資源簡介

4.4*　數(shù)學(xué)歸納法
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．借助教材實例了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．(邏輯推理) 3．能歸納猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)
我們中國過去有個習(xí)俗，子女從父親的姓氏，如父親姓王，其子女都姓王．假設(shè)我們知道一個男子姓王，假設(shè)他每一代后代都有男子，而且嚴(yán)格按照我國過去的習(xí)俗，那么他的兒子姓什么？孫子呢？玄孫呢？……如果他有32代孫，你能確定他的32代孫的姓嗎？如果他有無限代孫呢？
為了保證各代孫輩都姓王，必須嚴(yán)格按照中國過去的習(xí)俗，否則無法遞推下去，也就是說要保證第n代孫姓王能推出第n＋1代孫也姓王，當(dāng)然還要求第1個人必須姓王了．
思考：通過這個例子，我們能得到什么啟示呢？
知識點1　數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)歸納奠基：證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)歸納遞推：以“當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．
數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1
[提示]　不一定．如證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，第一個值n0＝3．
知識點2　數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時可以只證明歸納遞推即可． (　　)
(2)數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步驗證n＝3． (　　)
(3)設(shè)Sk＝＋＋＋…＋，則Sk＋1＝＋＋＋…＋．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
[提示]　(1)數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟缺一不可．
(3)中，Sk＋1＝＋＋…＋＋＋．
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，第一步應(yīng)驗證不等式(　　)
A．1＋<2　 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
B　[由題知，當(dāng)n＝2時，不等式為1＋＋<2，故選B．]
類型1　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
【例1】　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[證明]　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝2×(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3．
則當(dāng)n＝k＋1時，
1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k
＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，
即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立．
　用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時應(yīng)關(guān)注的三點
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；
(2)弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；
(3)證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源于人教B版教材)用數(shù)學(xué)歸納法證明，對任意的正整數(shù)n，都有12＋22＋32＋…＋n2＝．
[證明]　(1)當(dāng)n＝1時，
左邊＝12＝1，右邊＝＝1，
所以此時等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1)時，等式成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝．
則12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝，
所以，此時n＝k＋1也成立．
根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何正整數(shù)都成立．
類型2　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
【例2】　用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
[思路引導(dǎo)]　按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應(yīng)用放縮技巧，使問題簡單化．
[證明]　(1)當(dāng)n＝1時，
≤1＋≤，命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，命題成立，
即1＋≤ 1＋ ＋ ＋… ＋≤ ＋k，
則當(dāng)n＝k＋1時，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋>1＋ ＋2k· ＝1＋ ．
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋< ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立．
由(1)和(2)可知，命題對所有的n∈N*都成立．
　1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵點
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求證f (k＋1)＞g(k＋1)時應(yīng)注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：
(1)先湊假設(shè)，作等價變換；
(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時的遞推目標(biāo)，有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論．
2．常用的幾點放縮技巧
(1)＜n＜；
(2)＜＜(n∈N*，n＞1)；
(3)＞＝2()；
(4)＜＝2()(k∈N*，k＞1)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．試用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
[證明]　(1)當(dāng)n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N*)時命題成立，
即1＋＋＋…＋<2－．
則當(dāng)n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命題成立．
由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2時均成立．
類型3　用數(shù)學(xué)歸納法證明一些數(shù)學(xué)命題
【例3】　證明：當(dāng)n∈N*時，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
[證明]　(1)當(dāng)n＝1時，f (1)＝34－8－9＝64能被64整除．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，f (k)＝32k+2－8k－9能被64整除，
則當(dāng)n＝k＋1時，f (k＋1)＝32(k+1)+2－8(k＋1)－9＝9×32k+2－8k－17＝9×(32k+2－8k－9)＋64k＋64．
故f (k＋1)也能被64整除．
綜合(1)(2)，知當(dāng)n∈N*時，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是證明當(dāng)n＝k＋1時，代數(shù)式可被除數(shù)整除，一般利用構(gòu)造法，構(gòu)造出含有除數(shù)及n＝k時的代數(shù)式，根據(jù)歸納假設(shè)即可證明．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求證：n棱柱中過側(cè)棱的對角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側(cè)棱的截面)的個數(shù)是f (n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*．
[證明]　(1)當(dāng)n＝4時，四棱柱有2個對角面，
此時f (4)＝×4×(4－3)＝2，命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N*)時，命題成立．
即k棱柱中過側(cè)棱的對角面有f (k)＝k(k－3)個．
現(xiàn)在考慮n＝k＋1時的情形．
對于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1與其余和它不相鄰的(k－2)條棱共增加了(k－2)個對角面，而面A1B1BkAk變成了對角面．因此對角面的個數(shù)為f (k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f (k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立．
由(1)和(2)，可知原結(jié)論成立．
類型4　歸納—猜想—證明
【例4】　已知數(shù)列，，，…，的前n項和為Sn，計算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
[解]　S1＝＝ ；
S2＝ ＋＝ ；
S3＝ ＋ ＝ ；
S4＝ ＋＝ ．
可以看出，上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為3n＋1．
于是可以猜想Sn＝ ．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．
(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝S1＝ ，
右邊＝ ＝ ＝ ，
猜想成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時猜想成立，即
＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ，
則當(dāng)n＝k＋1時，
＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，
所以，當(dāng)n＝k＋1時猜想也成立．
根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對任意n∈N*都成立．
　1．“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)
2．“歸納—猜想—證明”的主要題型
(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和．
(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在．
(3)給出一些簡單的命題(n＝1，2，3，…)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想數(shù)列{an}的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
[解]　當(dāng)n＝2時，
S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；
當(dāng)n＝3時，
S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；
當(dāng)n＝4時，
S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9．
猜想an＝2n＋1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n＝1時，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；
假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，猜想成立，
即ak＝2k＋1，Sk＝＝k2＋2k，
則當(dāng)n＝k＋1時，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，
∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk，
ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1，
所以猜想成立．
綜上所述，對于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立．
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明n3>3n2＋3n＋1這一不等式時，應(yīng)注意n必須為(　　)
A．n∈N*　　　　 B．n∈N*，n≥2
C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4
D　[當(dāng)n＝1，n＝2，n＝3時，顯然不等式不成立，
當(dāng)n＝4時，64>61不等式成立，
故用數(shù)學(xué)歸納法證明n3>3n2＋3n＋1這一不等式時，應(yīng)注意n必須為n≥4，n∈N*，故選D．]
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1成立時，左邊計算所得的項是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C　[當(dāng)n＝1時，左邊＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正確．]
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假設(shè)n＝k(k∈N*)時命題成立之后，需證明n＝k＋1時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(　　)能被9整除(　　)
A．3·7k＋6 B．3·7k+1＋6
C．3·7k－3 D．3·7k+1－3
B　[假設(shè)n＝k時命題成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么當(dāng)n＝k＋1時，[3(k＋1)＋1]·7k+1－1－[(3k＋1)·7k－1]＝(3k＋4)·7k+1－(3k＋1)·7k＝[(3k＋1)＋3]·7k+1－(3k＋1)·7k＝(3k＋1)·7k+1＋3·7k+1－(3k＋1)·7k＝6·(3k＋1)·7k＋3·7k+1＝6·[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k+1＋6．由(3k＋1)·7k－1能被9整除可知要證上式能被9整除，還需證明3·7k+1＋6也能被9整除，故選B．]
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋＞－．假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________．　
＋＋…＋＞－　[從不等式結(jié)構(gòu)看，左邊n＝k＋1時，最后一項為，前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù)，右邊n＝k＋1時，式子為－，即不等式為＋＋…＋＞－．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
(1)數(shù)學(xué)歸納法步驟可概括為“三個成立，一個結(jié)”是什么意思？
[提示]　“三個成立”是指：①n＝n0時驗證命題成立，②n＝k，k≥n0時假設(shè)命題成立；③n＝k＋1時，應(yīng)用歸納假設(shè)證明命題成立．
“一個結(jié)”就是結(jié)論：斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
(2)你認(rèn)為在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意哪幾點？
[提示]　①驗證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定為1；
②遞推是關(guān)鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時，式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障；
③利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明．
(3)與自然數(shù)n有關(guān)的命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明嗎？數(shù)學(xué)歸納法一般用來證明哪幾種類型？
[提示]　數(shù)學(xué)歸納法證明的命題都是與自然數(shù)n有關(guān)的命題，但與自然數(shù)n有關(guān)的命題不一定都用數(shù)學(xué)歸納法來證明．
數(shù)學(xué)歸納法證明的命題類型一般有：等式問題、不等式問題、整除問題，幾何命題和“歸納—猜想—證明”等類型．4.4*　數(shù)學(xué)歸納法
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．借助教材實例了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．(邏輯推理) 3．能歸納猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)
我們中國過去有個習(xí)俗，子女從父親的姓氏，如父親姓王，其子女都姓王．假設(shè)我們知道一個男子姓王，假設(shè)他每一代后代都有男子，而且嚴(yán)格按照我國過去的習(xí)俗，那么他的兒子姓什么？孫子呢？玄孫呢？……如果他有32代孫，你能確定他的32代孫的姓嗎？如果他有無限代孫呢？
為了保證各代孫輩都姓王，必須嚴(yán)格按照中國過去的習(xí)俗，否則無法遞推下去，也就是說要保證第n代孫姓王能推出第n＋1代孫也姓王，當(dāng)然還要求第1個人必須姓王了．
思考：通過這個例子，我們能得到什么啟示呢？
知識點1　數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)歸納奠基：證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)歸納遞推：以“當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)__________時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．
數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時可以只證明歸納遞推即可． (　　)
(2)數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步驗證n＝3． (　　)
(3)設(shè)Sk＝＋＋＋…＋，則Sk＋1＝＋＋＋…＋．(　　)
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，第一步應(yīng)驗證不等式(　　)
A．1＋<2　 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
類型1　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
【例1】　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時應(yīng)關(guān)注的三點
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；
(2)弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；
(3)證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源于人教B版教材)用數(shù)學(xué)歸納法證明，對任意的正整數(shù)n，都有12＋22＋32＋…＋n2＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
【例2】　用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
[思路引導(dǎo)]　按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應(yīng)用放縮技巧，使問題簡單化．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵點
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求證f (k＋1)＞g(k＋1)時應(yīng)注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：
(1)先湊假設(shè)，作等價變換；
(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時的遞推目標(biāo)，有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論．
2．常用的幾點放縮技巧
(1)＜n＜；
(2)＜＜(n∈N*，n＞1)；
(3)＞＝2()；
(4)＜＝2()(k∈N*，k＞1)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．試用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　用數(shù)學(xué)歸納法證明一些數(shù)學(xué)命題
【例3】　證明：當(dāng)n∈N*時，f (n)＝32n+2－8n－9能被64整除．
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　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是證明當(dāng)n＝k＋1時，代數(shù)式可被除數(shù)整除，一般利用構(gòu)造法，構(gòu)造出含有除數(shù)及n＝k時的代數(shù)式，根據(jù)歸納假設(shè)即可證明．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求證：n棱柱中過側(cè)棱的對角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側(cè)棱的截面)的個數(shù)是f (n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型4　歸納—猜想—證明
【例4】　已知數(shù)列，，，…，的前n項和為Sn，計算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
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　1．“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)
2．“歸納—猜想—證明”的主要題型
(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和．
(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在．
(3)給出一些簡單的命題(n＝1，2，3，…)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想數(shù)列{an}的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明n3>3n2＋3n＋1這一不等式時，應(yīng)注意n必須為(　　)
A．n∈N*　　　　 B．n∈N*，n≥2
C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1成立時，左邊計算所得的項是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假設(shè)n＝k(k∈N*)時命題成立之后，需證明n＝k＋1時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(　　)能被9整除(　　)
A．3·7k＋6 B．3·7k+1＋6
C．3·7k－3 D．3·7k+1－3
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋＞－．假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________．　
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
(1)數(shù)學(xué)歸納法步驟可概括為“三個成立，一個結(jié)”是什么意思？
(2)你認(rèn)為在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意哪幾點？
(3)與自然數(shù)n有關(guān)的命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明嗎？數(shù)學(xué)歸納法一般用來證明哪幾種類型？

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