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微專題1　空間向量應(yīng)用的綜合問題
　　解決立體幾何問題，常用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法．處理空間圖形之間的距離、夾角等度量問題時(shí)，綜合法需要借助圖形之間的位置關(guān)系或輔助線找出所求的距離、夾角，有一定的難度，但向量法和坐標(biāo)法不用考慮圖形之間的關(guān)系，直接套用相應(yīng)的公式求解即可，將這些度量“公式化”，這就大大降低了難度．
類型1　利用空間向量求空間角
【例1】　(2022·天津卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D為A1B1中點(diǎn)，E為AA1中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
(1)求證：EF∥平面ABC；
(2)求直線BE與平面CC1D夾角的正弦值；
(3)求平面A1CD與平面CC1D夾角的余弦值．
[解]　(1)證明：取BB1的中點(diǎn)G，連接FG，EG，連接AD交EG于K，再連接FK，
∵EK∥A1B1，且E是AA1的中點(diǎn)，則K是AD的中點(diǎn)，
∴FK∥AC，EG∥AB，又FK 平面ABC，AC 平面ABC，
∴FK∥平面ABC，同理可得，EG∥平面ABC，又FK∩EG＝K，
∴平面EFG∥平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AA1⊥A1B1，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又AA1＝AB＝AC＝2，D為A1B1中點(diǎn)，E為AA1中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，
D(0，1，0)，
則＝(－1，－2，0)，＝(－2，0，0)，＝(－2，1，－2)，
設(shè)n＝(x，y，z)是平面CC1D的法向量，則有n·＝0，n·＝0，
即，
令z＝1，則x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，1)，
設(shè)直線BE與平面CC1D的夾角為θ，
則sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，
即直線BE與平面CC1D夾角的正弦值為.
(3)∵A1(0，0，0)，則＝(2，0，2)，＝(0，1，0)，
設(shè)平面A1CD的法向量為m＝(x，y，z)，
則有m·＝0，m·＝0，
即，令x＝1，則y＝0，z＝－1，故m＝(1，0，－1)，
設(shè)平面A1CD與平面CC1D的夾角為β，
所以cos β＝|cos 〈n，m〉|＝＝.
類型2　立體幾何中的探究、開放問題
【例2】　(2021·全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.
(1)證明：BF⊥DE；
(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？
[思路導(dǎo)引]　(1)BFAF，AC建系―→相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)―→―→證明結(jié)論．
(2)二面角的余弦公式―→二面角的余弦最大值―→二面角的正弦最小值―→B1D．
[解]　(1)因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，所以AA1＝BB1＝CC1＝AB＝2.
又F為CC1中點(diǎn)，所以CF＝1.
因?yàn)镃C1⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以CC1⊥BC，
則在Rt△BCF中，BF＝＝.
如圖所示，連接AF，由BF⊥A1B1且AB∥A1B1，
則BF⊥AB，故AF＝3，
所以AC＝2，
由AB2＋BC2＝AC2，則AB⊥BC，
故如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，
則A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，F(xiàn)(0，2，1)，設(shè)B1D＝m(0≤m≤2)，則D(m，0，2)．
則＝(0，2，1)，＝(1－m，1，－2)，
所以＝0，
故BF⊥DE.
(2)由(1)得AB⊥BC，AB⊥BB1，
且BC∩BB1＝B，故AB⊥平面BB1C1C，
故可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n1＝(1，0，0)．
而＝(1－m，1，－2)，＝(－1，1，1)，
設(shè)平面DFE的法向量為n2＝(x，y，z)，
則，即，
令x＝3，則y＝m＋1，z＝2－m，
所以n2＝(3，m＋1，2－m)，
∴cos 〈n1，n2〉＝
＝
＝＝，
∴當(dāng)m＝時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，故當(dāng)B1D＝時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小．
類型3　立體幾何中的翻折問題
【例3】　(2019·全國(guó)Ⅲ卷改編)圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.
(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求圖2中的平面BCGE與平面ACGD所成角的大小．
[證明]　(1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，BC，BE 平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.
又因?yàn)锳B 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)作EH⊥BC，垂足為H.因?yàn)镋H 平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．
由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，＝(1，0，)，＝(2，－1，0)．
設(shè)平面ACGD的法向量為n＝(x，y，z)，則
即
所以可取n＝(3，6，－)．
又平面BCGE的法向量可取為m＝(0，1，0)，
所以cos 〈n，m〉＝＝.
因此平面BCGE與平面ACGD所成角的大小為30°.微專題1　空間向量應(yīng)用的綜合問題
解決立體幾何問題，常用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法．處理空間圖形之間的距離、夾角等度量問題時(shí)，綜合法需要借助圖形之間的位置關(guān)系或輔助線找出所求的距離、夾角，有一定的難度，但向量法和坐標(biāo)法不用考慮圖形之間的關(guān)系，直接套用相應(yīng)的公式求解即可，將這些度量“公式化”，這就大大降低了難度．
類型1　利用空間向量求空間角
【例1】　(2022·天津卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D為A1B1中點(diǎn)，E為AA1中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
(1)求證：EF∥平面ABC；
(2)求直線BE與平面CC1D夾角的正弦值；
(3)求平面A1CD與平面CC1D夾角的余弦值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　立體幾何中的探究、開放問題
【例2】　(2021·全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1．
(1)證明：BF⊥DE；
(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？
[思路導(dǎo)引]　(1)BFAF，AC建系―→相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)―→―→證明結(jié)論．
(2)二面角的余弦公式―→二面角的余弦最大值―→二面角的正弦最小值―→B1D．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　立體幾何中的翻折問題
【例3】　(2019·全國(guó)Ⅲ卷改編)圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2．
(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)求圖2中的平面BCGE與平面ACGD所成角的大小．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第1章 空間向量與立體幾何 章末綜合提升
類型1　空間向量的概念及運(yùn)算
1．空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積是整章的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的工具，可類比平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算．
2．向量的運(yùn)算過程較為繁雜，要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【例1】　(1)(多選)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.以下選項(xiàng)正確的是(　　)
A．＝0
B．()·()＝0
C．＝0
D．＝
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°.
①求的長(zhǎng)；
②求與夾角的余弦值．
(1)BCD　[因?yàn)椋?)＋()＝4≠0，O為AC與BD的交點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；()·()＝＝0，所以B正確；＝＝0，所以C正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以＝2×2×cos ∠ASB，＝2×2×cos ∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是＝，因此D正確．]
(2)[解]　記＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
①|(zhì)|2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝.即AC1的長(zhǎng)為.
②＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos 〈〉＝＝.
即夾角的余弦值為.
類型2　利用空間向量證明位置關(guān)系
1．用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明．
2．將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．
【例2】　在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．
(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，說明理由．
[解]　(1)證明：以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，
∴＝(0，1，1)，
平面PAD的一個(gè)法向量為n＝(1，0，0)，
∴·n＝0，即⊥n，
又BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
(2)＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)，
假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD．
設(shè)N(0，y，z)，則＝(－1，y－1，z－1)，
從而MN⊥BD，MN⊥PB，
∴即
∴∴N，
∴在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD．
類型3　利用空間向量求距離
1．空間距離的計(jì)算思路
(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)＝a，則向量在直線l上的投影向量為＝(a·u)u，則點(diǎn)P到直線l的距離為(如圖1)．
(2)點(diǎn)P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為(如圖2)．
2．通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．
【例3】　長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：
(1)M到直線PQ的距離；
(2)M到平面AB1P的距離．
[解]　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．
(1)∵＝(－2，－3，2)，＝(－4，－2，－2)，
∴上的投影向量的模＝
＝＝.
故M到PQ的距離為＝＝.
(2)設(shè)n＝(x，y，z)是平面AB1P的一個(gè)法向量，則n⊥，n⊥，
∵＝(－4，0，4)，＝(－4，4，0)，
∴
因此可取n＝(1，1，1)，由于＝(2，－3，－4)，那么點(diǎn)M到平面AB1P的距離為
d＝＝＝，故M到平面AB1P的距離為.
類型4　利用空間向量求夾角
1．利用空間向量求夾角是空間向量的重要應(yīng)用，利用向量方法求夾角，可不作出角而求出角的大小，體現(xiàn)了向量方法的優(yōu)越性．
2．通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．
【例4】　(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．
(1)證明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．
[解]　(1)證明：連接OA．
因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高，
所以PO⊥平面ABC，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以∠POA＝∠POB＝90°.
又PA＝PB，PO＝PO，
所以△POA≌△POB，所以O(shè)A＝OB．
取AB的中點(diǎn)D，連接OD，DE，則有OD⊥AB．
又AB⊥AC，所以O(shè)D∥AC．
因?yàn)镺D 平面PAC，AC 平面PAC，
所以O(shè)D∥平面PAC．
因?yàn)镈，E分別為AB，PB的中點(diǎn)，
所以DE∥PA．
因?yàn)镈E 平面PAC，PA 平面PAC，
所以DE∥平面PAC．
因?yàn)镺D，DE 平面ODE，OD∩DE＝D，
所以平面ODE∥平面PAC．
又OE 平面ODE，所以O(shè)E∥平面PAC．
(2)由(1)易知OA＝OB，所以O(shè)D⊥AB．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DO所在直線為x軸、y軸，以過點(diǎn)D且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
因?yàn)镻O＝3，PA＝5，且PO⊥OA，
所以O(shè)A＝OB＝4.
又∠ABO＝∠CBO＝30°，
所以O(shè)D＝OB＝2，DA＝DB＝2，
所以P(0，2，3)，B(2，0，0)，A(－2，0，0)，
E.
設(shè)AC＝a，則C(－2，a，0)．
設(shè)平面AEB的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
＝(4，0，0)，＝，
則所以
所以x1＝0.
令y1＝3，得z1＝－2，所以n1＝(0，3，－2)．
設(shè)平面AEC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
＝(0，a，0)，＝，
則所以
所以y2＝0.
令x2＝，得z2＝－6，所以n2＝(，0，－6)．
所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝＝.
設(shè)二面角C-AE-B的平面角為θ，則sin θ＝＝，
所以二面角C-AE-B的正弦值為.第1章 空間向量與立體幾何 章末綜合提升
類型1　空間向量的概念及運(yùn)算
1．空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積是整章的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的工具，可類比平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算．
2．向量的運(yùn)算過程較為繁雜，要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【例1】　(1)(多選)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2．以下選項(xiàng)正確的是(　　)
A．＝0
B．()·()＝0
C．＝0
D．＝
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°．
①求的長(zhǎng)；
②求與夾角的余弦值．
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類型2　利用空間向量證明位置關(guān)系
1．用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明．
2．將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．
【例2】　在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．
(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，說明理由．
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類型3　利用空間向量求距離
1．空間距離的計(jì)算思路
(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)＝a，則向量在直線l上的投影向量為＝(a·u)u，則點(diǎn)P到直線l的距離為(如圖1)．
(2)點(diǎn)P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為(如圖2)．
2．通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．
【例3】　長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：
(1)M到直線PQ的距離；
(2)M到平面AB1P的距離．
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類型4　利用空間向量求夾角
1．利用空間向量求夾角是空間向量的重要應(yīng)用，利用向量方法求夾角，可不作出角而求出角的大小，體現(xiàn)了向量方法的優(yōu)越性．
2．通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．
【例4】　(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．
(1)證明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．
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