資源簡介

5.1　導數的概念及其意義
5.1.1　變化率問題
學習任務 1．通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．(數學抽象) 2．會求函數在某一點附近的平均變化率．(數學運算) 3．理解函數的平均變化率、瞬時變化率及瞬時速度的概念．(數學抽象)
1．高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(m)與起跳后的時間t(s)存在函數關系h(t)＝＋6.5t＋10．那么如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態？
2．很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發現隨著氣球內空氣容量的增加，氣球半徑增加越來越慢，那么如何描述這種現象呢？
知識點1　平均變化率
對于函數y＝f (x)，從x1到x2的平均變化率：
(1)自變量的改變量：Δx＝x2－x1．
(2)函數值的改變量：Δy＝f (x2)－f (x1)．
(3)平均變化率＝＝．
Δy，Δx可正，可負，但Δx≠0．
知識點2　瞬時速度與瞬時變化率
(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．
(2)函數f (x)在x＝x0處的瞬時變化率是函數f (x)從x0到x0＋Δx的平均變化率在Δx→0時的極限，即＝．
知識點3　割線斜率與切線斜率
(1)割線與切線的關系
如圖所示，當點Pn(xn，f (xn))沿著曲線無限接近點P(x0，f (x0))時，割線PPn無限趨近于一個確定的位置．這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線．
(1)　　　　　　　　(2)
(3)　　　　　　　(4)
(2)割線與切線的斜率
①設P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲線y＝f (x)上任意不同兩點，則平均變化率＝為割線P0P的斜率．
②當P點逐漸靠近P0點，即Δx逐漸變小，當Δx→0時，瞬時變化率就是y＝f (x)在x0處的切線的斜率，即k＝．
(1)曲線的切線與曲線有且只有一個公共點嗎？
(2)如圖，我們把一條曲線上的任意一點P附近的圖象不斷放大，觀察有何現象出現？
[提示]　(1)不一定．
二次曲線與其切線有且只有一個公共點，其他曲線與其切線可能會有其他交點，只是在x＝x0附近有且只有一個公共點，而直線在某點處切線就是該直線．如圖．
(2)當不斷放大時，曲線在點P附近的圖象逼近一條確定的直線，即在很小的范圍內，曲線可以看作直線，這就是以直代曲的思想．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知某質點的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系為s(t)＝5t2，則在1 s到3 s這段時間內，該質點的平均速度為20 m/s．　 (　　)
(2)汽車在行駛時的平均速度與瞬時速度一定不相等． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×
[提示]　(2)當汽車勻速行駛時，平均速度與瞬時速度相等．
2．火箭發射t s后，其高度(單位：m)為h(t)＝0.9t2．那么t＝________ s時火箭的瞬時速度為3.6 m/s．
2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．當Δt→0時→1.8 t0．即t＝t0時的瞬時速度為1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2．]
3．過曲線y＝f (x)＝x2圖象上一點(2，4)及鄰近一點(2＋Δx，4＋Δy)作割線，則當Δx＝時割線的斜率為________，在點(2，4)處的切線斜率為________．
　4　[當Δx＝時，割線的斜率k1＝＝，
在(2，4)處切線斜率k2＝＝＝4．]
類型1　求平均變化率
【例1】　(1)如圖，函數y＝f (x)在[1，5]上的平均變化率為(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
(2)函數y＝－2x2＋1在區間[1，1＋Δx]內的平均變化率為________．
(1)B　(2)－4－2Δx　[(1)＝＝＝－．故選B．
(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，
所以平均變化率為＝＝－4－2Δx．]
　1．求函數平均變化率的三個步驟
第一步，求自變量的改變量Δx＝x2－x1；
第二步，求函數值的改變量Δy＝f (x2)－f (x1)；
第三步，求平均變化率＝．
2．求平均變化率的一個關注點
求點x0附近的平均變化率，可用的形式．
[跟進訓練]
1．(源于人教B版教材)已知某物體運動的位移x m是時間t s的函數，而且t＝0.1時，x＝0.25；t＝0.5時，x＝2.25．
(1)求這個物體在時間段[0.1，0.5]內的平均速度；
(2)估計出t＝0.2時物體的位移．
[解]　(1)所求平均速度為＝＝5(m/s)．
(2)將x在[0.1，0.5]上的圖象看成直線，則由(1)可知，直線的斜率為5，且直線經過點(0.1，0.25)，因此，x與t的關系可近似地表示為x－0.25＝5(t－0.1)．
在上式中令t＝0.2，可求得x＝0.75，即t＝0.2時物體的位移可以估計為0.75 m．
類型2　求瞬時速度
【例2】　某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度．
[思路引導]　計算物體在
[解]　∵＝＝＝3＋Δt，
∴＝＝3．
∴物體在t＝1 s處的瞬時變化率為3，
即物體在t＝1 s時的瞬時速度為3 m/s．
[母題探究]
1．(變結論)在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．
[解]　求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴＝1．
即物體的初速度為1 m/s．
2．(變結論)在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s．
[解]　設物體在t0時刻的瞬時速度為9 m/s．
又＝＝2t0＋1＋Δt．
＝＝2t0＋1．
則2t0＋1＝9，
∴t0＝4．
則物體在4 s時的瞬時速度為9 m/s．
　求運動物體瞬時速度的三個步驟
設非勻速直線運動中物體的位移隨時間變化的函數為s＝s(t)，則求物體在t＝t0時刻的瞬時速度的步驟如下：
(1)寫出時間改變量Δt，位移改變量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．
(2)求平均速度：＝．
(3)求瞬時速度v：當Δt→0時，→v(常數)．
[跟進訓練]
2．(1)一質點運動的方程為s＝5－3t2，若該質點在t＝1到t＝1＋Δt這段時間內的平均速度為－3Δt－6，則該質點在t＝1時的瞬時速度是(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
(2)質點M按規律s＝2t2＋3做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，則質點M在t＝2 s時的瞬時速度是(　　)
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．8 m/s
(1)D　(2)D　[(1)v＝＝－6．
(2)v＝＝＝＝8(m/s)．]
類型3　求函數在某點的切線斜率或方程
【例3】　(1)已知函數y＝x－，則該函數在點x＝1處的切線斜率為________．
(2)求曲線f (x)＝x2＋1在點P(1，2)處的切線的斜率，并求出切線方程．
[思路引導]　求切線斜率及方程可按下列順序進行：求平均變化率→求瞬時變化率即斜率→求出切線方程．
(1)2　[∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴斜率k＝＝＝1＋1＝2．]
(2)[解]　顯然點P(1，2)在曲線上，所以切線的斜率為k＝
＝＝
＝＝2．
故切線方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x．
　求函數y＝f (x)在點x0處的切線斜率的三個步驟
[跟進訓練]
3．求曲線y＝x2－2x＋2在點(2，2)處的切線方程．
[解]　∵Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx，k＝＝2．
即曲線在點(2，2)處的切線斜率為2．
∴切線方程為y－2＝2(x－2)，
即2x－y－2＝0．
1．函數f (x)＝x在區間[0，1]上的平均變化率為(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
B　[＝＝1．故選B．]
2．若質點A按照規律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為 (　　)
A．6 B．18
C．54 D．81
B　[由題可得＝＝＝18．故選B．]
3．設函數f (x)在x＝1處切線斜率為2，則＝________．
　[根據條件知k＝＝2，
∴＝＝．]
4．過曲線y＝f (x)＝圖象上一點(2，－2)及鄰近一點(2＋Δx，－2＋Δy)作割線，則當Δx＝0.5時割線的斜率為________，在點(2，－2)處的切線斜率為________．
　1　[割線的斜率k＝＝＝＝2＝．
＝
＝
＝＝1，故切線斜率為1．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)你理解的平均速度和瞬時速度有什么區別和聯系？
[提示]　區別：瞬時速度是刻畫物體在某一時刻的運動狀態，而平均速度則是刻畫物體在一段時間內的運動狀態，與該段時間內的某一時刻無關．
聯系：瞬時速度是平均速度在變化時間趨近于0時的極限值．
(2)函數y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率反映了函數什么樣的實質？
[提示]　函數y＝f (x)在x＝x0處的切線斜率反映了函數在該點處的瞬時變化率，它揭示了事物在某時刻的變化情況．
(3)求函數y＝f (x)在x＝x0處的切線方程的步驟是什么？
[提示]　①求斜率：k＝；
②寫方程：用點斜式y－f (x0)＝k(x－x0)寫出切線方程；
③變形式：將點斜式變為一般式．5.1.2　導數的概念及其幾何意義
學習任務 1．經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，體會導數概念的實際背景．(數學抽象) 2．了解導函數的概念，理解導數的幾何意義．(數學抽象) 3．根據導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．(數學運算) 4．正確理解曲線“過某點”和“在某點”處的切線，并會求其方程．(數學運算)
下雨天，當我們將雨傘轉動時，傘面邊沿的水滴沿著傘的切線方向飛出．實際上物體(看作質點)做曲線運動時，運動方向在不停地變化，其速度方向為質點在其軌跡曲線上的切線方向，我們可以利用導數研究曲線的切線問題．
知識點1　函數y＝f (x)在x＝x0處的導數
如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f (x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝＝．
簡記：函數y＝f (x)在x＝x0處的導數就是函數y＝f (x)在(x0，f (x0))處的瞬時變化率．
知識點2　導數的幾何意義
(1)導數的幾何意義
如圖，割線P0P的斜率k＝．記Δx＝x－x0，當點P沿著曲線y＝f (x)無限趨近于點P0時，即當Δx→0時，k無限趨近于函數y＝f (x)在x＝x0處的導數，因此，函數y＝f (x)在x＝x0處的導數f ′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即
k0＝＝f ′(x0)．
(2)切線方程
曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處的切線方程為y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
知識點3　導函數
對于函數y＝f (x)，當x＝x0時，f ′(x0)是一個唯一確定的數，當x變化時，f ′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f (x)的導函數(簡稱導數)，即f ′(x)＝y′＝．
f ′(x)與f ′(x0)有何關系？
[提示]　f ′(x)是f (x)的導函數，f ′(x0)是函數f (x)在x＝x0處的導數值，是f ′(x)在x＝x0時的函數值．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數在x＝x0處的導數反映了函數在區間[x0，x0＋Δx]上變化的快慢程度．(　　)
(2)函數y＝f (x)在x＝x0處的導數值與Δx的正、負無關，但與x0的值有關．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√
[提示]　(1)導數反映的是函數在某一點處的變化的快慢程度，非在某區間上的．
2．函數y＝f (x)在x＝x0處的導數f ′(x0)的幾何意義是(　　)
A．在點(x0，f (x0))處與y＝f (x)的圖象只有一個交點的直線的斜率
B．過點(x0，f (x0))的切線的斜率
C．點(x0，f (x0))與點(0，0)的連線的斜率
D．函數y＝f (x)的圖象在點(x0，f (x0))處的切線的斜率
D　[根據導數幾何意義知，只有D正確．在點(x0，f (x0))處的切線可能與函數有多個交點．]
3．設f (x)＝2x＋1，則f ′(1)＝________．
2　[f ′(1)＝＝＝2．]
4．已知函數y＝f (x)的圖象在點M(1，f (1))處的切線方程是y＝x＋2，則f (1)＋f ′(1)＝________．
3　[由在M點處的切線方程y＝x＋2，
得f (1)＝×1＋2＝，f ′(1)＝．
∴f (1)＋f ′(1)＝＋＝3．]
5．已知函數f (x)＝x2－x，則f ′(x)＝________．　
2x－　[∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－，
∴f ′(x)＝＝2x－．]
類型1　利用定義求函數在某點處的導數
【例1】　(1)若函數f (x)在x＝1處的導數為1，則＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
(2)已知函數f (x)可導，且滿足＝2，則函數y＝f (x)在x＝3處的導數為(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
(3)利用導數的定義，求函數y＝＋2在點x＝1處的導數．
(1)B　(2)B　[(1)根據導數的定義，
＝f ′(1)＝1．
(2)由題意，＝－＝－f ′(3)，所以f ′(3)＝－2．]
(3)[解]　因為Δy＝－＝
所以y′|x＝1＝＝＝－2．
　1．利用定義求函數f (x)的導數的步驟
(1)求函數值的改變量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；
(2)求函數的平均變化率＝；　
(3)取極限，得f ′(x)＝．
其中，在第二步求平均變化率時，要注意對的變形與約分，如果變形或約分不徹底，可能導致極限不存在；在對取極限時，必須將變形到當Δx→0時，分母是一個非零常數的形式，如例1(3)．
2．求函數f (x)在某一點x0處的導數，通常可以有兩種方法：一是直接利用函數在某一點x0處的導數的定義求解；二是先利用導數的定義求出函數的導函數，再計算導函數在x0處的函數值．
[跟進訓練]
1．(源于人教B版教材)已知函數f (x)＝－x2，求f (x)在x＝3處的導數f ′(3)．
[解]　當自變量在x＝3處的改變量為Δx時，平均變化率＝＝＝－6－Δx．
可以看出，當Δx無限接近于0時，無限接近于－6，因此f ′(3)＝＝＝－6．
類型2　導數幾何意義的理解與應用
【例2】　(1)已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(xA)與f ′(xB)的大小關系是(　　)
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能確定
(2)若函數f (x)的導函數在區間[a，b]上是增函數，則函數f (x)在區間[a，b]上的圖象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
(1)B　(2)A　[(1)由導數的幾何意義，f ′(xA)，f ′(xB)分別是在點A，B處切線的斜率，
由圖象可知，f ′(xA)(2)函數f (x)的導函數f ′(x)在[a，b]上是增函數，
若對任意x1和x2滿足a則有f ′(a)根據導數的幾何意義，可知函數y＝f (x)的切線斜率在[a，b]內單調遞增，觀察圖象，只有A選項符合．]
　導數幾何意義理解中的兩個關鍵點
關鍵點一：y＝f (x)在點x＝x0處的切線斜率為k，則k＞0 f ′(x0)＞0；k＜0 f ′(x0)＜0；k＝0 f′(x0)＝0．
關鍵點二：|f ′(x0)|越大 在x0處瞬時變化越快；|f ′(x0)|越小 在x0處瞬時變化越慢．　
[跟進訓練]
2．已知函數f (x)在R上可導，其部分圖象如圖所示，設＝a，則下列不等式正確的是(　　)
A．f ′(1)C．f ′(2)B　[由圖象可知，函數在[0，＋∞)上的增長越來越快，故函數圖象在點(x0，f (x0))(x0∈(0，＋∞))的切線的斜率越來越大，
∵＝a，∴f ′(1)類型3　求切線方程
【例3】　已知曲線C：y＝x3．
(1)求曲線C在橫坐標為x＝1的點處的切線方程；
(2)求曲線C過點(1，1)的切線方程．
[思路引導]　(1)
[解]　(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點P(1，1)．
y′|x＝1＝＝＝＝3．
∴k＝y′|x＝1＝3．
∴曲線在點P(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0．
(2)設切點為Q(x0，y0)，由(1)可知由題意可知
即＝，又y0＝，所以＝，
即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－．
①當x0＝1時，切點坐標為(1，1)，相應的切線方程為3x－y－2＝0．
②當x0＝－時，切點坐標為，相應的切線方程為y＋＝，即3x－4y＋1＝0．
[母題探究]
1．本例(1)中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？
[解]　由解得或
從而求得公共點為(1，1)或(－2，－8)，即切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另一個公共點(－2，－8)．
2．(變條件)把題中條件“y＝x3”改成“y＝x3＋1”，求曲線過點(1，1)的切線方程．
[解]　＝
＝
＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，
則＝3x2，因此y′＝3x2．
設過點M(1，1)的直線與曲線y＝x3＋1相切于點＋1)，根據導數的幾何意義知曲線在點P處的切線的斜率為k＝①，過點M和點P的切線的斜率k＝②，由①－②得＝，解得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝，因此過點M(1，1)且與曲線y＝x3＋1相切的直線有兩條，方程分別為y－1＝(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1．
　利用導數的幾何意義求切線方程的方法
(1)若已知點(x0，y0)在已知曲線上，求在點(x0，y0)處的切線方程，先求出函數y＝f (x)在點x0處的導數，然后根據直線的點斜式方程，得切線方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若點(x0，y0)不在曲線上，求過點(x0，y0)的切線方程，首先應設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程．
[跟進訓練]
3．已知曲線y＝2x2－7在點P處的切線方程為8x－y－15＝0，求切點P的坐標．
[解]　設切點P(m，n)，切線斜率為k，
由y′＝＝＝＝4x，得k＝4m．
由題意可知4m＝8，則m＝2，代入y＝2x2－7，得n＝1．故所求切點P的坐標為(2，1)．
1．下面說法正確的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處沒有切線
B．若曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處有切線，則f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，則曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處的切線斜率不存在
D．若曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處沒有切線，則f ′(x0)有可能存在
C　[根據導數的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導數，則切線一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D錯誤．]
2．已知f ′(x)是f (x)的導函數，且f ′(1)＝3，則＝(　　)
A．3　　　B．6　　　C．－6　　　D．－
C　[∵f ′(1)＝3，
∴
＝
＝－2＝－2f ′(1)＝－6，
故選C．]
3．某司機看見前方50 m處有行人橫穿馬路，這時司機開始緊急剎車，在剎車的過程中，汽車的速度v是關于剎車時間t的函數，其圖象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　D
A　[根據題意，剎車過程中，汽車速度呈下降趨勢，排除選項C，D；由于是緊急剎車，則汽車速度下降非常快，則圖象較陡，排除選項B，故選A．]
4．已知直線x－y－1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a＝________．
　[由導數的定義可求得
y′＝＝2ax，
所以曲線斜率k＝2ax＝1，所以x＝，y＝－1．
代入y＝ax2，可解得a＝．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)f ′(x0)是如何反映函數y＝f (x)的圖象特征的？
[提示]　曲線的升降、切線的斜率與f ′(x0)的關系如下：
f ′(x0)的符號 曲線f (x)在x＝x0附近的升降情況 切線的斜率k 切線的傾斜角
f ′(x0)＞0 上升 k＞0 銳角
f ′(x0)＜0 下降 k＜0 鈍角
f ′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切線與x軸平行)
(2)函數y＝f (x)在x＝x0處的導數f ′(x0)與導函數f ′(x)之間的區別和聯系是什么？
[提示]　區別：①f ′(x0)是函數f (x)在x＝x0處函數值的改變量與自變量的改變量之比的極限，是一個常數，不是變量；
②f ′(x)是函數f (x)的導函數，是對某一區間內任意x而言的，即如果函數y＝f (x)在開區間(a，b)內的每一點處都有導數，此時對于每一個x∈(a，b)，都對應著一個確定的導數f ′(x)，從而構成了一個新的函數——導函數f ′(x)．
聯系：函數f (x)在x＝x0處的導數f ′(x0)就是導函數f ′(x)在x＝x0處的函數值．這也是求函數在x＝x0處的導數的方法之一．
(3)曲線f (x)在點(x0，f (x0))處的切線與曲線過點(x0，y0)的切線有什么不同？
[提示]　曲線f (x)在點(x0，f (x0))處的切線，點(x0，f (x0))一定是切點，只要求出k＝f ′(x0)，利用點斜式寫出切線方程即可；而曲線f (x)過某點(x0，y0)的切線，給出的點(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點．

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