資源簡介

2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率
學習任務 1．在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．(數學抽象) 2．理解直線的傾斜角和斜率的概念．(數學抽象) 3．掌握傾斜角和斜率之間的關系．(邏輯推理) 4．掌握過兩點的直線斜率的計算公式．(數學運算)
由初中的平面幾何知識，我們知道兩點確定一條直線；由必修教材課程中的平面向量知識，我們知道一個點與一個方向也可以確定一條直線．那么，怎樣用代數方法刻畫直線呢？
知識點1　直線的傾斜角
(1)直線的方向：在平面直角坐標系中，規定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向為這條直線的方向．
(2)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角．
(3)特例：直線l與x軸平行或重合時，傾斜角為0°.
(4)傾斜角α的范圍：0°≤α<180°．
1．任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？
提示：由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．
知識點2　直線的斜率
(1)斜率的定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α．
(2)斜率公式：經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝．當x1＝x2時，直線P1P2沒有斜率．
2.當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°時，其斜率如何變化？
提示：當傾斜角為銳角時，其斜率為正值，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大，當傾斜角為鈍角時，其斜率為負值，斜率隨著傾斜角的增大而增大，當傾斜角為90°時，直線的斜率不存在．
所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率．當直線的傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，但并不是該直線不存在，此時直線垂直于x軸(或平行于y軸或與y軸重合)．
知識點3　直線的斜率與方向向量的關系
(1)若直線l的斜率為k，則直線l的一個方向向量的坐標為(1，k)．
(2)若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，則直線l的斜率k＝．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)與x軸垂直的直線，其傾斜角為90°． (　　)
(2)與x軸平行的直線，其傾斜角不存在． (　　)
(3)不存在傾斜角相同的直線． (　　)
(4)若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應． (　　)
(5)若直線的傾斜角為α，則必有斜率與之對應． (　　)
(6)與y軸垂直的直線的斜率為0． (　　)
(7)與x軸垂直的直線的斜率不存在． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)√
2．若直線l的傾斜角為135°，則直線l的一個方向向量的坐標為________．
(1，－1)　[直線l的斜率k＝tan 135°＝－1，則直線l的一個方向向量的坐標為(1，－1)．]
類型1　直線的傾斜角
【例1】　(1)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(　　)
A．30°　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
(1)D　(2)AB　[(1)如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.
(2)根據題意，畫出圖形，如圖所示．
通過圖象可知：
當0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；
當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．]
　直線傾斜角的求法及注意點
(1)直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論；
(2)注意傾斜角的范圍．
[跟進訓練]
1．(多選)設直線l與x軸交于點A，其傾斜角為α，直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，則直線l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋60°　　　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
BC　[直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，當α≥60°時，直線l1的傾斜角為α－60°，當0°≤α<60°時，直線l1的傾斜角為180°－(60°－α)＝120°＋α．]
2．已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為________．
135°　[設直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．]
類型2　直線的斜率和方向向量
【例2】　(1)過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，則y等于(　　)
A．1　　B．5　　　C．－1　　D．－5
(2)已知直線l經過點P(3，m)和點Q(m，－2)，直線l的方向向量為(2，4)，則直線l的斜率為________，實數m的值為________．
(1)D　(2)2　　[(1)∵過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，
∴＝tan 135°＝－1，
解得y＝－5，故選D．
(2)由直線l的方向向量為(2，4)得，直線l的斜率為＝2，因此＝2，
解得m＝．]
　(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tan α(α≠90°)解決．
(2)由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直線與線段有交點問題常數形結合利用公式求解．
[跟進訓練]
3．(源自人教B版教材)已知直線l經過點A(0，1)與B(1，1－)，求直線l的一個方向向量，并確定直線l的斜率與傾斜角．
[解]　直線l的斜率k＝＝－，
∴直線l的一個方向向量為(1，－)，
直線的傾斜角θ滿足tan θ＝－，從而可知θ＝120°.
4．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，則A，B，C共線嗎？A，B，D呢？
[解]　因為kAB＝＝－1，
kAC＝＝－1，kAD＝＝－，
所以kAB＝kAC≠kAD，因此A，B，C共線，而A，B，D不共線．
類型3　直線的傾斜角和斜率的綜合
【例3】　(1)直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．
(2)(源自北師大版教材)根據下列條件，求直線l的傾斜角：
①斜率為－；
②經過A(－2，0)，B(－5，3)兩點；
③一個方向向量為＝.
(1)(－∞，－]∪[1，＋∞)　[如圖，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]
(2)[解]　設直線l的傾斜角為α.
①因為直線l的斜率為－，
所以tan α＝－.
又因為0≤α<π，所以α＝.
②由經過兩點的直線斜率的計算公式，可得直線l的斜率k＝＝－1，
又因為0≤α<π，所以α＝.
③由直線l的一個方向向量為＝，可得斜率k＝＝，
又因為0≤α<π，所以α＝.
[母題探究]
(1)若將本例(1)中P(1，0)改為P(－1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．
(2)若將本例(1)中的B點坐標改為(2，－1)，其他條件不變，求直線l傾斜角α的取值范圍．
[解]　(1)∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kAP＝＝，
kBP＝＝.
由圖可知，直線l斜率的取值范圍為.
(2)如圖，直線PA的傾斜角為45°，直線PB的傾斜角為135°，
由圖象知直線l的傾斜角α的取值范圍為{α|0°≤α≤45°}∪{α|135°≤α<180°}．
　1．過定點和線段有交點的直線的斜率的取值范圍問題
已知一條線段AB的端點及線段外一點P，求過點P的直線l與線段AB有交點的情況下直線l的斜率的取值范圍，若直線PA，PB的斜率均存在，則步驟為：①連接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③結合圖形即可寫出滿足條件的直線l的斜率的取值范圍．
2．直線的傾斜角和斜率的關系
直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正方向的傾斜程度．當0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．
[跟進訓練]
5．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直線AB和AC的斜率；
(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．
[解]　(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝＝，直線AC的斜率kAC＝＝.故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為.
(2)如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是.
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°
B．若k是直線的斜率，則k∈R
C．任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
D．任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角
ABC　[由直線的傾斜角和斜率的定義知，ABC正確，D錯誤．故選ABC．]
2．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為(　　)
A． 　　　B．－　　　C． 　　　D．－
B　[因為直線的斜率k和傾斜角α的關系是k＝tan α (α≠90°)，
所以當傾斜角為120°時，直線的斜率k＝tan 120°＝－tan 60°＝－．]
3．已知經過兩點A(2，3)，B(4，5)的直線的一個方向向量為(1，k)，則k的值為________．
1　[依題意得＝(2，2)，由與方向向量(1，k)共線，可得2k－2＝0，因此k＝1．]
4．已知直線l過點M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，當m＝________時，直線l的斜率是1.
　[kMN＝＝1，解得m＝．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線的傾斜角是如何定義的？其取值范圍是什么？
提示：當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°，因此，直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.
2．直線的斜率是如何定義的？直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？
提示：把一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率，傾斜角是90°的直線沒有斜率．
直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是k＝.
3．直線的斜率k和直線的方向向量有怎樣的關系？
提示：若直線的斜率為k，則n＝(1，k)是其方向向量．
反之若直線的方向向量n＝(x，y)，則斜率k＝(x≠0).2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率
學習任務 1．在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．(數學抽象) 2．理解直線的傾斜角和斜率的概念．(數學抽象) 3．掌握傾斜角和斜率之間的關系．(邏輯推理) 4．掌握過兩點的直線斜率的計算公式．(數學運算)
由初中的平面幾何知識，我們知道兩點確定一條直線；由必修教材課程中的平面向量知識，我們知道一個點與一個方向也可以確定一條直線．那么，怎樣用代數方法刻畫直線呢？
知識點1　直線的傾斜角
(1)直線的方向：在平面直角坐標系中，規定水平直線的方向______，其他直線________的方向為這條直線的方向．
(2)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸________與直線l________之間所成的角．
(3)特例：直線l與x軸平行或重合時，傾斜角為0°．
(4)傾斜角α的范圍：____________．
1．任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　直線的斜率
(1)斜率的定義：一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝________．
(2)斜率公式：經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝__________．當x1＝x2時，直線P1P2沒有斜率．
2．當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°時，其斜率如何變化？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率．當直線的傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，但并不是該直線不存在，此時直線垂直于x軸(或平行于y軸或與y軸重合)．
知識點3　直線的斜率與方向向量的關系
(1)若直線l的斜率為k，則直線l的一個方向向量的坐標為________．
(2)若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，則直線l的斜率k＝________．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)與x軸垂直的直線，其傾斜角為90°． (　　)
(2)與x軸平行的直線，其傾斜角不存在． (　　)
(3)不存在傾斜角相同的直線． (　　)
(4)若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應． (　　)
(5)若直線的傾斜角為α，則必有斜率與之對應． (　　)
(6)與y軸垂直的直線的斜率為0． (　　)
(7)與x軸垂直的直線的斜率不存在． (　　)
2．若直線l的傾斜角為135°，則直線l的一個方向向量的坐標為________．
類型1　直線的傾斜角
【例1】　(1)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(　　)
A．30°　　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直線傾斜角的求法及注意點
(1)直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論；
(2)注意傾斜角的范圍．
[跟進訓練]
1．(多選)設直線l與x軸交于點A，其傾斜角為α，直線l繞點A順時針旋轉60°后得直線l1，則直線l1的傾斜角可能為(　　)
A．α＋60°　　　　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
2．已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為________．
類型2　直線的斜率和方向向量
【例2】　(1)過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，則y等于(　　)
A．1　 B．5　　　C．－1　　　D．－5
(2)已知直線l經過點P(3，m)和點Q(m，－2)，直線l的方向向量為(2，4)，則直線l的斜率為________，實數m的值為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tan α(α≠90°)解決．
(2)由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直線與線段有交點問題常數形結合利用公式求解．
[跟進訓練]
3．(源自人教B版教材)已知直線l經過點A(0，1)與B(1，1－)，求直線l的一個方向向量，并確定直線l的斜率與傾斜角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，則A，B，C共線嗎？A，B，D呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 類型3　直線的傾斜角和斜率的綜合
【例3】　(1)直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．
(2)(源自北師大版教材)根據下列條件，求直線l的傾斜角：
①斜率為－；
②經過A(－2，0)，B(－5，3)兩點；
③一個方向向量為＝．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
(1)若將本例(1)中P(1，0)改為P(－1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．
(2)若將本例(1)中的B點坐標改為(2，－1)，其他條件不變，求直線l傾斜角α的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．過定點和線段有交點的直線的斜率的取值范圍問題
已知一條線段AB的端點及線段外一點P，求過點P的直線l與線段AB有交點的情況下直線l的斜率的取值范圍，若直線PA，PB的斜率均存在，則步驟為：①連接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③結合圖形即可寫出滿足條件的直線l的斜率的取值范圍．
2．直線的傾斜角和斜率的關系
直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正方向的傾斜程度．當0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．
[跟進訓練]
5．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直線AB和AC的斜率；
(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°
B．若k是直線的斜率，則k∈R
C．任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
D．任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角
2．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為(　　)
A． B．－ C． D．－
3．已知經過兩點A(2，3)，B(4，5)的直線的一個方向向量為(1，k)，則k的值為________．
4．已知直線l過點M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，當m＝________時，直線l的斜率是1．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線的傾斜角是如何定義的？其取值范圍是什么？
2．直線的斜率是如何定義的？直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？
3．直線的斜率k和直線的方向向量有怎樣的關系？2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
學習任務 1．理解兩條直線平行與垂直的條件．(數學抽象) 2．能根據斜率判定兩條直線平行或垂直．(邏輯推理) 3．能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題．(數學運算)
在平面幾何中，我們已經學習了兩條直線平行或垂直的性質定理和判定定理．那么，在平面直角坐標系中，怎樣根據兩條直線的傾斜角或斜率的關系來判斷兩條直線的平行或垂直關系呢？
知識點1　兩條直線平行與斜率之間的關系
類型 斜率存在 斜率不存在
條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 兩直線斜率都不存在
圖示
1．兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？
提示：不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．
知識點2　兩條直線垂直與斜率之間的關系
圖示
對應 關系 l1⊥l2(兩條直線的斜率都存在，且都不為零) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率為0 l1⊥l2
2.“兩條直線的斜率之積等于－1”是“這兩條直線垂直”的充要條件嗎？
提示：不是．“兩條直線的斜率之積等于－1”可推出“這兩條直線垂直”，但兩條直線垂直時，除了斜率之積等于－1，還有可能一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在．
1．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值為________．
－8　[由題意知＝－2，
解得m＝－8．]
2．l1的斜率為－，l2經過點A(1，1)，B(0，m)，當l1⊥l2時，m的值為________．
－　[由條件l1⊥l2得－×＝－1，解得m＝－．]
類型1　兩直線平行的判定及應用
【例1】　(1)已知點A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則實數m的值為(　　)
A．1　　　B．0 　　　C．0或1　　　D．0或2
(2)根據下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．
①l1經過點A(2，3)，B(－4，0)，l2經過點M(－3，1)，N(－2，2)；
②l1的斜率為－，l2經過點A(4，2)，B(2，3)；
③l1平行于y軸，l2經過點P(0，－2)，Q(0，5)；
④l1經過點E(0，1)，F(－2，－1)，l2經過點G(3，4)，H(2，3)．
(1)C　[法一：∵A(m，3)，B(2m，m＋4)，
∴其方向向量為＝(m，m＋1)．
∵C(m＋1，2)，D(1，0)，
∴其方向向量為＝(－m，－2)，
由直線AB與直線CD平行，得m×(－2)－(m＋1)×(－m)＝0，
解得m＝0或m＝1.
經檢驗，m＝0或m＝1時，兩直線不重合，故選C．
法二：當m＝0時，直線AB與直線CD的斜率均不存在，此時AB∥CD，滿足題意．
當m≠0時，kAB＝＝，kCD＝＝，
由題意得kAB＝kCD，即＝，
解得m＝1或m＝0(舍去)．
經檢驗，m＝0或m＝1時，兩直線不重合，
∴m的值為0或1.故選C．]
(2)[解]　①kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1與l2不平行．
②l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1與l2平行或重合．
③由題意，知l1的斜率不存在，且不與y軸重合，l2的斜率也不存在，且與y軸重合，所以l1∥l2.
④由題意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1與l2平行或重合．
需進一步研究E，F，G，H四點是否共線，kFG＝＝1.
所以E，F，G，H四點共線，
所以l1與l2重合．
　判斷兩條不重合的直線是否平行的兩種方法
(1)利用直線的斜率判斷：
(2)利用直線的方向向量判斷：求出兩直線的方向向量，通過判斷兩向量是否共線，進而得到兩條直線是否平行．
[跟進訓練]
1．已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別為A，B，C，則點D的坐標為________．
　[法一：設點D的坐標為(m，n)．由題意知，AB∥CD，AD∥BC．
由兩直線平行的條件知kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴
化簡，得
解得
∴點D的坐標為.
法二：設點D的坐標為(m，n)．由題意知，＝.
依題意得，＝，＝，
因此解得
∴點D的坐標為．]
類型2　兩條直線垂直的判定及應用
【例2】　已知△ABC的頂點為A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．
[解]　若∠A為直角，則AC⊥AB，
∴kAC·kAB＝－1，
即×＝－1，解得m＝－7；
若∠B為直角，則AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即×＝－1，解得m＝3；
若∠C為直角，則AC⊥BC，
∴kAC·kBC＝－1，
即×＝－1，解得m＝±2.
綜上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
　判斷兩條直線是否垂直的方法
在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可；若有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．
提醒：若已知點的坐標含有參數，利用兩直線的垂直關系求參數值時，要注意討論斜率不存在的情況．
[跟進訓練]
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直線AB⊥CD，求m的值．
[解]　∵A，B兩點縱坐標不相等，
∴AB與x軸不平行．∵AB⊥CD，
∴CD與x軸不垂直，∴－m≠3，m≠－3.
(1)當AB與x軸垂直時，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.當m＝－1時，C，D兩點的縱坐標均為－1.
∴CD∥x軸，此時AB⊥CD，滿足題意．
(2)當AB與x軸不垂直時，由斜率公式得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即＝－1，
解得m＝1.
綜上，m的值為1或－1.
類型3　兩條直線平行與垂直的綜合應用
【例3】　已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三點，求點D的坐標，使直線CD⊥AB，且BC∥AD．
[解]　設D(x，y)，由題意得kAB＝＝3，kCD＝＝，kBC＝＝－2，kAD＝.
因為直線CD⊥AB，且BC∥AD，
所以kAB·kCD＝3·＝－1，
kBC＝kAD，即＝－2.
聯立解得即D(0，1)．
[母題探究]
將本例中的三點變為A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，其他的條件不變，求點D的坐標．
[解]　設點D的坐標為(x，y)，由已知得直線AB的斜率kAB＝1，直線CD的斜率kCD＝，直線BC的斜率kBC＝－，直線AD的斜率kAD＝，由AB⊥CD，且AD∥BC，
得解得
所以點D的坐標為(10，－6)．
　關于直線平行與垂直的綜合應用
(1)設出點的坐標，利用平行、垂直時的斜率關系建立方程(組)去解．
(2)圖形中的平行與垂直問題要充分利用圖形性質求解，圖形的形狀不確定時要分情況討論．
[跟進訓練]
3．已知四邊形ABCD的頂點B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四邊形ABCD為直角梯形，求A點坐標．
[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如圖1，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
　
②若∠A＝∠B＝90°，如圖2.設A(a，b)，
則kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.
由AD∥BC kAD＝kBC，即＝－3；由AB⊥BC kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1.解得故A.
綜上所述，A點坐標為(1，－1)或.
1．若過點P(3，2m)和點Q(－m，2)的直線與過點M(2，－1)和點N(－3，4)的直線平行，則m的值是(　　)
A．　　　B．－　　　C．2　　　D．－2
B　[由kPQ＝kMN，
即＝，得m＝－.
經檢驗知，m＝－符合題意．]
2．對于兩條不重合的直線，下列說法不正確的是(　　)
A．若兩直線斜率相等，則兩直線平行
B．若l1⊥l2，則k1·k2＝－1
C．若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交
D．若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行
B　[當k1＝k2時，l1與l2平行，A正確；B中也可能一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，不正確；C，D正確．]
3．(多選)設點P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面結論中正確的是(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．RP⊥QS
ABD　[由斜率公式知：
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，
所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，
所以PS與QS不平行，故A、B、D正確．]
4．若不同兩點P，Q的坐標分別為(a，b)，(3－b，3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．
－1　[若a＝3－b，則P，Q兩點重合，不合題意．
故PQ斜率存在．
由kPQ＝＝1，
得線段PQ的垂直平分線的斜率為－1．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩條直線平行和斜率有怎樣的關系？
提示：兩條平行直線的斜率相等或斜率均不存在．
2．兩條直線垂直和斜率有怎樣的關系？
提示：兩條直線垂直，則它們的斜率之積為－1或一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在．
3．經過A，B兩點的直線其斜率不存在，則A，B兩點的坐標有什么特點？
提示：A，B兩點橫坐標相同，縱坐標不相同．2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
學習 任務 1．理解兩條直線平行與垂直的條件．(數學抽象) 2．能根據斜率判定兩條直線平行或垂直．(邏輯推理) 3．能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題．(數學運算)
在平面幾何中，我們已經學習了兩條直線平行或垂直的性質定理和判定定理．那么，在平面直角坐標系中，怎樣根據兩條直線的傾斜角或斜率的關系來判斷兩條直線的平行或垂直關系呢？
知識點1　兩條直線平行與斜率之間的關系
類型 斜率存在 斜率不存在
條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥l2 ________ l1∥l2 兩直線斜率都________
圖示
1．兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　兩條直線垂直與斜率之間的關系
圖示
對應 關系 l1⊥l2(兩條直線的斜率都存在，且都不為零) ____________ l1的斜率不存在，l2的斜率為0 ________
2．“兩條直線的斜率之積等于－1”是“這兩條直線垂直”的充要條件嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值為________．
2．l1的斜率為－，l2經過點A(1，1)，B(0，m)，當l1⊥l2時，m的值為________．
類型1　兩直線平行的判定及應用
【例1】　(1)已知點A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則實數m的值為(　　)
A．1 B．0 　　C．0或1 　　D．0或2
(2)根據下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．
①l1經過點A(2，3)，B(－4，0)，l2經過點M(－3，1)，N(－2，2)；
②l1的斜率為－，l2經過點A(4，2)，B(2，3)；
③l1平行于y軸，l2經過點P(0，－2)，Q(0，5)；
④l1經過點E(0，1)，F(－2，－1)，l2經過點G(3，4)，H(2，3)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷兩條不重合的直線是否平行的兩種方法
(1)利用直線的斜率判斷：
(2)利用直線的方向向量判斷：求出兩直線的方向向量，通過判斷兩向量是否共線，進而得到兩條直線是否平行．
[跟進訓練]
1．已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別為A，B，C，則點D的坐標為________．
類型2　兩條直線垂直的判定及應用
【例2】　已知△ABC的頂點為A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷兩條直線是否垂直的方法
在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可；若有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．
提醒：若已知點的坐標含有參數，利用兩直線的垂直關系求參數值時，要注意討論斜率不存在的情況．
[跟進訓練]
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直線AB⊥CD，求m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　兩條直線平行與垂直的綜合應用
【例3】　已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三點，求點D的坐標，使直線CD⊥AB，且BC∥AD．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
將本例中的三點變為A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，其他的條件不變，求點D的坐標．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　關于直線平行與垂直的綜合應用
(1)設出點的坐標，利用平行、垂直時的斜率關系建立方程(組)去解．
(2)圖形中的平行與垂直問題要充分利用圖形性質求解，圖形的形狀不確定時要分情況討論．
[跟進訓練]
3．已知四邊形ABCD的頂點B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四邊形ABCD為直角梯形，求A點坐標．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若過點P(3，2m)和點Q(－m，2)的直線與過點M(2，－1)和點N(－3，4)的直線平行，則m的值是(　　)
A．　　　B．－　　　C．2　　　D．－2
2．對于兩條不重合的直線，下列說法不正確的是(　　)
A．若兩直線斜率相等，則兩直線平行
B．若l1⊥l2，則k1·k2＝－1
C．若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交
D．若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行
3．(多選)設點P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面結論中正確的是(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．RP⊥QS
4．若不同兩點P，Q的坐標分別為(a，b)，(3－b，3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩條直線平行和斜率有怎樣的關系？
2．兩條直線垂直和斜率有怎樣的關系？
3．經過A，B兩點的直線其斜率不存在，則A，B兩點的坐標有什么特點？

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