資源簡介

4.2.1　等差數列的概念
第1課時　等差數列的概念及通項公式
學習任務 1．借助教材實例理解等差數列、等差中項的概念．(數學抽象) 2．借助教材實例了解等差數列與一次函數的關系．(數學抽象) 3．會求等差數列的通項公式．(數學運算) 4．能利用等差數列的通項公式解決相關問題．(數學運算、數學建模)
觀察下列現實生活中的數列，回答后面的問題．
1．我國有用十二生肖紀年的習慣，例如，2017年是雞年，從2017年開始，雞年的年份為2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…．
2．某個電影院設置了20排座位，這個電影院從第1排起各排的座位數組成數列：38，40，42，44，46，…．
3．全國統一鞋號中，成年女鞋的各種尺碼(表示以cm為單位的鞋底的長度)由大到小可排列為25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5．
以上三個問題中的數蘊含三個數列，你能找到它們的共同規律嗎？
知識點1　等差數列的概念
文字語言 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示
符號語言 an＋1－an＝d(d為常數，n∈N*)
等差數列的定義中，為什么要“從第2項起”？
[提示]　第1項前面沒有項，無法與后續條件中“與前一項的差”相吻合．
知識點2　等差中項
(1)條件：如果a，A，b成等差數列．
(2)結論：那么A叫做a與b的等差中項．
(3)滿足的關系式是 a＋b＝2A．
知識點3　等差數列的通項公式
首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)等差數列{1－3n}的公差d＝1． (　　)
(2)所有的等差數列都有通項公式． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
[提示]　(1)數列{1－3n}的公差為－3．
(2)由等差數列的定義可知正確．
2．3與5的等差中項為(　　)
A．2 B．4
C．8 D．
B　[3與5的等差中項為＝4．]
3．(多選)下列數列是等差數列的是(　　)
A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，…
C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
AC　[根據等差數列的定義可知A，C中的數列是等差數列，而B，D中，從第2項起，后一項與前一項的差不是同一個常數．]
4．等差數列－3，－1，1，…的通項公式為an＝________．
2n－5　[由題知，a1＝－3，d＝2，所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5．]
類型1　等差數列的通項公式的有關運算
【例1】　(1)已知a7＝，d＝－2，求a1；
(2)已知數列{an}為等差數列，a15＝8，a60＝20，求a75．
[解]　(1)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝．
(2)法一：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則由題意得解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24．
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24．
法三：已知數列{an}是等差數列，可設an＝kn＋b．由a15＝8，a60＝20得解得
∴a75＝75×＋4＝24．
　求等差數列的通項公式的兩種思路
(1)設出基本量a1與d，利用條件構建方程組，求出a1與d，即可寫出數列的通項公式．
(2)已知等差數列中的兩項時，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可繞過求首項a1，直接寫出等差數列的通項公式．
注意：對于等差數列的通項公式，最終結果一般寫成關于n的一次函數的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．
[跟進訓練]
1．在等差數列{an}中，求解下列各題：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，則a1＝________；　
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差d＝________；　
(3)已知公差為d，a3＝，a7＝－，則a15＝________．　
(1)10　(2)－　(3)－　[(1)由題意，得a1＋6×＝8，解得a1＝10．
(2)依題意可得
解得d＝－．
(3)法一：由得
解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
得－＝＋4d，解得d＝－．
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－．]
類型2　等差中項的應用
【例2】　(1)如果3是2a與a－6的等差中項，則a的值為(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．4
(2)一個等差數列的前4項是1，x，a，2x，則x＝________．
(3)已知a＝，b＝，則a，b的等差中項是________．
(1)D　(2)2　(3)　[(1)由條件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4．
(2)由已知得可得2x＝1＋，
解得x＝2．
(3)因為a＝＝，b＝＝，所以＝． ]
　等差中項應用策略
(1)求兩個數x，y的等差中項A，即根據等差中項的定義得A＝．
(2)證三個數成等差數列，只需證中間一個數為兩邊兩數的等差中項，即若a，b，c成等差數列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數列．
[跟進訓練]
2．在－1與7之間順次插入三個數a，b，c使這五個數成等差數列，求此數列．
[解]　∵－1，a，b，c，7成等差數列，
∴b是－1與7的等差中項，
∴b＝＝3．
又a是－1與3的等差中項，
∴a＝＝1．
又c是3與7的等差中項，
∴c＝＝5．
∴該數列為：－1，1，3，5，7．
類型3　等差數列的判定與證明
【例3】　已知數列{an}滿足a1＝4，an＝4－(n>1)，記bn＝．
(1)求證：數列{bn}是等差數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
[思路引導]　先用an表示bn＋1，bn，再驗證bn＋1－bn為常數，最后可求出數列{an}的通項公式．
[解]　(1)證明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝．
又b1＝＝，
∴數列{bn}是首項為，公差為的等差數列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝．
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2．
∴數列{an}的通項公式為an＝＋2．
[母題探究]
本例中若將條件改為“已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝．”，求數列{an}的通項公式．
[解]　由an＋1＝兩邊取倒數，可得＝，即＝＋，所以－＝，因此數列是公差為的等差數列．
因為a1＝2，所以＝，即數列是首項為，公差為的等差數列，因此＝＋(n－1)＝n，故an＝．
　等差數列的三種判定方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(常數)(n∈N*) {an}為等差數列．
(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}為等差數列．
(3)通項公式法：an＝an＋b(a，b是常數，n∈N*) {an}為等差數列．
但如果要證明一個數列是等差數列，則必須用定義法或等差中項法．
[跟進訓練]
3．(源于人教B版教材)已知數列{an}中，an－1＝，在n≥3時恒成立，求證：{an}是等差數列．
[證明]　因為an－1＝ 2an－1＝an＋an－2 an－an－1＝an－1－an－2，所以an－an－1＝an－1－an－2＝an－2－an－3＝…＝a2－a1．
因此，從第2項起，每一項與它的前一項的差都相等，所以{an}是等差數列．
1．(多選)下列數列中，是等差數列的是(　　)
A．1，4，7，10　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2
ABD　[選項A，B，D滿足等差數列的定義，是等差數列；選項C中，因為24－25≠23－24，不滿足等差數列的定義，所以不是等差數列．]
2．在等差數列{an}中，若a1＝2，a2＝4，則a4＝(　　)
A．6 B．8
C．16 D．32
B　[因為等差數列{an}中，a1＝2，a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，則a4＝a1＋3d＝2＋3×2＝8．]
3．(多選)已知數列{an}滿足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，則下列說法正確的是(　　)
A．該數列為等差數列
B．公差為3
C．a5＝15
D．－3是該數列的第11項
ACD　[由條件可知an＋1－an＝－3，∴該數列為等差數列，公差為－3，這時an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11，故ACD正確．]
4．若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，則m和n的等差中項為________．
3　[由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8．
又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10．
兩式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6．
所以m和n的等差中項為＝3．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)等差數列的概念中，應從哪幾個方面理解？
[提示]　等差數列的概念是非常嚴密的，要抓住“從第2項起”“后項與前項的差”“同一個常數”三個關鍵點進行理解．
(2)任何兩個數都有等差中項嗎？
[提示]　任何兩個數都一定有等差中項，有且只有一個，這個等差中項就是它們的算術平均數，即a與b的等差中項為．
(3)如何判斷數列為等差數列？
[提示]　判斷一個數列為等差數列可用以下幾種方法：①定義法：an＋1－an＝常數；②等差中項法：an＋an＋2＝2an＋1；③通項法：即an＝dn＋b．(d，b為常數)．第2課時　等差數列的性質及應用
學習任務 1．能根據等差數列的定義推出等差數列的常用性質，理解等差數列與項有關的性質．(邏輯推理) 2．能靈活運用等差數列的性質簡化運算，解決簡單的數列問題．(邏輯推理、數學運算)
《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種質量單位)
知識點1　等差數列的圖象
等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d，當d＝0時，an是一個固定常數；當d≠0時，an相應的函數是一次函數；點(n，an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點．
1．等差數列的單調性與公差有何關系？
[提示]　若{an}的公差為d，則d>0 {an}為遞增數列；d<0 {an}為遞減數列；d＝0 {an}為常數列．
知識點2　等差數列的性質
(1){an}是公差為d的等差數列，若正整數m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq．
①特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時＝2ak．
②對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
(2)從等差數列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數列仍為等差數列．
(3)若{an}是公差為d的等差數列，則
①{c＋an}(c為任一常數)是公差為d的等差數列；
②{can}(c為任一常數)是公差為cd的等差數列；
③{an＋an＋k}(k為常數，k∈N*)是公差為2d的等差數列．
(4)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數列，則數列{pan＋qbn}(p，q是常數)是公差為pd1＋qd2的等差數列．
(5){an}的公差為d，則d>0 {an}為遞增數列；
d<0 {an}為遞減數列；
d＝0 {an}為常數列．
2．若{an}是等差數列，且am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q一定成立嗎？
[提示]　不一定．如常數列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4．
推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，則am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，該性質要求下標的和相等，且左右兩側項數相同．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)等差數列對應的圖象是一條直線． (　　)
(2)等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d，可以看成an關于n的一次函數．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×
[提示]　(1)等差數列對應的圖象是一列孤立的點．
(2)當d＝0時數列為常數列也是等差數列．
2．(多選)已知單調遞增的等差數列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則下列各式一定成立的有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝0
BCD　[∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又 ∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴101a51＝0，
∴a51＝0，a3＋a99＝a2＋a100＝2a51＝0．]
類型1　等差數列的設法與求解
【例1】　(1)設{an}是公差為正數的等差數列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
(2)已知四個數依次成等差數列，且是遞增數列，這四個數的平方和為94，首尾兩數之積比中間兩數之積少18，求此等差數列．
[解]　(1)設{an}的公差為d，∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5．
又a1a2a3＝80，{an}是公差為正數的等差數列，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，
解得d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，∴a11＋a12＋a13＝3a12＝105．
(2)設這四個數分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則
因為該數列是遞增數列，所以d>0，
所以解得
故此等差數列為－1，2，5，8或－8，－5，－2，1．
　設等差數列的三個技巧
(1)對于連續奇數項的等差數列，可設為：…，x－d，x，x＋d，…，此時公差為d．
(2)對于連續偶數項的等差數列，通常可設為：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此時公差為2d．
(3)等差數列的通項可設為an＝pn＋q．
[跟進訓練]
1．已知三個數成等差數列，且數列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數．
[解]　法一：設這三個數分別為a，b，c，則
解得故這三個數分別為4，6，8．
法二：設這三個數分別為a－d，a，a＋d，
由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2．
∵該數列是遞增的，
∴d＝2，
∴這三個數分別為4，6，8．
類型2　等差數列的性質
【例2】　(1)已知等差數列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．
(2)已知等差數列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．
(3)已知數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
[思路引導]　根據各個題的特征，選擇相應等差數列的性質求解．
[解]　(1)法一：設{an}的公差為d，
則解得
故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40．
法二：因為5＋25＝2×15，所以在等差數列{an}中有a5＋a25＝2a15，從而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．
法三：因為5，15，25成等差數列，所以a5，a15，a25也成等差數列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．
(2)由等差數列的性質，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，
所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，
故a1＋a9＝2a5＝28．
(3)令cn＝an－bn，因為{an}，{bn}都是等差數列，所以{cn}也是等差數列，設其公差為d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，則5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．
[母題探究]
(變條件，變結論)本例(1)中條件變為“已知等差數列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．
[解]　法一：設等差數列{an}的公差為d，則a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．
法二：在等差數列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．
　等差數列性質的應用技巧
已知等差數列的兩項和，求其余幾項和或者求其中某項，對于這樣的問題，在解題過程中通常就要注意考慮利用等差數列的下列性質：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是數列中的項．該性質可推廣為：
若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，則am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．
(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap．
[跟進訓練]
2．(1)在等差數列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________．
(2)設等差數列{an}滿足a1＋a3＋a5＝9．
①求a3；
②若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差為18的等差數列，求數列{an}的通項公式．
(1)20　　[3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20．]
(2)[解]　①因為等差數列{an}中，滿足a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
所以a3＝3．
②設等差數列{an}的公差為d，因為a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差為18的等差數列，
所以3a2，3a5，3a8是公差為18的等差數列，
所以a8－a5＝3d＝6，所以d＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋2(n－3)＝2n－3．
類型3　等差數列的實際應用
【例3】　(1)(2022·廈門高二檢測)《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，據書中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為五級：男、子、伯、侯、公．現有每個級別的諸侯各一人，共5人，要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多分m個(m為正整數)，若按這種方法分橘子，“子”恰好分得13個橘子，則m＝________．
(2)高一某班有位學生第1次考試數學考了69分，他計劃以后每次考試比上一次提高5分(如第2次計劃達到74分)，則按照他的計劃該生數學以后要達到優秀(120分以上，包括120分)至少還要經過的數學考試的次數為________．
(1)3　(2)12　[(1)設男、子、伯、侯、公各分得x－2m，x－m，x，x＋m，x＋2m個橘子，由已知，5x＝80，即x＝16，又16－2m>0且m為正整數，
所以m＝{1，2，3，4，5，6，7}，若“子”恰好分得13個橘子，則16－m＝13，即m＝3．
(2)設經過n次考試后該學生的成績為an，
則an＝5(n－1)＋69，由5(n－1)＋69≥120，得n≥＝11 ，所以至少要經過12次考試．]
　等差數列在實際應用中的解法
解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息，若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列，合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題．
[跟進訓練]
3．(源于人教B版教材)如圖所示，已知某梯子共有5級，從上往下數，第1級的寬為35 cm，第5級的寬為43 cm，且各級的寬度從小到大構成等差數列{an}，求其余3級的寬度．
[解]　法一：依題意，a1＝35，a5＝43．
設公差為d，則35＋4d＝43，解得d＝2．
從而a2＝35＋2＝37，
a3＝37＋2＝39，
a4＝39＋2＝41．
因此，其余3級的寬度分別為37 cm，39 cm，41 cm．
法二：因為等差數列為a1，a2，a3，a4，a5，共5項．
又因為2×3＝1＋5，所以2a3＝a1＋a5＝35＋43＝78，
即a3＝39．
類似地，有2a2＝a1＋a3＝35＋39＝74，2a4＝a3＋a5＝39＋43＝82，所以a2＝37，a4＝41．
因此，其余3級的寬度分別為37 cm，39 cm，41 cm．
1．在等差數列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
A　[由等差數列的性質，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5．]
2．我國明代數學家程大位在《算法統宗》中常以詩歌的形式呈現數學問題，其中有一道“竹筒容米”問題：家有九節竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節三升九，上梢四節貯三升，唯有中間兩節竹，要將米數次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．這個問題的意思是九節竹的盛米容積成等差數列，其中的“三升九”指3.9升，則九節竹的中間一節的盛米容積為(注：升是容量單位) (　　)
A．0.9升 　 B．1升
C．1.1升 D．2.1升
B　[不妨令九節竹的盛米容積由下向上成等差數列{an}，公差為d．依題意得
故即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝2.6＋11d＝1.5，解得d＝－0.1，故a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1(升)．故選B．]
3．在等差數列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，則a2－a8＋a14＝________．
12　[在等差數列{an}中，a1＋a15＝2a8，∵a1＋3a8＋a15＝60，
∴5a8＝60，即a8＝12．又a2＋a14＝2a8，∴a2－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．]
4．四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為2，首末兩項的積為－8，則這四個數是________．　
－2，0，2，4　[設這四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，
依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．
又四個數成遞增等差數列，∴d>0，
∴d＝1，故所求的四個數為－2，0，2，4．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)在等差數列{an}中，任意兩項an與am之間的關系是什么？
[提示]　在等差數列{an}中，an－am＝(n－m)d．
(2)在等差數列{an}中，常用的性質有哪些？
[提示]　
性質1 通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
性質2 若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an
性質3 若{an}是等差數列，公差為d，則{a2n}也是等差數列，公差為2d
性質4 若{an}，{bn}分別是以d1，d2為公差的等差數列，則{pan＋qbn}是以pd1＋qd2為公差的等差數列
性質5 若{an}是公差為d的等差數列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數列
性質6 若ap＝q，aq＝p，則ap＋q＝0
性質7 有窮等差數列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
性質8 若數列{an}為等差數列，公差為d，則{λan＋m}(λ，m為常數)是公差為λd的等差數列4.2.2　等差數列的前n項和公式
第1課時　等差數列的前n項和公式
學習任務 1．借助教材實例了解等差數列前n項和公式的推導過程．(數學運算) 2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的關系．(數學運算) 3．掌握等差數列的前n項和公式、性質及其應用．(數學運算)
為了達到比較好的音響和觀賞效果，很多劇場的座位都是排成圓弧形的，如圖所示．如果某公司要為一個類似的劇場定做椅子，且中區座位共有8排，第一排有4個座位，后面每一排都比它的前一排多4個座位．你能幫助這個公司算出共需要多少個座位嗎？
知識點1　等差數列的前n項和公式及推導
等差數列的前n項和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d
推導方法 倒序相加法
推導過程 設等差數列的前n項分別為a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差數列的通項公式，得： Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．① 再把項的次序反過來，Sn又可以寫成： Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．② ①②兩邊分別相加，得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝
注：等差數列的前n項和的公式是用倒序相加法推導的．
知識點2　等差數列前n項和的性質
(1)等差數列{an}中，其前n項和為Sn，則{an}中連續的n項和構成的數列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…構成等差數列．
(2)設兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則＝．
(3)若等差數列{an}的項數為2n，則
S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，＝．
(4)若等差數列{an}的項數為2n－1，則
S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，
S奇－S偶＝an，＝．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)數列的前n項和就是指從數列的第1項a1起，一直到第n項an所有項的和． (　　)
(2)等差數列{an}的前n項和Sn＝． (　　)
(3)等差數列{an}的前n項和Sn都可以寫成二次函數Sn＝An2＋Bn． (　　)
(4)若Sn為等差數列{an}的前n項和，則數列也是等差數列． (　　)
(5)在等差數列{an}中，S4，S8，S12，…成等差數列． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
[提示]　(1)正確．由前n項和的定義可知正確．
(2)正確．由a1＋an＝a2＋an－1可知其正確．
(3)錯誤．當公差為零時，Sn為一次函數．
2．(1)在等差數列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________．
(2)在等差數列{an}中 ，d＝2，an＝11，Sn＝35，則a1＝________．
(1)24　(2)3或－1　[(1)∵S10＝＝120，∴a1＋a10＝24．
(2)由題意得a1＋(n－1)×2＝11， ①
Sn＝na1＋×2＝35， ②
由①②解得a1＝3或－1．]
3．在等差數列{an}中，其前n項和為Sn，S2＝4，S4＝9，則S6＝________．
15　[由“片段和”的性質，S2，S4－S2，S6－S4成等差數列，也就是4，5，S6－9成等差數列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15．]
類型1　等差數列前n項和的有關計算
【例1】　(1)設Sn是等差數列{an}的前n項和．若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，則S2 023＝(　　)
A．－2 021　　 B．2 021
C．2 022 D．2 023
(2)(多選)設等差數列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，當首項a1和公差d變化時，若a1＋a8＋a15是定值，則下列各項中為定值的是(　　)
A．a7　　　 B．a8
C．S15　　　 D．S16
(1)D　(2)BC　[(1)設等差數列{an}的公差為d．
∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18，
∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2．
則S2 023＝2 023×(－2 021)＋×2＝2 023．故選D．
(2)由a1＋a15＝2a8，a1＋a8＋a15為定值，可得a8是定值，S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15為定值，故選BC．]
　等差數列中基本計算的兩個技巧
(1)利用基本量求值．
(2)利用等差數列的性質解題．
[跟進訓練]
1．(源于人教B版教材)(1)已知等差數列{an}的公差為2，且a20＝29，求這個等差數列前20項的和S20．
(2)求等差數列5，12，19，26，…，201，208的各項之和．
[解]　(1)由等差數列的通項公式可得29＝a1＋19×2，由此可解得a1＝－9．因此S20＝＝200．
(2)可以看出，所求數列是公差為7的等差數列．
設共有n項，則208＝5＋(n－1)×7，解得n＝30．因此各項之和為＝3 195．
類型2　等差數列前n項和的性質及應用
【例2】　(1)在等差數列{an}中，a1＝1，其前n項和為Sn，若－＝2，則S10等于(　　)
A．10　　B．100　　C．110　　D．120
(2)等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數列{an}的前3m項的和S3m．
(3)兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝，求的值．
[思路引導]　根據題目的條件，靈活的選擇等差數列前n項和的性質解題．
(1)B　[∵{an}是等差數列，a1＝1，
∴也是等差數列且首項為＝1．
又－＝2，
∴的公差是1，
∴＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100．]
(2)[解]　法一：在等差數列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，
∴30，70，S3m－100成等差數列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210．
法二：在等差數列中，，，成等差數列，
所以＝＋．
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210．
(3)[解]　＝＝＝＝＝．
[母題探究]
(變結論)在本例(3)條件不變的情況下，求．
[解]　設Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt．
則a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，
b7＝T7－T6＝70t－54t＝16t．
∴＝＝．
　等差數列前n項和計算的兩種思維方法
(1)整體思路：利用公式Sn＝，設法求出整體a1＋an，再代入求解．
(2)待定系數法：利用Sn是關于n的二次函數，設Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程組求出A，B即可，或利用是關于n的一次函數，設＝an＋b(a≠0)進行計算．
(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數列進行求解．
[跟進訓練]
2．(1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝63，則a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．71
C．99 D．117
(2)等差數列{an}共有2n＋1項，其中a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，a2＋a4＋…＋a2n＝3，則n的值為(　　)
A．3 B．5
C．7 D．9
(1)C　(2)A　[(1)由等差數列{an}的前n項和性質，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差數列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又因為S3＝9，S6＝63，
則解得S9＝162，
因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99．
(2)由a1＋a3＋…＋a2n＋1＝4，得(n＋1)an＋1＝4，由a2＋a4＋…＋a2n＝3，得nan＋1＝3，＝，解得n＝3．]
類型3　求數列{|an|}的前n項和問題
【例3】　已知數列{an}的前n項和Sn＝－n2＋n，求數列{|an|}的前n項和Tn．
[思路引導]　先求出通項an，再確定數列中項的正負，去掉絕對值號，利用Sn求解．
[解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104．
∵n＝1也適合上式，
∴數列{an}的通項公式為an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34．
即當n≤34時，an>0；當n≥35時，an<0．
(1)當n≤34時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n．
(2)當n≥35時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－＝n2－n＋3 502．
故Tn＝
　已知等差數列{an}，求{|an|}的前n項和的步驟
(1)確定通項公式an；
(2)根據通項公式確定數列{an}中項的符號，即判斷數列{an}是先負后正，還是先正后負；
(3)去掉數列{|an|}中各項的絕對值，轉化為{an}的前n項和求解，轉化過程中有時需添加一部分項，以直接利用數列{an}的前n項和公式；
(4)將{|an|}的前n項和寫成分段函數的形式．
[跟進訓練]
3．等差數列{an}的通項公式為an＝3n－23，求數列{|an|}的前n項和．
[解]　因為an＝3n－23，所以a1＝3×1－23＝－20，d＝an－an－1＝3n－23－3(n－1)＋23＝3．令3n－23≥0，得n≥，所以當n≤7時，an<0；當n≥8時，an>0．
因此當n≤7時，Tn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－＝－n2＋n；
當n≥8時，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋…＋an＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋a7)＋a8＋…＋an＝n2－n＋154．
所以Tn＝
1．已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且Sn＝20，S2n＝80，則S3n＝(　　)
A．130　　　B．180　　　C．210　　　D．260
B　[在等差數列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數列，即20，60，S3n－80成等差數列．∴20＋(S3n－80)＝2×60．
∴S3n＝180．故選B．]
2．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若＝，則等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
A　[∵＝，∴＝＝＝×＝1．故選A．]
3．已知等差數列{an}和{bn}的前n項和分別是Sn，Tn，且＝，則＝________．
　[由等差數列前n項和的性質得＝＝＝．]
4．等差數列{an}的通項公式是an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數列的前10項和為________．
75　[因為an＝2n＋1，所以a1＝3．
所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差為1，首項為3的等差數列，
所以前10項和為3×10＋×1＝75．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)等差數列的前n項和公式有幾種形式？
[提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn形式．
(2)等差數列奇數項的和與偶數項的和的性質的推理基礎是什么？
[提示]　推理基礎是等差數列的性質，如在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap．
(3)常用的數列求和公式有哪些？
[提示]　1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．
高斯的故事
高斯是德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名．
高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育．1795—1798年在格丁根大學學習，1798年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位．從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世．
高斯7歲那年，父親送他進了耶卡捷林寧國民小學，讀書不久，高斯在數學上就顯露出了常人難以比較的天賦，最能證明這一點的是高斯十歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計算題，要求學生把1到100的所有整數加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去．彪特耐爾起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當他發現全班唯一正確的答案屬于高斯時，才大吃一驚．而更使人吃驚的是高斯的算法，他發現：第一個數加最后一個數是101，第二個數加倒數第二個數的和也是101……共有50對這樣的數，用101乘以50得到5 050．這種算法是教師未曾教過的計算等級數的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經沒有什么可教高斯的了．第2課時　等差數列前n項和的最值及應用
學習任務 能利用等差數列的通項公式、前n項和公式解決實際問題、最值問題等相關問題．(數學運算、數學建模)
等差數列前n項和公式可以轉化為關于n的一元二次函數(d≠0)或一次函數(d＝0時)
Sn＝n2＋n．
反過來，如果一個數列的前n項和是關于n的一元二次函數，那么該數列一定是等差數列嗎？
根據公式能否求出等差數列前n項和的最大值或最小值？
知識點1　等差數列前n項和的函數特征
等差數列的前n項和公式轉移到二次函數的過程　　　　 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝n2＋n，所以當d≠0時，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)當x＝n時的函數值
等差數列的前n項和公式與二次函數的關系　 令A＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn． ①當A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)時，Sn＝0是關于n的常函數，{an}是各項為0的常數列． ②當A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)時，Sn＝Bn是關于n的正比例函數，{an}為各項非零的常數列． ③當A≠0(即d≠0)時，Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數(常數項為0)
知識點2　等差數列前n項和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，則數列的前面若干項為負數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，則數列的前面若干項為正數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．
特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．
由于n取正整數，所以Sn不一定是在頂點處取得最值，而可能是在離頂點最近的橫坐標取整數的點處取得最值．
1．數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是________．
－1　[∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1．]
2．設an＝14－3n，則數列{an}的前n項和Sn有最____________(填“大”或“小”)值為____________．
大　26　[由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值．
由得n＝4，
則其最大值為S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26．]
類型1　等差數列前n項和最值問題的判斷
【例1】　(多選)在等差數列{an}中，首項a1>0，公差d≠0，前n項和為Sn(n∈N*)，則下列命題正確的是(　　)
A．若S3＝S11，則必有S14＝0
B．若S3＝S11，則S7是{Sn}中的最大項
C．若S7>S8，則必有S8>S9
D．若S7>S8，則必有S6>S8
ABC　[根據等差數列的性質，若S3＝S11，則S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，則a7＋a8＝0，
S14＝＝7(a7＋a8)＝0，A正確；
根據Sn的圖象，當S3＝S11時，對稱軸是＝7，且d<0，那么S7是最大值，B正確；
若S7>S8，則a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9，C正確；
S8－S6＝a8＋a7＝2a8－d，符號不確定，D錯誤．故選ABC．]
　一般地，在等差數列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，則①若p＋q為偶數，則當n＝時，Sn最大；②若p＋q為奇數，則當n＝或n＝時，Sn最大．
[跟進訓練]
1．(多選)設{an}是等差數列，Sn為其前n項和，且S5S8，則下列結論正確的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6與S7均為Sn的最大值
ABD　[∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0．
∴d<0．
∴S6與S7圴為Sn的最大值．
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0．
∴S9類型2　等差數列前n項和Sn的最大(小)值
【例2】　數列{an}的前n項和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通項公式；
(2)求{an}的前多少項和最大？
[思路引導]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通項公式；(2)利用等差數列前n項和Sn為關于n的二次函數，可利用二次函數求解最值的方法解決．
[解]　(1)法一(公式法)：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又當n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1，滿足an＝34－2n．
故{an}的通項公式為an＝34－2n．
法二(結構特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是關于n的缺常數項的二次型函數，所以{an}是等差數列，
由Sn的結構特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17．
又a17＝0，故數列{an}的前16項或前17項的和最大．
法二(函數性質法)：由y＝－x2＋33x的對稱軸為x＝，
距離最近的整數為16，17．由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當n≤17時，an≥0，當n≥18時，an<0，又a17＝0，
故數列{an}的前16項或前17項的和最大．
[母題探究]
(變條件)將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變為“在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n項和Sn的最大值．
[解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d
＝17×25＋d，
解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169．
∴當n＝13時，Sn有最大值169．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N*，∴當n＝13時，Sn有最大值169．
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差數列的性質得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴當n＝13時，Sn有最大值169．
法四：設Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函數對稱軸為x＝＝13，且開口方向向下，
∴當n＝13時，Sn取得最大值169．
　1．在等差數列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)值．
(2)借助二次函數的圖象及性質求最值．
2．尋求正、負項分界點的方法
(1)尋找正、負項的分界點，可利用等差數列的性質或利用或來尋找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)圖象的對稱軸距離最近的一側的一個整數或離對稱軸最近且關于對稱軸對稱的兩個整數對應項即為正、負項的分界點．
[跟進訓練]
2．(源于人教B版教材)已知數列{an}的前n項和公式為Sn＝2n2－30n，
(1)求出數列的通項公式，并判斷這個數列是否是等差數列；
(2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值時n的值．
[解]　(1)當n＝1時，有a1＝S1＝－28．
當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
又因為4×1－32＝－28，所以n＝1時an＝4n－32也成立，因此數列的通項公式為an＝4n－32.
因為an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4，
所以{an}是等差數列．
(2)法一：因為Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝－，
又因為n是正整數，所以當n＝7或8時，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112.
法二：由an＝4n－32可知數列{an}是遞增的等差數列，而且首項a1＝－28<0.
令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0.
由此可知，n＝7或8時，Sn最小，最小值是＝－112.
類型3　等差數列求和的實際應用
【例3】　7月份，有一新款服裝投入某市場．7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當日銷售量達到最大(只有1天)后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當天剛好售出3件．
(1)問7月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？
(2)按規律，當該市場銷售此服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日銷售量連續下降并低于20件時，則不再流行．問該款服裝在社會上流行幾天？
[解]　(1)設7月n日售出的服裝件數為an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由題意知解得
∴7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件．
(2)設Sn是數列{an}的前n項和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴當1≤n≤13時，由Sn>200，得12≤n≤13，
當14≤n≤31時，日銷售量連續下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴該款服裝在社會上流行11天(從7月12日到7月22日)．
　遇到與正整數有關的應用題時，可以考慮與數列知識聯系，建立數列模型，具體解決要注意以下兩點：
(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數列模型．
(2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數n.
[跟進訓練]
3．某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經計算，除現有的參戰軍民連續奮戰外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？
[解]　從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數列為等差數列，且a1＝24，公差d＝－.
25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480.
∵500>480，
∴在24小時內能構筑成第二道防線．
1．等差數列{an}前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
C　[設{an}的公差為d，首項為a1，
由題意得解得]
2．設數列{an}是公差d＜0的等差數列，Sn為其前n項和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時，n的值為(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．11
C　[由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化簡得a1＝－5d，
所以a6＝0，故當n＝5或6時，Sn最大．]
3．若數列{an}的通項公式an＝43－3n，則Sn取得最大值時，n＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．14或15
B　[由數列{an}的通項公式an＝43－3n，可得該數列為遞減數列，且公差為－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n.
考慮函數y＝－x2＋x，易知該函數的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為直線x＝.
又n為正整數，與最接近的一個正整數為14，故Sn取得最大值時，n＝14.]
4．某電影院中，從第2排開始，每一排的座位數比前一排多2，第1排有18個座位，最后一排有36個座位，則該電影院共有________個座位．
270　[從第1排開始每排座位數形成等差數列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差為d＝2，則36＝18＋2(n－1)，解得n＝10.
∴該電影院共有＝270個座位．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)等差數列{an}的前n項和Sn有哪幾種求最大(小)值的方法？
[提示]　①通項法：
若a1＞0，d＜0，則Sn必有最大值，
其中n可用不等式組來確定；
若a1＜0，d＞0，
則Sn必有最小值，其中n可用不等式組來確定．
②二次函數法：在等差數列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝＋n，則可用求二次函數最值的方法來求前n項和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函數圖象的對稱性來確定．
③圖象法：借助二次函數的圖象的對稱性來求解．
(2)應用等差數列解決實際問題的一般思路是什么？
[提示]　

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