資源簡介

1.2　空間向量基本定理
學習任務 1．了解空間向量基本定理及其意義．(數學抽象) 2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象) 3．掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數學運算)
在平面內，任意給定兩個不共線的向量a，b，根據平面向量基本定理，對于該平面內的任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得p＝xa＋yb.特別地，當a，b為直角坐標平面內的向量時，向量p就與坐標(x，y)建立了一一對應關系，從而將向量運算用坐標表示，簡化了向量運算，為研究問題帶來了極大的方便．那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結論呢？如圖所示，設a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用向量a，b，c來表示向量p
知識點1　空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
對于基底{a，b，c}，三個基向量a，b，c中能否有一個為0
提示：因為向量0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，因此三個基向量均不為0.
空間中任意三個不共面向量都可作為一組基底．
知識點2　空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間向量的基底是唯一的． (　　)
(2)若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量． (　　)
(3)已知A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一個基底，則A，B，M，N共面． (　　)
(4)若{a，b，c}是空間的一個基底，且存在實數x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則有x＝y＝z＝0． (　　)
(5)空間的單位正交基底是唯一的． (　　)
(6)單位正交基底中每一個基向量是單位向量． (　　)
(7)對于單位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． (　　)
提示：(1)×　任意三個不共面向量都可以作為空間的一個基底．
(2)√　若a，b，c中有一個零向量，則a，b，c三向量共面不能構成基底．
(3)√　不能構成空間的一個基底，則三向量共面，且有公共起點B，因此A，B，M，N四點共面．
(4)√　a，b，c不共面，則必有x＝y＝z＝0.
(5)×　不唯一．
(6)√　由單位正交基底的定義可知正確．
(7)√　由向量正交分解知正確．
2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，用{}為基底表示，則＝________．
　[∵＝＝，
∴＝＝＋．]
類型1　空間的基底
【例1】　{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{}能否作為空間的一個基底．
[解]　假設共面，由向量共面的充要條件知，存在實數x，y，使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空間的一個基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程組無解．
即不存在實數x，y使得＝x＋y，
所以不共面．
所以{}能作為空間的一個基底．
　基底判斷的基本思路和注意問題
(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底．
(2)注意問題：對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．
[跟進訓練]
1．若{a，b，c}是空間的一個基底，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為空間的一個基底？
[解]　假設a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在實數λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空間的一個基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程組無解．
即不存在實數λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作為空間的一個基底．
類型2　用基底表示空間向量
【例2】　(源自北師大版教材)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，點M是 A′B′C′D′的對角線的交點，點N是棱BC的中點．如果＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示.
[解]　因為點M為 A′B′C′D′的對角線的交點，
所以＝－＝－)
＝－(b＋a)．
又＝－c，＝a，＝＝b，
所以＝
＝－(b＋a)－c＋a＋b
＝a－c.
[母題探究]
若把本例中“＝a”改為“＝a”，其他條件不變，則結果是什么？
[解]　因為點M為 A′B′C′D′的對角線的交點，
所以，＝＝－c＋a，
∴＝(a－c)．
又＝b，所以＝－b，
所以＝
＝(a－c)－c－b
＝a－c－b.
　用基底表示向量時：
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律進行；
(2)若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．
[跟進訓練]
2．如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，若Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
[解]　連接AC，AD′，AC′(圖略)，
(1)＝)＝)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝)＝＋2＋)
＝a＋b＋c.
(3)＝)＝[(＋)＋()]＝＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4)＝＝＋)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
類型3　空間向量基本定理的應用
　證明空間直線、平面的位置關系
【例3】　如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當的基底向量證明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[證明]　取基底{}，
(1)因為＝＝＋＝＝2，所以∥，
又EG，AC無公共點，所以EG∥AC．
(2)因為＝＝＋，＝＝2，所以∥，
又FG，AB′無公共點，所以FG∥AB′.
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C．
　(1)當直接證明線線垂直但條件不易利用時，常常考慮證明兩線段所對應的向量的數量積等于零．利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算以及數量積和垂直條件來完成位置關系的判定．
(2)證明直線與直線平行一般轉化為向量共線問題，利用向量共線的充要條件證明．
[跟進訓練]
3．如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求證：BD⊥平面ADC．
[證明]　設AD＝BD＝CD＝1，則AB＝AC＝.
＝()·
＝，
由于＝·()
＝＝1，
＝||·||cos 60°
＝××＝1.
∴＝0，即BD⊥AC．
又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD 平面ADC，∴BD⊥平面ADC．
　求線段的長度或兩點間的距離
【例4】　如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB，AD，AA1兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點P在線段BC上，且3BP＝BC，記＝a，＝b，＝c.
(1)試用a，b，c表示；
(2)求的模．
[解]　(1)＝＝()－()＝－(b＋c)＝a－b－c.
(2)因為AB，AD，AA1兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1.
所以a·b＝3，a·c＝1，b·c＝，
||＝
＝
＝＝.
　求兩點間的距離或線段長度的方法
(1)將此線段用向量表示；
(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；
(3)利用|a|＝，通過計算求出|a|，即得所求距離．
[跟進訓練]
4．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長．
[解]　∵＝，
∴||2＝()2
＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝62＋42＋32＋2||||·cos 120°＝61－12＝49，
∴||＝7，即PC＝7.
　求兩直線的夾角
【例5】　在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．
(1)設＝a，＝b，＝c，{a，b，c}構成空間的一個基底，用它們表示.
(2)求AC1與MN的夾角．
[解]　(1)＝
＝＋＝－＝a－b，
＝＝a＋b＋c.
(2)因為由(1)得＝·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c－b·a－b2－b·c
＝×42＋×4×4×＋×4×5×－×4×4×－×42－×4×5×＝0，
所以⊥，所以AC1與MN的夾角為.
　求兩個向量的夾角的兩種方法
(1)結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍；
(2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝，求cos 〈a，b〉，最后確定〈a，b〉．
[跟進訓練]
5．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．
[解]　∵＝＝＝，
且＝＝＝0，
∴＝＋＝－＝－1.
又∵||＝，||＝＝，
∴cos 〈〉＝＝＝，則異面直線BA1與AC所成角的余弦值為.
1．設x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的一個基底的向量組有(　　)
A．1個 　　　B．2個　　　C．3個 　　　D．0個
B　[①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作為空間的一個基底；②中，z＝c＋a與向量b，c不共面，可作為空間的一個基底；③中，x，y與a＋b＋c不共面，故②③正確．故選B．]
2．如圖所示，在四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，點M在OA上，且＝2，點N為BC的中點，則＝(　　)
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
B　[∵＝＝b－a，
＝＝)＝(c－b)，
∴＝
＝a＋(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
故選B．]
3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
C　[設＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}為基底，則＝＝－a＋c，＝＝a＋b＋c.
又||＝2，||＝，
所以cos 〈〉
＝＝＝＝.
即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．]
4．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，＝，點N為B1B的中點，則||等于________．
a　[∵＝＝－
＝－)
＝＋－，
∴||＝
＝
＝a．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若{a，b，c}是空間的基底，則a，b，c滿足什么條件？
提示：a，b，c不共面．
2．敘述空間向量基本定理的內容．
提示：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
3．如何證明兩種位置關系(垂直與平行)
提示：(1)要證兩直線垂直，由數量積的性質a⊥b a·b＝0可知，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量的數量積為0即可．
(2)要證兩直線平行，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量滿足a＝λb即可．1.2　空間向量基本定理
學習 任務 1．了解空間向量基本定理及其意義．(數學抽象) 2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象) 3．掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數學運算)
在平面內，任意給定兩個不共線的向量a，b，根據平面向量基本定理，對于該平面內的任意一個向量p，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得p＝xa＋yb．特別地，當a，b為直角坐標平面內的向量時，向量p就與坐標(x，y)建立了一一對應關系，從而將向量運算用坐標表示，簡化了向量運算，為研究問題帶來了極大的方便．那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結論呢？如圖所示，設a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用向量a，b，c來表示向量p
知識點1　空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝____________．
其中{a，b，c}叫做空間的一個________，a，b，c都叫做基向量．
對于基底{a，b，c}，三個基向量a，b，c中能否有一個為0？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
空間中任意三個不共面向量都可作為一組基底．
知識點2　空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量________，且長度都為____，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像這樣，把一個空間向量分解為三個________的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間向量的基底是唯一的． (　　)
(2)若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量． (　　)
(3)已知A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一個基底，則A，B，M，N共面． (　　)
(4)若{a，b，c}是空間的一個基底，且存在實數x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則有x＝y＝z＝0． (　　)
(5)空間的單位正交基底是唯一的． (　　)
(6)單位正交基底中每一個基向量是單位向量． (　　)
(7)對于單位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． (　　)
2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，用{}為基底表示，則＝________．
類型1　空間的基底
【例1】　{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{}能否作為空間的一個基底．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　基底判斷的基本思路和注意問題
(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底．
(2)注意問題：對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．
[跟進訓練]
1．若{a，b，c}是空間的一個基底，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為空間的一個基底？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　用基底表示空間向量
【例2】　(源自北師大版教材)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，點M是 A′B′C′D′的對角線的交點，點N是棱BC的中點．如果＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
若把本例中“＝a”改為“＝a”，其他條件不變，則結果是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用基底表示向量時：
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律進行；
(2)若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．
[跟進訓練]
2．如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，若Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　空間向量基本定理的應用
　證明空間直線、平面的位置關系
【例3】　如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當的基底向量證明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)當直接證明線線垂直但條件不易利用時，常常考慮證明兩線段所對應的向量的數量積等于零．利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算以及數量積和垂直條件來完成位置關系的判定．
(2)證明直線與直線平行一般轉化為向量共線問題，利用向量共線的充要條件證明．
[跟進訓練]
3．如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°．
求證：BD⊥平面ADC．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求線段的長度或兩點間的距離
【例4】　如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB，AD，AA1兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點P在線段BC上，且3BP＝BC，記＝a，＝b，＝c．
(1)試用a，b，c表示；
(2)求的模．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求兩點間的距離或線段長度的方法
(1)將此線段用向量表示；
(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；
(3)利用|a|＝，通過計算求出|a|，即得所求距離．
[跟進訓練]
4．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求兩直線的夾角
【例5】　在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．
(1)設＝a，＝b，＝c，{a，b，c}構成空間的一個基底，用它們表示．
(2)求AC1與MN的夾角．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求兩個向量的夾角的兩種方法
(1)結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍；
(2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝，求cos 〈a，b〉，最后確定〈a，b〉．
[跟進訓練]
5．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．設x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的一個基底的向量組有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
2．如圖所示，在四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，點M在OA上，且＝2，點N為BC的中點，則＝(　　)
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．a＋b－c
3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　)
A． B． C． D．
4．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，＝，點N為B1B的中點，則||等于________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若{a，b，c}是空間的基底，則a，b，c滿足什么條件？
2．敘述空間向量基本定理的內容．
3．如何證明兩種位置關系(垂直與平行)

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