資源簡介

5.2　導數的運算
5.2.1　基本初等函數的導數
學習 任務 1．了解利用定義求函數的導數．(數學運算) 2．掌握基本初等函數的導數公式，并會利用公式求簡單函數的導數．(數學運算) 3．能利用基本初等函數的導數公式求函數的導數、解決與曲線的切線有關的問題．(數學運算)
高鐵是一種非常受歡迎的交通工具，既低碳又快捷．設一高鐵走過的路程s(單位：m)關于時間t(單位：s)的函數為s＝f (t)＝2t2，求它的瞬時速度，即求f (t)的導數．根據導數的定義，就是求當Δt→0時，所趨近的那個定值，運算比較復雜，而且，有的函數如y＝sin x，y＝ln x等很難運用定義求導數．是否有更簡便的求導數的方法呢？
知識點1　幾個常用函數的導數
原函數 導數
f (x)＝c(c為常數) f ′(x)＝0
f (x)＝x f ′(x)＝1
f (x)＝x2 f ′(x)＝2x
f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2
f (x)＝ f ′(x)＝－
f (x)＝ f ′(x)＝
這6個函數都是冪函數f (x)＝xα，對它們的求導要熟練記住公式，就沒必要再利用定義求導了．
知識點2　基本初等函數的導數公式
原函數 導數
f (x)＝c(c為常數) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sinx
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
函數f (x)＝ln x與f (x)＝logax的求導有什么內在聯系？
[提示]　f (x)＝ln x時f ′(x)＝，
而f (x)＝logax＝，
∴f ′(x)＝′＝×(ln x)′＝．
1．(多選)下列結論正確的是(　　)
A．若y＝2 023，則y′＝0
B．若y＝x，則y′＝1
C．若y＝x-1，則y′＝－x-2
D．若y＝，則y′＝
ABC　[由公式易知ABC正確．]
2．已知函數f (x)＝cos ，則f ′(x)＝(　　)
A．sin 　　 B．－sin
C．cos D．0
D　[f (x)＝cos ＝－，所以f ′(x)＝0．]
類型1　利用導數公式求函數的導數
【例1】　求下列函數的導數．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos ．
[解]　(1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0．
(2)∵y＝＝x-5，∴y′＝－5x-6．
(3)∵y＝＝＝，∴y′＝．
(4)∵y＝lg x，∴y′＝．
(5)∵y＝5x，∴y′＝5x ln 5．
(6)y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x．
　求簡單函數的導函數的基本方法
(1)用導數的定義求導，但運算比較煩瑣；
(2)用導數公式求導，可以簡化運算過程，降低運算難度．解題時根據所給問題的特征，將題中函數的結構進行調整，再選擇合適的求導公式．
[跟進訓練]
1．求下列函數的導數：
(1)y＝x；
(2)y＝(x＞0)；
(3)y＝sin(π－x)．
[解]　(1)∵y＝x＝，
∴y′＝′＝＝．
(2)∵y＝＝(x＞0)，∴y′＝()′＝(x>0)．
(3)y＝sin (π－x)＝sin x，∴y′＝cos x．
類型2　利用導數公式解決切線問題
【例2】　(源于人教B版教材)已知函數f (x)＝x2，而l是曲線y＝f (x)的切線，且l經過點(2，3)．
(1)判斷(2，3)是否是曲線y＝f (x)上的點；
(2)求l的方程．
[思路引導]　利用導數的幾何意義求解，但要注意(2，3)點不在曲線上，應另設切點求解．
[解]　(1)因為 f (2)＝22＝4≠3，所以點(2，3)不是曲線y＝f (x)上的點．
(2)設切點為(x0，f (x0))．
因為f ′(x)＝2x，
所以切線的斜率為f ′(x0)＝2x0，又因為f (x0)＝，
所以直線l的方程為＝2x0(x－x0)，
將(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0，
由此可解得x0＝1或x0＝3．
因此，切點為(1，1)或(3，9)，切線方程為y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)．
即l的方程為y＝2x－1或y＝6x－9．
[母題探究]
1．將本例變為“求曲線f (x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”處的切線方程．
[解]　由題意f ′(x)＝－2x-3，所以曲線f (x)＝x-2在點(a，a-2)處的切線方程為y－a-2＝－2a-3·(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．
2．將本例變為“已知y＝kx是曲線y＝ln x的一條切線”，試求k的值．
[解]　設切點坐標為(x0，y0)，
由題意得
又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，
從而可得x0＝e，y0＝1，則k＝．
　利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況
(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數．
(2)如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．
[跟進訓練]
2．(1)求曲線y＝在點B(1，1)處的切線方程；
(2)求曲線y＝ln x的斜率等于4的切線方程．
[解]　(1)設所求切線的斜率為k．
因為y′＝()′＝，k＝，
所以曲線y＝在點B(1，1)處的切線方程為y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．
(2)設切點坐標為(x0，y0)．
因為y′＝，曲線y＝ln x在點(x0，y0)處的切線的斜率等于4，所以＝4，得x0＝，所以y0＝－ln 4，
所以切點為，所以所求切線方程為y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0．
類型3　導數公式的實際應用
【例3】　某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數關系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確到0.01萬元/年)？(參考數據：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)
[解]　由題意得p′(t)＝1.1t ln 1.1，
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)，
所以在第5個年頭，該市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年．
　由導數的定義可知，導數是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關函數在某點處的導數．
[跟進訓練]
3．從時刻t＝0開始的t(s)內，通過某導體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安)．
[解]　由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒時的電流強度分別是－sin 5安，－sin 7安．
1．已知f (x)＝x2，則f ′(3)等于(　　)
A．0 B．2x
C．6 D．9
C　[因為f (x)＝x2，所以f ′(x)＝2x，所以f ′(3)＝6．]
2．下列結論正確的個數為(　　)
①若y＝ln 2，則y′＝；
②若f (x)＝，則f ′(3)＝－；
③若y＝2x，則y′＝x2x-1；
④若y＝log2x，則y′＝．
A．4 B．3
C．2 D．1
D　[由y＝ln 2得y′＝0，故①錯誤；對于f (x)＝，f ′(x)＝－，故f ′(3)＝－，故②正確；對于y＝2x，則y′＝2x ln 2，故③錯誤；對于y＝log2x，則y′＝，故④錯誤．]
3．曲線f (x)＝x3在點(1，f (1))處的切線的斜率為________．
3　[因為f (x)＝x3，所以f ′(x)＝3x2，所以在點(1，f (1))處的切線斜率為f ′(1)＝3．]
4．函數y＝sin x＋ex在點(0，1)處的切線方程為________________．
2x－y＋1＝0　[當x＝0時，y＝sin 0＋e0＝1，即點(0，1)在函數y＝sin x＋ex的曲線上．y＝sin x＋ex的導數y′＝cos x＋ex，在點(0，1)處的切線斜率為k＝cos 0＋e0＝2，即在點(0，1)處的切線方程為2x－y＋1＝0．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)如何理解常見的幾個冪函數的求導？
[提示]　幾個常見函數的求導，也包括根式函數的求導，都可以統一為f (x)＝xα(α∈R，且a≠0)時，f ′(x)＝αxα-1．
(2)對于三角函數關系式，如何求導？
[提示]　對含有三角函數式的函數求導，往往需要利用三角恒等變換公式，對函數式進行化簡，使函數的種類減少，次數降低，結構盡量簡單，從而便于求導．
(3)求函數“在”或“過”某點處的切線方程時，有什么策略？遵循什么步驟？
[提示]　①求解以曲線上的點(x0，f (x0))為切點的切線方程的步驟：
ⅰ．求出函數f (x)的導數f ′(x)；
ⅱ．求切線的斜率f ′(x0)；
ⅲ．寫出切線方程y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化簡．
②若已知點(x1，y1)不在曲線上，則先設切點為(x0，y0)，再解方程組，得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．
導數法研究圓的面積與周長的關系
我們知道，圓周長l是圓的半徑r的函數，即l＝2πr．
你知道嗎？利用前面我們學習過的導數知識，可以由圓的周長計算公式得到圓的面積計算公式！
如圖1所示，設半徑為r時圓的面積為S，且半徑增加Δr時，圓的面積增加ΔS．
半徑為r時圓的周長為2πr，而且當Δr很小時，ΔS近似地等于如圖2所示的矩形的面積，因此ΔS≈2πrΔr，
從而可知≈2πr，
令Δr→0，并注意到Δr越接近于0，近似程度越高，由此可知S′＝2πr．
又由于(πr2)′＝2πr，可知(S－πr2)′＝0，
然后根據只有常數的導數才能恒為0，以及半徑為0時面積也應該為0可得S＝πr2．
利用類似的方法可以解決很多能求出平均變化率的函數問題，例如由球的表面積計算公式得到球的體積計算公式等，請讀者自行嘗試．5.2.2　導數的四則運算法則　
5.2.3　簡單復合函數的導數
學習任務 1．能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數．(數學運算) 2．能求簡單的復合函數(限于形如f (ax＋b))的導數．(數學運算)
海上一艘油輪發生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，油膜的面積S(單位：m2)是油膜半徑r(單位：m)的函數：S＝f (r)＝πr2．
油膜的半徑r隨著時間t(單位：s)的增加而擴大，假設r關于t的函數為r＝φ(t)＝2t＋1．
思考：油膜的面積S關于時間t的瞬時變化率是多少？如何對該函數求導？
知識點1　導數的運算法則
(1)和差的導數
[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．
(2)積的導數
①[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
②[cf (x)]′＝cf ′(x)．
(3)商的導數
′＝(g(x)≠0)．
如果f (x)的導數為f ′(x)，c為常數，則函數cf (x)的導數是什么？
[提示]　由于常函數的導數為0，即(c)′＝0，由導數的乘法法則，得[cf (x)]′＝cf ′(x)．
知識點2　復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f (u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f (g(x))．
內、外層函數通常為基本初等函數．
知識點3　復合函數的求導法則
一般地，對于由函數y＝f (u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f (g(x))，它的導數與函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
1．下列對函數的求導正確的是(　　)
A．y＝(1－2x)3，則y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，則y′＝
C．y＝cos ，則y′＝sin
D．y＝22x-1，則y′＝22xln 2
D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A錯誤；B中，y′＝，∴B錯誤；C中，y′＝－sin ，∴C錯誤；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正確．]
2．(1)′＝____________；
(2)(xex)′＝____________．
(1)　(2)(1＋x)ex　[(1)′＝＝；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex．]
類型1　利用運算法則求導數
【例1】　求下列函數的導數：
(1)y＝x2cos x；
(2)y＝；
(3)y＝ln x＋4x；
(4)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)．
[思路引導]　根據每個函數的解析式的構成特點，利用求導公式和運算法則進行求解．
[解]　(1)y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．
(2)法一：y′＝′＝＝．
法二：∵＝＝1－，
∴′＝′＝．
(3)y′＝(ln x＋4x)′＝(ln x)′＋(4x)′＝＋4x ln 4．
(4)∵y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，
∴y′＝(x4－1)′＝4x3．
　利用導數運算法則的策略
(1)分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數組成的，確定求導法則并利用基本公式進行求解．
(2)如果求導式比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積式展開變為和式求導，商式變乘積式求導，三角函數恒等變換后求導等．
(3)利用導數運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導．
[跟進訓練]
1．求下列函數的導數：
(1)y＝x2－sin cos ；(2)y＝x tan x．
[解]　(1)∵y＝x2－sin cos ＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x．
(2)y′＝(x tan x)′＝′
＝
＝＝．
類型2　求簡單復合函數的導數
【例2】　(源于人教B版教材)求下列函數的導數．
(1)h(x)＝e5x-1；(2)f (x)＝ln (2x＋1)；
(3)y＝；(4)y＝sin ．
[思路引導]　先分析每個復合函數的構成，再按照復合函數的求導法則進行求導．
[解]　(1)h(x)＝e5x-1可以看成f (u)＝eu與u＝g(x)＝5x－1的復合函數，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1．
(2)f (x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u與u＝g(x)＝2x＋1的復合函數，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝×2＝．
(3)y＝可以看成函數y＝與u＝2x－1的復合函數，因此y′x＝y′uu′x＝()′(2x－1)′＝×2＝＝．
(4)y＝sin 可以看成函數y＝sin u與u＝2x＋的復合函數，因此y′x＝y′uu′x＝(sin u)′′＝2cos u＝2cos ．
　復合函數的求導注意事項
(1)仔細觀察和分析函數的結構特征，緊緊扣住求導運算法則，聯系基本函數求導公式．不具備求導法則的可適當恒等變形；
(2)復合函數的求導，要注意分析復合函數的結構，引入中間變量，將復合函數分解成較簡單的函數，再用復合函數的求導法則求導．
[跟進訓練]
2．求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝e－xsin 2x；
(3)y＝ln －1；
(4)y＝cos (－2x)＋32x+1．
[解]　(1)∵y＝，
∴y′＝＝．
(2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．
(3)∵y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1，
∴y′＝××(2x＋1)′＝．
(4)y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x+1ln 3
＝－2sin 2x＋2·32x+1ln 3．
類型3　導數運算法則的綜合應用
【例3】　(1)曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(　　)
A． B．2
C．3 D．0
(2)設曲線y＝eax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，求a的值．
[思路引導]　(1)曲線上離直線2x－y＋3＝0最近的點一定是與2x－y＋3＝0平行且與曲線y＝ln (2x－1)相切的直線的切點．
(2)嘗試用導數的幾何意義．
(1)A　[設曲線y＝ln (2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln (2－1)＝0，
即切點坐標為(1，0)．
∴切點(1，0)到直線2x－y ＋3＝0的距離為d＝＝，
即曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是．]
(2)[解]　令y＝f (x)，則曲線y＝eax在點(0，1)處的切線的斜率為f ′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因為f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．
[母題探究]
1．(變條件)本例(1)的條件變為“曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋m＝0的最小距離為2”，求m的值．
[解]　由題意可知，設切點P(x0，y0)，則
＝＝2，∴x0＝1，即切點P(1，0)，
∴＝2，解得m＝8或－12．
即實數m的值為8或－12．
2．(變條件，變結論)把本例(1)條件變為“若直線y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切線，也是y＝ln (x＋1)的切線”，求b的值．
[解]　函數y＝ln x＋2的導函數為y′＝，函數y＝ln (x＋1)的導函數為y′＝．
設曲線y＝ln x＋2和曲線y＝ln (x＋1)上的切點橫坐標分別為m，n，
則該直線方程可以寫成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以寫成y＝(x－n)＋ln (n＋1)．
整理后對比得
解得
因此b＝1－ln 2．
　利用導數的幾何意義解題時的注意點
(1)求曲線過某一定點的切線方程或斜率時，首先應判斷所給定點是不是切點，如果不是，需將切點坐標設出．
(2)切點既在原函數的圖象上也在切線上，可將切點坐標代入兩者的函數解析式建立方程組．
(3)如果切線的斜率存在，那么函數在切點處的導數值等于切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件．
(4)與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個．
[跟進訓練]
3．已知函數f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f ′(x)是f (x)的導函數，且a＝f ′，求曲線y＝x3在x＝a處的切線方程．
[解]　由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，
得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
則a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1．
由y＝x3得y′＝3x2．
∴k＝y′|x＝1＝3．
又x＝1時y＝1．
∴所求切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．
1．設函數f (x)＝ln (2x)＋，則f ′(1)＝(　　)
A．　　　　　 B．1
C．－ D．1－
B　[f ′(x)＝，則f ′(1)＝1．故選B．]
2．(多選)下列運算中正確的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C．′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin x
AD　[A項中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正確；B項中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，錯誤；C項中，′＝，錯誤；D項中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正確．故選AD．]
3．設f (x)＝sin x cos x，則f (x)在點處的切線的斜率為(　　)
A．
C．－ D．－
A　[法一：f ′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴k＝f ′＝cos ＝．
法二：f (x)＝sin x cos x＝sin 2x，
∴f ′(x)＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝cos 2x，
∴k＝f ′＝．]
4．已知函數f (x)＝(2x－1)2＋5x．則f ′(x)＝________；曲線y＝f (x)在點(2，19)處的切線方程是________________．
8x＋1　17x－y－15＝0　[f ′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1．
又f ′(2)＝17，故切線方程是y－19＝17(x－2)，
即17x－y－15＝0．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)你認為如何對多個整式乘積形式的函數求導？
[提示]　①若待求導的函數為多個整式乘積的形式，可以利用多項式的乘法法則，化為和差的形式，再求導，其運算過程將會簡化，運算量將會減小．
②若乘積因式不多時，也可以利用積的導數運算法則求導．
(2)求復合函數的導數，應該注意哪些問題？
[提示]　求復合函數的導數的注意點：
①分解的函數通常為基本初等函數；
②求導時分清是對哪個變量求導；
③計算結果盡量簡潔．
(3)利用復合函數求導法則求復合函數的導數的一般步驟是什么？
[提示]　“分解—求導—還原”．
即：①弄清復合關系，將復合函數分解成基本初等函數的形式；
②利用求導法則分層求導；
③最終結果要將中間變量還原成自變量．注意不要漏掉第③步．

展開更多......

收起↑