資源簡介

1.3.1　空間直角坐標系
學習任務 1．了解空間直角坐標系．(數學抽象) 2．掌握空間直角坐標系中點的坐標和向量的坐標的概念．(直觀想象) 3．能在空間直角坐標系中表示空間中點的坐標和向量的坐標．(數學運算)
(1)如圖所示，怎樣才能刻畫地球的衛星在空間中的位置？
(2)在直線上建立數軸后，就可以用一個數刻畫點在直線上的位置；平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個互相垂直的單位向量，引進了平面向量的坐標．空間向量是否可以引進類似的坐標？
知識點1　空間直角坐標系
(1)建系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標系．
(2)有關概念
坐標軸 x軸、y軸、z軸
原點 點O
坐標向量 i，j，k
坐標平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面，它們把空間分成八個部分
(3)建系的常用規則
①畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
②在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
知識點2　空間中點的坐標和空間向量的坐標
(1)點的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A( x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
(2)給定向量a，若＝a，則a＝xi＋yj＋zk，有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，記作a＝(x，y，z)．
空間直角坐標系中，坐標軸上的點的坐標有何特征？
提示：x軸上的點的縱坐標、豎坐標都為0，即(x，0，0)．y軸上的點的橫坐標、豎坐標都為0，即(0，y，0)．z軸上的點的橫坐標、縱坐標都為0，即(0，0，z)．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間直角坐標系中x軸與y軸的夾角為45°． (　　)
(2)空間直角坐標系中有三個坐標平面，它們把空間分成四個部分． (　　)
(3)在空間中可建立無數個空間直角坐標系． (　　)
(4)若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，則a的坐標是(x，y，z)． (　　)
(5)若向量＝(x，y，z)，則點B的坐標是(x，y，z)． (　　)
(6)若點A的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y，z)． (　　)
(7)若四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標相同． (　　)
提示：(1)×　空間直角坐標系中，三條坐標軸相互垂直．
(2)×　空間直角坐標系中，三個坐標平面把空間分成8個部分．
(3)√　原點位置不同，就得到不同的空間直角坐標系．
(4)×　{e1，e2，e3}不一定是單位正交基底．
(5)×　點A不一定和原點O重合．
(6)√　根據空間向量的坐標定義可知．
(7)√　由＝可知的坐標相同．
類型1　求空間點的坐標
【例1】　長方體ABCD-A′B′C′D′的長、寬、高分別為|AB|＝8，|AD|＝3，|AA′|＝5.建立適當的空間直角坐標系，并求頂點A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐標．
[解]　如圖所示，以A為原點，分別以有向直線AB，AD，AA′為x軸、y軸、z軸的正方向，以1為單位長度，建立空間直角坐標系A-xyz，則點A，B，C，D都在平面xAy內，因而其豎坐標z都為0，因此A，B，C，D的坐標分別是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0)．
由于點A′，B′，C′，D′都在一個垂直于z軸的平面A′B′C′D′內，又|AA′|＝5，所以這四點的豎坐標z都是5.又過A′，B′，C′，D′分別作xAy平面的垂線，垂足分別為A，B，C，D，因此A′，B′，C′，D′的橫坐標x、縱坐標y分別與A，B，C，D的橫坐標x、縱坐標y相同．
因此A′，B′，C′，D′的坐標分別是A′(0，0，5)，B′(8，0，5)，C′(8，3，5)，D′(0，3，5)．
　1．若已給出坐標系，不用再建系，若未給出坐標系，建立空間直角坐標系時應遵循以下原則：
(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內；
(2)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．求某點的坐標時，一般先找這一點在某一坐標平面上的射影，確定其兩個坐標，再找出它在另一坐標軸上的射影(或者通過它到這個坐標平面的距離加上正負號)進而確定第三個坐標．
[跟進訓練]
1．在棱長均為2a的正四棱錐P-ABCD中，建立恰當的空間直角坐標系．
(1)寫出正四棱錐P-ABCD各頂點的坐標；
(2)寫出棱PB的中點M的坐標．
[解]　如圖，連接AC，BD交于點O，連接PO.
∵四棱錐P-ABCD為正四棱錐，且棱長均為2a，
∴四邊形ABCD為正方形，且PO⊥平面ABCD．
∴OA＝a，
PO＝＝＝a.
∴以點O為坐標原點，OA，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖．
(1)正四棱錐P-ABCD中各頂點坐標分別為A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)．
(2)∵M為棱PB的中點，
∴M，
即M.
類型2　求對稱點的坐標
【例2】　在空間直角坐標系中，點P(－2，1，4)．
(1)求點P關于x軸的對稱點的坐標；
(2)求點P關于Oxy平面的對稱點的坐標；
(3)求點P關于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標．
[解]　(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點為P1(－2，－1，－4)．
(2)由于點P關于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點為P2(－2，1，－4)．
(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點．由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
　點P(x，y，z)關于坐標軸，坐標平面對稱的點P′的坐標與點P的坐標有什么關系？
提示：關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反，如點(x，y，z)關于y軸的對稱點為(－x，y，－z)，關于Ozx平面的對稱點為(x，－y，z)．
[跟進訓練]
2．點P(－3，2，－1)關于平面Ozx的對稱點是______，關于z軸的對稱點是________，關于M(1，2，1)的對稱點是________．
(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5，2，3)　[點P(－3，2，－1)關于平面Ozx的對稱點是(－3，－2，－1)，關于z軸的對稱點是(3，－2，－1)．設點P(－3，2，－1)關于M(1，2，1)的對稱點為(x，y，z)．
則解得
故點P(－3，2，－1)關于點M(1，2，1)的對稱點為(5，2，3)．]
類型3　求空間向量的坐標
【例3】　在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的邊長為1，三棱柱的高為2，建立適當的空間直角坐標系，并寫出的坐標．
[解]　分別取BC，B1C1的中點D，D1，所以DC，DA，DD1兩兩垂直，以D為坐標原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示．
設i，j，k分別是x，y，z軸正方向上的單位向量，因為AD＝，DC＝，所以＝＝2k，＝－－＝－i－j＋2k，＝＝i－j＋2k，所以＝(0，0，2)，＝，＝.
　用坐標表示空間向量的步驟
[跟進訓練]
3．棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別為棱DD1，D1C1，BC的中點，以{}為正交基底，建系如圖所示，求下列向量的坐標：
(1)；
(2).
[解]　在正交基底{}下，
(1)＝＝＋＝＋，
所以＝＝＝.
(2)＝＝＋，
所以＝；
＝＝－－，
所以＝；＝＝－，
所以＝.
1．已知e1，e2，e3是空間直角坐標系Oxyz中與x，y，z軸的正方向相同的單位向量，若＝－e1＋e2－e3，則B點的坐標為(　　)
A．(－1，1，－1)　 B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1) D．不確定
D　[向量的坐標與B點的坐標不同，由于A點的坐標未知，故無法確定B點的坐標．]
2．已知點A(3，2，－3)，則點A關于y軸的對稱點的坐標是(　　)
A．(－3，－2，3) B．(－3，2，－3)
C．(－3，2，3) D．(－3，－2，－3)
C　[點A關于y軸對稱后，它在y軸上的分量不變，在x軸，z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點的坐標為(－3，2，3)．]
3．如圖，在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，點P是B1C1的中點，則點P的坐標為(　　)
A．(3，5，4) B．
C． D．
C　[由題圖知，點P在x軸、y軸、z軸上的射影分別為P1，P2，P3，它們在坐標軸上的坐標分別是，5，4，故點P的坐標是．]
4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中建立空間直角坐標系，若正方體的棱長為1，則的坐標為 ________，的坐標為 ________．
(1，0，0)　(1，0，1)　[由題圖可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，
所以＝(1，0，0)，＝＝(0，0，1)＋(1，0，0)＝(1，0，1)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在空間幾何圖形中如何建立空間直角坐標系？
提示：(1)觀察圖形，尋找兩兩垂直的三條直線，必要時作輔助線．
(2)讓盡量多的點落在坐標軸或坐標平面內．
(3)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．如何確定空間一點P的坐標？
提示：先將P投射(沿與z軸平行的方向)到Oxy平面上的一點P1，由P1P的長度及與z軸正方向的異同確定豎坐標z，再在Oxy平面上同平面直角坐標系中一樣的方法確定P1的橫坐標x，縱坐標y，最后得出點P的坐標(x，y，z)．
3．如何求空間向量的坐標？
提示：在空間直角坐標系中，把向量用單位正交基底{i，j，k}表示，從而求出空間向量的坐標．1.3.1　空間直角坐標系
學習 任務 1．了解空間直角坐標系．(數學抽象) 2．掌握空間直角坐標系中點的坐標和向量的坐標的概念．(直觀想象) 3．能在空間直角坐標系中表示空間中點的坐標和向量的坐標．(數學運算)
(1)如圖所示，怎樣才能刻畫地球的衛星在空間中的位置？
(2)在直線上建立數軸后，就可以用一個數刻畫點在直線上的位置；平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個互相垂直的單位向量，引進了平面向量的坐標．空間向量是否可以引進類似的坐標？
知識點1　空間直角坐標系
(1)建系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以____________的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標系．
(2)有關概念
坐標軸 ________軸、________軸、________軸
原點 點________
坐標向量 ________，________，________
坐標平面 ______平面、______平面和______平面，它們把空間分成______個部分
(3)建系的常用規則
①畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向________的正方向，食指指向________的正方向，如果中指指向________的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
知識點2　空間中點的坐標和空間向量的坐標
(1)點的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝__________，則________叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A( x，y，z)，其中____叫做點A的橫坐標，____叫做點A的縱坐標，____叫做點A的豎坐標．
(2)給定向量a，若＝a，則a＝xi＋yj＋zk，有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，記作a＝(x，y，z)．
空間直角坐標系中，坐標軸上的點的坐標有何特征？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間直角坐標系中x軸與y軸的夾角為45°． (　　)
(2)空間直角坐標系中有三個坐標平面，它們把空間分成四個部分． (　　)
(3)在空間中可建立無數個空間直角坐標系． (　　)
(4)若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，則a的坐標是(x，y，z)． (　　)
(5)若向量＝(x，y，z)，則點B的坐標是(x，y，z)． (　　)
(6)若點A的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y，z)． (　　)
(7)若四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標相同． (　　)
類型1　求空間點的坐標
【例1】　長方體ABCD-A′B′C′D′的長、寬、高分別為|AB|＝8，|AD|＝3，|AA′|＝5．建立適當的空間直角坐標系，并求頂點A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐標．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．若已給出坐標系，不用再建系，若未給出坐標系，建立空間直角坐標系時應遵循以下原則：
(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內；
(2)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．求某點的坐標時，一般先找這一點在某一坐標平面上的射影，確定其兩個坐標，再找出它在另一坐標軸上的射影(或者通過它到這個坐標平面的距離加上正負號)進而確定第三個坐標．
[跟進訓練]
1．在棱長均為2a的正四棱錐P-ABCD中，建立恰當的空間直角坐標系．
(1)寫出正四棱錐P-ABCD各頂點的坐標；
(2)寫出棱PB的中點M的坐標．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　求對稱點的坐標
【例2】　在空間直角坐標系中，點P(－2，1，4)．
(1)求點P關于x軸的對稱點的坐標；
(2)求點P關于Oxy平面的對稱點的坐標；
(3)求點P關于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　點P(x，y，z)關于坐標軸，坐標平面對稱的點P′的坐標與點P的坐標有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
2．點P(－3，2，－1)關于平面Ozx的對稱點是________，關于z軸的對稱點是________，關于M(1，2，1)的對稱點是________．
類型3　求空間向量的坐標
【例3】　在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的邊長為1，三棱柱的高為2，建立適當的空間直角坐標系，并寫出的坐標．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用坐標表示空間向量的步驟
[跟進訓練]
3．棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別為棱DD1，D1C1，BC的中點，以{}為正交基底，建系如圖所示，求下列向量的坐標：
(1)；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知e1，e2，e3是空間直角坐標系Oxyz中與x，y，z軸的正方向相同的單位向量，若＝－e1＋e2－e3，則B點的坐標為(　　)
A．(－1，1，－1)　　 B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1) D．不確定
2．已知點A(3，2，－3)，則點A關于y軸的對稱點的坐標是(　　)
A．(－3，－2，3) B．(－3，2，－3)
C．(－3，2，3) D．(－3，－2，－3)
3．如圖，在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，點P是B1C1的中點，則點P的坐標為(　　)
A．(3，5，4) B．
C． D．
4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中建立空間直角坐標系，若正方體的棱長為1，則的坐標為 ________，的坐標為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在空間幾何圖形中如何建立空間直角坐標系？
2．如何確定空間一點P的坐標？
3．如何求空間向量的坐標？1.3.2　空間向量運算的坐標表示
學習任務 1.掌握空間向量運算的坐標表示，并據此會判斷兩個向量是否共線或垂直．(數學運算) 2．掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題．(數學運算、邏輯推理)
平面向量運算的坐標表示：
設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2.
你能由平面向量運算的坐標表示類比得到空間向量運算的坐標表示嗎？它們是否成立？為什么？
知識點1　空間向量運算的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標運算法則如下表所示：
運算 坐標表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知識點2　空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)
模 |a|＝＝
夾角公式 cos 〈a，b〉＝＝
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b一定有＝＝成立嗎？
提示：當b1，b2，b3均不為0時，＝＝成立．
知識點3　向量的坐標及兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
P1P2＝||＝_．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，則|a|＝|b|． (　　)
(2)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，則a⊥b． (　　)
(3)在空間直角坐標系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，則＝(－3，－3，－3)． (　　)
(4)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，則a為單位向量． (　　)
提示：(1)√　|a|＝＝，|b|＝＝，所以|a|＝|b|.
(2)√　由a·b＝0，得a⊥b.
(3)×　由A(1，2，3)，B(4，5，6)，得＝(4－1，5－2，6－3)＝(3，3，3)．
(4)×　若x1＝y1＝z1＝1，則|a|＝＝，所以a不是單位向量．
2．已知空間向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，則m＋n＝______，3m－n＝________，2m·(－3n)＝________．
(－1，－1，1)　(5，－11，19)　168　[m＋n＝(1，－3，5)＋(－2，2，－4)＝(－1，－1，1)；
3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2，－4)＝(5，－11，19)；
2m·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168．]
3．若點A(0，1，2)，B(1，0，1)，則＝__________，||＝________．
(1，－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，
||＝＝．]
類型1　空間向量的坐標運算
【例1】　(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________．
(2)已知O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求出點P的坐標使＝)．
(1)2　[c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]
(2)[解]　＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)，
∴＝(6，3，－4)．
設點P的坐標為(x，y，z)，則＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，則點P的坐標為.
　關于空間向量坐標運算的兩類問題
(1)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算；
(2)由條件求向量或點的坐標：首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標．
[跟進訓練]
1．已知空間四點A，B，C，D的坐標分別是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cos 〈p，q〉．
[解]　由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，
所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9)．
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)
＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2
＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26.
(4)cos 〈p，q〉＝
＝
＝＝－.
類型2　空間向量平行、垂直的坐標表示及應用
　由向量平行、垂直關系求參數
【例2】　已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k＝________．
　[因為a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，
又2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)．
又ka＋b與2a－b垂直，
所以3(k－1)＋2k＝0，解得k＝．]
[母題探究]
本例的條件“垂直”改為“平行”，其他條件不變，試求k的值．
[解]　因為a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)，
又ka＋b與2a－b互相平行，
所以存在λ，使得ka＋b＝λ(2a－b)，(k－1，k，k＋2)＝λ(3，2，0)，
所以解得
　利用平行與垂直求參數時要注意：
(1)適當引入參數(比如向量a，b平行，可設a＝λb)，建立關于參數的方程；
(2)最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的．
[跟進訓練]
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分別求λ與m的值；
(2)若|a|＝，且與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[解]　(1)因為a∥b，所以設(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，所以
解得所以λ＝，m＝3.
(2)因為|a|＝且a⊥c，
所以
化簡得解得λ＝－1.
因此a＝(0，1，－2)．
　向量的平行、垂直關系在立體幾何證明中的應用
【例3】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點．求證：
(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[證明]　如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．
由中點坐標公式，得E，F，G，H.
(1)＝(1，0，1)，＝，＝.
因為＝2＝1×＋1×＝0，
所以∥⊥，
即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)＝＝，＝.
因為＝－＋0＝0，＝＋0－＝0，
所以⊥⊥，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因為DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．
　利用向量的坐標運算證明平行或垂直，要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．
[跟進訓練]
3．如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F為CD的中點．
(1)求證：AF∥平面BCE；
(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.
[證明]　設AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．
∵點F為CD的中點，
∴F.
(1)∵＝＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，
∴＝)，
又AF 平面BCE，∴AF∥平面BCE.
(2)∵＝＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)，∴＝0，＝0，
∴⊥⊥，
∴AF⊥CD，AF⊥ED．
又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.
又AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.
類型3　利用空間向量的坐標運算解決
夾角和距離問題
【例4】　(源自北師大版教材)如圖所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，側棱與底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，點M，N分別是A′B′和A′A的中點．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求證：⊥.
[解]　如圖所示，以點C為原點，CA，CB，CC′所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
(1)由題意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
則＝(1，－1，1)，||＝＝.
(2)由題意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)．
因為＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以||＝＝，
||＝＝，
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cos 〈〉＝＝＝.
故cos 〈〉的值為.
(3)證明：由題意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M.
因為＝(－1，1，－2)，＝，
所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，
即⊥.
　用空間向量的坐標運算解決夾角和距離問題的基本思路是什么？
提示：(1)根據條件建立適當的空間直角坐標系；
(2)寫出相關點的坐標，用向量表示相關元素；
(3)通過向量的坐標運算求夾角和距離．
[跟進訓練]
4．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點P使得PS⊥PD．
(1)求a的最大值；
(2)當a取得最大值時，求異面直線AP與SD所成角的余弦值．
[解]　如圖所示，以A為坐標原點，AB，AD，AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設BP＝x(0∴＝(－a，－x，1)，＝(－a，2－x，0)．
(1)∵PS⊥PD，∴＝0，
∴a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1，
∴當x＝1時，a取得最大值1.
(2)由(1)知，當a取得最大值1時，＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，
∴cos 〈〉＝＝，
即異面直線AP與SD所成角的余弦值為.
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b＝(　　)
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
B　[b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)，故選B．]
2．已知空間直角坐標系O-xyz中的點A(2，－1，－3)關于xOy平面的對稱點為B，則|AB|的值為(　　)
A． 　　　B．4　　　C．6 　　　D．2
C　[A(2，－1，－3)關于xOy平面的對稱點為B(2，－1，3)，
所以|AB|＝＝6.故選C．]
3．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，則x－y＝________．
4　[由a∥b得a＝λb，所以
解得所以x－y＝4．]
4．已知空間三點A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，則與的夾角的大小是______．
　[∵＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
∴||＝，||＝，
＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，
∴cos 〈〉＝＝＝－，又〈〉∈[0，π]，
∴〈〉＝．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何用空間向量的坐標運算表示平行、垂直、模及夾角？
提示：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則當b≠0時 ，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos 〈a，b〉＝＝.
2．你是如何用空間向量的坐標運算來研究平行、垂直、夾角和距離的？
提示：(1)根據條件建立適當的空間直角坐標系；
(2)求出相關點的坐標，用向量表示相關元素；
(3)通過向量的坐標運算研究平行、垂直、夾角和距離．1.3.2　空間向量運算的坐標表示
學習任務 1.掌握空間向量運算的坐標表示，并據此會判斷兩個向量是否共線或垂直．(數學運算) 2．掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題．(數學運算、邏輯推理)
平面向量運算的坐標表示：
設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2.
你能由平面向量運算的坐標表示類比得到空間向量運算的坐標表示嗎？它們是否成立？為什么？
知識點1　空間向量運算的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標運算法則如下表所示：
運算 坐標表示
加法 a＋b＝__________________________
減法 a－b＝__________________________
數乘 λa＝________，λ∈R
數量積 a·b＝__________________
知識點2　空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb ______________________
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 ________________________(a，b均為非零向量)
模 |a|＝＝________________
夾角公式 cos 〈a，b〉＝＝
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b一定有＝＝成立嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點3　向量的坐標及兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則＝__________________；P1P2＝||＝____________________．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，則|a|＝|b|． (　　)
(2)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，則a⊥b． (　　)
(3)在空間直角坐標系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，則＝(－3，－3，－3)． (　　)
(4)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，則a為單位向量． (　　)
2．已知空間向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，則m＋n＝______，3m－n＝________，2m·(－3n)＝________．
3．若點A(0，1，2)，B(1，0，1)，則＝__________，||＝________．
類型1　空間向量的坐標運算
【例1】　(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________．
(2)已知O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求出點P的坐標使＝)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　關于空間向量坐標運算的兩類問題
(1)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算；
(2)由條件求向量或點的坐標：首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標．
[跟進訓練]
1．已知空間四點A，B，C，D的坐標分別是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cos 〈p，q〉．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　空間向量平行、垂直的坐標表示及應用
　由向量平行、垂直關系求參數
【例2】　已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例的條件“垂直”改為“平行”，其他條件不變，試求k的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用平行與垂直求參數時要注意：
(1)適當引入參數(比如向量a，b平行，可設a＝λb)，建立關于參數的方程；
(2)最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的．
[跟進訓練]
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分別求λ與m的值；
(2)若|a|＝，且與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量的平行、垂直關系在立體幾何證明中的應用
【例3】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點．求證：
(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用向量的坐標運算證明平行或垂直，要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．
[跟進訓練]
3．如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F為CD的中點．
(1)求證：AF∥平面BCE；
(2)求證：平面BCE⊥平面CDE．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用空間向量的坐標運算解決夾角和距離問題
【例4】　(源自北師大版教材)如圖所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，側棱與底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，點M，N分別是A′B′和A′A的中點．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求證：⊥．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用空間向量的坐標運算解決夾角和距離問題的基本思路是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
4．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點P使得PS⊥PD．
(1)求a的最大值；
(2)當a取得最大值時，求異面直線AP與SD所成角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b＝(　　)
A．(2，－4，2)　　 B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
2．已知空間直角坐標系O-xyz中的點A(2，－1，－3)關于xOy平面的對稱點為B，則|AB|的值為(　　)
A．　　　B．4　　C．6　　D．2
3．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，則x－y＝________．
4．已知空間三點A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，則與的夾角的大小是______．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何用空間向量的坐標運算表示平行、垂直、模及夾角？
2．你是如何用空間向量的坐標運算來研究平行、垂直、夾角和距離的？

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