資源簡(jiǎn)介

5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.1　函數(shù)的單調(diào)性
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：
(1)觀察這個(gè)氣溫變化圖，說(shuō)出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況．
(2)怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？
問(wèn)題：觀察圖形，你能得到什么信息？
知識(shí)點(diǎn)1　函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f (x)：
f ′(x)的正負(fù) f (x)的單調(diào)性
f ′(x)＞0 單調(diào)遞增
f ′(x)＜0 單調(diào)遞減
如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f ′(x)＝0，那么函數(shù)f (x)有什么特性？
[提示]　f (x)是常數(shù)函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2　判斷函數(shù)y＝f (x)的單調(diào)性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導(dǎo)數(shù)f ′(x)的零點(diǎn)；
第3步，用f ′(x)的零點(diǎn)將f (x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f ′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f (x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．
知識(shí)點(diǎn)3　函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系
一般地，設(shè)函數(shù)y＝f (x)，在區(qū)間(a，b)上：
導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值 函數(shù)值變化 函數(shù)的圖象
越小 快 比較“陡峭”(向上或向下)
越大 慢 比較“平緩”(向上或向下)
原函數(shù)的圖象通常只看增減變化，而導(dǎo)函數(shù)的圖象通常對(duì)應(yīng)只看正負(fù)變化．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)的圖象在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”． (　　)
(2)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化得越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√
[提示]　函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，函數(shù)的圖象在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”，故(1)錯(cuò)，(2)正確．
2．若定義域?yàn)镽的函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f ′(x)＝2x(x－1)，則f (x)在區(qū)間__________上單調(diào)遞增，在區(qū)間________上單調(diào)遞減．
(1，＋∞)　(－∞，1)　[f ′(x)＞0得x＞1，f ′(x)＜0時(shí)x＜1．∴f (x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，1)上單調(diào)遞減．]
3．函數(shù)f (x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間為________．　
(0，＋∞)　[∵f (x)＝ex－x，
∴f ′(x)＝ex－1．
由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0．
∴f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．]
類型1　導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)聯(lián)圖象
【例1】　(1)已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f (x)的圖象最有可能的是(　　)
A　　　 　B　　　C　　　　　D
(2)設(shè)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象可能為(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
(1)A　(2)C　[(1)x＜－2時(shí)，f ′(x)＜0，則f (x)單調(diào)遞減；－2＜x＜0時(shí)，f ′(x)＞0，則f (x)單調(diào)遞增；x>0時(shí)，f ′(x)<0，則f (x)單調(diào)遞減．
則符合上述條件的只有選項(xiàng)A．故選A．
(2)由f (x)的圖象知：當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f (x)單調(diào)遞減，f ′(x)＜0；
當(dāng)x∈(1，4)時(shí)，f (x)單調(diào)遞增，f ′(x)＞0；
當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，f (x)單調(diào)遞減，f ′(x)＜0．
由選項(xiàng)各圖知：選項(xiàng)C符合題意，故選C．]
　研究函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系的著手點(diǎn)
(1)觀察原函數(shù)的圖象，重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點(diǎn)，分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)．
(2)觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．設(shè)函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)可能為(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
D　[觀察函數(shù)f (x)的圖象得：f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上先遞增，再遞減，后又遞增，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f ′(x)＞0，即當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象在x軸上方，于是排除A，C，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f ′(x)的值先大于0，接著變?yōu)閒 ′(x)的值小于0，之后又變?yōu)榇笥?，即當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝f ′(x)的圖象先在x軸上方，接著變化到x軸下方，最后又變到x軸上方，于是排除B，選項(xiàng)D相符．]
類型2　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【例2】　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)f (x)＝x2－ln x；
(2)f (x)＝cos x＋x，x∈(0，π)．
[思路引導(dǎo)]　根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間．
[解]　(1)∵函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－．
∴令f ′(x)>0，即2x－>0，解得x>；
令f ′(x)<0，即2x－<0，解得0故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
(2)∵x∈(0，π)，且f ′(x)＝－sin x＋．
∴令f ′(x)>0，即－sin x＋>0，
解得0令f ′(x)<0，即－sin x＋<0，
解得故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．
　1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域．
(2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x)．
(3)在定義域內(nèi)，解不等式f ′(x)>0得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解不等式f ′(x)<0得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
2．在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先必須求出函數(shù)的定義域，然后在定義域的前提之下解不等式得到單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．
3．當(dāng)一個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(或單調(diào)遞減區(qū)間)有多個(gè)時(shí)，這些區(qū)間之間不能用并集符號(hào)“∪”連接，也不能用“或”連接，而只能用“，”或“和”連接．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)f (x)＝(x－2)ex－x2＋x，求f (x)的單調(diào)區(qū)間．
[解]　f (x)＝(x－2)ex－x2＋x，x∈R，
∴f ′(x)＝ex＋(x－2)ex－x＋1＝(x－1)(ex－1)．
令f ′(x)＞0，解得x＞1或x＜0．
令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1．
∴函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)和(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)．
類型3　含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論
【例3】　討論函數(shù)f (x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的單調(diào)性．
[解]　函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f ′(x)＝ax＋1－＝．
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f ′(x)＝，
由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0＜x＜1．
∴f (x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
(2)當(dāng)a>0時(shí)，f ′(x)＝，
∵a＞0，∴＞0．
由f ′(x)＞0，得x＞1，由f ′(x)＜0，得0∴f (x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f (x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
　利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)確定函數(shù)f (x)的定義域；
(2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x)；
(3)分析參數(shù)對(duì)區(qū)間端點(diǎn)、最高次項(xiàng)的系數(shù)的影響，以及不等式解集的端點(diǎn)與定義域的關(guān)系，恰當(dāng)確定參數(shù)的不同范圍，并進(jìn)行分類討論；
(4)在不同的參數(shù)范圍內(nèi)，解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0，確定函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(源于人教B版教材)討論函數(shù)f (x)＝a ln x＋x的單調(diào)性，其中a為實(shí)常數(shù)．
[解]　函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
因?yàn)閒 ′(x)＝＋1，令f ′(x)>0，可得＋1>0，即x>－a．
所以當(dāng)－a≤0，即a≥0時(shí)，f ′(x)>0恒成立，此時(shí)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)－a>0，即a<0時(shí)，f ′(x)>0的解為x>－a，此時(shí)f (x)在(0，－a]上單調(diào)遞減，在[－a，＋∞)上單調(diào)遞增．
類型4　已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
【例4】　已知函數(shù)f (x)＝x3－ax－1為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[思路引導(dǎo)]　
[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因?yàn)閒 (x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立，因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0．
又因?yàn)閍＝0時(shí)，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)＝x3－1在R上是增函數(shù)．
所以a≤0．
[母題探究]
1．(變條件)若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1的單調(diào)減區(qū)間為(－1，1)，求a的取值范圍．
[解]　由題意得f ′(x)＝3x2－a，
函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f ′(x)≥0，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，與已知矛盾，不符合題意．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令3x2－a＝0，得x＝±，
當(dāng)－＜x＜時(shí)，f ′(x)＜0．
∴f (x)在上為減函數(shù)，
∴f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
又函數(shù)f (x)＝x3－ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，
∴＝1，即a＝3．
2．(變條件)若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
[解]　由題意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，
∴即
∴a≥3．
即a的取值范圍是[3，＋∞)．
3．(變條件)若函數(shù)f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．
[解]　∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，由f ′(x)＝0，
得x＝±(a≥0)，
∵f (x)在區(qū)間(－1，1)上不單調(diào)，
∴0＜＜1，即0＜a＜3．
故a的取值范圍為(0，3)．
　
利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，常用方法如下：
1 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增 f ′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立
2 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減 f ′(x)≤0在區(qū)間D上恒成立
3 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上不單調(diào) f ′(x)在區(qū)間D上存在異號(hào)零點(diǎn)
4 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增區(qū)間 x0∈D，使得f ′(x0)>0成立
5 函數(shù)f (x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞減區(qū)間 x0∈D，使得f ′(x0)<0成立
6 若已知f (x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，區(qū)間D上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f (x)的單調(diào)區(qū)間，令D是其單調(diào)區(qū)間的非空子集，從而求出參數(shù)的取值范圍
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．若函數(shù)y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，則a的最大值是________．
3　[由題意可得：y′＝－3x2＋a，若函數(shù)y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞)上的函數(shù)值要么恒非負(fù)，要么恒非正，很明顯函數(shù)值不可能恒非負(fù)，故－3x2＋a≤0，即a≤3x2在區(qū)間[1，＋∞)上恒成立，據(jù)此可得：a≤3，即a的最大值是3．]
1．f ′(x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f ′(x)的圖象如圖所示，則f (x)的圖象只可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
A　[由f ′(x)圖象可知f ′(0)＝0，f ′(2)＝0，f (x)在區(qū)間[0，2]上的增長(zhǎng)速度先快后慢，A選項(xiàng)符合．]
2．設(shè)f (x)＝x－sin x，則f (x)是(　　)
A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù)
B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)
C．是有零點(diǎn)的減函數(shù)
D．是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)
B　[因?yàn)閒 (－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－f (x)，所以f (x)是奇函數(shù)．又f ′(x)＝1－cos x≥0，所以f (x)單調(diào)遞增．故f (x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)．故選B．]
3．已知函數(shù)y＝x3－x2＋ax－5在(－∞，＋∞)上總是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是________．
[1，＋∞)　[依題意y′＝x2－2x＋a，這是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，由于原函數(shù)總是單調(diào)函數(shù)，故導(dǎo)函數(shù)的判別式Δ＝(－2)2－4a≤0，解得a≥1．]
4．已知函數(shù)f (x)＝x2－5x＋2ln (2x)，則f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
和(2，＋∞)　[由題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f ′(x)＝2x－5＋＝．
令f ′(x)＝0，可得x1＝，x2＝2．
當(dāng)x∈時(shí)，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．
∴f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2，＋∞)．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的思路是怎樣的？
[提示]　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性一般通過(guò)解不等式的方法完成，其步驟為：①確定函數(shù)f (x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f ′(x)；③解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，并寫出解集；④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間．
(2)利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一般有哪幾種情況？如何解決這幾種情況？
[提示]　利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常遇到三種情況：
①區(qū)間端點(diǎn)大小不確定型
由于函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式中的區(qū)間端點(diǎn)大小不定，因此需根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的大小確定參數(shù)的范圍，再分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
②區(qū)間端點(diǎn)與定義域關(guān)系不確定型
此類問(wèn)題一般會(huì)有定義域限制，解函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式的區(qū)間端點(diǎn)含參數(shù)，此端點(diǎn)與函數(shù)定義域的端點(diǎn)大小不確定，因此需分類討論．
③最高次項(xiàng)系數(shù)不確定型
此類問(wèn)題一般要就最高次項(xiàng)的系數(shù)a，分a＞0，a＝0，a＜0進(jìn)行討論．
(3)總結(jié)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法有哪幾種？
[提示]　①可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，根據(jù)已知條件，求出參數(shù)的取值范圍，但最后要注意檢驗(yàn)．
②可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在區(qū)間(a，b)上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．
③若已知f (x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，且區(qū)間I含有參數(shù)時(shí)，可先求出f ′(x)的正負(fù)區(qū)間，令I(lǐng)是f (x)的單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．5.3.2　函數(shù)的極值與最大(小)值
第1課時(shí)　函數(shù)的極值
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解函數(shù)的極值及相關(guān)的概念．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求極值中的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 4．能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值等相關(guān)的問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”．說(shuō)的是廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致，在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn)．由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的“峰點(diǎn)”與“谷點(diǎn)”．這就是我們這節(jié)課研究的函數(shù)的極值．
知識(shí)點(diǎn)1　極值點(diǎn)與極值
(1)極小值點(diǎn)與極小值
若函數(shù)y＝f (x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f (a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f ′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f ′(x)＜0，右側(cè)f ′(x)＞0，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f (x)的極小值點(diǎn)，f (a)叫做函數(shù)y＝f (x)的極小值．
(2)極大值點(diǎn)與極大值
若函數(shù)y＝f (x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f (b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f ′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f ′(x)＞0，右側(cè)f ′(x)＜0，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f (x)的極大值點(diǎn)，f (b)叫做函數(shù)y＝f (x)的極大值．
(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．
極值點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，因此若f (x)在(a，b)內(nèi)有極值，則f (x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2　求可導(dǎo)函數(shù)y＝f (x)的極值的方法
解方程f ′(x)＝0，當(dāng)f ′(x0)＝0時(shí)：
(1)如果在x0附近的左側(cè)f ′(x)＞0，右側(cè)f ′(x)＜0，那么f (x0)是極大值；
(2)如果在x0附近的左側(cè)f ′(x)＜0，右側(cè)f ′(x)＞0，那么f (x0)是極小值．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)極大值一定比極小值大． (　　)
(2)每一個(gè)函數(shù)都至少有一個(gè)極大值或極小值． (　　)
(3)若f ′(x0)＝0，則x0一定是極值點(diǎn)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
[提示]　(1)極大值不一定比極小值大，∴(1)錯(cuò)誤；
(2)有的函數(shù)可能沒有極值．∴(2)錯(cuò)；
(3)若f ′(x0)＝0，且導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)零點(diǎn)，x0才是極值點(diǎn)，故(3)錯(cuò)誤．
2．函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x)(　　)
A．無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)
B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)
C　[設(shè)y＝f ′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f (x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．故選C．]
3．(多選)下列四個(gè)函數(shù)中，在x＝0處取得極值的函數(shù)是(　　)
A．y＝x3　　 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
BC　[對(duì)于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3單調(diào)遞增，無(wú)極值；對(duì)于B，y′＝2x，x＞0時(shí)y′＞0，x＜0時(shí)y′＜0，∴x＝0為極值點(diǎn)；對(duì)于C，根據(jù)圖象，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴C符合；對(duì)于D，y＝2x單調(diào)遞增，無(wú)極值．故選BC．]
類型1　不含參數(shù)的函數(shù)求極值
【例1】　(1)函數(shù)f (x)＝ln x－x的極大值與極小值分別為(　　)
A．極小值為0，極大值為－1
B．極大值為－1，無(wú)極小值
C．極小值為－1，極大值為0
D．極小值為－1，無(wú)極大值
(2)(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f (x)＝x3－x＋1，則(　　)
A．f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)
B．f (x)有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)(0，1)是曲線y＝f (x)的對(duì)稱中心
D．直線y＝2x是曲線y＝f (x)的切線
(3)函數(shù)f (x)＝x2－ln x的極值點(diǎn)為(　　)
A．0，1，－1　　　 B．
C．－ D．，－
(1)B　(2)AC　(3)B　[(1)由于f ′(x)＝－1＝(x>0)，令f ′(x)>0，則01，所以f (x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；
所以f (x)極大值為f (1)＝－1，無(wú)極小值．
(2)f ′(x)＝3x2－1，所以f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)－與，又f ＝1－>0，所以f (x)只有一個(gè)零點(diǎn)；由f (x)＋f (－x)＝2可知，點(diǎn)(0，1)是曲線y＝f (x)的對(duì)稱中心，曲線y＝f (x)在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y＝2x－1．
(3)由已知，得f (x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f ′(x)＝3x－＝，
令f ′(x)＝0，得x＝．
當(dāng)x>時(shí)，f ′(x)>0；
當(dāng)0　求可導(dǎo)函數(shù)f (x)極值的步驟
(1)定義域：求函數(shù)的定義域；
(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ′(x)；
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的零點(diǎn)；
(4)列表：方程的根x0將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間，把x，f ′(x)，f (x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格內(nèi)；
(5)結(jié)論：若導(dǎo)數(shù)f ′(x)在x0附近左正右負(fù)，則函數(shù)f (x)在x0處取得極大值；若左負(fù)右正，則函數(shù)f (x)取得極小值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源于人教B版教材)已知函數(shù)f (x)＝x3－4x＋4，求函數(shù)的極值，并作出函數(shù)圖象的示意圖．
[解]　由題意可得f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或x>2，此時(shí)f (x)遞增．
解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上遞增，在(－2，2)上遞減，在(2，＋∞)上遞增，而且f ′(－2)＝f ′(2)＝0．
從而可知x＝－2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f (－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋4＝9；x＝2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f (2)＝×23－4×2＋4＝－．
函數(shù)圖象的示意圖如圖所示．
類型2　含參數(shù)的函數(shù)求極值
【例2】　已知函數(shù)f (x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a為實(shí)數(shù))，求函數(shù)f (x)的極值．
[思路引導(dǎo)]　對(duì)函數(shù)f (x)求導(dǎo)，得到f ′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)2和2a的大小，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值．
[解]　∵f (x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2，
∴f ′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．
令f ′(x)＝0，解得x＝2或x＝2a．
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，2a＝2，因此f ′(x)＝(x－2)2≥0，故f (x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值；
(2)當(dāng)a<1時(shí)，2a<2，當(dāng)x變化時(shí)，f (x)，f ′(x)隨x的變化情況如表：
x (－∞，2a) 2a (2a，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
由上表可知f (x)在(－∞，2a)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(2a，2)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在x＝2a處取得極大值f (2a)＝－a3＋4a2＋2．函數(shù)在x＝2處取得極小值f (2)＝4a＋．
(3)當(dāng)a>1時(shí)，2a>2，因此函數(shù)f (x)在(－∞，2)和(2a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(2，2a)上單調(diào)遞減，函數(shù)在x＝2處取得極大值f (2)＝4a＋，函數(shù)在x＝2a處取得極小值f (2a)＝－a3＋4a2＋2．
綜上，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)的極大值為－a3＋4a2＋2，極小值為4a＋；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)的極大值為4a＋，極小值為－a3＋4a2＋2．
　1．判斷一個(gè)函數(shù)是否有極值的方法
判斷一個(gè)函數(shù)是否有極值，不僅要求解f ′(x)＝0，還要根據(jù)函數(shù)的極值定義，函數(shù)在某點(diǎn)處若存在極值，則應(yīng)在該點(diǎn)的左右鄰域是單調(diào)的，并且單調(diào)性相反；若單調(diào)性相同，則不是極值點(diǎn)．
2．分類討論求極值
求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時(shí)，有時(shí)需要用分類討論的思想才能解決問(wèn)題．討論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對(duì)f ′(x)的零點(diǎn)有影響，若有影響，則需要分類討論；二是看f ′(x)在其零點(diǎn)附近的符號(hào)的確定是否與參數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，則需要分類討論．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．若函數(shù)f (x)＝x－a ln x(a∈R)，求函數(shù)f (x)的極值．
[解]　函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．
(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f (x)無(wú)極值．
(2)當(dāng)a＞0時(shí)，令f ′(x)＝0，解得x＝a．
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f ′(x)＜0；當(dāng)x＞a時(shí)，f ′(x)＞0．
∴f (x)在x＝a處取得極小值，且f (a)＝a－a ln a，無(wú)極大值．
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f (x)在x＝a處取得極小值a－a ln a，無(wú)極大值．
類型3　由極值求參數(shù)的值或取值范圍
【例3】　(1)已知f (x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　)
A．(－1，2)
B．(－3，6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
(2)已知函數(shù)f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則a＝(　　)
A．4或－3　　　 B．4或－11
C．4 D．－3
(1)D　(2)C　[(1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因?yàn)閒 (x)既有極大值又有極小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3．
(2)∵f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．
由題意得
即
解得或
當(dāng)時(shí)，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意．
∴a＝4，故選C．]
　已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：
(1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；
(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知函數(shù)f (x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，求a，b的值．
[解]　∵f ′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函數(shù)f (x)在x＝－1處有極值0，
∴即
解得或
當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，
f ′(x)＝0，此時(shí)函數(shù)f (x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去．
當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)·(x＋3)．
當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f ′(x)＞0，此時(shí)f (x)為增函數(shù)；
當(dāng)x∈(－3，－1)時(shí)，f ′(x)＜0，此時(shí)f (x)為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f ′(x)＞0，此時(shí)f (x)為增函數(shù)．
故f (x)在x＝－1處取得極小值．
∴a＝2，b＝9．
類型4　極值問(wèn)題的綜合應(yīng)用
【例4】　已知函數(shù)f (x)＝x3－3x＋a(a為實(shí)數(shù))，若方程f (x)＝0有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[思路引導(dǎo)]　求出函數(shù)的極值，要使f (x)＝0有三個(gè)不同實(shí)根，則應(yīng)有極大值大于0，極小值小于0，由此可得a的取值范圍．
[解]　令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1．
當(dāng)x<－1時(shí)，f ′(x)>0；
當(dāng)－1當(dāng)x>1時(shí)，f ′(x)>0．
所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f (x)有極大值f (－1)＝2＋a；
當(dāng)x＝1時(shí)，f (x)有極小值f (1)＝－2＋a．
因?yàn)榉匠蘤 (x)＝0有三個(gè)不同實(shí)根，
所以y＝f (x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，如圖．
由已知應(yīng)有
解得－2[母題探究]
1．(變條件)本例中，若方程f (x)＝0恰有兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)a的值如何求解？
[解]　由例題知，函數(shù)的極大值f (－1)＝2＋a，極小值f (1)＝－2＋a，
若f (x)＝0恰有兩個(gè)根，則有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2．
2．(變條件)本例中，若方程f (x)＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍．
[解]　由例題可知，要使方程f (x)＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2．
　解決函數(shù)零點(diǎn)的注意點(diǎn)
(1)研究函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極大值、極小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
(2)解決由函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．求函數(shù)g(x)＝x－－4ln x－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
[解]　因?yàn)間(x)＝x－－4ln x－2，
所以g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3．
當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的取值變化情況如表：
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
當(dāng)0＜x≤3時(shí)，g(x)≤g(1)＝－4＜0，
當(dāng)x＞3時(shí)，g(e5)＝e5－－20－2＞25－1－22＝9＞0．
又因?yàn)間(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，
因而g(x)在(3，＋∞)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故g(x)僅有1個(gè)零點(diǎn)．
1．已知函數(shù)y＝f (x)，x∈R有唯一的極值點(diǎn)，且x＝1是f (x)的極小值點(diǎn)，則(　　)
A．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f ′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)≤0
B．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f ′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)≥0
C．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f ′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)≥0
D．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f ′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)≤0
C　[由極小值點(diǎn)的定義，知極小值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值是左負(fù)右正，又函數(shù)f (x)，x∈R有唯一的極值點(diǎn)，所以當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f ′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)≥0．故選C．]
2．函數(shù)f (x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為(　　)
A．1，－3　　　　 B．1，3
C．－1，3 D．－1，－3
A　[f ′(x)＝3ax2＋b，由題意知即
解得故選A．]
3．函數(shù)f (x)＝ln x－x在區(qū)間(0，e]上的極大值為________．
－1　[f ′(x)＝－1＝，∵x>0，∴f (x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，e]上單調(diào)遞減，∴x＝1處取得極大值，即f (x)極大值＝f (1)＝－1．]
4．已知函數(shù)f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函數(shù)f (x)既有極大值又有極小值，
∴方程f ′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
(1)函數(shù)極值的求解依據(jù)與步驟是什么？
[提示]　一般地，求函數(shù)y＝f (x)的極值的步驟是：
①求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f ′(x)；
②解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一個(gè))；
③用方程f ′(x)＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，可將x，f ′(x)，f (x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個(gè)表格中；
④由f ′(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷f (x)在f ′(x)＝0的各個(gè)根處的極值情況：
如果左正右負(fù)，那么函數(shù)f (x)在這個(gè)根處取得極大值；
如果左負(fù)右正，那么函數(shù)f (x)在這個(gè)根處取得極小值；
如果導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號(hào)，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)．
(2)如果函數(shù)f (x)在[a，b]連續(xù)不斷且有極值的話，它的極值點(diǎn)有規(guī)律嗎？
[提示]　如果函數(shù)f (x)在[a，b]上有極值的話，那么它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的．相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)．同樣，相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)．一般地，當(dāng)函數(shù)f (x)在[a，b]上的圖象連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f (x)在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的．
(3)已知函數(shù)的零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍有哪些常用的方法？
[提示]　常用的方法有三種：
①直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
②分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
③數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y＝g(x)，y＝h(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為y＝a，y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．能利用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理) 3．能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值、最值等相關(guān)的問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
費(fèi)馬(1601－1665)是一位17世紀(jì)的法國(guó)律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家．之所以稱費(fèi)馬為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，是由于他具有律師的全職工作．17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，而費(fèi)馬比他同時(shí)代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星．
他將無(wú)窮小的思想運(yùn)用到求積問(wèn)題上，已具今日微積分的雛形，這也是費(fèi)馬的卓越成就之一．他在牛頓出生前的13年，提出了有關(guān)微積分的主體概念．
大約在1637年，他寫了一篇手稿《求最大值與最小值的方法》．讓我們沿著這位傳奇人物的足跡來(lái)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大(小)值問(wèn)題吧．
知識(shí)點(diǎn)1　函數(shù)的最大(小)值的存在性
一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f (x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值．
知識(shí)點(diǎn)2　求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟
(1)求函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)上的極值；　
(2)將函數(shù)y＝f (x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f (a)，f (b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)是f (x)在閉區(qū)間[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要條件．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得．
(　　)
(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值． (　　)
(3)在定義域內(nèi)，若函數(shù)有最值與極值，則極大(小)值就是最大(小)值．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
[提示]　(1)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值可能在端點(diǎn)處取得，也可能在極值點(diǎn)處取得．
(2)若單調(diào)函數(shù)有最值，則一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得，但開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)在端點(diǎn)處無(wú)函數(shù)值，所以無(wú)最值，故正確．
(3)因?yàn)閥最大值≥y極值，y最小值≤y極值，故錯(cuò)誤．
2．函數(shù)y＝3x－4x3在區(qū)間[0，2]上的最大值是(　　)
A．1　　　 B．2
C．0 D．－1
A　[設(shè)f (x)＝3x－4x3，
∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)．
∵x∈[0，2]，∴當(dāng)x＝時(shí)，f ′(x)＝0．
又f (0)＝0，f ＝1，f (2)＝－26，
∴函數(shù)y＝3x－4x3在區(qū)間[0，2]上的最大值是1．]
類型1　求不含參數(shù)的函數(shù)的最值
【例1】　求下列各函數(shù)的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；
(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈．
[思路引導(dǎo)]　求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的極值點(diǎn)，先求出極值，再結(jié)合定義域，將所有極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較求得最大(小)值．
[解]　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1．
當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)，f (x)變化情況如表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) －1 單調(diào)遞增 11 單調(diào)遞減 －1 單調(diào)遞增 11
從表中可以看出，當(dāng)x＝－2或x＝1時(shí)，函數(shù)f (x)取得最小值－1．　
當(dāng)x＝－1或x＝2時(shí)，函數(shù)f (x)取得最大值11．
(2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±，∴x＝±．
∴函數(shù)f (x)在上的兩個(gè)極值分別為
f ＝－，f ＝－＋．
又f ＝－，f ＝．
比較以上函數(shù)值可得f (x)max＝，f (x)min＝－．
　求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的方法
(1)求函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，求出使得f ′(x)＝0的所有點(diǎn)；
(3)計(jì)算函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)使得f ′(x)＝0的所有點(diǎn)以及端點(diǎn)的函數(shù)值；
(4)比較以上各個(gè)函數(shù)值，其中最大的是函數(shù)的最大值，最小的是函數(shù)的最小值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源于人教B版教材)已知f (x)＝x2ex，x≤1，求f (x)的極值點(diǎn)以及極值、最值點(diǎn)以及最值．
[解]　當(dāng)x<1時(shí)，f ′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex．
解方程f ′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0．
解不等式f ′(x)>0，可得x<－2或0解不等式f ′(x)<0，可得－2因此，f (x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增．由于f ′(－2)＝f ′(0)＝0，可知x＝－2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f (－2)＝4e-2＝；
x＝0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f (0)＝0．
又因?yàn)閒 (1)＝e>，所以函數(shù)的最大值點(diǎn)為1，最大值為e；x2ex≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)都是成立的，因此函數(shù)的最小值點(diǎn)為0，而且最小值是0．
類型2　求含參數(shù)的函數(shù)的最值
【例2】　已知函數(shù)f (x)＝－ln x(a∈R)．
(1)討論f (x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求f (x)在上的最大值g(a)．
[解]　(1)f (x)的定義域是(0，＋∞)．
∵f (x)＝－ln x，
∴f ′(x)＝．
①當(dāng)a>0時(shí)，令f ′(x)>0，解得0令f ′(x)<0，解得x>a，
故f (x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a≤0時(shí)，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≤0時(shí)，f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
(2)由(1)知當(dāng)a≤時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞減，
g(a)＝f (x)max＝f ＝2－ae，
當(dāng)當(dāng)a≥e時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增，
g(a)＝f (x)max＝f (e)＝－．
綜上，當(dāng)a≤時(shí)，g(a)＝2－ae；
當(dāng)當(dāng)a≥e時(shí)，g(a)＝－．
　含參函數(shù)最值問(wèn)題的解法
對(duì)于含參函數(shù)的最值問(wèn)題，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x)＝x2(x－a)，求f (x)在區(qū)間[0，2]上的最大值．
[解]　由題意得，f ′(x)＝3x2－2ax．
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝．
①當(dāng)≤0，即a≤0時(shí)，f (x)在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f (x)max＝f (2)＝8－4a．
②當(dāng)≥2，即a≥3時(shí)，f (x)在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f (x)max＝f (0)＝0．
③當(dāng)0＜＜2，即0＜a＜3時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而f (x)max＝
綜上所述，f (x)max＝
類型3　用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【例3】　當(dāng)x＞0時(shí)，證明：不等式ln (x＋1)＞x－x2．
[思路引導(dǎo)]　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，首先要構(gòu)造不等式兩邊式子的差為新函數(shù)f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2．因此要證明原不等式，即證f (x)＞0在x＞0時(shí)恒成立．
[證明]　設(shè)f (x)＝ln (x＋1)－x＋x2，則f ′(x)＝－1＋x＝．
當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f ′(x)＞0，
∴f (x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增．
于是當(dāng)x＞0時(shí)，f (x)＞f (0)＝0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，不等式ln (x＋1)＞x－x2成立．
　證明不等式f (x)＞g(x)，x∈(a，b)的方法
(1)將要證明的不等式f (x)＞g(x)移項(xiàng)可以轉(zhuǎn)化為證明f (x)－g(x)＞0；
(2)構(gòu)造函數(shù)F (x)＝f (x)－g(x)，研究F (x)的單調(diào)性；
(3)若[f (x)－g(x)]′＞0，說(shuō)明函數(shù)F (x)＝f (x)－g(x)在(a，b)上是增函數(shù)．只需保證F (a)＞0；
(4)若[f (x)－g(x)]′＜0，說(shuō)明函數(shù)F (x)＝f (x)－g(x)在(a，b)上是減函數(shù)．只需保證F (b)＞0．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．證明：x＞0時(shí)，ln x≤x－1．
[證明]　設(shè)f (x)＝ln x－(x－1)，x>0，
可得f ′(x)＝－1＝．
當(dāng)x＞1時(shí)，f ′(x)＜0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f ′(x)＞0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增．
可得x＝1時(shí)，f (x)取得極大值，且為最大值．
即f (x)max＝0．所以f (x)≤0，即ln x≤x－1．
類型4　已知函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍
【例4】　已知函數(shù)f (x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值是3，最小值為－29，求a，b的值．
[思路引導(dǎo)]　先求導(dǎo)，求出f ′(x)＝0的解，通過(guò)列表討論，列出方程組，求出a，b的值．
[解]　求導(dǎo)得f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
∵a>0，
∴x變化時(shí)，f ′(x)，f (x)的變化情況如表：
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) －7a＋b 單調(diào)遞增 b 單調(diào)遞減 －16a＋b
由表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f (x)取得極大值b，也就是函數(shù)在[－1，2]上的最大值，∴f (0)＝b＝3．
又f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3∴f (2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2．
故a＝2，b＝3．
[母題探究]
1．(變條件)本例中“a＞0”改為“a＜0”，求a，b的值．
[解]　由例題解析知，當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x＝0時(shí)，f (x)取得極小值b，也就是函數(shù)在[－1，2]上的最小值，∴f (0)＝b＝－29．
又f (－1)＝－7a－29，
f (2)＝－16a－29>f (－1)，
∴f (2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2．
故a＝－2，b＝－29．
2．(變條件，變結(jié)論)設(shè)函數(shù)f (x)＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值為h(t)，且h(t)＜－2t＋m對(duì)t∈(0，2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解]　∵f (x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f (x)取最小值f (－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1．
令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合題意，舍去)．
當(dāng)t變化時(shí)，g′(t)，g(t)的變化情況如表：
t (0，1) 1 (1，2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 單調(diào)遞增 極大值1－m 單調(diào)遞減
∴g(t)在(0，2)內(nèi)有最大值g(1)＝1－m．
h(t)<－2t＋m在(0，2)內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)<0在(0，2)內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1－m<0．∴m的取值范圍為(1，＋∞)．
　由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值或取值范圍
由函數(shù)的最值來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題的逆向運(yùn)用，這類問(wèn)題的解題步驟是：
(1)求導(dǎo)數(shù)f ′(x)，并求極值；
(2)利用單調(diào)性，將極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，確定函數(shù)的最值，若參數(shù)的變化影響著函數(shù)的單調(diào)性，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論；
(3)利用最值列關(guān)于參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．已知f (x)＝2ax－＋ln x在x＝1與x＝處都取得極值．
(1)求a，b的值；
(2)若x∈時(shí)，f (x)＜c恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
[解]　(1)∵f (x)＝2ax－＋ln x，∴f ′(x)＝2a＋＋，
∵f (x)＝2ax－＋ln x在x＝1與x＝處都取得極值，
∴f ′(1)＝0，f ′＝0．∴
解得a＝b＝－．
(2)由(1)可知f (x)＝－x＋＋ln x，
令f ′(x)＝－－＋＝－＝0，
解得x＝1或x＝，
∵x∈，
∴f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
f ＝－ln 4，f (1)＝－，
而f －f (1)＝－＝－ln 4＞0，
∴f ＞f (1)，即f (x)在上的最大值為－ln 4．
對(duì)x∈時(shí)，f (x)＜c恒成立，等價(jià)于f (x)max＜c，
即－ln 4＜c，
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為．
1．如圖所示，函數(shù)f (x)導(dǎo)函數(shù)的圖象是一條直線，則(　　)
A．函數(shù)f (x)沒有最大值也沒有最小值
B．函數(shù)f (x)有最大值，沒有最小值
C．函數(shù)f (x)沒有最大值，有最小值
D．函數(shù)f (x)有最大值，也有最小值
C　[由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f (x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f (x)在x＝1處取得最小值，
∴函數(shù)f (x)沒有最大值，只有最小值．]
2．函數(shù)y＝的最大值為(　　)
A．e-1　　　B．e　　　C．e2　　　D．10
A　[令y′＝＝0 x＝e．當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，所以ymax＝e-1，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymax＝e-1．]
3．(多選)函數(shù)y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象如圖所示，以下命題正確的是(　　)
A．x＝－3是函數(shù)y＝f (x)的極值點(diǎn)
B．x＝－1是函數(shù)y＝f (x)的最小值點(diǎn)
C．y＝f (x)在區(qū)間(－3，1)上單調(diào)遞增
D．y＝f (x)在x＝0處切線的斜率大于零
ACD　[根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f ′(x)＜0，當(dāng)x∈(－3，1)時(shí)，f ′(x)≥0，
∴函數(shù)y＝f (x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(－3，1)上單調(diào)遞增，故C正確；
易知x＝－3是函數(shù)y＝f (x)的極小值點(diǎn)，故A正確；
∵函數(shù)y＝f (x)在(－3，1)上單調(diào)遞增，∴x＝－1不是函數(shù)y＝f (x)的最小值點(diǎn)，故B不正確；
∵函數(shù)y＝f (x)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)大于0，∴切線的斜率大于零，故D正確．]
4．若函數(shù)f (x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在區(qū)間(0，2)上的極大值為最大值，則m的取值范圍是______________．
(0，3)　[由題得f ′(x)＝－3x2＋2mx，令f ′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)，因?yàn)閒 (x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)的極大值為最大值，所以∈(0，2)，即0＜＜2，所以0回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
(1)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f (x)在[a，b]上必有最大值和最小值，那么在(a，b)上連續(xù)的函數(shù)的最值如何呢？
[提示]　在區(qū)間(a，b)上函數(shù)f (x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，f (x)在(a，b)內(nèi)不一定有最值．常見的有以下幾種情況：
如圖，圖1中的函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)上有最大值而無(wú)最小值；
圖2中的函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)上有最小值而無(wú)最大值；
圖3中的函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)上既無(wú)最小值也無(wú)最大值；
圖4中的函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)上既有最小值也有最大值．
(2)如果一個(gè)函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)上只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)是最值點(diǎn)嗎？
[提示]　當(dāng)連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f (x)有極大值(或極小值)，則可以判定f (x)在該點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無(wú)窮區(qū)間．
(3)不等式恒成立問(wèn)題有什么常見的轉(zhuǎn)化策略？
[提示]　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)一般運(yùn)用分離參數(shù)法，步驟如下：
第一步：將原不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為實(shí)參數(shù))分離，使不等式的一邊是參數(shù)，另一邊不含參數(shù)，即化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f2(x)(x∈D)的最大或最小值；
第三步：解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，從而求出參數(shù)λ的取值范圍．
如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解．如果是一元二次不等式恒成立的問(wèn)題，可以考慮利用二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(a>0，Δ<(≤)0或a<0，Δ<(≤)0)求解．第3課時(shí)　導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問(wèn)題及實(shí)際生活中的應(yīng)用
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．進(jìn)一步掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象、零點(diǎn)等問(wèn)題中的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
如圖所示，海中有一座油井A，其離岸的距離AC＝1.2 km，岸是筆直的，岸上有一座煉油廠B，且BC＝1.6 km．現(xiàn)要用輸油管將油井A與煉油廠B連接起來(lái)，且輸油管既可以鋪設(shè)在水下，也可以鋪設(shè)在陸地上，還可以一部分鋪設(shè)在水下另一部分鋪設(shè)在陸地上．
已知水下的鋪設(shè)成本為每千米50萬(wàn)元，陸地的鋪設(shè)成本為每千米30萬(wàn)元．那么，鋪設(shè)輸油管的最少花費(fèi)是多少？
知識(shí)點(diǎn)1　函數(shù)圖象的畫法
函數(shù)f (x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f (x)的性質(zhì)．通常，按如下步驟畫出函數(shù)f (x)的大致圖象：
(1)求出函數(shù)f (x)的定義域；
(2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x)及函數(shù)f ′(x)的零點(diǎn)；
(3)用f ′(x)的零點(diǎn)將f (x)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，列表給出f ′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，并得出f (x)的單調(diào)性與極值；　
(4)確定f (x)的圖象所經(jīng)過(guò)的一些特殊點(diǎn)，以及圖象的變化趨勢(shì)；
(5)畫出f (x)的大致圖象．
知識(shí)點(diǎn)2　用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在建立函數(shù)模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定出函數(shù)的定義域． (　　)
(2)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，一定要從問(wèn)題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去． (　　)
(3)如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值，那么圓柱體積的最大值為． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
D　[當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，排除A，B；y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，由f ′(x)＞0得2x(2x2－1)＜0，得x＜－或0＜x＜，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，排除C．故選D．]
類型1　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
【例1】　函數(shù)y＝(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
B　[法一：由函數(shù)y＝可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，排除C；
當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，排除A；
y′＝＝，
當(dāng)x＜3時(shí)，y′＞0，當(dāng)x＞3時(shí)，y′＜0，
∴函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減．故選B．
法二：由函數(shù)y＝可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，排除C；當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，排除A；當(dāng)x→＋∞時(shí)，y→0．故選B．]
　由解析式研究圖象常用的方法
根據(jù)解析式判斷函數(shù)的圖象時(shí)，綜合應(yīng)用各種方法，如判斷函數(shù)的奇偶性，定義域、特殊值和單調(diào)性，有時(shí)還要用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，甚至最值等．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．函數(shù)f (x)＝的圖象大致為(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
B　[由f (x)＝得：f (－x)＝＝＝f (x)，
故其為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除D；
f (2)＝2ln 4＞0，故排除A；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f (x)＝2x ln x，f ′(x)＝2(1＋ln x)，
可得x∈時(shí)，f ′(x)＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈時(shí)，f ′(x)＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，故排除C．故選B．]
類型2　用導(dǎo)數(shù)研究方程的根
【例2】　若函數(shù)f (x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f (x)取得極值－．
(1)求函數(shù)f (x)的解析式；
(2)若方程f (x)＝k有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
[思路引導(dǎo)]　(1)由x＝2時(shí)函數(shù)f (x)的極值為－，建立a、b的等量關(guān)系求解；(2)根據(jù)函數(shù)f (x)的單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合求解．
[解]　(1)對(duì)f (x)求導(dǎo)得f ′(x)＝3ax2－b，
由題意得
解得a＝，b＝4(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意)．
∴f (x)＝x3－4x＋4．
(2)由(1)可得f ′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－2．
∴當(dāng)x<－2或x>2時(shí)，f ′(x)>0；當(dāng)－2因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f (x)取得極大值，
當(dāng)x＝2時(shí)，f (x)取得極小值－．
∴函數(shù)f (x)＝x3－4x＋4的大致圖象如圖所示．
由圖可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．
[母題探究]
(變條件)將本例改為“若方程ax＝x(a>0，a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根”，試求a的取值范圍．
[解]　由ax＝x知x＞0，
故x·ln a－ln x＝0 ln a＝，
令f (x)＝(x＞0)，
則f ′(x)＝．
當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f ′(x)＞0，
f (x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f ′(x)＜0，f (x)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＝e時(shí)，f (x)取得最大值f (e)＝，即ln a＜，即a＜．畫出函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與y＝x的圖象(圖略)，結(jié)合圖象可知，若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a＞1．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
　函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的統(tǒng)一．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)f (x)＝xe2x－1，則函數(shù)f (x)的極小值為________，零點(diǎn)有________個(gè)．
－－1　1　[∵f (x)＝xe2x－1，f ′(x)＝e2x＋2xe2x＝()，令f ′(x)＝0，可得x＝－，
如表所示：
x －
f ′(x) － 0 ＋
f (x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
∴函數(shù)y＝f (x)的極小值為f ＝－－1．
f (x)＝0 e2x＝，則函數(shù)y＝f (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)y＝e2x與函數(shù)y＝的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示：
兩個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f (x)只有一個(gè)零點(diǎn)．故答案為：－－1；1．]
類型3　導(dǎo)數(shù)在生活實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
【例3】　(源于人教B版教材)如圖所示，現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為1.2 m的正方形鐵板，如果從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，然后做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器，則容器的容積V m3是截下的小正方形邊長(zhǎng)x m的函數(shù)．
(1)寫出函數(shù)的解析式；
(2)為了使容器的容積最大，截去的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？
[思路引導(dǎo)]　當(dāng)截去的正方形邊長(zhǎng)較短時(shí)，容器的底面積就會(huì)較大，高較小；反之，當(dāng)截去的正方形邊長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)，容器的底面積就會(huì)較小，高較大．但是容器的容積等于底面積乘以高，因此，為了使得容器的容積最大，必須尋找合適的x值．
[解]　(1)根據(jù)題意可知，容器底面的邊長(zhǎng)為(1.2－2x)m，高為x m，于是V＝(1.2－2x)2x，
又因?yàn)轱@然x的長(zhǎng)度必須小于原有正方形邊長(zhǎng)的一半，因此0(2)由題意有V′＝2(1.2－2x)×(－2)x＋(1.2－2x)2＝12(x－0.6)(x－0.2)．
令V′>0，可解得x<0.2．
因此可知V在(0，0.2]上單調(diào)遞增，在[0.2，0.6)上單調(diào)遞減．
故V在x＝0.2時(shí)取得極大值，而且在此時(shí)取得最大值．
即截去的正方形邊長(zhǎng)為0.2 m時(shí)，容器的容積最大．
　解決最優(yōu)問(wèn)題應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手
(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域．
(2)在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，若函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某電子公司開發(fā)一種智能手機(jī)的配件，每個(gè)配件的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過(guò)改進(jìn)工藝，每個(gè)配件的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果每個(gè)配件的銷售價(jià)提高的百分率為x(0＜x＜1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2，記改進(jìn)工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)是y(元)．
(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)改進(jìn)工藝后，試確定該智能手機(jī)配件的售價(jià)，使電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)最大．
[解]　(1)改進(jìn)工藝后，每個(gè)配件的銷售價(jià)為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，
則月平均利潤(rùn)y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．
(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，
令y′＝0，得x1＝，x2＝－(舍)，
當(dāng)0＜x＜時(shí)，y′＞0；＜x＜1時(shí)，y′＜0，
∴函數(shù)y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝時(shí)取得極大值也是最大值，
故改進(jìn)工藝后，每個(gè)配件的銷售價(jià)為20×＝30元時(shí)，該電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)最大．
1．(多選)若函數(shù)f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有極值，則導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象可能是(　　)
A　　 　　　　　　B
C　　 　　　　　　　　D
ABC　[若函數(shù)f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有極值，即f (x)有極值點(diǎn)，
則必須f ′(x)有零點(diǎn)，且f ′(x)在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號(hào)．
由圖象可知選項(xiàng)D中，f ′(x0)＝0，但當(dāng)x＜x0，x＞x0時(shí)都有f ′(x)＞0，故不符合題意．故選ABC．]
2．某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2(0A．30 B．40
C．50 D．60
B　[V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因?yàn)?＜x＜60，所以當(dāng)0＜x＜40時(shí)，V′(x)>0，
此時(shí)V(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)403．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－4)
B．(－4，0)
C．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
D．(0，＋∞)
B　[設(shè)f (x)＝x3－6x2＋9x，可得f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
令f ′(x)＞0，即(x－1)(x－3)＞0，解得x＜1或x＞3，
令f ′(x)＜0，即(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，
所以函數(shù)f (x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x＝1，函數(shù)f (x)取得極大值f (1)＝4，
當(dāng)x＝3，函數(shù)f (x)取得極小值f (3)＝0，
要使得方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三個(gè)不等的實(shí)根，
即函數(shù)y＝f (x)與y＝－m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以0＜－m＜4，解得－4＜m＜0，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－4，0)．]
4．電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝x3－x2－40x(x＞0)，為使耗電量最小，求其速度應(yīng)定為________．
40　[由題設(shè)知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函數(shù)y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，40]上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝40時(shí)，y取得最小值．
由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
(1)用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么？
[提示]　生活中常常會(huì)遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱優(yōu)化問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)解決這些優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的最值．
(2)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟是什么？
[提示]　①審題：理解文字表達(dá)的題意，分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系．
②建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系．
③解模：把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃歸為求最值問(wèn)題．
ⅰ．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解導(dǎo)數(shù)值為0的方程；
ⅱ．比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)處的函數(shù)值的大小即得最大(小)值．
④寫出答案．
注意：在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意所設(shè)變量的取值范圍．
(3)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？
[提示]　①一是要注意考慮實(shí)際問(wèn)題的意義，不符合題意的值應(yīng)舍去．
②二是在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到區(qū)間內(nèi)只有
一個(gè)點(diǎn)使f ′(x)＝0的情形，如果函數(shù)在該點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這是最大(小)值．
③三是要注意問(wèn)題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)式表示，以及確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義域．

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