資源簡(jiǎn)介

　斐波那契數(shù)列的常見性質(zhì)
1．?dāng)?shù)列的數(shù)學(xué)模型
數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，亦即數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝1，且a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．這個(gè)數(shù)列就是著名的“斐波那契數(shù)列”，而這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)稱為“斐波那契數(shù)”．
2．斐波那契數(shù)列的性質(zhì)
性質(zhì)1：斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)的平方和：＝anan＋1，即
性質(zhì)2：斐波那契數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和：a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，即
性質(zhì)3：斐波那契數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)之和：a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1，即
性質(zhì)4：斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1，即
性質(zhì)5：連續(xù)三項(xiàng)斐波那契數(shù)后兩項(xiàng)乘積與前兩項(xiàng)乘積的差，是中間項(xiàng)的平方，即an＋1an－an－1an＝(n≥2)．
【典例】　同學(xué)們都有這樣的解題經(jīng)驗(yàn)：在某些數(shù)列的求和中，可把其中一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差，使得某些項(xiàng)可以相互抵消，從而實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)求和．“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)稱為“斐波那契數(shù)”．在斐波那契數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．若a2 026＝a，那么數(shù)列{an}的前2 024項(xiàng)的和為________．
a－1　[由a1＝a1，a2＝a3－a1，a3＝a4－a2，a4＝a5－a3，…，a2 024＝a2 025－a2 023
可得：a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝a2 024＋a2 025－a2＝a2 026－1＝a－1． 故數(shù)列{an}的前2 024項(xiàng)的和為a－1．]
斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家．他在自己的著作《算盤書》中記載著這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，這就是著名的斐波那契數(shù)列．那么a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契數(shù)列中的第________項(xiàng)．
2026　[由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 025＝a2 026－a2 024，可得：a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026，故a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契數(shù)列中的第2 026項(xiàng)．]微專題1　數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
類型1　直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【例1】　已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝6，點(diǎn)An(an，)在拋物線y2＝x＋1上，
求數(shù)列{an}．
[解]　∵點(diǎn)An(an，)在拋物線y2＝x＋1上，
∴an＋1－an＝1，
∴數(shù)列{an}是以1為公差的等差數(shù)列．
∵a1＝6，∴an＝n＋5．
類型2　由Sn求通項(xiàng)公式
【例2】　已知數(shù)列{2n-1an}的前n項(xiàng)和為Sn＝9－6n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解]　當(dāng)n＝1時(shí)，20a1＝S1＝9－6＝3，∴a1＝3．
當(dāng)n≥2時(shí)，2n-1an＝Sn－Sn－1＝9－6n－[9－6(n－1)]＝－6，
∴an＝－，又a1＝3不符合上式，故an＝
類型3　由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
【例3】　在數(shù)列{an}中，an＝1，an＋1＝2an＋1，求an．
[解]　∵an＋1＝2an＋1(n∈N*)，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴{an＋1}是以a1＋1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴an＋1＝2n，即an＝22－1(n∈N*)．
類型4　由an與Sn的關(guān)系式求通項(xiàng)公式
【例4】　數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
[解]　由Sn＝an－3可得Sn＋1＝an＋1－3，兩式相減得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝3an，a1＝S1＝a1－3，得a1＝6．所以數(shù)列{an}是以6為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝．
類型5　構(gòu)造法
【例5】　數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解]　取以a1＝2為底的對(duì)數(shù)，得到log2an＋1＝，
即log2an＋1＝2log2an，設(shè)bn＝log2an，則有bn＋1＝2bn，所以{bn}是以b1＝log2a1＝1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以bn＝2n-1，所以log2an＝2n-1，．微專題2　數(shù)列求和
類型1　分組轉(zhuǎn)化求和法
【例1】　設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝9，S3－a1＝36．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝an＋log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
[解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
則
解得a1＝3，q＝3．
故an＝a1qn-1＝3×3n-1＝3n．
(2)由(1)可得bn＝3n＋log33n＝3n＋n．
則Tn＝(3＋1)＋(32＋2)＋…＋(3n＋n)＝(3＋32＋…＋3n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝．
類型2　并項(xiàng)求和法
【例2】　已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝－2an＋1＝＋2an
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝(－1)nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20．
[解]　(1)由－2an＋1＝＋2an得：(an＋1－an)·(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)，而n∈N*，an>0，
因此an＋1－an＝2，即數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公差d＝2的等差數(shù)列，an＝a1＋(n－1)d＝2n，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n．
(2)由(1)知，bn＝(－1)n·2n，則有b2n－1＋b2n＝(－1)2n-1×2(2n－1)＋(－1)2n×2×2n＝2，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b19＋b20)＝2×10＝20．
類型3　裂項(xiàng)相消法
【例3】　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝(n－1)2－1．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列bn＝，求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn．
[解]　(1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝(n－1)2－1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－2)2－1＝n2－4n＋3，
所以Sn－Sn－1＝2n－3，即an＝2n－3(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝(1－1)2－1＝－1符合上式，
所以an＝2n－3(n∈N*)；
(2)由(1)可得
bn＝＝＝，
Tn＝＋＋＋…＋＝(－1－1)＋＋…＋＝＝＝－．
類型4　錯(cuò)位相減法
【例4】　設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S3＝14，S6＝126．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bn＝(n＋1)an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．
[解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因S3＝14，S6＝126，
即a4＋a5＋a6＝S6－S3＝112，
而a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)＝14q3，于是得q3＝8，解得q＝2，顯然S3＝a1(1＋q＋q2)＝7a1＝14，解得a1＝2，因此an＝a1qn-1＝2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n．
(2)由(1)知，bn＝(n＋1)·2n，則Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，
于是得2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n+1，兩式相減得：－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n+1＝4＋－(n＋1)×2n+1＝－n×2n+1，所以Tn＝n·2n+1．第4章 數(shù)列 章末綜合提升
類型1　求數(shù)列的通項(xiàng)公式
數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
(1)定義法
直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目．
(2)已知Sn求an
若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可用公式an＝求解．
(3)累加或累乘法
形如an－an－1＝f (n)(n≥2)的遞推式，可用累加法求通項(xiàng)公式；形如＝f (n)(n≥2)的遞推式，可用累乘法求通項(xiàng)公式．
(4)構(gòu)造法
如an＋1＝Aan＋B可構(gòu)造{an＋c}為等比數(shù)列，再求解得通項(xiàng)公式．
【例1】　(1)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝(　　)
A．2n　　B．2n+1　　C．　　D．
(2)已知數(shù)列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通項(xiàng)公式．
(1)A　[法一：由數(shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列，可知公比q＞0，而＝a10＞0，所以q＞1，an＞0．由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，則2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)．由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝2．因此an＝2n．
法二：由等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列知，公比q＞0，而＝a10＞0，所以an＞0，q＞1．由條件得2＝5，即2＝5，解得q＝2．又由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n．]
(2)[解]　法一：由題意得an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n-1a1＋3n-2×4＋3n-3×4＋…＋3×4＋4＝3n-1＋＝3n-1+2(3n-1-1)＝3n－2．
法二：∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．
令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，則bn＝3n，∴an＝3n－2．
法三：∵an＋1＝3an＋4， ①
∴an＝3an－1＋4(n≥2)． ②
①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．
∵a2－a1＝3＋4－1＝6，
∴數(shù)列{an＋1－an}是首項(xiàng)為6，公比為3的等比數(shù)列，即an＋1－an＝6×3n-1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2．
類型2　等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算
在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用．
【例2】　等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn．
[解]　(1)設(shè){an}的公比為q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n-1＝2n．
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
則b3＝8，b5＝32．
設(shè){bn}的公差為d，則有
解得
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28．
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和
Sn＝＝6n2－22n．
類型3　等差、等比數(shù)列的判定
等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù)) {an}是等差數(shù)列；
＝q(q為常數(shù)，q≠0) {an}是等比數(shù)列．
(2)中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差數(shù)列；
＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù)) {an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù)) {an}是等比數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*) {an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是等比數(shù)列．
【例3】　已知數(shù)列{an}，{bn}滿足：an＋1＋1＝2an＋n，bn－an＝n，b1＝2．
(1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．
[解]　(1)∵bn－an＝n，b1＝2，∴a1＝1，
∵an＋1＋1＝2an＋n，∴an＋1＋n＋1＝2(an＋n)，
∴＝2，即＝2．
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴bn＝2n．
(2)由bn－an＝n，得an＝2n－n，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－＝2n+1－2－．
類型4　等差、等比數(shù)列的性質(zhì)
解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問題的幾點(diǎn)注意
(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；
(2)對(duì)于計(jì)算解答題注意基本量及方程思想的運(yùn)用；
(3)注重問題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式和性質(zhì)解題；
(4)當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)數(shù)列時(shí)，既要縱向考察單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系．
【例4】　(1)(多選)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a3＋a8＋a13是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的有(　　)
A．a(chǎn)7 B．a(chǎn)8
C．S15 D．S16
(2)(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并滿足條件a1>1，a2 019a2 020>1，<0，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．S2 019B．a(chǎn)2 019a2 021－1<0
C．T2 020是數(shù)列{Tn}中的最大值
D．?dāng)?shù)列{Tn}無最大值
(3)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
(1)BC　(2)AB　(3)5　[(1)由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a3＋a8＋a13＝3a8為定值，則a8為定值，S15＝＝15a8為定值，但S16＝＝8不是定值．故選BC．
(2)當(dāng)q＜0時(shí)，a2 019a2 020＝q＜0，不成立；
當(dāng)q≥1時(shí)，a2 019＞1，a2 020＞1，＜0不成立；
故0＜q＜1，且a2 019＞1，0＜a2 020＜1，故S2 020＞S2 019，A正確；
a2 019a2 021－1＝－1＜0，故B正確；
T2 019是數(shù)列{Tn}中的最大值，CD錯(cuò)誤．故選AB．
(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a5＝a2a4＝＝4 a3＝2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝＝5log22＝5．]
類型5　數(shù)列求和
一般常見的求和方法有：
(1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
(2)分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．形如{an＋bn}，其中{an}、{bn}是不同的數(shù)列．
(3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和．形如，其中{an}為等差數(shù)列．
(4)錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．形如{anbn}，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列．
(5)倒序相加法：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．
【例5】　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kcn－k(其中c，k為常數(shù))，且a2＝4，a6＝8a3．
(1)求an；
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn．
[解]　(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn-1)，
則a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，
＝＝c3＝8，
∴c＝2．
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，
解得k＝2，
∴an＝2n．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2．
綜上所述，an＝2n(n∈N*)．
(2)nan＝n·2n，
則Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，
兩式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1，
∴Tn＝2＋(n－1)·2n+1．

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