資源簡介

12.2古典概型與幾何概型
一、學習目標
1.結合具體實例,理解古典概型,掌握古典概型的基本特征,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.
2.結合具體實例,了解幾何概型及幾何概型的基本特征,能計算幾何概型中簡單隨機事件的概率.
3.根據實際問題構建概率模型,并能解決簡單的實際問題.
二、基本知識回顧
1.基本事件
在一次試驗中,我們常常要關心的是所有可能發生的基本結果,它們是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件,其他事件可以用它們來描繪,這樣的事件稱為基本事件.
2.基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是　　　　　的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成　　　　　的和.
3.古典概型
(1)定義:具有以下兩個特征的隨機試驗的數學模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.
①試驗的所有可能結果　　　 　　;
②每一個試驗結果出現的可能性　　　　.
(2)如果試驗的所有可能結果(基本事件)數為n,隨機事件A包含的可能結果(基本事件)數為m,那么事件A的概率規定為P(A)= .
【微點撥】①判斷一個試驗是否為古典概型,要看這個試驗是否具有有限性和等可能性;
②任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和;
③求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數的方法有:列舉法、列表法和樹狀圖法.
4.幾何概型
向平面上有限區域(集合)G內隨機地投擲點M,若點M落在子區域G1 G的概率與G1的面積成正比,而與G的形狀、位置無關,即P(點M落在G1)=,則稱這種模型為幾何概型.
幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區域,相應的概率是體積之比或長度之比.
5.隨機模擬方法
使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗,以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是隨機模擬方法.
三、習題精講精煉
考點一 古典概型的概率(多考向探究)
考向1.以生活實際為題境的古典概型
【典例突破】
例1.(2021陜西西安中學二模)2013年華人數學家張益唐證明了孿生素數猜想的一個弱化形式.孿生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一,可以這樣描述:存在無窮多個素數p,使得p+2是素數,素數對(p,p+2)稱為孿生素數.在不超過30的素數中,隨機選取兩個不同的數,其中能夠組成孿生素數的概率是
【對點訓練】
1.(2021黑龍江哈爾濱三中一模)將甲、乙等4名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交通,每個路口兩人,則甲和乙不在同一路口的概率為
2.(2021江蘇南通四校3月聯考)學校舉行羽毛球混合雙打比賽,每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從3名男生A1,A2,A3和4名女生B1,B2,B3,B4中各隨機選出兩名,把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽,則A1和B1兩人組成一隊參加比賽的概率為
考向2.古典概型與代數、幾何知識的結合
【典例突破】
例2.（1）(2021安徽黃山一模)從集合{1,2,4}中隨機抽取一個數a,從集合{2,4,5}中隨機抽取一個數b,則向量m=(a,b)與向量n=(2,-1)垂直的概率為
(2)設a∈{1,3,5},b∈{2,4,6},則函數f(x)= lo是減函數的概率為　　　　.
考向3.古典概型與統計的結合
【典例突破】
例3.某中學組織了一次數學學業水平模擬測試,學校從測試合格的男生、女生中各隨機抽取100人的成績進行統計分析,分別制成了如圖所示的男生和女生數學成績的頻率分布直方圖.
(注:分組區間為[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])
(1)若得分大于或等于80認定為優秀,則男生、女生的優秀人數各為多少
(2)在(1)中所述的優秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人,從這5人中任意選取2人,求至少有一名男生的概率.
對點訓練3(2021山東濟寧一模)為了解某貧困地區實施精準扶貧后的成果,現隨機抽取了該地區部分人員,調查了2020年其人均純收入狀況.經統計,這批人員的年人均純收入數據(單位:百元)全部介于45至70之間.將數據分成5組,并得到如圖所示的頻率分布直方圖.現采取分層抽樣的方法,從[55,60),[60,65),[65,70]這三個區間中隨機抽取6人,再從6人中隨機抽取3人,則這3人中恰有2人年人均純收入位于[60,65)的概率是　　　　
考點二 幾何概型(多考向探究)
考向1.與長度、角度有關的幾何概型
【典例突破】
例4.(1)(2021全國乙,文7)在區間隨機取1個數,則取到的數小于的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
對點訓練4(1)(2021山西太原一模)在區間[-1,1]內任取一個實數k,則使得直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1有公共點的概率是　　　　
考向2.與面積、體積有關的幾何概型
【典例突破】
例5.(1)(2021陜西寶雞一模)一只螞蟻在最小邊長大于4,且面積為24的三角形內自由爬行,某時刻該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離大于2的概率為　　　　　.
(2)(2021河南鄭州三模)如圖,△OAB為等腰直角三角形,AO⊥BO,以O為圓心、以OA為半徑作大圓O,以AB為直徑作小圓.在整個圖形中隨機取一點,此點取自陰影部分的概率為　　　　　
對點訓練5(1)(2021安徽池州4月模擬)將一線段MN分為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段MG是全長MN與另一段GN的等比中項,即滿足,把稱為黃金分割數,把點G稱為線段MN的黃金分割點.如圖,在矩形ABCD中,E,F是線段AB的兩個黃金分割點.在矩形ABCD內任取一點M,則該點落在三角形DEF內的概率為(　　)
A. B. C. D.
考向3.與線性規劃有關的幾何概型
【典例突破】
例6.若不等式組表示的區域為Ω,不等式x2+y2-2x-2y+1≤0表示的區域為T,則在區域Ω內任取一點,則此點落在區域T中的概率為　　　　　
對點訓練6(2021全國乙,理8)在區間(0,1)與(1,2)中各隨機取1個數,則兩數之和大于的概率為　　　　　
考向4.與實際生活相關的幾何概型
【典例突破】
例7.甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面,并約定甲若早到則等乙半小時,而乙早到無需等待即可離去,則甲、乙兩人能見面的概率為(　　)
A. B. C. D.
對點訓練7(2021陜西榆林二模)甲、乙約定晚上七點在某校門口見面,甲晚上七點準時到了門口,此時,乙打電話告知甲路上出現堵車狀況,至少要過20分鐘才能到.甲決定等乙半個小時,超過半個小時乙還未到就離開,若乙在晚上七點五十之前一定能到,則兩人能見面的概率為　　　　　.
考點三 隨機模擬方法
例8.從區間[0,1]隨機抽取2n個數x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構成n個數對(x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數的平方和小于1的數對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　)
A. B. C. D.
對點訓練8“割圓術”是劉徽最突出的數學成就之一,他在《九章算術注》中提出割圓術,并作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎.劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了正3 072邊形,并由此求得了圓周率為3.141 5和3.141 6這兩個近似數值,這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確數據.如圖,當分割到圓內接正六邊形時,某同學利用計算機隨機模擬法向圓內隨機投擲點,計算得出該點落在正六邊形內的頻率為0.826 9,那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為(　　)(參考數據:≈2.094 6)
A.3.141 9 B.3.141 7 C.3.141 5 D.3.141 3

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