資源簡介

1.1　空間向量及其運算
1.1.1　空間向量及其線性運算
學習任務 1．經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．(數(shù)學抽象) 2．經(jīng)歷由平面向量的線性運算推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運算及其運算律．(邏輯推理、數(shù)學運算) 3．掌握空間向量共線、共面的充要條件及其應用．(數(shù)學抽象、邏輯推理)
回憶平面向量的有關概念與約定，思考能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說出推廣后的不同之處，如果不能，請說明理由．
知識點1　空間向量的有關概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度：空間向量的大小叫做空間向量的長度或模．
(3)表示法：
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a
相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量
共線向量 (平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量
1．平面向量與空間向量有什么區(qū)別與聯(lián)系？
提示：(1)區(qū)別：平面向量研究的是二維平面的向量，空間向量研究的是三維空間的向量．
(2)聯(lián)系：向量的定義、表示方法及零向量、單位向量、相反向量、相等向量的概念等在平面和空間中都適用．
單位向量有無數(shù)個，它們的方向并不確定，它們不一定相等；零向量也有無數(shù)個，它們的方向是任意的，但規(guī)定所有的零向量都相等．
知識點2　空間向量的線性運算及其運算律
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＝
減法 a－b＝＝
數(shù)乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
知識點3　共線向量與共面向量
(1)
共線(平行)向量 共面向量
定義 位置 關系 表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關系：互相平行或重合 平行于同一個平面的向量
特征 方向相同或相反
特例 零向量與任意向量共線
充要條件 共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb 共面向量定理：向量p與兩個不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
2.(1)已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，存在有序實數(shù)對(x，y)，滿足關系＝＋x＋y，則點P與點A，B，C是否共面？
(2)對于不共線的三點A，B，C和平面ABC外的一點O，空間一點P滿足關系式＝x＋y＋z，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？
提示：(1)共面．由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量與向量共面，故點P與點A，B，C共面．
(2)x＋y＋z＝1.
證明如下：①充分性
∵＝x＋y＋z可變形為＝(1－y－z)＋y＋z，
∴＝y(tǒng)()＋z()，
∴＝y(tǒng)＋z，∴點P與A，B，C共面．
②必要性
∵點P在平面ABC內(nèi)，不共線的三點A，B，C，
∴存在有序實數(shù)對(m，n)使＝m＋n，
＝m()＋n()，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，
點O在平面ABC外，
∴不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，則a∥c． (　　)
(2)若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb． (　　)
(3)任意兩個空間向量必共面，任意三個空間向量也一定共面． (　　)
(4)若向量a，b，c共面，則表示這三個向量的有向線段所在的直線共面． (　　)
(5)若點P，M，A，B四點共面，則存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使＝x＋y． (　　)
提示：(1)×　當b＝0時，a∥c不一定成立．
(2)×　當a是非零向量，b＝0時，不存在實數(shù)λ，使得a＝λb.
(3)×　任意兩個空間向量必共面，但任意三個空間向量不一定共面．
(4)×　三條直線不一定在同一平面內(nèi)．
(5)×　當共線，不共線時，x，y不存在．
2．下列命題中：
①向量與的長度相等；
②將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構成一個圓；
③空間向量就是空間中的一條有向線段；
④方向相同且模相等的兩個向量是相等向量．
是真命題的為________(填序號)．
①④　[對于②，其終點構成一個球面，所以②是假命題；對于③空間向量可以用一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以③是假命題；易知①，④為真命題．故填①④．]
3．化簡＝________．
0　[＝＝0．]
類型1　空間向量的有關概念及其簡單應用
【例1】　給出下列結論：
①若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝±b；
③若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；
④空間中任意兩個單位向量必相等；
⑤在如圖1所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；
⑥如圖2所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′的所有棱對應的向量中，與相等的向量有3個．
其中正確的是________．(填序號)
③⑤⑥　[當兩個向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等，但兩個相等向量不一定起點相同，終點也相同，故①錯誤；
要保證兩向量相等，則需模相等且方向相同，要保證兩向量是相反向量，則需模相等且方向相反，但②中僅給出向量a與向量b的模相等，所以這兩個向量不一定為相等向量或相反向量，故②錯誤；
命題③是相等向量的傳遞性，顯然正確；
空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故④錯誤；
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量的方向相同，模也相等，所以＝，故⑤正確；
在平行六面體ABCD-A′B′C′D′的所有棱對應的向量中，與相等的向量分別為，故⑥正確．]
　(1)向量的兩個要素是大小與方向，兩者缺一不可；
(2)單位向量的方向雖然不一定相同，但長度一定為1；
(3)兩個向量的模相等，即它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件；
(4)由于方向不能比較大小，因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的，但向量的模是可以比較大小的．
[跟進訓練]
1．如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點中的兩點為起點和終點的向量中：
(1)試寫出與相等的所有向量；
(2)試寫出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解]　(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有共3個．
(2)向量的相反向量為.
(3)||＝
＝＝＝3.
類型2　空間向量的線性運算
【例2】　(源自北師大版教材)如圖所示，已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡后的結果所對應的向量．
(1)；
(2)；
(3)＋)．
[解]　(1)＝＝＝；
(2)＝＝＋＝＝；
(3)設點M為CB′的中點，則
＋)
＝＋)
＝＋＝.
即化簡后所對應的向量如圖所示．
　向量的線性運算，實質(zhì)上是在運用數(shù)乘向量運算律的基礎上進行向量求和，即通過運用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．
[跟進訓練]
2．已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一點，點P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y.
[解]　(1)如圖所示，＝，由向量加法運算的平行四邊形法則可得＝)，
故＝－－，
所以＝＝－－.
所以x＝－，y＝－.
(2)因為＝2，所以＝2①，同理＝2②，
將②代入①得＝＋2－2，
所以x＝2，y＝－2.
類型3　空間向量的共線和共面問題
　共線問題
【例3】　如圖，已知M為四面體ABCD的面BCD的重心，連接BM并延長交CD于點E，G為AM的中點，N在AE上，且＝λ，且B，G，N三點共線．試求λ的值．
[解]　設＝a，＝b，＝c，
所以＝＝＋×)＝＋)＝(a＋b＋c)．
所以＝＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c.
＝＝＋λ＝＋λ()＝－a＋λb＋λc.
因為B，G，N三點共線，故存在實數(shù)k，使＝k，
即－a＋b＋c＝k，
故解得k＝，λ＝.
[母題探究]
將本例條件改為：已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點共線．
[解]　設＝a，＝b，＝c，
則＝＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＝＋)＝－a＋b＋c＝.
所以∥，即B，G，N三點共線．
　證明空間三點共線有哪些方法？
提示：對于空間三點P，A，B，可通過證明下列結論來證明三點共線：
(1)存在實數(shù)λ，使＝λ成立．
(2)對空間任一點O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟進訓練]
3．如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，則與是否共線？
[解]　法一：∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴＝
＝＋. ①
又∵＝
＝－－， ②
①＋②得2＝，
∴∥，即共線．
法二：∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴＝
＝)－
＝)－)
＝)
＝)
＝.
∴∥，即共線．
　共面問題
【例4】　如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，連接PA，PB，PC，PD，點E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面．
[證明]　如圖，分別連接PE，PF，PG，PH并延長交AB，BC，CD，AD于點M，N，Q，R，
連接EG，MQ，EF，EH.
∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R分別為所在邊的中點．
∴順次連接M，N，Q，R所得的四邊形為平行四邊形，且有＝＝＝＝.
∵四邊形MNQR為平行四邊形，
∴＝＝－＝＝)＝)＋)＝×＋×＝.
∴為共面向量，
又∵三向量有相同的起點E，
∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．
　證明空間三向量共面或四點共面的方法
(1)向量表示：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb(x，y為實數(shù))，則向量p，a，b共面．
(2)若存在有序實數(shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面．
[跟進訓練]
4．如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求證：向量共面．
[證明]　因為M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理，＝＋.
所以＝＝＋＋＋＝＋＝＋.
又不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知共面．
1．下列關于空間向量的命題中，正確的命題是(　　)
A．任一向量與它的相反向量都不相等
B．長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量
C．平行且模相等的兩個向量是相等向量
D．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|
B　[對于A，零向量與它的相反向量相等，故A錯．
對于B，根據(jù)相等向量的定義知，B正確．
對于C，兩向量平行，方向不一定相同，故C錯．
對于D，a≠b，但可能兩個向量的模相等而方向不同，故D錯．因此選B．]
2．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量的有(　　)
A．()＋
B．()＋
C．()＋
D．()＋
ABCD　[對于A，()＋＝＝；對于B，()＋＝＝；
對于C，()＋＝＝；
對于D，()＋＝＝.故選ABCD．]
3．下列條件，能說明空間中不重合的A，B，C三點共線的是(　　)
A．＝　　　 B．＝
C．＝ D．||＝||
C　[對于空間中的任意向量，都有＝，選項A錯誤；若＝，則＝，而＝，據(jù)此可知＝，即B，C兩點重合，選項B錯誤；＝，則A，B，C三點共線，選項C正確；若||＝||，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A，B，C三點共線，選項D錯誤．]
4．已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點．若由＝＋＋λ可確定點P與A，B，C共面，則λ＝________．
　[∵A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點，且由＝＋＋λ可確定點P與A，B，C共面，
∴＋＋λ＝1，解得λ＝．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．平面向量的有關概念與約定推廣到空間中后得到相應空間向量的有關概念與約定，它們有什么不同之處？
提示：適用范圍不同，一個在平面內(nèi)，一個在空間中．
2．向量a與b共線，則一定存在λ使得a＝λb成立嗎？
提示：當b＝0時，不一定存在λ值．
3．如何證明點P，A，B，C四點共面？
提示：可轉化為證明向量共面．1.1　空間向量及其運算
1.1.1　空間向量及其線性運算
學習任務 1．經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．(數(shù)學抽象) 2．經(jīng)歷由平面向量的線性運算推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運算及其運算律．(邏輯推理、數(shù)學運算) 3．掌握空間向量共線、共面的充要條件及其應用．(數(shù)學抽象、邏輯推理)
回憶平面向量的有關概念與約定，思考能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說出推廣后的不同之處，如果不能，請說明理由．
知識點1　空間向量的有關概念
(1)定義：在空間，具有________和________的量叫做空間向量．
(2)長度：空間向量的________叫做空間向量的長度或________．
(3)表示法：
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做______，記為0
單位向量 ________的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度________而方向________的向量，叫做a的相反向量，記為－a
相等向量 方向______且模________的向量叫做相等向量，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量
共線向量 (平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線____________，那么這些向量叫做________或平行向量
1．平面向量與空間向量有什么區(qū)別與聯(lián)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
單位向量有無數(shù)個，它們的方向并不確定，它們不一定相等；零向量也有無數(shù)個，它們的方向是任意的，但規(guī)定所有的零向量都相等．
知識點2　空間向量的線性運算及其運算律
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＝
減法 a－b＝＝
數(shù)乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝________
知識點3　共線向量與共面向量
(1)
共線(平行)向量 共面向量
定義 位置 關系 表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關系：互相平行或重合 平行于同一個____的向量
特征 方向____或____
特例 零向量與任意向量____
充要條件 共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使________ 共面向量定理：向量p與兩個不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使______________
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，與向量a________的非零向量稱為直線l的方向向量．
2．(1)已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，存在有序實數(shù)對(x，y)，滿足關系＝＋x＋y，則點P與點A，B，C是否共面？
(2)對于不共線的三點A，B，C和平面ABC外的一點O，空間一點P滿足關系式＝x＋y＋z，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，則a∥c． (　　)
(2)若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb． (　　)
(3)任意兩個空間向量必共面，任意三個空間向量也一定共面． (　　)
(4)若向量a，b，c共面，則表示這三個向量的有向線段所在的直線共面． (　　)
(5)若點P，M，A，B四點共面，則存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使＝x＋y． (　　)
2．下列命題中：
①向量與的長度相等；
②將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構成一個圓；
③空間向量就是空間中的一條有向線段；
④方向相同且模相等的兩個向量是相等向量．
是真命題的為________(填序號)．
3．化簡＝________．
類型1　空間向量的有關概念及其簡單應用
【例1】　給出下列結論：
①若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝±b；
③若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；
④空間中任意兩個單位向量必相等；
⑤在如圖1所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；
⑥如圖2所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′的所有棱對應的向量中，與相等的向量有3個．
其中正確的是________．(填序號)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)向量的兩個要素是大小與方向，兩者缺一不可；
(2)單位向量的方向雖然不一定相同，但長度一定為1；
(3)兩個向量的模相等，即它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件；
(4)由于方向不能比較大小，因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的，但向量的模是可以比較大小的．
[跟進訓練]
1．如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點中的兩點為起點和終點的向量中：
(1)試寫出與相等的所有向量；
(2)試寫出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　空間向量的線性運算
【例2】　(源自北師大版教材)如圖所示，已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡后的結果所對應的向量．
(1)；
(2)；
(3)＋)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量的線性運算，實質(zhì)上是在運用數(shù)乘向量運算律的基礎上進行向量求和，即通過運用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．
[跟進訓練]
2．已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一點，點P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　空間向量的共線和共面問題
　共線問題
【例3】　如圖，已知M為四面體ABCD的面BCD的重心，連接BM并延長交CD于點E，G為AM的中點，N在AE上，且＝λ，且B，G，N三點共線．試求λ的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
將本例條件改為：已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3．求證：B，G，N三點共線．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明空間三點共線有哪些方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
3．如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，則與是否共線？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　共面問題
【例4】　如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，連接PA，PB，PC，PD，點E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明空間三向量共面或四點共面的方法
(1)向量表示：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb(x，y為實數(shù))，則向量p，a，b共面．
(2)若存在有序實數(shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面．
[跟進訓練]
4．如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求證：向量共面．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列關于空間向量的命題中，正確的命題是(　　)
A．任一向量與它的相反向量都不相等
B．長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量
C．平行且模相等的兩個向量是相等向量
D．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|
2．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量的有(　　)
A．()＋
B．()＋
C．()＋
D．()＋
3．下列條件，能說明空間中不重合的A，B，C三點共線的是(　　)
A．＝　　　 B．＝
C．＝ D．||＝||
4．已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點．若由＝＋＋λ可確定點P與A，B，C共面，則λ＝________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．平面向量的有關概念與約定推廣到空間中后得到相應空間向量的有關概念與約定，它們有什么不同之處？
2．向量a與b共線，則一定存在λ使得a＝λb成立嗎？
3．如何證明點P，A，B，C四點共面？1.1.2　空間向量的數(shù)量積運算
學習任務 1．掌握空間向量的夾角的概念．(數(shù)學抽象) 2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律．(邏輯推理、數(shù)學運算) 3．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．(數(shù)學抽象) 4．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題．(直觀想象、數(shù)學運算)
回憶平面向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)，思考能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說出推廣后的不同之處，如果不能，說明理由．
知識點1　空間向量的夾角
(1)夾角的定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)夾角的范圍
空間任意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0，π] ．特別地，當θ＝0時，兩向量同向共線；當θ＝π時，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當〈a，b〉＝時，兩向量垂直，記作a⊥b．
因為向量是自由向量，空間中的任意兩個向量都能平移到同一平面內(nèi)，因此，空間中兩向量的夾角的實質(zhì)就是平面內(nèi)兩向量的夾角．
知識點2　空間向量的數(shù)量積
(1)定義
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0．
(2)空間向量的數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交換律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)
向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直 若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0
共線 同向：則a·b＝|a|·|b|
反向：則a·b＝－|a|·|b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a|·|b|
夾角 θ為a，b的夾角，則cos θ＝
對于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立嗎？為什么？
提示：不成立．例如，任取三個不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一個數(shù)與向量c作數(shù)乘，a·(b·c)是一個數(shù)與向量a作數(shù)乘，而a，c不在同一個方向上，所以(a·b)·c與a·(b·c)不可能相等．
知識點3　向量的投影
(1)向量a向向量b(直線l)的投影
如圖1，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖2)．
(2)向量a向平面β的投影
如圖3，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．
空間向量a在b上的投影向量可以先將a平移到與b共起點，再作投影向量．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量與向量b的方向相同． (　　)
(2)向量a在直線l上的投影向量c與向量a－c垂直． (　　)
(3)向量a在平面β上的投影向量為c，則向量a所在直線與平面β所成的角為〈a，c〉． (　　)
(4)向量a在直線l上的投影是一個數(shù)量． (　　)
(5)向量a在平面β上的投影是一個向量． (　　)
提示：(1)×　當〈a，b〉>時，反向．
(2)√　根據(jù)向量向直線的投影定義可知，c與a－c垂直．
(3)√　根據(jù)向量向平面的投影定義及直線與平面所成的角的定義可知正確．
(4)×　(5)√
2．(源自人教B版教材)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
(1)〈〉＝________；
(2)〈〉＝________；
(3)〈〉＝________；
(4)〈〉＝________．
(1)　(2)　(3)　(4)π
[(1)〈〉＝〈〉＝；
(2)〈〉＝〈〉＝π－〈〉＝；
(3)〈〉＝〈〉＝；
(4)〈〉＝〈〉＝π．]
3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長等于2，則＝________．
4　[||＝||＝2，〈〉＝60°，
∴＝||||cos 60°＝2×2×＝4．]
類型1　空間向量數(shù)量積的運算
【例1】　(源自人教B版教材)如圖所示長方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中點，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
(2).
[解]　(1)法一：因為是長方體，而且AA′＝AD＝2，
所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，
||＝AA′＝1，
||＝BC′＝＝2，
因此＝||||cos 〈〉＝2×1×＝2.
法二：由圖可以看出，上的投影是，而且||＝AA′＝1，
注意到的方向相同，所以等于的長，
即＝||＝2.
(2)由圖可以看出，上的投影是，
而且||＝AA′＝1，
注意到的方向相反，
所以等于的長的相反數(shù)，
即＝－||＝－2.
　在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；
(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積；
(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解．
[跟進訓練]
1．(2022·云南昆明高二月考)已知單位向量a，b滿足|a|＝|a＋b|，則·b＝(　　)
A．　　B．1　　C．　　D．0
D　[∵a，b是單位向量，∴a2＝b2＝1.
∵|a|＝|a＋b|，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，
∴·b＝a·b＋b2＝－＋＝0.故選D．]
2．已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則等于(　　)
A．　　B．－　　　C．　　D．－
B　[如圖，∵點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，
∴＝，
∵空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，∴每個面都是等邊三角形，
∴＝＝＝－＝－·||·||·cos ＝－×1×1×＝－，故選B．]
類型2　利用數(shù)量積證明空間中的垂直關系
【例2】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD．
[證明]　設＝a，＝b，＝c，
則a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝
＝＋)
＝c＋a＋b，
＝＝b－a，
＝＝)＋
＝a＋b－c，
∴ ＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD．
同理可證⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD．
　用向量法證明垂直關系的步驟是什么？
提示：(1)把幾何問題轉化為向量問題；
(2)用已知向量表示所證向量；
(3)結合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積為0；
(4)將向量問題回歸到幾何問題．
[跟進訓練]
3．已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．
[證明]　如圖，連接ON，設∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又設＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|.
又＝)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC．
類型3　利用數(shù)量積求夾角和距離
　用數(shù)量積求角
【例3】　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，點N為AA1的中點．求cos 〈〉的值．
[解]　因為＝＝－＝，
所以||2＝＝()2＝＋＝12＋22＋12＝6，即||＝，
||2＝＝()2＝＝12＋22＝5，即||＝，
＝()·()＝－＝22－12＝3，
所以cos 〈〉＝＝＝.
［母題探究］
1．本例中條件不變，求與夾角的余弦值．
[解]　由例題知，
＝
所以
2．本例中條件不變，求異面直線CA1與AB夾角的余弦值．
[解]　由已知得
因為
所以
因為
所以
又因為
所以．
所以異面直線CA1與AB夾角的余弦值為．
　利用向量求異面直線夾角的步驟
[跟進訓練]
4．已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為________．
　[如圖，設＝a，＝b，＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，則a·b＝b·c＝c·a＝.
因為＝)＝(a＋b)，
＝＝＝c－b，
所以＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.
又因為||＝||＝，
所以cos 〈〉＝＝－.
所以異面直線OE與BF所成角的余弦值為．]
　利用數(shù)量積求距離(線段長)
【例4】　如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時B，D間的距離．
[思路導引]　∠ACD＝90°→＝0，＝0→AB與CD成60°角→〈〉＝60°或〈〉＝120°＝求||→B，D間的距離．
[解]　∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得＝0.
∵AB與CD成60°角，
∴〈〉＝60°或〈〉＝120°.
又＝，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝3＋2×1×1×cos 〈〉．
∴當〈〉＝60°時，||2＝4，此時B，D間的距離為2；
當〈〉＝120°時，||2＝2，此時B，D間的距離為.
　求解距離問題時，先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝求解即可．
[跟進訓練]
5．如圖所示，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長都為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，求EF的長．
[解]　設＝a，＝b，＝c.
由題意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因為＝＝－＋＝－a＋b＋c，
所以||2＝＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
1．已知|a|＝4.向量e為單位向量，〈a，e〉＝，則向量a在向量e上的投影向量為(　　)
A．2e　　B．－2e　　C．－e　　D．e
B　[由題意得向量a在向量e上的投影向量為
|a|cos 〈a，e〉＝4cos e＝－2e．]
2．已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，則a＝e1＋e2與b＝e1－2e2的夾角是(　　)
A．60° 　　B．120°　　C．30° 　　D．90°
B　[由題意得：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)
＝＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝
＝
＝＝，
|b|＝＝
＝
＝＝.
設a，b夾角為θ，cos θ＝＝＝－，0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°，故選B．]
3．(多選)已知空間四邊形ABCD的四條邊和兩條對角線的長都為a，且E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列選項中運算結果為－a2的是(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
AC　[如圖所示，2＝2||||cos 120°＝2a·a cos 120°＝－a2，故A正確；2＝2||||·cos 60°＝2a·a cos 60°＝a2，故B錯誤；2＝2||·||cos 180°＝2··a cos 180°＝－a2，故C正確；
2＝2||||·cos 120°＝2··a cos 120°＝－，故D錯誤．故選AC．]
4．如圖，在三棱錐A-BCD中，底面邊長與側棱長均為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝ND，則MN的長為________．
a　[因為＝＝＋()＋)＝－＋＋，
所以＝
＝－－＋＋＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋＝a2.
所以||＝a，即MN＝a．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．空間向量的夾角和數(shù)量積的定義與平面向量的夾角和數(shù)量積的定義是否一致？
提示：一致．
2．向量a在向量b上的投影向量為向量c，則如何求|c|？試列舉出你知道的方法．
提示：|c|＝|a|cos 〈a，b〉或|c|＝.
3．利用空間向量的數(shù)量積可研究哪些問題？
提示：可以解決立體幾何問題中涉及垂直、距離、夾角的一些問題．1.1.2　空間向量的數(shù)量積運算
學習任務 1．掌握空間向量的夾角的概念．(數(shù)學抽象) 2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律．(邏輯推理、數(shù)學運算) 3．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．(數(shù)學抽象) 4．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題．(直觀想象、數(shù)學運算)
回憶平面向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)，思考能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說出推廣后的不同之處，如果不能，說明理由．
知識點1　空間向量的夾角
(1)夾角的定義
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作________．
(2)夾角的范圍
空間任意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0，π]．特別地，當θ＝____時，兩向量同向共線；當θ＝____時，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當〈a，b〉＝時，兩向量________，記作________．
因為向量是自由向量，空間中的任意兩個向量都能平移到同一平面內(nèi)，因此，空間中兩向量的夾角的實質(zhì)就是平面內(nèi)兩向量的夾角．
知識點2　空間向量的數(shù)量積
(1)定義
已知兩個非零向量a，b，則____________叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝________________．
規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為____________________________________．
(2)空間向量的數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交換律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)
向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直 若a，b是非零向量，則a⊥b _________
共線 同向：則a·b＝|a|·|b|
反向：則a·b＝－|a|·|b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝_______，|a|＝，|a·b|≤|a|·|b|
夾角 θ為a，b的夾角，則cos θ＝
對于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立嗎？為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點3　向量的投影
(1)向量a向向量b(直線l)的投影
如圖1，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝________________，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖2)．
(2)向量a向平面β的投影
如圖3，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與________所成的角．
空間向量a在b上的投影向量可以先將a平移到與b共起點，再作投影向量．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量與向量b的方向相同． (　　)
(2)向量a在直線l上的投影向量c與向量a－c垂直． (　　)
(3)向量a在平面β上的投影向量為c，則向量a所在直線與平面β所成的角為〈a，c〉． (　　)
(4)向量a在直線l上的投影是一個數(shù)量． (　　)
(5)向量a在平面β上的投影是一個向量． (　　)
2．(源自人教B版教材)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
(1)〈〉＝________；
(2)〈〉＝________；
(3)〈〉＝________；
(4)〈〉＝________．
3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長等于2，則＝________．
類型1　空間向量數(shù)量積的運算
【例1】　(源自人教B版教材)如圖所示長方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中點，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；
(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積；
(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解．
[跟進訓練]
1．(2022·云南昆明高二月考)已知單位向量a，b滿足|a|＝|a＋b|，則·b＝(　　)
A． B．1 C．　　D．0
2．已知空間四面體D-ABC的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則等于(　　)
A． B．－ C．　　　D．－
類型2　利用數(shù)量積證明空間中的垂直關系
【例2】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用向量法證明垂直關系的步驟是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
3．已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用數(shù)量積求夾角和距離
　用數(shù)量積求角
【例3】　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，點N為AA1的中點．求cos 〈〉的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．本例中條件不變，求與夾角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例中條件不變，求異面直線CA1與AB夾角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用向量求異面直線夾角的步驟
[跟進訓練]
4．已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為________．
　利用數(shù)量積求距離(線段長)
【例4】　如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時B，D間的距離．
[思路導引]　∠ACD＝90°→＝0，＝0→AB與CD成60°角→〈〉＝60°或〈〉＝120°＝求||→B，D間的距離．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解距離問題時，先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝求解即可．
[跟進訓練]
5．如圖所示，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長都為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，求EF的長．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知|a|＝4．向量e為單位向量，〈a，e〉＝，則向量a在向量e上的投影向量為(　　)
A．2e B．－2e C．－e D．e
2．已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，則a＝e1＋e2與b＝e1－2e2的夾角是(　　)
A．60° B．120° C．30° D．90°
3．(多選)已知空間四邊形ABCD的四條邊和兩條對角線的長都為a，且E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列選項中運算結果為－a2的是(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
4．如圖，在三棱錐A-BCD中，底面邊長與側棱長均為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝ND，則MN的長為________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．空間向量的夾角和數(shù)量積的定義與平面向量的夾角和數(shù)量積的定義是否一致？
2．向量a在向量b上的投影向量為向量c，則如何求|c|？試列舉出你知道的方法．
3．利用空間向量的數(shù)量積可研究哪些問題？

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