資源簡介

3.3　拋物線
3.3.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握拋物線的定義及焦點、準(zhǔn)線的概念．(數(shù)學(xué)抽象) 2．會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能應(yīng)用它解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)
拋物線這個幾何對象，我們并不陌生．
例如，從物理學(xué)中我們知道，一個向上斜拋的乒乓球，其運(yùn)動軌跡是拋物線的一部分，如圖所示；二次函數(shù)的圖象是一條拋物線；等等．
到底什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個類似于圓、橢圓或雙曲線的定義呢？
知識點1　拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
定點F不在準(zhǔn)線l上，這是動點軌跡為拋物線的必要條件，否則，若定點F在定直線l上，則動點軌跡為過定點F且和定直線l垂直的一條直線．
知識點2　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程
y2＝2px(p>0) F x＝－
y2＝－2px(p>0) F x＝
x2＝2py(p>0) F y＝－
x2＝－2py(p>0) F y＝
(1)拋物線方程中p(p>0)的幾何意義是什么？
(2)如何區(qū)分拋物線的四個標(biāo)準(zhǔn)方程？
提示：(1)p(p>0)的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離．
(2)焦點在一次項變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當(dāng)系數(shù)為正時，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＝－2的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(2)若點P到點F(1，0)的距離和到直線x＋y－1＝0的距離相等，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(3)若點P到點F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，則點P的軌跡是拋物線． (　　)
(4)平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線． (　　)
(5)拋物線y2＝－2px(p>0)中p是焦點到準(zhǔn)線的距離． (　　)
(6)方程x2＝2ay(a≠0)表示開口向上的拋物線． (　　)
(7)拋物線y2＝x的準(zhǔn)線方程為x＝． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×　(7)×
類型1　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】　分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0；
(2)過點(3，－4)；
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．
[解]　(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y.
(2)∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把點(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝·(－4)，即2p＝，2p1＝.
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15，0)．
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x.
　1．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
(1)定義法：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進(jìn)行化簡，根據(jù)定義求出p，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時應(yīng)首先確定焦點在哪一個半軸上，進(jìn)而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．
2．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時應(yīng)注意的問題
(1)把握開口方向與方程一次項系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；
(2)當(dāng)拋物線的位置沒有確定時，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數(shù)；
(3)注意p與的幾何意義．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)焦點在y軸上，并且焦點到準(zhǔn)線的距離等于6的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．x2＝±3y　　　 B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)(源自湘教版教材)求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
①焦點為F(0，－4)；
②準(zhǔn)線方程為x＝.
(1)C　[由已知得p＝6且焦點在y軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝±12y．]
(2)[解]　①因為焦點在y軸的負(fù)半軸上，并且－＝－4，
即p＝8.
因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－16y.
②由準(zhǔn)線方程為x＝知，焦點在x軸的負(fù)半軸上，并且＝，即p＝1.
因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2x.
類型2　拋物線定義的應(yīng)用
【例2】　(1)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8
(2)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值．
(1)A　[由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－.因為|AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故選A．]
(2)[解]　由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點的距離．由圖可知，點P，點(0，2)和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，
所以最小距離d＝＝.
[母題探究]
1．若將本例(2)中的“點(0，2)”改為“點A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解]　將x＝3代入y2＝2x，
得y＝±.
所以點A在拋物線y2＝2x的內(nèi)部．
設(shè)點P為其上一點，點P到準(zhǔn)線(設(shè)為l)x＝－的距離為d，
則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由圖可知，當(dāng)PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值是.
即|PA|＋|PF|的最小值是.
2．若將本例(2)中的“點(0，2)”換成為“直線l1：3x－4y＋＝0”，求點P到直線3x－4y＋＝0的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值．
[解]　如圖，作PQ垂直于準(zhǔn)線l于點Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值為點F到直
線3x－4y＋＝0的距離d＝＝1.
即所求最小值為1.
　拋物線定義的兩種應(yīng)用
(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題．
(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知拋物線的方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動點A，點A到y(tǒng)軸的距離為m，點A到直線l的距離為n，則m＋n的最小值為________．
(2)已知位于y軸右側(cè)的動點M到點F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，求點M的軌跡方程．
(1)－1　[由拋物線的方程為y2＝－4x，得其焦點F(－1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝1.
如圖，過點A作直線l的垂線，垂足為H，則|AH|＝n.過點A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，交y軸于點B，則|AB|＝m，|AC|＝m＋1.
根據(jù)拋物線的定義可知，|AF|＝|AC|＝m＋1，
所以m＋n＝|AF|＋|AH|－1.
過點F作直線l的垂線，垂足為H1，
則|FH1|＝＝.
當(dāng)點A為垂線段FH1與拋物線的交點時，|AF|＋|AH|最小，最小值為|FH1|＝，
此時，m＋n取得最小值－1．]
(2)[解]　由于位于y軸右側(cè)的動點M到點F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動點M到點F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．
由拋物線的定義知，動點M的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式．
又＝，所以p＝1，2p＝2.故點M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0)．
類型3　拋物線的實際實用
【例3】　(源自北師大版教材)某單行隧道橫斷面由一段拋物線及一個矩形的三邊圍成，尺寸如圖所示(單位：m)．某卡車載一集裝箱，車寬3 m，車與集裝箱總高4.5 m，此車能否安全通過隧道？說明理由．
[解]　如圖所示，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則點A的坐標(biāo)為(3，－3)．
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)．
將點A的坐標(biāo)代入上式，得9＝6p，即2p＝3.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－3y.
將x＝1.5代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得y＝－0.75，則5－0.75＝4.25<4.5.
這說明，即使集裝箱處于隧道的正中位置，車與集裝箱的總高也會高于BD，所以此車不能安全通過隧道．
　求解拋物線實際應(yīng)用題的步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1 000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．若不考慮水下深度，問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么？
[解]　如圖所示，以拱頂為原點，過拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
因為拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
設(shè)橋孔上部拋物線方程是x2＝－2py(p＞0)，
則102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以拋物線方程為x2＝－50y，
即y＝－x2.
若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當(dāng)x＝8時，y＝－×82＝－1.28，
即船體在x＝±8之間通過點B(8，－1.28)，
此時B點距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船體高為5米，所以無法通行．
又因為5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(噸)，
所以若船通過增加貨物通過橋孔，則要增加1 050噸，而船最多還能裝1 000噸貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過橋孔．
1．滿足＝的點P(x，y)的軌跡是(　　)
A．圓　　　　　 B．雙曲線
C．直線 D．拋物線
C　[依題意得，點P到點F(0，－1)和到直線l：2x＋3y＋3＝0的距離相等，又F(0，－1)在l上，所以點P的軌跡是直線，即為過點F且與l垂直的直線．故選C．]
2．拋物線y＝x2的焦點坐標(biāo)是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(2，0) D．(0，2)
B　[拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，則2p＝4，可得＝1，因此拋物線y＝x2的焦點坐標(biāo)為(0，1)．故選B．]
3．若點P到點F(4，0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則P點的軌跡方程是(　　)
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32x
C　[由題意知點P到點F(4，0)和直線x＝－4的距離相等．
所以P點的軌跡是以F為焦點，以直線x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線，又p＝8，則點P的軌跡方程為y2＝16x.故選C．]
4．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________m．
2　[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，則點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時，x2＝6，
所以水面寬為2 m．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．拋物線是如何定義的？試寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程．
提示：把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
焦點在x軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±2px(p>0)，
焦點在y軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝±2py(p>0).
2．當(dāng)拋物線的焦點位置不確定時，如何設(shè)拋物線方程？
提示：可設(shè)拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．3.3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握拋物線的幾何性質(zhì)．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦等問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
已知拋物線C的方程為y2＝2x，根據(jù)這個方程完成下列任務(wù)．
(1)觀察方程中x與y是否有取值范圍，由此指出拋物線C在平面直角坐標(biāo)系中的位置特征；
(2)指出拋物線C是否具有對稱性；
(3)指出拋物線C與坐標(biāo)軸是否有交點，如果有，求出交點坐標(biāo)．
知識點1　拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
圖形
性質(zhì) 焦點
準(zhǔn)線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱 軸 x軸 y軸
頂點 (0，0)
離心率 e＝1
1．拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線的有何不同？
提示：拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線的相比有較大差別，它的離心率為定值1，只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線，沒有漸近線，沒有對稱中心，通常稱拋物線為無心圓錐曲線，而稱橢圓、雙曲線為有心圓錐曲線．
知識點2　直線與拋物線的位置關(guān)系
直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交．
設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
(1)k＝0時，直線與拋物線只有一個交點；
(2)k≠0時，Δ＞0 直線與拋物線相交 有兩個公共點．
Δ＝0 直線與拋物線相切 只有一個公共點．
Δ＜0 直線與拋物線相離 沒有公共點．
2.直線與拋物線只有一個公共點，那么直線與拋物線一定相切嗎？
提示：可能相切，也可能相交，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線相交且只有一個公共點．
知識點3　直線與拋物線相交的弦長問題
(1)一般弦長
設(shè)斜率為k的直線l與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝或|AB|＝(k≠0)．
(2)焦點弦長
已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，則稱AB為拋物線的焦點弦．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)拋物線關(guān)于頂點對稱． (　　)
(2)拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心． (　　)
(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．若直線y＝kx＋2與y2＝x只有一個公共點，則實數(shù)k的值為________．
0或　[由
消去x得ky2－y＋2＝0.
若k＝0，直線與拋物線只有一個交點，
則y＝2，符合題意；
若k≠0，則Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
綜上，k＝0或．]
3．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝10，則弦AB的長度為________．
12　[拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，
則|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12．]
4．拋物線y2＝4x的弦AB⊥x軸，若|AB|＝4，則焦點F到直線AB的距離為________．
2　[由拋物線的方程可知焦點F(1，0)，由|AB|＝4且AB⊥x軸得＝(2)2＝12，所以xA＝＝3，
所以所求距離為3－1＝2．]
類型1　拋物線性質(zhì)的應(yīng)用
【例1】　(1)設(shè)P是拋物線y2＝4x上任意一點，設(shè)A(3，0)，求|PA|取得的最小值；
(2)已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長為2，求拋物線的方程．
[解]　(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，因為y2＝4x，x≥0，則|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.當(dāng)x＝1時，|PA|取得最小值2.
(2)設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，拋物線與圓的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由對稱性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以點(1，)在拋物線y2＝2px上，點(－1，)在拋物線y2＝－2px上，可得p＝.于是所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.
　利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題
(1)對稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題．
(2)焦點、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題．
(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)已知正△AOB的一個頂點O位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點A，B在拋物線y2＝2px(p>0)上，求這個三角形的邊長；
(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標(biāo)原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線AB的方程．
[解]　(1)如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＝＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以＝，
即＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因為x1>0，x2>0，2p>0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即線段AB關(guān)于x軸對稱，由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，與＝2px1聯(lián)立，解得y1＝2p.
所以|AB|＝2y1＝4p，
即這個三角形的邊長為4p.
(2)如圖，設(shè)點A(x0，y0)，
由題意可知點B(x0，－y0)，
因為F是△AOB的垂心，
所以AF⊥OB，
所以kAF·kOB＝－1，
即＝－1.所以＝x0，
又因為＝2px0，所以x0＝2p＋＝.
所以直線AB的方程為x＝.
類型2　直線與拋物線的位置關(guān)系
【例2】　(源自湘教版教材)已知拋物線C：y2＝2x，直線l過定點(0，－2)．討論直線l與拋物線的公共點的情況．
[解]　(Ⅰ)若直線l的斜率存在，記為k.又直線過定點(0，－2)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx－2.①
由方程組②
消去y，并整理得k2x2－(4k＋2)x＋4＝0.③
(1)當(dāng)k＝0時，由方程③，得x＝2.此時方程①的解為y＝2.
這時，直線l與拋物線只有一個公共點(2，2)．
(2)當(dāng)k≠0時，方程②的判別式
Δ＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4.
若Δ>0，解得k>－.
于是，當(dāng)k>－，且k≠0時，方程③有兩個實數(shù)解，從而方程組②有兩組實數(shù)解．這時，直線l與拋物線相交，有兩個公共點．
若Δ＝0，解得k＝－.
于是，當(dāng)k＝－時，方程③有一個實數(shù)解，從而方程組②只有一組實數(shù)解．這時，直線l與拋物線有一個公共點．
若Δ<0，解得k<－.
于是，當(dāng)k<－時，方程③無實數(shù)解，從而方程組②無實數(shù)解．這時，直線l與拋物線沒有公共點．
(Ⅱ)若直線l的斜率不存在，這時直線l即y軸所在直線，它與拋物線y2＝2x相切，即有一個公共點．
綜上可得：
當(dāng)k＝0，或k＝－，或直線的斜率不存在時，直線l與拋物線只有一個公共點；
當(dāng)k>－，且k≠0時，直線l與拋物線有兩個公共點；
當(dāng)k<－時，直線l與拋物線沒有公共點．
直線l與拋物線C的位置關(guān)系如圖所示．
　直線與拋物線交點問題的解題思路
(1)判斷直線與拋物線的交點個數(shù)時，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0.若該方程為一元二次方程，則利用判別式判斷方程解的個數(shù)．
(2)直線與拋物線有一個公共點時有兩種情形：①直線與拋物線的對稱軸重合或平行；②直線與拋物線相切．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知拋物線y2＝8x和直線l：y＝k(x－1)－1，判斷直線l與拋物線的位置關(guān)系，若l與拋物線相交于不同兩點，求以點(1，－1)為中點的弦所在的直線方程．
[解]　直線l過定點(1，－1)，且在拋物線內(nèi)部，故直線l與拋物線相交．
設(shè)所求直線與拋物線y2＝8x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝＝8x2.
＝8(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝－2，∴k＝＝＝－4.
∴方程為y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.
類型3　拋物線的焦點弦問題
【例3】　設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求直線l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
[解]　(1)由題意得F(1，0)，
直線l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此直線l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則
解得或
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
　過焦點的弦長的求解方法
設(shè)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2即可．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，拋物線C過點A(4，4)，過拋物線C的焦點F作傾斜角等于45°的直線l，直線l交拋物線C于M，N兩點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)求線段MN的長．
[解]　(1)依題意設(shè)拋物線C的方程為y2＝2px，p>0，
因為拋物線C過點A(4，4)，
所以42＝8p，解得p＝2，
所以拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)由(1)可得拋物線的焦點為F(1，0)，
則直線l的方程為y＝x－1，
聯(lián)立得x2－6x＋1＝0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝6，
根據(jù)拋物線的定義可得|MN|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
1．(多選)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
CD　[設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
依題意令y＝，代入x2＝2py或令y＝－，代入x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y．]
2．過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l交拋物線于，y1)，P2(x2，y2)兩點，若y1＋y2＝6，則|P1P2|＝(　　)
A．5 　　　B．6　　　C．8 　　　D．10
C　[拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線為y＝－1，
因為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點是過拋物線焦點的直線l與拋物線的交點，
所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點到準(zhǔn)線的距離分別是y1＋1，y2＋1，
所以|P1P2|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝8．]
3．(2022·浙江諸暨期中)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F(1，0)，則實數(shù)p＝______；若過點F且斜率為1的直線交該拋物線于A、B兩點，則|AB|＝________．
2　8　[因為拋物線的焦點為F(1，0)，所以＝1，得p＝2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝x－1，將直線AB的方程代入拋物線方程y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，從而|AB|＝x1＋x2＋p＝8．]
4．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝________．
0或1　[當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有唯一交點；
當(dāng)k≠0時，聯(lián)立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
綜上，k＝0或1．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．怎樣確定拋物線上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的范圍？
提示：法一：利用方程確定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R.
法二：先根據(jù)方程畫出拋物線，再根據(jù)圖形確定．
2．直線y＝kx＋b與拋物線x2＝－2py(p>0)相交，且經(jīng)過拋物線的焦點F，若交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|與點A，B的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
提示：|AB|＝p－(y1＋y2)．第2課時　拋物線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．會解決與拋物線有關(guān)的軌跡問題和中點弦問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．能解決一些與拋物線有關(guān)的綜合問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
一條斜率為k的直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝x1＋x2＋p，類似的你還能得到其他結(jié)論嗎？
知識點　與拋物線有關(guān)的焦點弦的相關(guān)結(jié)論
過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為直線AB的傾斜角)；
(3)＋＝；
(4)S△AOB＝(α為直線AB的傾斜角)；
(5)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切．
你能證明＋＝這個結(jié)論嗎？
提示：(1)當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x＝.
由得y2＝p2.
∴y＝±p.
從而|AF|＝|BF|＝p，
∴＋＝.
(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y＝k，
由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，
∴x1＋x2＝＝p＋，x1x2＝，
∴＋＝＋
＝＝
＝＝＝，
即＋＝.
綜合(1)(2)可得，＋＝.
直線l過拋物線x2＝4y的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝6，則|BF|＝______．
　[由＋＝，得＋＝1，
解得|BF|＝．]
類型1　和拋物線有關(guān)的軌跡問題
【例1】　設(shè)點P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標(biāo)系Oxy內(nèi)的一個動點(其中O為坐標(biāo)原點)，點P到定點M的距離比點P到x軸的距離大.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)若直線l：y＝kx＋1與點P的軌跡相交于A，B兩點，且|AB|＝2，求實數(shù)k的值．
[解]　(1)法一：(直接法)過點P作x軸的垂線且垂足為點N，則|PN|＝y(tǒng)，由題意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y(tǒng)＋，化簡得x2＝2y.故點P的軌跡方程為x2＝2y.
法二：(定義法)由題意知，點P到定點M與直線y＝－的距離相等，則點P的軌跡是以點M為焦點，以直線y＝－為準(zhǔn)線的拋物線，且p＝1.
∴點P的軌跡方程為x2＝2y.
(2)由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立消去y化簡得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝
＝
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
　求軌跡問題的兩種方法
(1)直接法：按照動點適合條件直接代入求方程．
(2)定義法：若動點滿足某種曲線定義，可按待定系數(shù)法列方程(組)求解曲線方程．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程．
[解]　設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得定圓圓心為C(2，0)，半徑r＝1.
因為兩圓外切，
所以|MC|＝R＋1.
又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，
所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即動點M到定點C(2，0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．
由拋物線的定義可知，點M的軌跡是以C為焦點，x＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線，且＝2，p＝4，
故其方程為y2＝8x.
類型2　與弦長、弦中點有關(guān)的問題
【例2】　過點P(4，1)作拋物線y2＝8x的弦AB，弦AB恰被點P平分，求AB所在直線的方程及弦AB的長度．
[解]　法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有＝＝8x2，
兩式相減，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)．
∵P是AB的中點，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
則k＝＝＝4，
∴所求直線AB的方程為y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
由消x整理得y2－2y－30＝0，
則y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
由弦長公式得|AB|＝|y1－y2|＝＝.
法二：由題意知AB所在直線的斜率存在且不為0.
設(shè)AB所在直線的方程為y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
由消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝，
∵P是AB的中點，
∴＝1，∴＝2，∴k＝4.
∴所求直線AB的方程為4x－y－15＝0.
由消x整理得y2－2y－30＝0，
則y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
由弦長公式得|AB|＝|y1－y2|
＝
＝.
　涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系運(yùn)用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．
注意：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標(biāo)為(8，8)，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．25
(2)已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F(1，0)．直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若AB的中點為(2，2)，則拋物線的方程為________，直線l的方程為________．
(1)A　(2)y2＝4x　x－y＝0　[(1)由題意知，拋物線的焦點坐標(biāo)為(2，0)，直線l過焦點F，所以kl＝＝，所以直線l的方程為y＝(x－2)．
由
得B點的坐標(biāo)為.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中點到準(zhǔn)線的距離為.
(2)由題意知拋物線的方程為y2＝4x，
設(shè)直線l與拋物線C的交點為，y2)，
則有且x1≠x2，
兩式相減得＝4(x1－x2)，因為AB的中點為(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，
所以直線l的方程為y－2＝x－2，即x－y＝0．]
類型3　與拋物線有關(guān)的綜合問題
【例3】　(2022·全國甲卷)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點D(p，0)，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，＝3.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α－β 取得最大值時，求直線AB的方程．
[解]　(1)拋物線的準(zhǔn)線為x＝－，當(dāng)MD與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為p，
此時＝p＋＝3，所以p＝2，
所以拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)M，N，A，B，直線MN：x＝my＋1，
由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4，
由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，
直線MD：x＝·y＋2，代入拋物線方程可得y2－·y－8＝0，
Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝＝＝，
又因為直線MN，AB的傾斜角分別為α，β，
所以kAB＝tan β＝＝，
若要使α－β最大，則β∈，
設(shè)kMN＝2kAB＝2k>0，則tan ＝＝＝≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝2k即k＝時，等號成立，
所以當(dāng)α－β最大時，kAB＝，設(shè)直線AB：x＝y(tǒng)＋n，
代入拋物線方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直線AB：x＝y(tǒng)＋4.
當(dāng)直線MN斜率不存在時，α＝β＝90°，α－β＝0°，
tan (α－β)＜.
綜上，直線AB的方程為x＝y(tǒng)＋4，即x－y－4＝0.
　最值問題類型較多，總體上主要有兩種方法：一是幾何法，即利用曲線的定義、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)式表示為某個(些)變式的函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(2022·山師大附中高二月考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點M是拋物線C上的動點，過點F的直線l交拋物線C于P，Q兩點，且直線l⊥MF，設(shè)直線MF與拋物線C的另一個交點為K，求的最小值．
[解]　由題意知F(1，0)，直線l的斜率k存在且不為0，
設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，
由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因為直線l⊥MF，所以直線MF的斜率為－.
設(shè)M(x3，y3)，K(x4，y4)，同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故＝()·()
＝
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1時，取得最小值16.
1．已知動圓M經(jīng)過點A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
A　[設(shè)動點M(x，y)，⊙M與直線l：x＝－3的切點為N，則|MA|＝|MN|，
即動點M到定點A和定直線l：x＝－3的距離相等，
∴點M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點，
以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線，∴＝3，
∴p＝6，
故動圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x．]
2．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝4，則弦AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(　　)
A． 　　　B．2　　　C．3 　　　D．4
A　[因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為，所以p＝1，拋物線的方程為y2＝2x.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由拋物線的定義，得|AB|＝x1＋x2＋p，所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，所以弦AB的中點到y(tǒng)軸的距離為d＝＝．]
3．直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點坐標(biāo)是________．
(3，2)　[將y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2.
∴所求點的坐標(biāo)為(3，2)．]
4．已知AB是過拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點的弦，若|AB|＝4，則AB的中點的縱坐標(biāo)是________．
　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由拋物線2x2＝y(tǒng)，可得p＝.
∵|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中點的縱坐標(biāo)是＝．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．解決和拋物線有關(guān)的問題，有哪些方法？
提示：直接法、定義法．
2．如何解答最值問題？
提示：最值問題的常用解法有兩種：
(1)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)再求這個函數(shù)的最值．求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、換元法、均值不等式法、單調(diào)性法．
(2)幾何法：若題目的條件與結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用幾何圖形性質(zhì)來解決．

展開更多......

收起↑