資源簡介

1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
第1課時(shí)　空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．(數(shù)學(xué)抽象) 2．會(huì)求一個(gè)平面的法向量．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
立體幾何研究的基本對象是點(diǎn)、直線、平面以及由它們組成的空間圖形，為了用空間向量解決幾何問題，首先必須把點(diǎn)、直線、平面用向量表示出來．
那么，如何利用向量刻畫直線與平面的方向與位置？
知識(shí)點(diǎn)1　空間中點(diǎn)的位置向量
如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量來表示．我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量．
知識(shí)點(diǎn)2　空間直線的向量表示式
(1)如圖1，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得＝ta，即＝t．如圖2，取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋ta①，或＝＋t②.①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．
(2)空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．
1．如何確定直線的方向向量？
提示：l是空間一直線，A，B是l上任意兩點(diǎn)，則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量．
知識(shí)點(diǎn)3　空間平面的向量表示式
(1)通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)向量來確定
條件 平面α內(nèi)兩條相交直線的方向向量a，b和交點(diǎn)O
形式 對于平面α上任意一點(diǎn)P，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得＝xa＋yb
(2)通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)和法向量來確定
平面的法向量 直線l⊥α，直線l的方向向量，叫做平面α的法向量
確定平面位置 過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面是完全確定的
2.如果n為平面α的一個(gè)法向量，A，B為平面α內(nèi)的兩點(diǎn)，則n與有什么關(guān)系？
提示：n⊥，即n·＝0.
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)零向量不能作為直線的方向向量． (　　)
(2)若向量v是直線l的方向向量，則λv(λ≠0)也是直線l的方向向量． (　　)
(3)直線l的方向向量都平行，且方向相同． (　　)
(4)平面α的所有法向量都平行，且同向． (　　)
(5)若n是平面α的一個(gè)法向量，則λn(λ∈R)也是平面α的一個(gè)法向量． (　　)
(6)向量i＝(1，0，0)是坐標(biāo)平面Oyz的一個(gè)法向量． (　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)×
(4)×　法向量也可能方向相反．
(5)×　當(dāng)λ＝0時(shí)，λn＝0，不能作為平面的法向量．
(6)√　x軸垂直于坐標(biāo)平面Oyz.
2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A(1，2，3)的位置向量是________．
＝(1，2，3)　[位置向量＝(1，2，3)．]
類型1　直線的方向向量
【例1】　(1)已知直線l的一個(gè)方向向量m＝(2，－1，3)，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于(　　)
A．0　　　B．1　　　　C．　　　D．3
(2)(源自湘教版教材)如圖所示，已知長方體ABCD-A′B′C′D′的棱長AB＝2，AD＝4，AA′＝3.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，求下列直線的一個(gè)方向向量：
①AA′；②BD′.
(1)A　[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，
＝(－1，2－y，z－3)，
∵直線l的一個(gè)方向向量為m＝(2，－1，3)，
故設(shè)＝km，∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0．]
(2)[解]　由已知可得，長方體頂點(diǎn)A，B，A′，D′的坐標(biāo)分別為A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
①因?yàn)橄蛄浚?0，0，3)，所以直線AA′的一個(gè)方向向量為(0，0，3)．
②因?yàn)橄蛄浚?－4，－2，3)，所以直線BD′的一個(gè)方向向量為(－4，－2，3)．
　求直線的方向向量的兩種方法
(1)在直線l上確定兩點(diǎn)A，B，則就是直線l的方向向量．
(2)在與直線l平行的直線m上確定兩點(diǎn)A1，B1，則就是直線l的方向向量．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)(多選)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是(　　)
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
(2)從點(diǎn)A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取線段長||＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C． D．
(1)AB　(2)A　[(1)∵M(jìn)，N在直線l上，
∴＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直線l的一個(gè)方向向量．
(2)設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)，則＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因?yàn)閨|＝34，
即＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17．]
類型2　求平面的法向量
【例2】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量．
[解]　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，
所以AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，，0)，P(0，0，1)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，
則即
所以令y＝－1，則x＝z＝.
所以平面ACE的一個(gè)法向量為n＝(，－1，)．
[母題探究]
本例條件不變，試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量？
[解]　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，即直線PC的一個(gè)方向向量為(1，，－1)．
設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)．
因?yàn)镈(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
由即
所以令y＝1，則z＝.
所以平面PCD的一個(gè)法向量為(0，1，)．
　如何確定平面的法向量？
提示：按如下步驟求平面的法向量：
(1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)．
(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線向量.
(3)列方程組：由列出方程組．
(4)解方程組：
(5)賦非零值：取x，y，z其中一個(gè)為非零值(常取±1)．
(6)得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自湘教版教材)如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中A，B，D，A1的坐標(biāo)分別為A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．分別求平面ABCD與平面BDA1的一個(gè)法向量．
[解]　由于z軸垂直于平面ABCD，而z軸可用方向向量＝(0，0，a)表示，因此(0，0，a)是平面ABCD的一個(gè)法向量．
設(shè)n＝(x，y，z)是平面BDA1的法向量．
由已知得＝(－a，a，0)，＝(－a，0，a)，
因而
取x＝1，得y＝z＝1，
則n＝(1，1，1)是平面BDA1的一個(gè)法向量．
1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為(　　)
A．(2，1，1)　　　　 B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
B　[∵＝(－1，1，1)，而與共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量，故選B．]
2．過空間三點(diǎn)A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一個(gè)法向量是(　　)
A．(1，1，1) B．(1，1，－1)
C．(1，0，1) D．(－1，0，1)
A　[＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)．設(shè)該平面的法向量為a＝(x，y，z)．
由題意知a·＝0，a·＝0，
所以，即，令z＝1，得平面的一個(gè)法向量是(1，1，1)．]
3．(多選)設(shè)(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空間直線l上的兩點(diǎn)，則直線l的一個(gè)方向向量v的坐標(biāo)可以是(　　)
A．(2，1，3) B．(4，1，6)
C． D．(2，－4，－2)
AC　[設(shè)點(diǎn)A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)，那么＝(2，1，3)，即為空間直線l的一個(gè)方向向量，－＝－(2，1，3)＝也是空間直線l的一個(gè)方向向量．故選AC．]
4．已知平面α經(jīng)過點(diǎn)O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是______．
x＋2y－3z＝0　[由題意得e⊥，則·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何求直線l的方向向量？直線的方向向量唯一嗎？
提示：在直線l或與直線l平行的直線上取兩點(diǎn)A，B，則就是直線l的方向向量．直線的方向向量有無數(shù)個(gè)，哪個(gè)易求求哪個(gè)．
2．平面的法向量有無數(shù)個(gè)，它們是什么關(guān)系？
提示：共線．
3．如何求一個(gè)平面的法向量？
提示：(1)設(shè)法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面內(nèi)找兩個(gè)不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程組
(4)解方程組：用一個(gè)未知量表示其他兩個(gè)未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個(gè)法向量．1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
第1課時(shí)　空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．(數(shù)學(xué)抽象) 2．會(huì)求一個(gè)平面的法向量．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
立體幾何研究的基本對象是點(diǎn)、直線、平面以及由它們組成的空間圖形，為了用空間向量解決幾何問題，首先必須把點(diǎn)、直線、平面用向量表示出來．
那么，如何利用向量刻畫直線與平面的方向與位置？
知識(shí)點(diǎn)1　空間中點(diǎn)的位置向量
如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量來表示．我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量．
知識(shí)點(diǎn)2　空間直線的向量表示式
(1)如圖1，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得＝ta，即＝t．如圖2，取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋________①，或＝＋________②．①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．
(2)空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．
1．如何確定直線的方向向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)3　空間平面的向量表示式
(1)通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)向量來確定
條件 平面α內(nèi)兩條________直線的方向向量a，b和交點(diǎn)O
形式 對于平面α上任意一點(diǎn)P，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得＝________
(2)通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)和法向量來確定
平面的法向量 直線l⊥α，直線l的________，叫做平面α的法向量
確定平面位置 過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面是完全確定的
2．如果n為平面α的一個(gè)法向量，A，B為平面α內(nèi)的兩點(diǎn)，則n與有什么關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)零向量不能作為直線的方向向量． (　　)
(2)若向量v是直線l的方向向量，則λv(λ≠0)也是直線l的方向向量． (　　)
(3)直線l的方向向量都平行，且方向相同． (　　)
(4)平面α的所有法向量都平行，且同向． (　　)
(5)若n是平面α的一個(gè)法向量，則λn(λ∈R)也是平面α的一個(gè)法向量． (　　)
(6)向量i＝(1，0，0)是坐標(biāo)平面Oyz的一個(gè)法向量． (　　)
2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A(1，2，3)的位置向量是________．
類型1　直線的方向向量
【例1】　(1)已知直線l的一個(gè)方向向量m＝(2，－1，3)，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于(　　)
A．0　B．1　　　C．　　　D．3
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(源自湘教版教材)如圖所示，已知長方體ABCD-A′B′C′D′的棱長AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，求下列直線的一個(gè)方向向量：
①AA′；②BD′．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求直線的方向向量的兩種方法
(1)在直線l上確定兩點(diǎn)A，B，則就是直線l的方向向量．
(2)在與直線l平行的直線m上確定兩點(diǎn)A1，B1，則就是直線l的方向向量．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)(多選)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是(　　)
A．(2，2，6)　　　 B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
(2)從點(diǎn)A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取線段長||＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C． D．
類型2　求平面的法向量
【例2】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例條件不變，試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如何確定平面的法向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自湘教版教材)如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中A，B，D，A1的坐標(biāo)分別為A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．分別求平面ABCD與平面BDA1的一個(gè)法向量．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為(　　)
A．(2，1，1)　　　　　 B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
2．過空間三點(diǎn)A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一個(gè)法向量是(　　)
A．(1，1，1) B．(1，1，－1)
C．(1，0，1) D．(－1，0，1)
3．(多選)設(shè)(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空間直線l上的兩點(diǎn)，則直線l的一個(gè)方向向量v的坐標(biāo)可以是(　　)
A．(2，1，3) B．(4，1，6)
C． D．(2，－4，－2)
4．已知平面α經(jīng)過點(diǎn)O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是______．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何求直線l的方向向量？直線的方向向量唯一嗎？
2．平面的法向量有無數(shù)個(gè)，它們是什么關(guān)系？
3．如何求一個(gè)平面的法向量？第2課時(shí)　空間中直線、平面的平行
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
平行是立體幾何中主要的位置關(guān)系，那么如何用向量方法進(jìn)行研究呢？
知識(shí)點(diǎn)　空間中直線、平面平行的向量表達(dá)式
位置關(guān)系 向量表達(dá)式
線線平行 設(shè)μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2
線面平行 設(shè)μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α μ⊥n μ·n＝0
面面平行 設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？
提示：可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進(jìn)而確定線面是否平行．
用向量方法證明線線平行時(shí)，必須說明兩直線不重合；證明線面平行時(shí)，必須說明直線不在平面內(nèi)；證明面面平行時(shí)，必須說明兩個(gè)平面不重合．
1．若平面β外的一條直線l的方向向量是u＝(－1，2，－3)，平面β的法向量為n＝(4，－1，－2)，則l與β的位置關(guān)系是________．
l∥β　[由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β．]
2．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，則平面α，β的位置是________．
α∥β　[由v＝－4u知u∥v，所以α∥β．]
類型1　直線和直線平行
【例1】　在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在棱DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn)．求證：MN∥RS.
[證明]　法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.
則分別為MN，RS的方向向量，
所以＝＝，
所以＝，所以∥，
因?yàn)镸 RS，
所以MN∥RS.
法二：設(shè)＝a，＝b，＝c，
則＝＝c－a＋b，
＝＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
　向量法證明直線平行的兩種思路
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求證：MN∥AP.
[證明]　法一：由題意知，直線DA，DC，DP兩兩垂直．如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，E，N，M，
所以＝(－1，0，1)，＝，
所以＝，故MN∥AP.
法二：由題意可得＝＝＋＝＋×)＝＋＋＝＋＝)＝，
所以MN∥AP.
類型2　直線和平面平行
【例2】　如圖所示，在空間圖形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD．
[思路導(dǎo)引]　―→建立空間直角坐標(biāo)系BC，PB―→點(diǎn)A，C，D，P的坐標(biāo)點(diǎn)M的坐標(biāo)―→n·＝0，n·＝0―→n―→⊥nCM∥平面PAD．
[證明]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.
因?yàn)椤螾BC＝30°，PC＝2，
所以BC＝2，PB＝4.
于是D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2)．
因?yàn)镻B＝4PM，
所以PM＝1，M.
所以＝＝(－1，0，2)，＝(3，2，0)．
設(shè)平面PAD的法向量為n＝(x，y，z)，
則有即
令x＝1，解得z＝，y＝－.
故n＝.
又因?yàn)椤＝＝0.
所以⊥n，又CM 平面PAD，
所以CM∥平面PAD．
[母題探究]
在本例條件下，在PA上是否存在一點(diǎn)N，使得DN∥平面PBC？若存在，求出點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由．
[解]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.
由原例題的解析可知，
D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2)．
因?yàn)楣簿€，
所以可設(shè)＝λ，
所以＝λ()，
所以＝λ＋(1－λ)＝λ(4，2，0)＋(1－λ)(0，0，2)＝(4λ，2λ，2(1－λ))，
＝＝(4λ－1，2λ，2(1－λ))，
由PC⊥平面ABCD，知PC⊥CD，
又BC⊥CD，PC∩BC＝C，
所以CD⊥平面PBC，
所以平面PBC的一個(gè)法向量為＝(1，0，0)，
若DN∥平面PBC，則＝4λ－1＝0，
解得λ＝，所以＝.
即存在點(diǎn)N在PA上，且滿足PN∶PA＝1∶4時(shí)，DN∥平面PBC．
　利用空間向量證明線面平行的三種方法
(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．
(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．
(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，C1B1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD．
[證明]　法一：如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，
則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝.
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
取x＝1，則y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
法二：＝＝－
＝)＝，
所以∥，又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
法三：＝＝－＝－＝)－)＝－.即可用線性表示，故是共面向量，又MN 平面A1BD，故MN∥平面A1BD．
類型3　平面與平面平行
【例3】　(源自湘教版教材)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)．
求證：平面AMN∥平面BDEF.
[證明]　如圖所示，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，M，
N，E，F(xiàn).
于是＝＝，
＝＝.
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，
則
取z1＝1，得x1＝2，y1＝－2，則n1＝(2，－2，1)．
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面BDEF的法向量，
則
取z2＝1，得y2＝－2，x2＝2，則n2＝(2，－2，1)＝n1.
又平面AMN與平面BDEF不重合，
故平面AMN∥平面BDEF.
　證明面面平行問題可用以下方法去證明：
(1)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行．
(2)分別求出這兩個(gè)平面的法向量，然后證明這兩個(gè)法向量平行．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：平面AA1D1D∥平面FCC1．
[證明]　因?yàn)锳B＝4，BC＝CD＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，所以BF＝BC＝CF，
所以△BCF為正三角形．
因?yàn)锳BCD為等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，
所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中點(diǎn)M，連接DM，
則DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以D為原點(diǎn)，DM為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)，F(xiàn)(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
所以＝(0，0，2)，＝(，－1，0)，
＝(，－1，0)，＝(0，0，2)，
所以∥∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
因?yàn)镈D1 平面AA1D1D，CC1 平面AA1D1D，
所以CC1∥平面AA1D1D．
因?yàn)镈A 平面AA1D1D，CF 平面AA1D1D，
所以CF∥平面AA1D1D．
又CF∩CC1＝C，CF 平面FCC1，
CC1 平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
1．若不重合的直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－3，－6，6)，則(　　)
A．l1∥l2　　　　　 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能確定
A　[因?yàn)椋剑剑詀∥b.又直線l1，l2不重合，所以l1，l2平行．]
2．(2022·遼寧高二月考)若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α或l∥α D．l與α斜交
C　[因?yàn)閍＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，所以l α或l∥α.故選C．]
3．設(shè)平面α的法向量為(1，2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
C　[因?yàn)棣痢桅拢裕剑剑詋＝4．]
4．若平面α外的一條直線l的一個(gè)方向向量是n＝(－1，2，－3)，平面α的一個(gè)法向量為m＝(4，－1，－2)，則l與α的位置關(guān)系是________．
平行　[n·m＝(－1，2，－3)·(4，－1，－2)＝0，
所以n⊥m.又l α，所以直線l與平面α平行，即l∥α．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．兩直線平行的向量表達(dá)式是什么？
提示：設(shè)μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2.
2．直線和平面平行的向量表達(dá)式是什么？
提示：設(shè)μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，則l∥α μ⊥n μ·n＝0.
3．平面和平面平行的向量表達(dá)式是什么？
提示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2.
4．證明線面平行有哪些方法？
提示：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；
(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量共面且直線不在平面內(nèi)；
(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．第2課時(shí)　空間中直線、平面的平行
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
平行是立體幾何中主要的位置關(guān)系，那么如何用向量方法進(jìn)行研究呢？
知識(shí)點(diǎn)　空間中直線、平面平行的向量表達(dá)式
位置關(guān)系 向量表達(dá)式
線線 平行 設(shè)μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2
線面 平行 設(shè)μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α μ⊥n μ·n＝0
面面 平行 設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
用向量方法證明線線平行時(shí)，必須說明兩直線不重合；證明線面平行時(shí)，必須說明直線不在平面內(nèi)；證明面面平行時(shí)，必須說明兩個(gè)平面不重合．
1．若平面β外的一條直線l的方向向量是u＝(－1，2，－3)，平面β的法向量為n＝(4，－1，－2)，則l與β的位置關(guān)系是________．
2．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，則平面α，β的位置是________．
類型1　直線和直線平行
【例1】　在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在棱DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn)．求證：MN∥RS．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量法證明直線平行的兩種思路
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求證：MN∥AP．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　直線和平面平行
【例2】　如圖所示，在空間圖形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD．
[思路導(dǎo)引]　―→建立空間直角坐標(biāo)系BC，PB―→點(diǎn)A，C，D，P的坐標(biāo)點(diǎn)M的坐標(biāo)―→n·＝0，n·＝0―→n―→⊥nCM∥平面PAD．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
在本例條件下，在PA上是否存在一點(diǎn)N，使得DN∥平面PBC？若存在，求出點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用空間向量證明線面平行的三種方法
(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．
(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．
(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，C1B1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　平面與平面平行
【例3】　(源自湘教版教材)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)．
求證：平面AMN∥平面BDEF．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明面面平行問題可用以下方法去證明：
(1)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行．
(2)分別求出這兩個(gè)平面的法向量，然后證明這兩個(gè)法向量平行．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：平面AA1D1D∥平面FCC1．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若不重合的直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－3，－6，6)，則(　　)
A．l1∥l2　　　　　　 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能確定
2．(2022·遼寧高二月考)若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α或l∥α D．l與α斜交
3．設(shè)平面α的法向量為(1，2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
4．若平面α外的一條直線l的一個(gè)方向向量是n＝(－1，2，－3)，平面α的一個(gè)法向量為m＝(4，－1，－2)，則l與α的位置關(guān)系是________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．兩直線平行的向量表達(dá)式是什么？
2．直線和平面平行的向量表達(dá)式是什么？
3．平面和平面平行的向量表達(dá)式是什么？
4．證明線面平行有哪些方法？第3課時(shí)　空間中直線、平面的垂直
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量可以刻畫直線的位置，由平面內(nèi)一點(diǎn)及平面的法向量可以刻畫平面的位置，那么就可以利用向量運(yùn)算來判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．下面我們就利用向量來研究垂直問題．
知識(shí)點(diǎn)　空間中直線、平面垂直的向量表達(dá)式
位置關(guān)系 向量表達(dá)式
線線垂直 設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為μ1，μ2，則l1⊥l2 μ1⊥μ2 μ1·μ2＝0
線面垂直 設(shè)直線l的方向向量為μ，平面α的法向量為n，則l⊥α μ∥n λ∈R，使得μ＝λn
面面垂直 設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交． (　　)
(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0． (　　)
(3)兩個(gè)平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直． (　　)
(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，則平面α，β互相垂直． (　　)
提示：(1)×　兩條直線可能異面垂直．
(2)√　根據(jù)線面垂直的定義可知．
(3)×　也可能平行．
(4)√　由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，從而α⊥β.
類型1　直線和直線垂直
【例1】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
求證：無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.
[證明]　法一：以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD＝a，
則A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F.
∵E在BC上，設(shè)E(m，1，0)，∴＝(m，1，－1)，＝，
∴＝0，∴PE⊥AF.
∴無論點(diǎn)E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.
法二：因?yàn)辄c(diǎn)E在邊BC上，可設(shè)＝λ，
于是＝()·)＝＋λ)·()＝＋λ＋λ)＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0.
因此⊥.
故無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.
　用向量法證明直線與直線垂直的方法和步驟
(1)基底法：①選取三個(gè)不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個(gè)基底；②把兩直線的方向向量用基底表示；③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．
(2)坐標(biāo)法：①根據(jù)已知條件和圖形特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo)；③計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)．求證：EF⊥BC．
[證明]　法一：(基底法)設(shè)＝a，＝b，＝c，
則{a，b，c}為空間的一個(gè)基底．
∵AE＝EC，DF＝FC，
∴EF∥AD，且EF＝AD，
∴＝＝＝(c－a)．
又＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴＝(c－a)·b＝(c·b－a·b)＝0，
∴⊥，∴EF⊥BC．
法二：(坐標(biāo)法)由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，
所以E，F(xiàn)，
所以＝＝(0，2，0)，
因此＝0，從而⊥，
所以EF⊥BC．
類型2　直線和平面垂直
【例2】　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中點(diǎn)．求證：B1E⊥平面AED1.
[思路導(dǎo)引]　建立空間直角坐標(biāo)系寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)―→求平面AED1的一個(gè)法向量―→證明與平面AED1的法向量平行―→B1E⊥平面AED1
[證明]　建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
∴D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)．
又E為CD的中點(diǎn)，∴E(0，1，0)，∴＝(－1，－1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．
設(shè)平面AED1的法向量為n＝(x，y，z)，
則取x＝1，
則y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一個(gè)法向量．
又＝－n，∴∥n，
∴B1E⊥平面AED1.
　證明直線與平面垂直的方法
(1)選基底，將相關(guān)向量用基底表示出來，然后利用向量的計(jì)算來證明．
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC．
[證明]　法一：設(shè)＝a，＝c，＝b，
則＝＝)
＝)＝)
＝(－a＋b＋c)．
∵＝＝a＋b，
∴＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＋0＋0)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．
法二：設(shè)正方體的棱長為2，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(1，1，2)．
∴＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)．
∴＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
∴⊥⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0，2，2)，
＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
設(shè)平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，則·n＝0，·n＝0，
即
取x＝1，則y＝1，z＝－1，
∴n＝(1，1，－1)，∴＝－n，
∴∥n，∴EF⊥平面B1AC．
類型3　平面與平面垂直
【例3】　(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)．
求證：平面BEF⊥平面ABC．
[證明]　如圖所示，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以為y軸、z軸的正方向，并取相同的單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)A(0，0，a)，則B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F(xiàn).
于是＝(0，0，－a)，＝，
＝＝.
法一：(利用平面的法向量)設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
則
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，則n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
則
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，則n2＝(1，1，－)是平面BEF的一個(gè)法向量．
因?yàn)閚1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用線面垂直)∵＝，
∴＝0，＝0，∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC
∴EF⊥平面ABC，又EF 平面BEF
∴平面BEF⊥平面ABC．
　證明面面垂直的兩種方法
(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
[證明]　由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
則＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，
＝.
法一：(利用平面的法向量)設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)．
則
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1，1，0)．
設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
則
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.
∴n2＝(1，－1，4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
法二：(利用線面垂直)取AC1的中點(diǎn)D，連接ED(圖略)．
則D＝(1，1，0)，
∴＝0，＝0，
∴ED⊥AC1，ED⊥AC，
又AC1∩AC＝A，AC1，AC 平面AA1C1C，
∴ED⊥平面AA1C1C，
又ED 平面AEC1，
∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．已知直線l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直線l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝(　　)
A．1 　　　B．2　　　C． 　　　D．3
B　[由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]
2．若直線l的一個(gè)方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，0，－4)，則(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l與α斜交
B　[∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α．]
3．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn)，且CF⊥B1E，則點(diǎn)F(0，y，z)滿足方程(　　)
A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0
D　[因?yàn)镋(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，
所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，
因?yàn)镃F⊥B1E，所以＝0，
即2－2z＝0，即z＝1．]
4．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．
5　[∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．兩直線垂直的向量表達(dá)式是什么？
提示：設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2．直線和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？
提示：設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
3．平面和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？
提示：設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
4．證明線面垂直有哪些方法？
提示：(1)基底法：把直線的方向向量和平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量用同一個(gè)基底表示，然后再證明它們垂直．
(2)坐標(biāo)法，利用線線垂直：建立空間直角坐標(biāo)系，把直線的方向向量和平面內(nèi)兩條不共線向量用坐標(biāo)表示，再證明它們垂直．
(3)坐標(biāo)法，利用平面的法向量：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量的坐標(biāo)，然后證明它們平行．第3課時(shí)　空間中直線、平面的垂直
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量可以刻畫直線的位置，由平面內(nèi)一點(diǎn)及平面的法向量可以刻畫平面的位置，那么就可以利用向量運(yùn)算來判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．下面我們就利用向量來研究垂直問題．
知識(shí)點(diǎn)　空間中直線、平面垂直的向量表達(dá)式
位置關(guān)系 向量表達(dá)式
線線 垂直 設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為μ1，μ2，則l1⊥l2 μ1⊥μ2 μ1·μ2＝0
線面 垂直 設(shè)直線l的方向向量為μ，平面α的法向量為n，則l⊥α μ∥n λ∈R，使得μ＝λn
面面 垂直 設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交． (　　)
(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0． (　　)
(3)兩個(gè)平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直． (　　)
(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，則平面α，β互相垂直． (　　)
類型1　直線和直線垂直
【例1】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
求證：無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用向量法證明直線與直線垂直的方法和步驟
(1)基底法：①選取三個(gè)不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個(gè)基底；②把兩直線的方向向量用基底表示；③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．
(2)坐標(biāo)法：①根據(jù)已知條件和圖形特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo)；③計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)．求證：EF⊥BC．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　直線和平面垂直
【例2】　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中點(diǎn)．求證：B1E⊥平面AED1．
[思路導(dǎo)引]　建立空間直角坐標(biāo)系寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)―→求平面AED1的一個(gè)法向量―→證明與平面AED1的法向量平行―→B1E⊥平面AED1
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明直線與平面垂直的方法
(1)選基底，將相關(guān)向量用基底表示出來，然后利用向量的計(jì)算來證明．
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　平面與平面垂直
【例3】　(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)．
求證：平面BEF⊥平面ABC．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明面面垂直的兩種方法
(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知直線l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直線l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝(　　)
A．1 B．2 C． D．3
2．若直線l的一個(gè)方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，0，－4)，則(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l與α斜交
3．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn)，且CF⊥B1E，則點(diǎn)F(0，y，z)滿足方程(　　)
A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
4．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．兩直線垂直的向量表達(dá)式是什么？
2．直線和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？
3．平面和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？
4．證明線面垂直有哪些方法？1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
第1課時(shí)　用空間向量研究距離問題
學(xué)習(xí) 任務(wù) 能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
空間中的距離問題包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離、異面直線的距離等．空間兩點(diǎn)間的距離即為以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模長．本節(jié)主要研究點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、平行線之間、平行平面之間的距離，這些距離都可以通過求向量的投影長得到．
知識(shí)點(diǎn)1　點(diǎn)P到直線l的距離
如圖，直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)．設(shè)＝a，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得點(diǎn)P到直線l的距離為PQ＝_＝．
點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線之間的距離有什么關(guān)系？
提示：在兩條平行直線中的一條上取一定點(diǎn)，該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線的距離．
知識(shí)點(diǎn)2　點(diǎn)P到平面α的距離
如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)．過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．因此PQ＝＝＝．
1．已知直線l過定點(diǎn)A(2，3，1)，且方向向量為s＝(0，1，1)，則點(diǎn)P(4，3，2)到l的距離d為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[＝(2，0，1)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝＝＝．]
2．已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2，1，4)到平面α的距離為________．
　[由題意知，＝(－1，－2，4)，|n|＝＝3，
·n＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10，
∴點(diǎn)P到平面α的距離為＝．]
類型1　點(diǎn)到直線的距離
【例1】　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為平面A1ABB1的中心，E為BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線A1E的距離．
[解]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A1(1，0，1)，E，O，
因?yàn)椋剑?br/>u＝＝，
取a＝＝，
所以a2＝，a·u＝－.
所以點(diǎn)O到直線A1E的距離為＝＝.
　用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟
(1)求直線的方向向量．
(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．
(3)利用勾股定理求解．
另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源自湘教版教材)已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線AF的距離．
[解]　如圖所示，以D為原點(diǎn)，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，E，F(xiàn)，
于是＝＝.
因此||＝.
過點(diǎn)E作FA的垂線交FA于H，則上的投影向量．
于是，||＝＝＝.
所以點(diǎn)E到直線AF的距離||＝＝＝.
類型2　點(diǎn)、直線、平面到平面的距離
【例2】　如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
[思路導(dǎo)引]　(1)建系P，A，C，E，F(xiàn)―→設(shè)平面PEF的法向量為n―→求n―→利用d＝求距離．
(2)易知AC∥EF點(diǎn)A到平面PEF的距離即為AC到平面PEF的距離―→求―→利用求A到平面PEF的距離．
[解]　(1)建立以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F(xiàn)，
所以＝＝，＝.
設(shè)平面PEF的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)．
所以點(diǎn)D到平面PEF的距離d＝＝＝.
(2)因?yàn)椋剑?br/>所以點(diǎn)A到平面PEF的距離d′＝＝＝，
所以直線AC到平面PEF的距離為.
　1．用向量法求點(diǎn)面距離的步驟
(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．
(4)求距離d＝.
2．線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝2.
(1)證明：BC∥平面AOC1；
(2)求點(diǎn)B到平面AOC1的距離．
[解]　(1)證明：連接A1C，交AC1于點(diǎn)E，則E為A1C的中點(diǎn)．
連接OE，在△A1BC中，OE為中位線，則OE∥BC．因?yàn)镺E 平面AOC1，BC 平面AOC1，
所以BC∥平面AOC1.
(2)設(shè)AC的中點(diǎn)為D，在平面ACC1A1內(nèi)過點(diǎn)D作AC的垂線，連接BD．
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，DE所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
則D(0，0，0)，B(，0，0)，A(0，－，0)，
O，C1(0，，2)，
所以＝(，，0)，＝，
＝(0，2，2)．
設(shè)平面AOC1的法向量n＝(x，y，z)，
則得不妨取y＝，則n＝(，，－)．
故點(diǎn)B到平面AOC1的距離為＝＝.
1．已知直線l上一點(diǎn)A(2，3，1)，直線l與平面α平行，平面α上有一點(diǎn)P(4，3，2)且平面α的法向量為s＝(0，1，1)，則直線l到平面α的距離為(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
B　[因?yàn)锳(2，3，1)，P(4，3，2)，所以＝(2，0，1)，因?yàn)閘∥α，所以l到平面α的距離即為點(diǎn)A到平面α的距離．
由點(diǎn)到平面的距離公式得d＝＝＝，故選B．]
2．若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
D　[以P為原點(diǎn)，分別以PA，PB，PC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(1，1，1)，又＝(1，0，0)，則點(diǎn)P到平面ABC的距離d＝＝．]
3．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1，1)，且兩平面的一個(gè)法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．3
B　[∵兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且兩平面的一個(gè)法向量n＝(－1，0，1)，∴兩平面間的距離d＝＝＝.故選B．]
4．如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，則點(diǎn)B1到平面A1BC的距離為________．
　[如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，
∴＝(－1，1，－)，
＝(－1，0，－)，
＝(－1，1，0)．
設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令z＝1，得x＝－，y＝0，
∴n＝(－，0，1)．
∴點(diǎn)B1到平面A1BC的距離d＝＝．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．用空間向量求點(diǎn)到直線的距離的方法是什么？
提示：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離為
2．用空間向量求點(diǎn)到平面的距離的方法是什么？
提示：已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離是
3．如何用空間向量求直線和平面、平面和平面的距離？
提示：先證明直線和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，最后利用點(diǎn)到平面的距離公式求解．
異面直線間的距離
設(shè)直線a，b異面，向量a，b分別為它們的一個(gè)方向向量，如何求出這兩條異面直線間的距離呢？
如圖1所示，過直線a上任意一點(diǎn)A作b′∥b，過直線b上任意一點(diǎn)B作a′∥a，則a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a與b′，a′與b均可確定一個(gè)平面，依次記作α，β.由立體幾何的知識(shí)可以證明：平面α，β均由直線a，b唯一確定，與點(diǎn)A，B的位置無關(guān)，且α∥β.于是，異面直線a，b的距離就轉(zhuǎn)化為平行平面α，β的距離，故只需先求出這兩個(gè)平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的長度即可．
如何求這兩個(gè)平行平面的法向量呢？
設(shè)n是平行平面α，β的一個(gè)法向量，顯然有n⊥a，n⊥b.因?yàn)橄蛄縜，b不共線，所以滿足這個(gè)條件的所有向量都平行．也就是說，只需找到與向量a，b均垂直的向量即可．
如圖2所示，設(shè)點(diǎn)A，B分別是異面直線a，b上任意一點(diǎn)，向量a，b分別是直線a，b的方向向量，向量n是與向量a，b均垂直的向量，則異面直線a，b的距離為d＝.1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
第1課時(shí)　用空間向量研究距離問題
學(xué)習(xí) 任務(wù) 能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
空間中的距離問題包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離、異面直線的距離等．空間兩點(diǎn)間的距離即為以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模長．本節(jié)主要研究點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、平行線之間、平行平面之間的距離，這些距離都可以通過求向量的投影長得到．
知識(shí)點(diǎn)1　點(diǎn)P到直線l的距離
如圖，直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)．設(shè)＝a，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得點(diǎn)P到直線l的距離為PQ＝________________．
點(diǎn)到直線的距離與兩條平行直線之間的距離有什么關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)2　點(diǎn)P到平面α的距離
如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)．過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度．因此PQ＝＝＝______________．
1．已知直線l過定點(diǎn)A(2，3，1)，且方向向量為s＝(0，1，1)，則點(diǎn)P(4，3，2)到l的距離d為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2，1，4)到平面α的距離為________．
類型1　點(diǎn)到直線的距離
【例1】　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為平面A1ABB1的中心，E為BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線A1E的距離．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟
(1)求直線的方向向量．
(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．
(3)利用勾股定理求解．
另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源自湘教版教材)已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線AF的距離．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　點(diǎn)、直線、平面到平面的距離
【例2】　如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
[思路導(dǎo)引]　(1)建系P，A，C，E，F(xiàn)―→設(shè)平面PEF的法向量為n―→求n―→利用d＝求距離．
(2)易知AC∥EF點(diǎn)A到平面PEF的距離即為AC到平面PEF的距離―→求―→利用求A到平面PEF的距離．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．用向量法求點(diǎn)面距離的步驟
(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．
(4)求距離d＝．
2．線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝2．
(1)證明：BC∥平面AOC1；
(2)求點(diǎn)B到平面AOC1的距離．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知直線l上一點(diǎn)A(2，3，1)，直線l與平面α平行，平面α上有一點(diǎn)P(4，3，2)且平面α的法向量為s＝(0，1，1)，則直線l到平面α的距離為(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1，1)，且兩平面的一個(gè)法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．3
4．如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，則點(diǎn)B1到平面A1BC的距離為________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．用空間向量求點(diǎn)到直線的距離的方法是什么？
2．用空間向量求點(diǎn)到平面的距離的方法是什么？
3．如何用空間向量求直線和平面、平面和平面的距離？
異面直線間的距離
設(shè)直線a，b異面，向量a，b分別為它們的一個(gè)方向向量，如何求出這兩條異面直線間的距離呢？
如圖1所示，過直線a上任意一點(diǎn)A作b′∥b，過直線b上任意一點(diǎn)B作a′∥a，則a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a與b′，a′與b均可確定一個(gè)平面，依次記作α，β．由立體幾何的知識(shí)可以證明：平面α，β均由直線a，b唯一確定，與點(diǎn)A，B的位置無關(guān)，且α∥β．于是，異面直線a，b的距離就轉(zhuǎn)化為平行平面α，β的距離，故只需先求出這兩個(gè)平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的長度即可．
如何求這兩個(gè)平行平面的法向量呢？
設(shè)n是平行平面α，β的一個(gè)法向量，顯然有n⊥a，n⊥b．因?yàn)橄蛄縜，b不共線，所以滿足這個(gè)條件的所有向量都平行．也就是說，只需找到與向量a，b均垂直的向量即可．
如圖2所示，設(shè)點(diǎn)A，B分別是異面直線a，b上任意一點(diǎn)，向量a，b分別是直線a，b的方向向量，向量n是與向量a，b均垂直的向量，則異面直線a，b的距離為d＝．第2課時(shí)　用空間向量研究夾角問題
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．會(huì)用向量法求線線、線面、面面夾角．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在必修教材的課程中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角、直線與平面相交所成的角以及兩個(gè)平面相交所成的二面角．那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？
知識(shí)點(diǎn)1　利用向量方法求兩條異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
知識(shí)點(diǎn)2　利用向量方法求直線與平面所成的角
直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
1．設(shè)直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為v1，平面的法向量為n，則θ與〈v，n〉有什么關(guān)系？
提示：θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－.
知識(shí)點(diǎn)3　利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角
(1)平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
(2)若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
2.(1)二面角與平面的夾角范圍一樣嗎？
(2)設(shè)n1，n2分別是平面α1，α2的一個(gè)法向量，平面α1與平面α2的夾角為θ，則θ與〈n1，n2〉的關(guān)系是什么？
提示：(1)不一樣．二面角的范圍為[0，π]，而兩個(gè)平面的夾角是不大于直角的角，范圍是.
(2)θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
1．設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，則a與b所成的角為________．
　[設(shè)直線a與b所成的角為θ，則cos θ＝＝＝，又θ∈，故θ＝．]
2．設(shè)直線a的方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的法向量為b＝(0，1，2)，則直線a與平面α所成角的正弦值為________．
　[由題意設(shè)直線a與平面α所成的角為θ，則sin θ＝＝＝．]
3．平面α的法向量為(1，0，－1)，平面β的法向量為(0，－1，1)，則平面α與平面β的夾角為________．
　[設(shè)u＝(1，0，－1)，v＝(0，－1，1)，α與β的夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝，∴θ＝．]
類型1　兩條異面直線所成的角
【例1】　(源自北師大版教材)如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3.求AC′與A′D所成角的余弦值．
[解]　設(shè)s1，s2分別是AC′和A′D的一個(gè)方向向量，取s1＝，s2＝.
因?yàn)锳(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，
所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
設(shè)AC′與A′D所成角為θ，則cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝＝＝.
故AC′與A′D所成角的余弦值為.
　求異面直線所成角的步驟
(1)確定兩條異面直線的方向向量．
(2)確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對值．
(3)得出兩條異面直線所成的角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值．
[解]　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，
A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos 〈〉|＝
＝＝.
∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為.
類型2　直線與平面所成的角
【例2】　(2022·全國甲卷)在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)證明：BD⊥PA；
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．
[思路導(dǎo)引]　(1)―→四邊形ABCD為等腰梯形―→―→BD⊥平面PAD―→BD⊥PA．
(2)由(1)建系―→相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)―→―→平面PAB的法向量―→PD與平面PAB所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：在四邊形ABCD中，
因?yàn)锳B∥CD，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
所以四邊形ABCD是等腰梯形，
易得BD＝，且AD2＋BD2＝AB2，
所以AD⊥BD，
又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，
所以PD⊥BD．
因?yàn)镻D，AD 平面PAD，PD∩AD＝D，
所以BD⊥平面PAD，
又因?yàn)镻A 平面PAD，所以BD⊥PA．(2)由(1)可知，DA，DB，DP兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系Dxyz，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，
B(0，，0)，P(0，0，)，
所以＝(0，0，－)，＝(1，0，－)，
＝(0，，－)，
設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，
則，即，
令y＝1，則z＝1，x＝，
故可取n＝(，1，1)，
設(shè)直線PD與平面PAB所成角為θ，
則sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
所以PD與平面PAB所成的角的正弦值為.
　利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)求直線的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sin θ＝.
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(2020·全國Ⅱ卷)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥CC1.
又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.
因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，
所以B1C1⊥A1N.
又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N，
故B1C1⊥平面A1AMN.
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)由已知得AM⊥BC．
以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mxyz，則AB＝2，AM＝.
連接NP，則四邊形AONP為平行四邊形，
故PM＝，E.
∵M(jìn)N⊥BC，AM⊥BC，MN∩AM＝M，
∴BC⊥平面A1AMN.
又∵BC 平面ABC，且平面A1AMN∩平面ABC＝AM，
平面A1AMN⊥平面ABC，
在平面A1AMN內(nèi)作NQ⊥AM，垂足為Q，
則NQ⊥平面ABC．
設(shè)Q(a，0，0)，則NQ＝，
B1，
故＝，
||＝.
又n＝(0，－1，0)是平面A1AMN的一個(gè)法向量，
故sin ＝cos 〈n，〉＝＝.
所以直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為.
類型3　兩個(gè)平面的夾角
【例3】　(2022·新高考Ⅰ卷)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2 .
(1)求A到平面A1BC的距離；
(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
[思路導(dǎo)引]　(1)直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4―→三棱錐A-A1BC的體積―→點(diǎn)A到平面A1BC的距離．
(2)題設(shè)條件―→BA，BC，BB1兩兩垂直平面ABD與平面BDC的法向量平面ABD與平面BCD的法向量的夾角的余弦值二面角A-BD-C的正弦值．
[解]　(1)設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，
因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1的體積為4，
所以＝S△ABC×AA1＝＝，
又△A1BC的面積為2，
＝h＝×2h＝，所以h＝，
即點(diǎn)A到平面A1BC的距離為.
(2)取A1B的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥A1B，
因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE 平面ABB1A1，
所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，
又AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥BC，因?yàn)锳A1∩AE＝A，
所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB．
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，
由(1)知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2，
因?yàn)椤鰽1BC的面積為2，
所以2＝×A1B×BC，所以BC＝2，
所以A(0，2，0)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，
A1(0，2，2)，D(1，1，1)，E(0，1，1)，
則＝(1，1，1)，＝(0，2，0)，
設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令x＝1，得n＝(1，0，－1)，
又平面BDC的一個(gè)法向量為＝(0，－1，1)，
所以cos 〈，n〉＝＝＝－，
設(shè)二面角A-BD-C的平面角為θ，
則sin θ＝＝，
所以二面角A-BD-C的正弦值為.
　求兩平面夾角的兩種方法
(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．
(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(2021·全國乙卷改編)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.
(1)求BC；
(2)求平面APM與平面PMB夾角的正弦值．
[解]　(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥DC．
在矩形ABCD中，AD⊥DC，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
設(shè)BC＝t，則A(t，0，0)，B(t，1，0)，M，
P(0，0，1)，
所以＝(t，1，－1)，＝.
因?yàn)镻B⊥AM，所以＝－＋1＝0，得t＝，
所以BC＝.
(2)易知C(0，1，0)，由(1)可得＝(－，0，1)，＝＝(，0，0)，＝(，1，－1)．
設(shè)平面APM的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則即
令x1＝，則z1＝2，y1＝1，所以平面APM的一個(gè)法向量為n1＝(，1，2)．
設(shè)平面PMB的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則
即
得x2＝0，令y2＝1，則z2＝1，所以平面PMB的一個(gè)法向量為n2＝(0，1，1)．
cos 〈n1，n2〉＝＝＝，
所以平面APM與平面PMB夾角的正弦值為.
1．已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　)
A．30° 　　　B．60°　　　C．150° 　　　D．120°
B　[設(shè)l與α的夾角為θ，則sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
∴θ＝60°，應(yīng)選B．]
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是(　　)
A． B．
C． D．
D　[以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，
則＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0)，
∴cos 〈〉＝＝＝，即A1B與AC所成角的余弦值是．]
3．在一個(gè)銳二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，－1，3)，(2，2，4)，則這個(gè)銳二面角的兩個(gè)半平面的夾角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
A　[由＝＝，知這個(gè)銳二面角的兩個(gè)半平面的夾角的余弦值為．]
4．如圖所示，點(diǎn)A，B，C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上，＝(0，0，2)，平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(2，1，2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cos θ＝________．
　[cos θ＝＝＝．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．用向量語言表述兩條異面直線所成的角．
提示：若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝.
2．用向量語言表述直線和平面所成的角．
提示：直線l和平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝.
3．用向量語言表述平面和平面的夾角．
提示：平面α與平面β的夾角為θ，其法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝.
4．試總結(jié)用坐標(biāo)法求兩平面的夾角的步驟．
提示：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)求出兩個(gè)平面的法向量．
(3)求出兩個(gè)法向量的夾角．
(4)兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角就是兩平面的夾角．第2課時(shí)　用空間向量研究夾角問題
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．會(huì)用向量法求線線、線面、面面夾角．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在必修教材的課程中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角、直線與平面相交所成的角以及兩個(gè)平面相交所成的二面角．那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？
知識(shí)點(diǎn)1　利用向量方法求兩條異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝______________．
知識(shí)點(diǎn)2　利用向量方法求直線與平面所成的角
直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝__________．
1．設(shè)直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為v1，平面的法向量為n，則θ與〈v，n〉有什么關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)3　利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角
(1)平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中____________的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
(2)若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝____________．
2．(1)二面角與平面的夾角范圍一樣嗎？
(2)設(shè)n1，n2分別是平面α1，α2的一個(gè)法向量，平面α1與平面α2的夾角為θ，則θ與〈n1，n2〉的關(guān)系是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，則a與b所成的角為________．
2．設(shè)直線a的方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的法向量為b＝(0，1，2)，則直線a與平面α所成角的正弦值為________．
3．平面α的法向量為(1，0，－1)，平面β的法向量為(0，－1，1)，則平面α與平面β的夾角為________．
類型1　兩條異面直線所成的角
【例1】　(源自北師大版教材)如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′與A′D所成角的余弦值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求異面直線所成角的步驟
(1)確定兩條異面直線的方向向量．
(2)確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對值．
(3)得出兩條異面直線所成的角．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　直線與平面所成的角
【例2】　(2022·全國甲卷)在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．
(1)證明：BD⊥PA；
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．
[思路導(dǎo)引]　(1)―→四邊形ABCD為等腰梯形―→―→BD⊥平面PAD―→BD⊥PA．
(2)由(1)建系―→相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)―→―→平面PAB的法向量―→PD與平面PAB所成角的正弦值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)求直線的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sin θ＝．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(2020·全國Ⅱ卷)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　兩個(gè)平面的夾角
【例3】　(2022·新高考Ⅰ卷)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2 ．
(1)求A到平面A1BC的距離；
(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
[思路導(dǎo)引]　(1)直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4―→三棱錐A-A1BC的體積―→點(diǎn)A到平面A1BC的距離．
(2)題設(shè)條件―→BA，BC，BB1兩兩垂直平面ABD與平面BDC的法向量平面ABD與平面BCD的法向量的夾角的余弦值二面角A-BD-C的正弦值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求兩平面夾角的兩種方法
(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．
(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(2021·全國乙卷改編)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求平面APM與平面PMB夾角的正弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．150°　　　　D．120°
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．在一個(gè)銳二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，－1，3)，(2，2，4)，則這個(gè)銳二面角的兩個(gè)半平面的夾角的余弦值為(　　)
A．　　　　B．　　　　C． D．
4．如圖所示，點(diǎn)A，B，C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上，＝(0，0，2)，平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(2，1，2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cos θ＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．用向量語言表述兩條異面直線所成的角．
2．用向量語言表述直線和平面所成的角．
3．用向量語言表述平面和平面的夾角．
4．試總結(jié)用坐標(biāo)法求兩平面的夾角的步驟．

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