水輪按逆時針勻速轉動，每分鐘轉動圈，當水輪上點從水中浮現(xiàn)時的起始(圖中點)開始計時，記為點距離水面的高度關于時間的函數(shù)，則下列結論正確的是(　　)
．
．若，則
．不論為何值，是定值
【解析】 方法一 幾何法
圖中水面，，
(由圖，則需了解與的關系，從幾何角度求解)
每分鐘轉動圈 每秒鐘內所轉過的角度為，(角速度)
則秒轉過的角度，即
如上圖依題意可知，即
在中，
對于，，即錯誤；
對于，，，即正確；
(或確定是函數(shù)對稱軸也行)
對于，因為，所以，即，
所以，
解得，即錯誤；
對于D，
因為 ，
所以，即正確．
故選：．
方法二 待定系數(shù)法
可知符合三角函數(shù)模型，設，
依題意可知的最大值為，最小為，
，且，可得，；
每分鐘轉動圈，
圈要秒，即，
則，得，
(也可由每秒鐘內所轉過的角度為得)
依題意可知，得，取，(得到的一個值便可)
故所求的函數(shù)解析式為，
接下來如同方法一.
【點撥】
① 方法一利用幾何性質求出(即圖中的)與之間的關系；
② 方法二是根據(jù)題意確定符合三角函數(shù)模型，則用待定系數(shù)法設函數(shù)，根據(jù)題意由最大值和最小值求出的值，根據(jù)周期性由求出，注意一個特殊情況代入一個點求出.
【典題2】 某公司欲生產一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設計如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點為半圈上一點(異于)，點在線段上，且滿足．已知，，設．
為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足，且達到最大．當為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；
為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足∠，且達到最大．當為何值時，取得最大值，并求該最大值．
【解析】依題意∠∠，
則在直角中，；
在直角中，，；
(用變量表示，利用函數(shù)最值方法求解)
(1)
，，
所以當，即，的最大值為；
(2)在直角△ABC中，由，(等積法)
可得；
在直角中，
，
所以
，，
(函數(shù)化為求最值)
所以當，達到最大，最大值為．
【點撥】
① 利用直角三角形等幾何性質用表示各線段長度；
② 題目中體現(xiàn)了函數(shù)思想，在求解實際問題中，特別要注意自變量的取值范圍.
鞏固練習
1(★★) 水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時秒．經過t秒后，水斗旋轉到點，設的坐標為，其縱坐標滿足．則下列敘述錯誤的是(　　)
A．
B．當時，點到軸的距離的最大值為
C．當時，函數(shù)單調遞減
D．當時，
【答案】
【解析】由題意，，，，
點代入可得，，．故正確；
，當時，，
點到軸的距離的最大值為，正確；
當時，，函數(shù)單調遞減，不正確；
當時，，的縱坐標為，，正確，故選：．
2(★★) 某游樂場中半徑為米的摩天輪逆時針(固定從一側觀察)勻速旋轉，每分鐘轉一圈，其最低點離底面米，如果以你從最低點登上摩天輪的時刻開始計時，那么你與底面的距離高度(米)隨時間(秒)變化的關系式為 .
【答案】
【解析】設，
由題意可得，，，為最低點，
代入可得，，
，時，，
，故選：．
3(★★) 如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內接矩形，為上一動點，問：點在怎樣的位置時，矩形的面積最大？并求出這個最大值．
【答案】當為中點時，矩形的面積取到最大值
【解析】如圖，在中，設∠，則，，
在中，，所以．
．
設矩形的面積為，則
．
由于，所以當，即時，．
因此，當時，矩形的面積最大，最大面積為．
4(★★★) 如圖，某正方形公園，在區(qū)域內準備修建三角形花園，滿足與平行(點在上)，且(單位：百米)．設∠，的面積為(單位：百米平方)．
求關于的函數(shù)解析式
求的最大值，并求出取到最大值時的值．
【答案】 ，
(2)的最大值為百米平方，此時．
5(★★★) 某農場有一塊扇形農田，如圖所示．已知扇形的圓心角為，半徑為米，點在上，于，于．現(xiàn)要在和區(qū)域中分別種植甲、乙兩種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜單位面積年產值之比為．設∠，．
(1)用分別表示和的面積；
(2)當為何值時，讀農場種植甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大？
【答案】 (1) 和的面積分別為平方米，平方米；
(2) 當時，該農場種植甲，乙兩種蔬菜的年總產值量大.
【解析】(1)直角三角形中，，，
所以的面積為，
同理的面積為．
(2)設農場種植甲，乙兩種蔬菜的年總產值為，
甲，乙兩種蔬菜每平方米年產值分別為，，
則，
．
當，即時，取得最大值．
答：(1)和的面積分別為平方米，平方米；
(2)當時，該農場種植甲，乙兩種蔬菜的年總產值量大．
6(★★★★) 如圖，半圓的直徑，為圓心，，為半圓上的點．
(1)請你為點確定位置，使的周長最大，并說明理由；
(2)已知，設∠，當為何值時，
①四邊形的周長最大，最大值是多少？
②四邊形的面積最大，最大值是多少？
【答案】
①時，最大值是． ②時，最大值是.
【解析】(Ⅰ)點在半圓中點位置時，周長最大；理由如下：
因為點在半圓上，且是圓的直徑，所以，即是直角三角形；
設，，，顯然，，均為正數(shù)，則；
因為，當且僅當時等號成立，
所以，所以，
所以周長為，當且僅當時等號成立；
即為等腰直角三角形時，周長取得最大值為；此時點是半圓的中點．
(Ⅱ)(ⅰ)因為，
所以∠∠；
所以，；
設四邊形的周長為，
則
；
顯然，所以當時，取得最大值．
(ⅱ)過作于，
設四邊形的面積為，四邊形的面積為，的面積為，
則
；
所以
．
當且僅當，即時，等號成立；
顯然，所以，所以此時；
所以當時，，即四邊形的最大面積是．
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