資源簡介

4.1　數列的概念
第1課時　數列的概念與簡單表示法
學習任務 1．借助實例了解數列的相關概念．(數學抽象) 2．理解數列的通項公式，能根據數列的通項公式寫出數列的任意項．(邏輯推理) 3．理解數列與函數的關系，能根據數列的前幾項寫出數列的通項公式．(數學運算、邏輯推理)
(1)傳說中，古希臘畢達哥拉斯學派數學家研究的問題：
請同學們想一想，以上兩組數有什么特征？
(2)某種樹木的分枝生長規律如圖所示，你能預計到第6年時，樹木的分枝數是多少嗎？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝數 1 1 2 3 5 ？
知識點1　數列的概念及一般形式
表示數列時不要漏寫“{　　}”，這里的小寫字母a也可以換成其他小寫英文字母．
知識點2　數列的分類
分類 類別 含義
按項的個數 有窮數列 項數有限的數列
無窮數列 項數無限的數列
按項的變化趨勢 遞增數列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列
常數列 各項都相等的數列
擺動數列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
若數列{an}滿足a1[提示]　不一定，因為只有部分項滿足大小關系，不能確定數列的單調性．
知識點3　數列的通項公式
如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．表達形式為：an＝f(n)．
知識點4　數列與函數的關系
從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如表：
定義域 正整數集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 數列的通項公式
值域 自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應的一列函數值構成
表示方法 (1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)數列1，3，5，7，…，2n是無窮數列． (　　)
(2)－1，1，－1，1，…是一個擺動數列． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
[提示]　(1)無窮數列末尾帶有“…”．
(2)滿足擺動數列的定義．
2．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．數列中能重復出現同一個數
B．1，2，3，4與4，3，2，1是同一數列
C．1，1，1，1不是數列
D．若兩個數列的每一項均相同，則這兩個數列相同
AD　[由數列的定義可知，數列中可以重復出現同一個數，如1，1，1，1，故A正確，C不正確；B中兩數列首項不相同，因此不是同一數列，故B不正確；由數列的定義可知，D正確．]
3．若數列{an}的通項公式是an＝n2－1，則該數列的第10項a10＝________，224是該數列的第______項．
99　15　[a10＝102－1＝99．令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是該數列的第15項．]
4．根據數列的前4項，寫出數列的一個通項公式．
(1)2，4，6，8，…；
(2)2，4，8，16，…．
[解]　(1)an＝2n(n∈N*)；(2)an＝2n(n∈N*)．
類型1　數列的概念與分類
【例1】　(1)(多選)以下四個數列中的遞增數列是(　　)
A．1，，，，…
B．sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
(2)給出下列說法：
①數列中的項數一定是無限的；②數列1，3，2，6，3，9，…是遞增的無窮數列；③數列，，，，…是遞減的無窮數列．
其中正確說法的序號是________．
(1)CD　(2)③　[(1)A是遞減數列；B是擺動數列；CD是遞增數列．
(2)對于①，錯誤，數列中的項數可以是有限的或無限的；對于②，錯誤，該數列是無窮數列，但不是遞增數列；對于③，正確．]
　數列的判定方法及其分類
(1)判斷所給的對象是否為數列，關鍵看它們是不是按一定次序排列的數；
(2)判斷所給的數列是遞增、遞減、擺動還是常數列，要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數列，則看項的個數是有限的還是無限的．
[跟進訓練]
1．給出下列數列：
①2015—2022年某市普通高中生人數(單位：萬人)構成數列82，93，105，118，132，147，163，180；
②無窮多個構成數列，…；
③－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構成數列－2，4，－8，16，－32，…．
其中，有窮數列是________，無窮數列是________，遞增數列是________，常數列是________，擺動數列是________．
①　②③　①　②　③　[①為有窮數列；②③是無窮數列，同時①也是遞增數列；②為常數列；③為擺動數列．]
類型2　根據數列的前幾項求通項公式
【例2】　已知數列的前幾項，寫出下面數列的一個通項公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)9，99，999，9 999，…；
(3)－，，－，，－，…；
(4)1，2，1，2，1，2，…．
[解]　(1)觀察發現各項分別加上1后，數列變為2，4，8，16，32，…，新數列的通項為2n，故原數列的通項公式為an＝2n－1．
(2)各項加上1后，數列變成10，100，1 000，10 000，…，新數列的通項為10n，故原數列的通項公式為an＝10n－1．
(3)數列的符號負正相間，可用(－1)n調整，分數的分子依次為自然數，而分母則是分子加上1后的平方，故可表示為，所以該數列的通項公式為an＝(－1)n．
(4)法一：可寫成分段函數形式：
an＝
法二：an＝＝，
即an＝＋．
　根據數列的前幾項求其通項公式的方法
據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相鄰項的變化特征；
(3)拆項后的特征；
(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、聯想．
[跟進訓練]
2．(源于人教B版教材)寫出以下各數列{an}的一個通項公式．
(1)2，4，6，8，10，…；
(2)1，3，5，7，9，…；
(3)0，2，0，2，0，…；
(4)－，，－，，－，…．
[解]　(1)觀察數列的前5項可知，每一項都是序號的2倍，因此數列的一個通項公式為an＝2n．
(2)因為這個數列每一項都比(1)中數列的對應項小1，因此數列的一個通項公式為an＝2n－1．
(3)因為數列的第1，3，5，…項都是0，而第2，4，…項都是2，因此它的一個通項公式為
an＝
(4)忽略正負號時，數列每一項的分子構成的數列是2，4，6，8，10，…，其中每一個數都是序號的2倍；數列每一項的分母都是分子的平方減去1．又因為負號、正號是交替出現的，因此它的一個通項公式為an＝(－1)n．
類型3　通項公式的應用
【例3】　已知數列{an}的通項公式為an＝3n2－28n．
(1)寫出此數列的第4項和第6項；
(2)－49是不是該數列的一項？如果是，應是哪一項？68是不是該數列的一項呢？
[思路引導]　(1)已知數列的通項公式，將n＝4，n＝6分別代入通項公式可求得a4和a6的值．
(2)假設－49與68是數列中的項．建立n的方程，求出結果觀察n是否為正整數即可．
[解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60．
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是該數列的第7項；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合題意，所以68不是該數列的項．
[母題探究]
(變結論)若本例中的條件不變，
(1)試寫出該數列的第3項和第8項；
(2)20是不是該數列的一項？若是，是哪一項？
[解]　(1)因為an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32．
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以20是該數列的第10項．
　1．利用數列的通項公式求某項的方法
數列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數列的相應項．
2．判斷某數值是否為該數列的項的方法
先假定它是數列中的第n項，然后列出關于n的方程．若方程解為正整數，則是數列中的項；若方程無解或解不是正整數，則不是該數列中的項．
[跟進訓練]
3．已知數列的通項公式為an＝．
(1)寫出數列的前3項；
(2)和是不是它的項？如果是，是第幾項？
[解]　(1)數列的前3項：a1＝＝1，a2＝＝＝，a3＝＝＝．
(2)令＝，則n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，因為n∈N*，故n＝－8舍去．
所以是數列的第5項．
令＝，則4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－，
因為n∈N*，所以不是此數列中的項．
1．下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是(　　)
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4
C．－1，－，－，－，…
D．1，，…，
C　[A，B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意．]
2．有下列一列數：1，2，4，(　　)，16，32，…，按照規律，括號中的數應為(　　)
A．6 B．8
C．4 D．10
B　[根據前三項和后兩項的規律可知，從第二個數起，每個數與前一個數的比都是2，則括號中的數是8．]
3．(多選)下列敘述不正確的是(　　)
A．1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數列
B．1，3，1，3，…是常數列
C．數列0，1，2，3，…的通項公式為an＝n
D．數列{2n＋1}是遞增數列
ABC　[A中，1，3，5，7與7，5，3，1不是相同的數列，因為數列是有順序排列的一列數；B中，明顯不是常數列；C中，0，1，2，3，…的通項公式為an＝n－1；D中{2n＋1}是遞增數列，故選ABC．]
4．已知數列{an}的通項公式an＝4n－1，則它的第7項是________，a2 022－a2 021＝__________，199是數列的第________項．
27　4　50　[a7＝4×7－1＝27，a2 022－a2 021＝(4×2 022－1)－(4×2 021－1)＝4．令4n－1＝199，解得n＝50．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)數列是怎樣定義的？數列中的項具有什么特點？
[提示]　數列是按確定的順序排列的一列數．數列中的項有三個特征：有序性、確定性和可重復性．
(2)你是如何對數列進行分類的？相等數列應具備什么條件？
[提示]　按項數可分為：有窮數列和無窮數列．
按項的變化趨勢可以分為：遞增數列、遞減數列、常數列和擺動數列．
相等數列是指項數相等，對應項也相等的數列．
(3)所有數列都能寫出它的通項公式嗎？當數列確定后，它的通項公式唯一嗎？你能否各舉出1個例子？
[提示]　并不是所有數列都能寫出通項公式，如π的近似值數列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．
當數列確定后，它的通項公式也不一定唯一．如數列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用
an＝
也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos [(n－1)π]表示等．第2課時　數列的通項公式與遞推關系
學習 任務 1．理解數列的幾種表示方法，能從函數的觀點研究數列．(邏輯推理) 2．理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項．(數學運算) 3．會用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式．(邏輯推理、數學運算)
觀察下列鋼管堆放示意圖，尋求規律，建立數學模型．
自上而下：
第1層鋼管數為4，第2層鋼管數為5，第3層鋼管數為6，第4層鋼管數為7，第5層鋼管數為8，第6層鋼管數為9，第7層鋼管數為10．
若用an表示鋼管數，n表示層數，則可得出各層的鋼管數為一個數列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相鄰兩層的鋼管數之間有沒有關系？即an＋1與an有沒有關系？
知識點1　數列的遞推公式
(1)兩個條件：
①已知數列的首項(或前幾項)；
②從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示．
(2)結論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數列的遞推公式．
知識點2　數列遞推公式與通項公式的關系
分類 遞推公式 通項公式
區別 表示an與它的前一項an－1(或前幾項)之間的關系 表示an與n之間的關系
聯系 (1)都是表示數列的一種方法； (2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式
知識點3　數列{an}的前n項和
(1)數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
(2)如果數列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式．
(3)數列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關系為an＝
S1與a1是什么關系？S2呢？
[提示]　由于S1表示數列的前1項的和，因此S1與a1相等，而S2表示數列的前2項的和，因此S2＝a1＋a2．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)遞推公式是表示數列的一種方法． (　　)
(2)所有的數列都有遞推公式． (　　)
(3)利用an＋1＝2an，n∈N*可以確定數列{an}． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
[提示]　(2)隨機的一個數列就不一定有遞推公式．
(3)只能確定相鄰兩項間的關系但無法確定{an}．
2．設數列{an}滿足a1＝1，an＝1＋(n∈N*，n>1)，則a3＝________．
　[由已知，得a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝．]
3．設數列{an}的前n項和為Sn＝2n－3，則an＝________．
　[當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝]
類型1　由遞推公式求數列中的項
【例1】　已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出．
(1)寫出此數列的前5項；
(2)通過公式bn＝構造一個新的數列{bn}，寫出數列{bn}的前4項．
[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．
故數列{an}的前5項依次為a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝．
故{bn}的前4項依次為b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．
　根據遞推公式寫出數列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可．另外，解答這類問題時還需注意：若已知首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式；若已知末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式．
[跟進訓練]
1．(源于人教B版教材)分別寫出下列數列{an}的一個遞推關系，并求出各個數列的第7項．
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)－1，2，5，8，11，…；
(3)1，－2，4，－8，16，…．
[解]　(1)因為a2－a1＝2－1＝1，
a3－a2＝4－2＝2，
a4－a3＝7－4＝3，
a5－a4＝11－7＝4，
所以an＋1－an＝n，
即an＋1＝an＋n．
從而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22．
(2)因為a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，
所以an＋1－an＝3，
即an＋1＝an＋3．
從而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17．
(3)因為＝＝＝＝－2，
所以＝－2．即an＋1＝－2an．
從而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64．
類型2　由Sn求通項an
【例2】　根據下列數列的前n項和Sn求通項an．
(1)Sn＝2n2－n＋1；
(2)Sn＝2·3n－2．
[解]　(1)由Sn＝2n2－n＋1，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3．
當n＝1時，a1＝S1＝2≠4×1－3，
∴an＝
(2)由Sn＝2·3n－2，
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n-1－2)＝4·3n-1．
當n＝1時，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4×31-1，
∴an＝4·3n-1(n∈N*)．
　由前n項和求通項公式的步驟
(1)先利用a1＝S1，求出a1；
(2)用n－1(n≥2)替換Sn中的n得到一個新的關系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式；
(3)注意檢驗n＝1時的值是否符合n≥2時an的解析式，若符合，則合并；若不符合，則用分段函數表示通項公式an．
[跟進訓練]
2．(1)數列{an}的前n項和Sn＝3n2，則an＝________．　
(2)已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋n－5，那么它的通項公式是________．
(1)6n－3　(2)an＝　[(1)①當n＝1時，a1＝S1＝3；
②當n≥2時Sn－1＝3(n－1)2＝3n2－6n＋3，
an＝Sn－Sn－1＝6n－3，當n＝1時上式也符合，
所以an＝6n－3．
(2)①當n＝1時，a1＝S1＝2＋1－5＝－2；
②當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n－5)－[2(n－1)2＋(n－1)－5]＝4n－1，
當n＝1時，4n－1＝4－1＝3≠－2，
綜上，an＝]
類型3　根據遞推公式求通項
【例3】　(1)已知數列{an}滿足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通項公式an；
(2)設數列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項公式an．
[思路引導]　(1)先將遞推公式變形為an＋1－an＝－，再利用累加法求通項公式；(2)先將遞推公式化為＝，再利用累乘法求通項公式．
[解]　(1)由an－an－1＝(n≥2)得，
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…；
an－an－1＝．
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－．∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1時，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝．又∵n＝1時，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
[母題探究]
(變條件)將本例條件變成“a1＝1，an＋1＝”，求數列{an}的通項公式．
[解]　由an＋1＝，得＝＋，
即－＝．又∵a1＝1，
∴＝＋＋…＋＋＝＋1
＝＋1＝．
又∵n＝1時，a1＝1，符合上式，
∴an＝(n∈N*)．
　
1．由遞推公式求通項公式常用的兩種方法
(1)累加法：當an＝an－1＋f (n)時，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通項公式．
(2)累乘法：當＝g(n)時，常用an＝··…··a1求通項公式．
2．此類題在累加或累積時，常因忘記“n≥2”這個條件，而造成錯把缺項的式子看成等式而失分．
[跟進訓練]
3．已知數列{an}滿足a1＝，an＝an－1＋(n∈N*且n≥2)，求數列{an}的通項公式．
[解]　因為an＝an－1＋(n≥2)，
所以an－an－1＝＝，
所以a2－a1＝，a3－a2＝，…，an－an－1＝(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝(n≥2)，所以an＝a1＋＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝適合an＝，故數列{an}的通項公式為an＝．
1．數列2，4，6，8，10，…的遞推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C　[A，B中沒有說明某一項，無法遞推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合題意．故選C．]
2．已知數列{an}的前n項和為Sn＝n2＋3，則a3＝________．
5　[由Sn＝n2＋3可知a3＝S3－S2＝32＋3－(22＋3)＝5．]
3．設數列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為an＝________．
n　[由題意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，
以上各式相加，得an－a1＝＝n－1，
因為a1＝1，則an＝n(n≥2)，
a1＝1也滿足an＝n，所以數列{an}的通項公式為an＝n(n∈N*)．]
4．已知數列{an}滿足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，則an＝________．
　[∵a1a2a3…an＝n2，∴n≥2時，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴兩式相除得an＝，
又∵a1＝12＝1，不適合an＝，
∴an＝]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)數列的遞推公式有什么特點？它與通項公式的區別是什么？
[提示]　數列的遞推公式是反映數列的相鄰兩項或多項之間的關系式，而通項公式是數列中的項與序號之間滿足的函數關系式．
(2)若數列{an}的前n項和為Sn，則關系式an＝Sn－Sn－1的使用條件是什么？
[提示]　n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，這是因為當n＝1時Sn－1＝S0，數列中S0無意義．
(3)數列的遞推關系滿足什么特點時，可以用累加法和累積法求通項an
[提示]　①an＋1－an＝常數，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p為非零常數)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求積的)，使用累積法或迭代法．

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