資源簡介

微專題3　導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解決函數(shù)問題
在考試中經(jīng)常見到一類試題，即不給出解析式，而是給出函數(shù)f (x)及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題的題目，該類題目具有一定的難度，下面總結(jié)其基本類型的處理方法：
1．關(guān)系式為“加”型：
(1)f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x) 構(gòu)造[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)
(2)xf ′(x)＋f (x)≥0構(gòu)造[xf (x)]′＝xf ′(x)＋f (x)
(3)f ′(x)＋f (x)≥0構(gòu)造[exf (x)]′＝ex[f ′(x)＋f (x)]
2．關(guān)系式為“減”型
(4)f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)構(gòu)造′＝
(5)xf ′(x)－f (x)≥0構(gòu)造′＝
(6)f ′(x)－f (x)≥0構(gòu)造′＝＝
類型1　關(guān)系式為“加”型
【例1】　(1)已知函數(shù)f (x)的定義域為R，且對任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．則對任意正數(shù)a必有(　　)
A．f (a)>eaf (0)　 B．f (a)C．f (a)< D．f (a)>
(2)設(shè)f ′(x)是定義域為R的函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f ′(x)<3，f (－3)＝－2，則f (x)>3x＋7的解集為(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－3)
C．(－3，0)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
(3)已知y＝f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，不等式xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log3·f (log3)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．
(4)設(shè)f (x)，g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)<0，g(－3)＝0，求不等式f (x)g(x)<0的解集．
(1)D　(2)B　(3)c>b>a　[(1)構(gòu)造函數(shù)F (x)＝exf (x)，則F ′(x)＝ex[f ′(x)＋f (x)]>0，故F (x)在R上單調(diào)遞增，又a>0，所以F (a)>F (0)，
即eaf (a)>e0f (0)，所以f (a)>，故選D．
(2)因為f ′(x)<3，即f ′(x)－3<0，設(shè)函數(shù)g(x)＝f (x)－3x，g′(x)＝f ′(x)－3<0，則g(x)在R上單調(diào)遞減，
又f (－3)＝－2，所以g(－3)＝f (－3)－3×(－3)＝7，不等式f (x)>3x＋7轉(zhuǎn)化為：f (x)－3x>7，即g(x)>g(－3)，所以x<－3．
(3)令g(x)＝xf (x)，則g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．由條件知，x>0時，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又f (x)為偶函數(shù)，則g(x)為奇函數(shù)，故g(x)在R上單調(diào)遞減．又log3b>a．]
(4)[解]　因為f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)的原函數(shù)為f (x)g(x)，構(gòu)造新函數(shù)h(x)＝f (x)g(x)可知h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，又因為g(－3)＝0，即h(－3)＝0，所以f (x)g(x)<0的解集是(－3，＋∞)．
類型2　關(guān)系式為“減”型
【例2】　(1)設(shè)f (x)、g(x)是定義域為R的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，則當(dāng)aA．f (x)g(x)>f (b)g(b)
B．f (x)g(b)>f (b)g(x)
C．f (x)g(a)>f (a)g(x)
D．f (x)g(x)>f (a)g(x)
(2)設(shè)函數(shù)f ′(x)是奇函數(shù)f (x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f (－1)＝0，當(dāng)x>0時，xf ′(x)－f (x)<0，則使得f (x)>0成立的x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
(3)若可導(dǎo)函數(shù)f (x)(x∈R)滿足f ′(x)－f (x)>0，比較f (1)與ef (0)的大小為f (1)________ef (0)．
(1)B　(2)A　(3)>　[(1)設(shè)F (x)＝，則F ′(x)＝，由f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，得F ′(x)<0，所以F (x)為減函數(shù)．
因為a故f (x)g(b)>f (b)g(x)．
(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)＝，則g′(x)＝，因為當(dāng)x>0時，xf ′(x)－f (x)<0，故當(dāng)x>0時，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又因為f (x)(x∈R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，
所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且g(－1)＝g(1)＝0．當(dāng)00，則f (x)>0；
當(dāng)x<－1時，g(x)<0，則f (x)>0，綜上所述，使得f (x)>0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，1)．
(3)構(gòu)造F (x)＝，則F ′(x)＝＝>0，所以F (x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因此F (1)>F (0)，即>，f (1)>ef (0)．]微專題4　導(dǎo)數(shù)法研究恒成立問題
用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題時，一般我們既要對函數(shù)和方程的形式進(jìn)行特別的觀察，又要時刻注意數(shù)形結(jié)合幫助我們理解題意，需要靈活的選擇合適的方法解決問題，常見的用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的方法有分離變量法、分類討論法、等價轉(zhuǎn)化法等，下面進(jìn)行舉例說明．
類型1　分離變量法
【例1】　設(shè)函數(shù)f (x)＝x3＋x2－2x＋5，若對任意的x∈[－1，2]有f (x)A．(9，＋∞)　　 B．(10，＋∞)
C．(11，＋∞) D．(12，＋∞)
C　[f ′(x)＝3x2＋x－2，令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝．當(dāng)－1≤x<時，f ′(x)<0，當(dāng)0，
所以f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因為f (－1)＝，f (2)＝11，所以f (x)max＝11．
因為對任意的x∈[－1，2]有f (x)所以f (x)max11．故選C．]
類型2　分類討論法
【例2】　已知函數(shù)f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a 的取值范圍是(　　)
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－4，4]
D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
A　[f ′(x)＝3＋cos 2x＋a sin x＝3＋1－2sin2x＋a sinx＝4－2sin2x＋a sinx，
函數(shù)f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上單調(diào)遞增，所以f ′(x)≥0在R上恒成立，令t＝sin x(－1≤t≤1)，即4－2t2＋at≥0在R上恒成立，即2t2－at－4≤0在－1≤t≤1上恒成立．
當(dāng)t＝0時，不等式顯然成立．
當(dāng)0當(dāng)－1≤t<0時，a≤2t－，由y＝2t－在[－1，0)上單調(diào)遞增，得t＝－1時，ymin＝2，所以a≤2．
綜上：a的取值范圍是[－2，2]．
故選A．]
類型3　等價轉(zhuǎn)化法
【例3】　已知函數(shù)f (x)＝ex－k－k ln x，g(x)＝ex－kx， x∈(1，＋∞)，f (x)A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，e) D．(－∞，e]
D　[由題意得ex－k－k ln x即eln x+1－k(ln x＋1)令h(x)＝ex－kx，則h(ln x＋1)令m(x)＝ln x－x＋1，x∈(1，＋∞)，
則m′(x)＝－1<0恒成立，
所以m(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞減，即m(x)＝ln x－x＋1所以h(x)單調(diào)遞增，即h′(x)＝ex－k≥0， x∈(1，＋∞)恒成立，所以k≤e．故選D．]第5章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章末綜合提升
類型1　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y－y0＝f (x0)·(x－x0)，明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f (x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f (x)的切線方程”的異同點．
2．圍繞著切點有三個等量關(guān)系：切點(x0，y0)，則k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數(shù)問題中經(jīng)常用到．
【例1】　(1)曲線y＝ln x在點M處的切線過原點，則該切線的斜率為(　　)
A．1 B．e
C．－ D．
(2)設(shè)a∈R，函數(shù)f (x)＝ex＋a·e－x的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)是奇函數(shù)，若曲線y＝f (x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標(biāo)為________．
(3)求函數(shù)f (x)＝x3－x圖象上過點(1，0)的切線方程．
(1)D　(2)ln 2　[(1)設(shè)M(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝，所以切線斜率k＝，
所以切線方程為y－ln x0＝(x－x0)．
由題意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e．所以k＝＝．
(2)由題意可得f ′(x)＝ex－是奇函數(shù)，所以f ′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，所以f (x)＝ex＋，f ′(x)＝ex－．
因為曲線y＝f (x)的一條切線的斜率是，
所以＝ex－，可得ex＝2(負(fù)舍)，所以x＝ln 2．]
(3)[解]　設(shè)函數(shù)f (x)＝x3－x圖象上切點的坐標(biāo)為－x0)，則切線斜率為k＝f ′(x0)＝－1，切線方程為－x0)＝－1)(x－x0)．
由于切線經(jīng)過點(1，0)，所以－x0)＝－1)(1－x0)，整理得＋1＝0，
即－1)＝0，
所以2(x0－1)＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0，
所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－．
所以P(1，0)或P，
所以切線方程為y＝2x－2或y＝－x＋．
類型2　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時，要充分利用f (x)與其導(dǎo)數(shù)f ′(x)之間的對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識求解．
求解參數(shù)范圍的步驟為：
(1)對含參數(shù)的函數(shù)f (x)求導(dǎo)，得到f ′(x)；
(2)若函數(shù)f (x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f ′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f (x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f ′(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；
(3)驗證參數(shù)范圍中取等號時，是否恒有f ′(x)＝0．若f ′(x)＝0恒成立，則函數(shù)f (x)在(a，b)上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值．
【例2】　若函數(shù)f (x)＝x3－x2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1，4)上是減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)上是增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍．
[解]　f ′(x)＝x2－ax＋a－1，由題意知f ′(x)≤0在區(qū)間(1，4)上恒成立，且f ′(x)≥0在區(qū)間(6，＋∞)上恒成立．
由f ′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0．
因為x∈(1，4)，所以x－1∈(0，3)，所以a≥＝x＋1．
因為x＋1∈(2，5)，而a≥x＋1恒成立，所以a≥5．
由f ′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0．
因為x∈(6，＋∞)，所以x－1＞5，所以a≤＝x＋1．
因為x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，
所以a≤7．
經(jīng)檢驗，a＝5和a＝7都符合題意，
所以實數(shù)a的取值范圍是[5，7]．
類型3　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
1．已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)問題的解題步驟
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ′(x)；
(2)由極值點的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程(組)，求解參數(shù)．
2．對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即轉(zhuǎn)化為f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．
【例3】　(1)函數(shù)f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a在x＝2處取得極值8，則a＝(　　)
A．－4或6　　 B．－4
C．6 D．4或－6
(2)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝x＋a ln x在區(qū)間有極值點，則a取值范圍為(　　)
A．
B．
C．∪(e，＋∞)
D．(－∞，－e)∪
(1)B　(2)B　[(1)對函數(shù)f (x)＝x3－ax2－bx＋a2－6a，求導(dǎo)得，f ′(x)＝3x2－2ax－b．
又∵在x＝2處有極值為8，∴
解得或
①當(dāng)時，f ′(x)＝3x2＋8x－28＝0，
解得x1＝2，x2＝－，
∴有兩個不等的實根，滿足題意；
②當(dāng)時，f ′(x)＝3x2－12x＋12＝0 3(x2－4x＋4)＝0 3(x－2)2＝0，
∴x有兩個相等的實根，在此處無極值，不滿足題意．故a的值是－4，故選B．
(2)函數(shù)y＝f (x)＝x＋a ln x在區(qū)間有極值點 y′＝0在區(qū)間有零點．f ′(x)＝1＋＝(x＞0)．
∴f ′·f ′(e)＜0，∴(e＋a)＜0，
解得－e＜a＜－．∴a的取值范圍為．故選B．]
類型4　函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
求連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上的最值的方法
(1)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，則f (a)與f (b)一個為最大值，一個為最小值；
(2)若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出[a，b]上的極值，再與f (a)，f (b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
【例4】　已知函數(shù)f (x)＝x3－3ax2＋2bx在點x＝1處有極小值－1．
(1)求a，b的值；
(2)求f (x)在[0，2]上的值域．
[解]　(1)∵函數(shù)f (x)＝x3－3ax2＋2bx在點x＝1處有極小值－1，
∴f ′(x)＝3x2－6ax＋2b，f ′(1)＝3－6a＋2b＝0， ①
且f (1)＝1－3a＋2b＝－1， ②
聯(lián)立①②，解得a＝，b＝－．
(2)由(1)得f (x)＝x3－x2－x，
∴f ′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)，x∈[0，2]．
由f ′(x)＝3x2－2x－1>0得1由f ′(x)＝3x2－2x－1<0得0≤x<1，
∴函數(shù)f (x)在區(qū)間[0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，2]上單調(diào)遞增．
又f (0)＝0，f (1)＝－1，f (2)＝8－4－2＝2，
∴f (x)在[0，2]上的值域為[－1，2]．
類型5　導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用
解決優(yōu)化問題的步驟
(1)要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域．
(2)要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．
(3)驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義．
【例5】　某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距a m，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x m的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)a＝640時，需新建多少個橋墩才能使y最小？
[解]　(1)設(shè)需要新建b個橋墩，則(b＋1)x＝a，即b＝－1．
因此，y＝f (x)＝256b＋(b＋1)x
＝256＋x
＝＋a＋2a－256(0(2)由(1)知，f ′(x)＝－＋＝．
令f ′(x)＝0，得＝512，所以x＝64．
當(dāng)0當(dāng)640，f (x)在區(qū)間(64，640)內(nèi)單調(diào)遞增．
所以f (x)在x＝64處取得最小值．
此時，b＝－1＝－1＝9．
即需新建9個橋墩才能使y最小．
類型6　與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合性問題
1．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)以及解決實際問題的強(qiáng)有力的工具，從近幾年高考題看，利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、函數(shù)的零點、證明不等式這些知識點常考到，一般出現(xiàn)在解答題中．其實質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)及圖象，解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù)，然后考查這個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解．
2．通過利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模，解決函數(shù)方程問題，提升邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．
【例6】　已知函數(shù)f (x)＝x ln x．
(1)求f (x)的最小值；
(2)若對任意的x≥1都有f (x)≥ax－1，求實數(shù)a的取值范圍．
(3)若關(guān)于x的方程f (x)＝b恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．
[解]　(1)f (x)的定義域是(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋ln x，令f ′(x)>0，解得x>；
令f ′(x)<0，解得0故f (x)min＝f ＝ln ＝－．
(2)當(dāng)x≥1時，f (x)≥ax－1恒成立，
等價于x ln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等價于a≤ln x＋(x≥1)恒成立．
令g(x)＝ln x＋，則當(dāng)x≥1時a≤g(x)min恒成立．
∵g′(x)＝－＝，∴當(dāng)x≥1時，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，1]．
(3)若關(guān)于x的方程f (x)＝b恰有兩個不相等的實數(shù)根，則y＝b的圖象和y＝f (x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個不同的交點．
由(1)知f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f (x)min＝f ＝ln ＝－，又當(dāng)01時，f (x)>0，故當(dāng)－即若關(guān)于x的方程f (x)＝b恰有兩個不相等的實數(shù)根，則－

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