資源簡介

4.3.1　等比數列的概念
第1課時　等比數列的概念及通項公式
學習 任務 1．借助教材實例理解等比數列、等比中項的概念．(數學抽象) 2．會求等比數列的通項公式，并能利用等比數列的通項公式解決相關的問題．(數學運算) 3．體會等比數列與指數函數的關系．(數學抽象) 4．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．(數學運算、數學建模)　
我國古代數學著作《孫子算經》中有一個有趣的題目“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何？”，這些數字構成了怎樣的一個數列呢？就讓我們通過今天的學習來解決這個問題吧！
知識點1　等比數列的概念
文字語言 一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符號語言 ＝q(q為常數，q≠0，n∈N*)
等比數列中的任何一項都不能為零，公比可以為正數或負數，但絕對不能為零．
知識點2　等比中項
(1)前提：三個數a，G，b成等比數列．
(2)結論：G叫做a，b的等比中項．
(3)滿足的關系式：G2＝ab．
(1)只有同號的兩個實數才有等比中項．
(2)若兩個實數有等比中項，則一定有兩個，它們互為相反數．
知識點3　等比數列的通項公式
(1)通項公式
首項為a1，公比為q的等比數列{an}的通項公式為an＝a1qn-1．
(2)等比數列與指數函數的關系
等比數列的通項公式可整理為an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一個不為0的常數與指數函數qx的乘積，從圖象上看，表示數列中的各項的點是函數y＝·qx的圖象上的孤立點．
已知等比數列的首項和公比，可以求得任意一項．已知a1，n，q，an四個量中的三個，可以求得第四個量．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若一個數列從第2項起每一項與前一項的比為常數，則該數列為等比數列． (　　)
(2)等比數列的首項不能為零，但公比可以為零． (　　)
(3)常數列一定為等比數列． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
[提示]　(1)錯誤，根據等比數列的定義，只有比值為同一個常數時，該數列才是等比數列．
(2)錯誤，當公比為零時，根據等比數列的定義，數列中的項也為零．
(3)錯誤，當常數列不為零數列時，該數列才是等比數列．
2．2＋和2－的等比中項是(　　)
A．1　　　B．－1　　　C．±1　　　D．2
C　[設2＋和2－的等比中項為a，
則a2＝(2＋)(2－)＝1，即a＝±1．]
3．已知數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，則a3＝________．
8　[由an＋1＝2an知{an}為等比數列，q＝2．
又a1＝2，∴a3＝2×22＝8．]
類型1　等比數列通項公式的基本運算
【例1】　在等比數列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
[解]　設首項為a1，公比為q．
(1)因為所以
由得q3＝4，從而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn-1＝
(2)法一：因為
由得q＝，q＝－1(舍去)，從而a1＝32，
又an＝1，∴32×＝1．
即26-n＝20，所以n＝6．
法二：因為a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝．
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．由an＝a1qn-1＝1，知n＝6．
　關于a1和q的求法的兩種方法
(1)通性通法，根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．
(2)整體代換法，充分利用各項之間的關系，直接求出q或qn整體后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．
[跟進訓練]
1．(源于人教B版教材)已知{an}為等比數列，填寫下表．
序號 a1 q n an
(1) 3 －2 5
(2) 4
(3) －2 4 －32
(4) 3 5 48
(5) 3 2 24
[解]　
序號 a1 q n an
(1) 3 －2 5 48
(2) 4
(3) －2 4 －32
(4) 3 2或－2 5 48
(5) 3 2 4 24
類型2　等比中項及應用
【例2】　(1)若三個數1，2，m成等比數列，則實數m＝(　　)
A．8 B．4
C．3 D．2
(2)若1，a，3成等差數列，1，b，4成等比數列，則的值為(　　)
A．± B．
C．1 D．±1
(3)已知數列{an}是公差不為零的等差數列，a1＝1，a1，a3，a6成等比數列，則a5＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
(1)B　(2)D　(3)C　[(1)因為1，2，m為等比數列，故＝，即m＝4．
(2)因為1，a，3成等差數列，1，b，4成等比數列，所以a＝＝2，b＝±＝±2，所以的值為±1．
(3)設等差數列{an}的公差為d，則d≠0，
由a1，a3，a6成等比數列，得＝a1·a6，
即(1＋2d)2＝1＋5d，整理得4d2－d＝0，又d≠0，解得d＝，所以a5＝a1＋4d＝2．]
　等比中項應用需注意的問題
(1)由等比中項的定義可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項；
(2)在一個等比數列中，從第二項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項．
[跟進訓練]
2．(1)已知等差數列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列，則{an}前10項的和為(　　)
A．10 B．8
C．6 D．－8
(2)已知等比數列的前3項依次為x，2x＋2，3x＋3，則實數x的值為________．
(1)A　(2)－4　[(1)由題意可得＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，
解之可得a1＝－8，故S10＝－8×10＋×2＝10．
(2)根據條件可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，而當x＝－1時，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合題意，故x＝－4．]
類型3　等比數列的判斷與證明
【例3】　已知數列的前n項和為Sn＝2n＋a，試判斷{an}是不是等比數列．
[思路引導]　利用an與Sn的關系確定通項an，再用定義加以證明．
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)．
當n≥2時，＝＝2；
當n＝1時，＝＝．
故當a＝－1時，數列{an}成等比數列，其首項為1，公比為2；當a≠－1時，數列{an}不是等比數列．
[母題探究]
1．(變條件，變結論)將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變為“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．
(1)證明：數列{an－n}是等比數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
[解]　(1)證明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．
因為a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，
所以數列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數列．
(2)由(1)，可知an－n＝4n-1，
于是數列{an}的通項公式為an＝4n-1＋n．
2．(變條件)將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變為“Sn＝2－an”．求證數列{an}是等比數列．
[證明]　∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an．
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0．
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是首項為1，公比為的等比數列．
　有關等比數列的判斷證明方法
定義法 ＝q(q為常數且不為零，n∈N*) {an}為等比數列
中項公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}為等比數列
通項公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}為等比數列
[跟進訓練]
3．已知數列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．證明：數列{an＋4}是等比數列．
[證明]　∵a1＝－2，∴a1＋4＝2．
∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴＝2，
∴{an＋4}是以2為首項，2為公比的等比數列．
1．根據下列通項公式能判斷數列為等比數列的是(　　)
A．an＝n　　　　 B．an＝
C．an＝2－n D．an＝log2n
C　[只有C具備an＝cqn的形式，故應選C．]
2．(多選)在等比數列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q可能為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
AC　[由題意，
得
解得或]
3．1與9的等比中項為________．
±3　[1與9的等比中項為±＝±3．]
4．在等比數列{an}中，若公比q＝4，且前三項之和等于21，則該數列的通項公式an＝________．　
4n-1　[由題意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通項公式an＝4n-1．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)等比數列的概念中，應從哪幾個方面理解？
[提示]　①從第2項起，②后項與前項的比，③同一個常數．
(2)任何兩個實數都有等比中項嗎？
[提示]　不是，只有同號的兩個實數才有等比中項且它們互為相反數．
(3)如何判斷一個數列為等比數列？
[提示]　
定義法 ＝q(q為常數且不為零，n∈N*) {an}為等比數列
中項公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}為等比數列
通項公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}為等比數列第2課時　等比數列的性質及應用
學習任務 1．能根據等比數列的定義推出等比數列的常用性質，理解等比數列與項有關的性質．(數學運算) 2．能靈活運用等比數列的性質簡化運算，解決簡單的數列問題．(數學運算、邏輯推理)
在等差數列{an}中，存在很多的性質，如
(1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap．
(3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差數列，則也成等差數列．
那么如果該數列為等比數列，能否求出等比數列的相類似的性質呢？
知識點1　推廣的等比數列的通項公式
{an}是等比數列，首項為a1，公比為q，則an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
知識點2　“子數列”性質
對于無窮等比數列{an}，若將其前k項去掉，剩余各項仍為等比數列，首項為ak＋1，公比為q；若取出所有的k的倍數項，組成的數列仍為等比數列，首項為ak，公比為qk．
知識點3　等比數列項的運算性質
在等比數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq．
(1)特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am·an＝．
(2)對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
將公比為q的等比數列{an}依次取相鄰兩項的乘積組成新的數列a1a2，a2a3，a3a4，…，則此數列是等比數列嗎？其公比是什么？
[提示]　由于＝·＝q2，n≥2且n∈N*，所以{anan＋1}是以q2為公比的等比數列．
1．對任意等比數列{an}，下列說法一定正確的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比數列
B．a2，a3，a6成等比數列
C．a2，a4，a8成等比數列
D．a3，a6，a9成等比數列
D　[D中，3，6，9為連續3的倍數，所以a3，a6，a9成等比數列．]
2．在等比數列{an}中，a3＝8，a6＝64，則公比q是________．
2　[由a6＝a3q3得q3＝＝8，
∴q＝2．]
3．在等比數列{an}中，已知a7·a12＝5，則a8·a9·a10·a11＝________．
25　[在等比數列{an}中，7＋12＝8＋11＝
＝a8a11＝a9a10．
∴原式＝(a7a12)2＝25．]
類型1　靈活設項求解等比數列
【例1】　有四個數，前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，第一個數與第四個數的和為21，中間兩個數的和為18，求這四個數．
[解]　法一：設前三個數分別為，a，aq(q≠0)，則第四個數為2aq－a．
由題意得，解得q＝2或q＝．
當q＝2時，a＝6，這四個數為3，6，12，18；
當q＝時，a＝，這四個數為，，，．
法二：設后三個數分別為a－d，a，a＋d，則第一個數為，因此這四個數為，a－d，a，a＋d．
由題意得
解得或
故這四個數為3，6，12，18或，，，．
法三：設第一個數為a，則第四個數為21－a，
設第二個數為b，則第三個數為18－b，
則這四個數為a，b，18－b，21－a，
由題意得
解得或
故這四個數為3，6，12，18或，，，．
　巧設等差數列、等比數列的方法
(1)若三數成等差數列，常設成a－d，a，a＋d．若三數成等比數列，常設成，a，aq或a，aq，aq2．
(2)若四個數成等比數列，可設為，a，aq，aq2．若四個正數成等比數列，可設為，，aq，aq3．
[跟進訓練]
1．有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數．
[解]　法一：設前三個數依次為a－d，a，a＋d，則第四個數為，由條件得
解得或所以當a＝4，d＝4時，所求四個數為0，4，8，16；當a＝9，d＝－6時，所求四個數為15，9，3，1．
法二：設第一個數為a，則第四個數為16－a，
設第二個數為b，則第三個數為12－b，
∴這四個數為a，b，12－b，16－a，
由題意得
解得或
故所求四個數為0，4，8，16或15，9，3，1．
類型2　等比數列的性質及應用
【例2】　已知{an}為等比數列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[思路引導]　利用等比數列的性質，整體代換求解．
[解]　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．
(2)根據等比數列的性質，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．
[母題探究]
1．在例2(1)中，添加條件a1a7＝4，其他條件不變，求an．
[解]　由等比數列的性質得a3a5＝a1a7＝4，又由例2(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，則q＝2，an＝2n-3；若a3＝4，a5＝1，則q＝，an＝25-n．
2．把例2(2)的條件改為“公比q為3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解]　∵a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，∴a1a2a3…a10＝1，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0．
　應用等比數列性質的解題策略
(1)等比數列的性質是等比數列的定義、通項公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等比數列問題．
(2)應用等比數列的性質解題的關鍵是發現問題中涉及的數列各項的下標之間的關系，充分利用①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，則aman＝進行求解．
[跟進訓練]
2．(源于人教B版教材)在4與之間插入3個數，使這5個數成等比數列，求插入的3個數．
[解]　法一：依題意，a1＝4，a5＝，由等比數列的通項公式，得＝4×q4，解得q＝±．
當q＝時，插入的3個數分別為4×＝2，2×＝1，1×＝；
當q＝－時，插入的3個數分別為4×＝－2，(－2)×＝1，1×＝－．
因此，插入的3個數分別為2，1，或－2，1，－．
法二：因為等比數列共有5項，即a1，a2，a3，a4，a5，
又因為2×3＝1＋5，所以＝a1a5＝4×＝1，
即a3＝±1．又因為a3要與a1同號，因此a3＝1．
類似地，有＝＝a3a5，而且a2與a4同號．因此當a2＝＝＝2時，a4＝＝＝；
當a2＝－＝－＝－2時，
a4＝－＝－＝－．
因此，插入的3個數分別為2，1，或－2，1，－．
類型3　等比數列的實際應用
【例3】　(1)光圈是一個用來控制光線透過鏡頭，進入機身內感光面的光量的裝置．表達光圈的大小我們可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，……，F 64．光圈的F 值越小，表示在同一單位時間內進光量越多，而且上一級的進光量是下一級的2倍，如光圈從F 8調整到F 5.6，進光量是原來的2倍．若光圈從F 4調整到F 1.4，則單位時間內的進光量為原來的(　　)
A．2倍　 　B．4倍　　 C．8倍　 　D．16倍
(2)洗衣服時，小蘭說“入水三分凈”，即換水洗一次能去污30%．問：要使污漬不高于原來的30%，至少要換水洗多少次？(　　)
A．1 B．3
C．4 D．5
(1)C　(2)C　[(1)由題可得單位時間內的進光量形成公比為的等比數列{an}，則F 4對應單位時間內的進光量為a5，F 1.4對應單位時間內的進光量為a2，從F 4調整到F 1.4，則單位時間內的進光量為原來的＝8倍．
(2)洗衣服時，換水洗一次能去污30%，要使污漬不高于原來的30%，設至少要換水洗n次，則a(1－30%)n≥a×30%，∴n≥4，
∴要使污漬不高于原來的30%，至少要換水洗4次，故選C．]
　等比數列實際應用
等比數列實際應用題常與現實生活和生產實際中的具體事件相聯系，建立數學模型是解決這類問題的核心，常用的方法有：①構造等比數列的模型，然后用數列的通項公式求解；②通過歸納得到結論，再用數列知識求解．
[跟進訓練]
3．(1)某工廠2019年年底制訂生產計劃，要使工廠的總產值到2027年年底在原有基礎上翻兩番，則總產值年平均增長率為(　　)
A．－1 B．－1
C．－1 D．－1
(2)一個蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飛出去找回了5個伙伴；第二天，6只蜜蜂飛出去，各自找回了5個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續下去，第六天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中蜜蜂的只數為(　　)
A．55 989　 B．46 656
C．216 D．36
(1)A　(2)B　[(1)設2019年年底總產值為a，年平均增長率為x，則a(1＋x)8＝4a，得x＝－1，故選A．
(2)設第n天蜂巢中的蜜蜂數量為an，根據題意得數列{an}成等比數列，它的首項為6，公比q＝6，所以{an}的通項公式：an＝6×6n-1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂．]
1．在等比數列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3＝(　　)
A．4　　　　　 B．
C． D．2
A　[根據等比數列的性質，a3，a6，a9成等比數列．
∴9a3＝62．∴a3＝4．故選A．]
2．已知各項均為正數的等比數列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝(　　)
A．5 B．7
C．6 D．4
A　[由等比數列的性質知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數列，所以a4a5a6＝5，故選A．]
3．在流行病學中，基本傳染數R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數．初始感染者傳染R0個人，為第一輪傳染，這R0個人中每人再傳染R0個人，為第二輪傳染，……．R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設某傳染病的基本傳染數R0＝3.8，平均感染周期為7天，設某一輪新增加的感染人數為M，則當M>1 000時需要的天數至少為(參考數據：lg 38≈1.58)(　　)
A．34 B．35
C．36 D．37
D　[設第n輪感染人數為an，則數列{an}為等比數列，其中a1＝3.8，公比為R0＝3.8，所以an＝3.8n>1 000，
解得n>log3.81 000＝＝≈≈5.17，而每輪感染周期為7天，所以需要的天數為5.17×7＝36.19，即需要的天數至少為37天．]
4．在和8之間插入3個數，使它們與這兩個數依次構成等比數列，則這3個數的積為________．　
8　[設插入的3個數依次為a，b，c，即，a，b，c，8成等比數列，由等比數列的性質可得b2＝ac＝×8＝4，因為a2＝b>0，所以b＝2(舍負)．所以這3個數的積為abc＝4×2＝8．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)在等比數列{an}中，如何巧設數列中的項？
[提示]　三個數成等比數列時，可設三數為，a，aq；四個數成等比數列時只要公比大于零，可設為，，aq，aq3．
(2)在等比數列中，常用到的性質有哪些？
[提示]　①若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq；
②若m＋n＝2p，則aman＝．
(3)解決等比數列的實際應用問題有哪些注意事項？
[提示]　要注意：①認真審題，弄清題意，將實際問題轉化為適當的數學模型；②合理設出未知數，建立等比數列模型，依據其性質或方程思想求出未知元素；③針對所求結果作出合理解釋．4.3.2　等比數列的前n項和公式
第1課時　等比數列的前n項和公式
學習 任務 1．掌握等比數列的前n項和公式及其應用．(數學運算) 2．會用錯位相減法求數列的和．(數學運算、邏輯推理) 3．能運用等比數列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題．(數學運算、數學建模)
如今手機越來越普遍，用手機發送信息傳達情誼也成為年輕人的時尚．一條溫馨的信息會帶給我們無窮的溫暖．一條信息，一種關懷，設想一人收到某信息后用10分鐘將它傳給兩個人，這兩個人又用10分鐘將此信息各傳給未知此信息的另外兩個人，如此繼續下去，一天時間這種關懷可傳達給多少人？
知識點1　等比數列的前n項和公式
如何選擇使用兩個求和公式？
[提示]　已知首項a1和公比q(q≠1)，項數n，可以使用Sn＝，已知首尾兩項a1，an和q(q≠1)，可以使用Sn＝．
當q≠1，Sn＝＝－·qn，所以Sn＝A－A·qn的結構形式．
知識點2　錯位相減法
(1)推導等比數列前n項和的方法叫錯位相減法．
(2)該方法一般適用于求一個等差數列與一個等比數列對應項積的前n項和，即若{bn}是公差d≠0的等差數列，{cn}是公比q≠1的等比數列，求數列{bn·cn}的前n項和Sn時，可以用這種方法．
錯位相減法求和適用于an＝(kn＋b)·qn結構形式．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)只有等比數列才能用錯位相減法求前n項和． (　　)
(2)求數列{n·3n}的前n項和可用錯位相減法． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
2．若等比數列{an}中，a1＝1，S3＝3，則公比q＝________．
1或－2　[若q＝1時，S3＝3a1＝3符合．
若q≠1時，S3＝1＋q＋q2＝3．
解得q＝－2．
故公比q的值為1或－2．]
類型1　等比數列基本量的運算
【例1】　在等比數列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．
[解]　(1)由題意知
解得或
從而Sn＝×5n+1－或Sn＝．
(2)法一：由題意知
解得從而S5＝＝．
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，從而q＝．
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，從而S5＝＝．
(3)因為a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩根．
從而或
又Sn＝＝126，所以q為2或．
　(1)“知三求二”：在等比數列 {an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個量，通過列方程組，就能求出另外兩個量，這是方程思想與整體思想在數列中的具體應用．
(2)“值得注意”：在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．
[跟進訓練]
1．(1)在正項等比數列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，則n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(2022·全國乙卷)已知等比數列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6＝(　　)
A．14 B．12
C．6 D．3
(1)C　(2)D　[(1)由題意知q4＝＝16，
則q＝2，a1＝2，
∴510＝，
解得n＝8．
故選C．
(2)設等比數列的公比為q，q≠0，
若q＝1，則a2－a5＝0，與題意矛盾，
所以q≠1，
則 ，解得
所以a6＝a1q5＝3．
故選D．]
類型2　錯位相減法
【例2】　設是等差數列，是等比數列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．
(1)求和的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
[思路引導]　(1)可用基本運算，解方程組的方法求出通項公式；
(2)該數列的通項公式是由一個等差數列和一個等比數列的各項相乘得到的數列，所以采用錯位相減法求和．
[解]　(1)設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，則q>0．
由題意，得解得
故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n-1＝2n．
(2)令cn＝anbn＝n·2n，
所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n-2＋(n－1)×2n-1＋n·2n，
2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n-1＋(n－1)×2n＋n·2n+1，
兩式相減得：
－Sn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n-1＋2n－n·2n+1
＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，
所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2．
[母題探究]
1．(變條件)把本例(2)中“”改為“”，求該數列前n項和Sn′．
[解]　令cn＝＝＝，
∴Sn′＝＋＋＋…＋， ①
∴Sn′＝＋＋…＋＋， ②
∴①－②得：Sn′＝－＝－＝1－－，
∴Sn′＝2－－．
2．(變條件)把本例(2)中“”改為“”，求該數列的前n項和Tn．
[解]　∵bn＝2n，∴前n項和為Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)×．
∴Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，
兩式相減得
Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋×－(2n－1)×＝－－，
所以Tn＝3－－＝3－．
　錯位相減法的適用條件及注意事項
(1)適用條件：若數列{an}為等差數列，數列{bn}為等比數列，由這兩個數列的對應項乘積組成的新數列為{anbn}，當求該數列的前n項和時，常常采用將{anbn}的各項乘公比q，并向后錯位一項與{anbn}的同次項對應相減，即可轉化為特殊數列的求和，這種數列求和的方法稱為錯位相減法．
(2)注意事項：若公比為字母，則需對其進行分類討論．
[跟進訓練]
2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
[解]　當x＝1時，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
當x≠1時，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1＝－nxn+1，
∴Sn＝－．
綜上可得，Sn＝
類型3　等比數列前n項和公式的實際應用
【例3】　(1)明代數學家吳敬所著的《九章算術比類大全》中，有一道數學命題叫“寶塔裝燈”，內容為：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”(“倍加增”指燈的數量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數列遞增)，根據此詩，可以得出塔的頂層有(　　)
A．3盞燈 B．192盞燈
C．195盞燈 D．200盞燈
(2)如圖，畫一個邊長為2的正三角形，再將這個正三角形各邊的中點相連得到第二個正三角形，依此類推，一共畫了5個正三角形．那么這五個正三角形的面積之和等于(　　)
A．2 B．
C． D．
(1)A　(2)D　[(1)設每層燈的盞數為等比數列{an}，首項a1為頂層燈的盞數，公比q＝2，所以S7＝＝a1(27－1)＝381，解得a1＝3，即頂層有3盞燈．
(2)此五個正三角形的邊長an形成等比數列：2，1，，，．
所以這五個正三角形的面積之和＝×＝×＝．]
　解數列應用題的具體方法步驟
(1)認真審題，準確理解題意．
(2)抓住數量關系，聯想數學知識和數學方法，恰當引入參數變量，將文字語言翻譯成數學語言，將數量關系用數學式子表達．
(3)將實際問題抽象為數學問題，將已知與所求聯系起來，列出滿足題意的數學關系式．
[跟進訓練]
3．(源于人教B版教材)某工廠去年1月份的產值為a元，且月平均增長率為p(p>0)，求這個工廠去年全年產值的總和．
[解]　設該工廠去年第n個月的產值為bn元，由題意可知b1＝a，且＝p，即＝1＋p．
因此{bn}是以a為首項，1＋p為公比的等比數列，這個數列共有12項，且bn＝a(1＋p)n-1，
從而這個數列所有項的和為S12＝＝．
因此可知該工廠去年全年的總產值為元．
1．已知等比數列{an}的首項a1＝3，公比q＝2，則S5等于(　　)
A．93　　　　　 B．－93
C．45 D．－45
A　[S5＝＝＝93．]
2．在等比數列{an}中，其前n項和為Sn，a1＝5，S5＝55，則公比q等于(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－2或4
C　[∵a1＝5，S5＝55≠5×5，∴S5＝＝55，
∴1－q5＝11(1－q)，解得q＝－2．]
3．若數列{an}的通項公式為an＝n＋1，數列{bn}滿足bn＝，Tn是數列{anbn}的前n項和，則Tn＝________．
n·2n+2　[因為an＝n＋1，bn＝＝2n+1，
從而anbn＝(n＋1)·2n+1，
Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)·2n+1，①
2Tn＝2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)·2n+2，②
①－②得－Tn＝8＋23＋24＋…＋2n+1－(n＋1)·2n+2
＝8＋－(n＋1)·2n+2＝－n·2n+2，
所以Tn＝n·2n+2．]
4．一個熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%． 這個熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？________(填“能”或“不能”)
不能　[用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，
由題意，得an＋1＝an，
因此，數列{an}是首項a1＝25，公比q＝的等比數列．
熱氣球在前n分鐘內上升的總高度為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125．
故這個熱氣球上升的高度不可能超過125 m．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)如何使用等比數列前n項和公式求和？
[提示]　①等比數列{an}前n項和公式分q＝1與q≠1兩種情況，因此當公比未知時，要對公比進行分類討論．
②q≠1時，公式Sn＝與Sn＝是等價的，利用an＝a1qn-1可以實現它們之間的相互轉化．
當已知a1，q與n時，用Sn＝較方便；
當已知a1，q與an時，用Sn＝較方便．
(2)等比數列前n項和公式是如何推導的？
[提示]　一般地，等比數列{an}的前n項和可寫為：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1， ①
用公比q乘①的兩邊，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1)．
(3)錯位相減法的適用情形及注意事項分別是什么？
[提示]　①適用范圍：它主要適用于{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{anbn}的前n項和．
②注意事項：
(i)利用“錯位相減法”時，在寫出Sn與qSn的表達式時，應注意使兩式錯對齊，以便于作差，正確寫出(1－q)Sn的表達式．
(ii)利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況．
棋盤上的麥粒
國際象棋的棋盤由64個格子組成，如圖所示．據說某國王為了獎賞發明者，讓發明者提一個要求．發明者說：我想在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上22顆麥粒，在第4個格子里放上23顆麥粒……每個格子放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子，請國王給我足夠的麥子．國王覺得這個要求并不過分，欣然同意．假設每1 000粒麥子的質量為40 g，猜想一下，國王有能力滿足發明者的要求嗎？
根據等比數列前n項求和公式可知，發明者所要求的麥粒數為1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1．從而可知，發明者要求的麥子質量為×40 g≈7.38×1014 kg．也就是說，發明者要求的麥子質量約為7.38×1011噸，即7 380億噸．2016年，我國大宗糧油作物(包括小麥、水稻)產量約為5.4億噸，全球大宗糧油作物總產量約為27.8億噸．那位國王能滿足發明者的要求嗎？第2課時　等比數列前n項和的性質及應用
學習任務 1．掌握等比數列前n項和的性質的應用．(數學運算) 2．掌握等差數列與等比數列的綜合應用．(數學運算)
遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增．
共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？
解說：這是明朝著名數學家吳敬在《九章算法比類大全》中編寫的一道著名詩題．文字優美，讀來瑯瑯上口，算來頗具趣味，題目的意思是有一座高大雄偉的寶塔，共有七層．每層都掛著紅紅的大燈籠，各層的盞數雖然不知道是多少，但知道從上到下的第二層開始，每層盞數都是上一層盞數的2倍，并知道總共有燈381盞．
問：這個寶塔最上面一層有多少盞燈？
知識點　等比數列前n項和的性質
(1)性質一：若Sn表示數列{an}的前n項和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠1)，則數列{an}是等比數列．
(2)性質二：若數列{an}是公比為q的等比數列，則①在等比數列中，若項數為2n(n∈N*)，則＝q．
②在等比數列中，若項數為2n＋1(n∈N*)，則＝q．
③當q≠－1時，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數列，公比是qm．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)等比數列{an}的前n項和Sn不可能等于2n． (　　)
(2)若等比數列{an}的前n項和為Sn＝3n＋k，則k＝－1． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√
2．已知等比數列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于(　　)
A．50　　　　　 B．70
C．80 D．90
B　[因為等長連續片段的和依然是等比數列，因此可知S3，S6－S3，S9－S6成等比數列，解得前9項的和為70，故選B．]
類型1　等比數列前n項和公式的函數特征應用
【例1】　數列{an}的前n項和Sn＝3n－2．求{an}的通項公式，并判斷{an}是不是等比數列．
[解]　法一：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝．
當n＝1時，a1＝S1＝31－2＝1不適合上式．
∴an＝
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，顯然a1，a2，a3不是等比數列，即{an}不是等比數列．
法二：由等比數列{bn}的公比q≠1時的前n項和Sn＝A·qn＋B滿足的條件為A＝－B，對比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比數列．
　(1)已知Sn，通過an＝求通項an，應特別注意n≥2時，an＝Sn－Sn－1．
(2)若數列{an}的前n項和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，則{an}是等比數列．
[跟進訓練]
1．若{an}是等比數列，且前n項和為Sn＝3n-1＋t，則t＝________．
－　[顯然q≠1，此時應有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝×3n＋t，∴t＝－．]
類型2　等比數列前n項和性質的應用
【例2】　(1)等比數列{an}的前n項和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為(　　)
A．28　　　B．32　　　C．21　　　D．28或－21
(2)等比數列{an}中，公比q＝3，S80＝32，則a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．
[思路引導]　(1)發現S2，S4，S6之間的關系，可以直接求出S4；也可以試著用公式，直接解決；
(2)嘗試用＝q，S奇＋S偶＝S2n求解．
(1)A　(2)24　[(1)法一：∵{an}為等比數列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數列，
即7，S4－7，91－S4成等比數列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21．
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28．
法二：由條件可以看出q≠1，∴S2＝，S4＝，S6＝，∴＝1＋q2＋q4．又S6＝91，S2＝7，
∴q4＋q2－12＝0，即q2＝3．又＝1＋q2．
∴S4＝S2(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28．
(2)設S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79．則＝q＝3，即S1＝3S2．
又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24．
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24．]
[母題探究]
1．(變條件，變結論)將例題(1)中的條件“S2＝7，S6＝91”改為“正數等比數列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．
[解]　法一：設S2n＝x，S4n＝y，則2，x－2，14－x，y－14成等比數列，
所以
所以或(舍去)，所以S4n＝30．
法二：∵Sn＝2，S3n＝14．∴q≠1．
∴Sn＝，S3n＝＝，
∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2，
又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)．
∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30．
2．(變條件，變結論)將例題(1)中條件“S2＝7，S6＝91”改為“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[解]　法一：∵S99＝＝56，q＝2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32．
法二：設b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，
b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，
b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，
則b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，
∴b1(1＋q＋q2)＝56．
∴b1＝＝8，
∴b3＝b1q2＝8×22＝32．
即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32．
　等比數列的性質及應用技巧
(1)若數列{an}為非常數列的等比數列，且其前n項和為Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，則必有A＋B＝0；反之，若某一非常數列的前n項和為Sn＝－A(A≠0，q≠0，q≠1)，則該數列必為等比數列．
(2)若等比數列{an}的前n項和為Sn，則(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．特別地，如果公比q≠－1或雖q＝－1但n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數列．
(3)當等比數列{an}的項數為偶數時，偶數項的和與奇數項的和之比等于公比q，即＝q．
[跟進訓練]
2．(1)已知等比數列{an}共有32項，其公比q＝3，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列{an}的所有項之和是(　　)
A．30 B．60
C．90 D．120
(2)(源于人教B版教材)如果一個等比數列前5項的和等于10，前10項的和等于50，那么這個數列前15項的和等于多少？
(1)D　[設等比數列{an}的奇數項之和為S1，偶數項之和為S2，則S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，
S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1，
又S1＋60＝S2，則S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，
故數列{an}的所有項之和是30＋90＝120．故選D．]
(2)[解]　因為S5＝10，S10＝50，
所以S10－S5＝40，
S15－S10＝S15－50，又S5，S10－S5，S15－S10成等比數列，
所以402＝10(S15－50)，
所以S15＝210．
類型3　等差數列與等比數列的綜合應用
【例3】　已知Sn是無窮等比數列{an}的前n項和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中項，6是2S2和3S3的等比中項．
(1)求S2和S3；
(2)求數列{an}的前n項和；
(3)求數列{Sn}的前n項和．
[思路引導]　先利用等差中項與等比中項求出S2與S3，進而求出a1與公比q，再寫出Sn，根據Sn的特點求{Sn}的前n項和．
[解]　(1)根據已知條件
整理得解得
(2)因為q≠1，所以
解得
所以Sn＝＝－．
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn
＝n－·
＝n＋．
　與等差、等比數列有關的綜合問題，其解題過程應注意以下方法與技巧：
(1)轉化思想：將非等差、等比數列轉化構造成等差、等比數列，以便于利用其公式和性質解題．
(2)等差(比)數列公式和性質的靈活應用．
(3)當題中有多個數列出現時，既要研究單一數列項與項之間的關系，又要關注各數列之間的相互聯系．
[跟進訓練]
3．已知等差數列{an}和各項均為正數的等比數列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b3＝a5．
(1)求{an}，{bn}的通項公式；
(2)求數列{bn}的前n項和．
[解]　(1)設等差數列{an}公差為d，等比數列{bn}公比為q，q>0，
因為a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b3＝a5，
所以1＋d＋1＋3d＝10，q2＝1＋4d，∴d＝2，q＝3．
因此an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝1×3n-1＝3n-1．
(2)數列{bn}的前n項和Sn＝＝(3n－1)．
1．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝(　　)
A．3∶4　　B．2∶3　　C．1∶2　　D．1∶3
A　[在等比數列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A．]
2．已知等比數列{an}，an＝2×3n-1，則由此數列的偶數項所組成的新數列的前n項和為(　　)
A．3n-1 B．3n
C．(9n－1) D．(9n－1)
D　[這里a2＝6，即新數列的首項為6，公比為9．∴新數列的前n項和為Tn＝＝(9n－1)．故選D．]
3．記等差數列{an}的前n項和為Sn，{bn}為等比數列，已知S5＝10，且b10＝a2＋a4，則b5b15＝________．
16　[設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，由S5＝10，且b10＝a2＋a4，
可得5a1＋10d＝10，b10＝2a1＋4d，
即有b10＝4，b5b15＝＝16．]
4．設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S4＝2，S8＝6，則a17＋a18＋a19＋a20的值為________．　
32　[由等比數列前n項和的性質，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比數列．
由題意可知上面數列的首項為S4＝2，公比為＝2，
故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
(1)等比數列的前n項和有哪些重要性質？
[提示]　①若等比數列前n項和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)．
②若項數為2n，則＝q(S奇≠0)；
若項數為2n＋1，則＝q(S偶≠0)．
③等比數列前n項和為Sn(且Sn≠0)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn(q≠－1)．
(2)應用等比數列前n項和時常見的誤區有哪些？
[提示]　①等比數列前n項和公式中項數的判斷易出錯．
②前n項和公式的應用中，注意前n項和公式要分類討論，即當q≠1和q＝1時是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況．

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