資源簡介

2.2.1　直線的點斜式方程
學習任務 1．掌握直線方程的點斜式和斜截式，并會用它們求直線的方程．(數學運算) 2．了解直線的斜截式方程與一次函數的關系．(數學抽象) 3．會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．(數學運算)
我們知道，一點與一個方向可以確定一條直線．例如，如圖所示，直線l經過點P(0，3)，且斜率k＝2，則直線l上的每個點在平面直角坐標系中的位置就被確定了．也就是說，對于直線l上不同于點P的每一個點，其坐標都和已知點P的坐標與斜率存在某種恒定的數量關系．那么，這一數量關系是什么呢？
知識點1　直線的點斜式方程
名稱 點斜式
已知條件 點P(x0，y0)和斜率k
示意圖
方程 y－y0＝k(x－x0)
使用范圍 斜率存在的直線
經過點P0(x0，y0)的直線有無數條，可分為兩類：①斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直線，方程為x＝x0.
知識點2　直線的斜截式方程
(1)截距：我們把直線l與y軸的交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距；
(2)斜截式：方程y＝kx＋b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程y＝kx＋b叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
1.斜截式方程適用于斜率存在的直線，不能表示斜率不存在的直線，故利用斜截式設直線方程時也要討論斜率是否存在．
2．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，所以可以取一切實數，即可為正數、負數或零．
知識點3　根據直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1⊥l2 k1k2＝－1.
1．已知直線l經過點P(2，－3)，且傾斜角α＝60°，則直線的點斜式方程是________．
y＋3＝(x－2)　[所求直線的斜率k＝tan 60°＝，直線的點斜式方程為y＋3＝(x－2)．]
2．已知直線l的方程為y＝－2x－2，則直線l在y軸上的截距b＝________．
－2　[由直線的斜截式方程可知b＝－2．]
3．已知直線l1：y＝x＋2與l2：y＝－2ax＋1平行，則a＝________．
－　[由l1∥l2得－2a＝1，解得a＝－．]
類型1　直線的點斜式方程
【例1】　(源自湘教版教材)已知直線l經過點P(2，3)，斜率為2，求直線l的方程，并畫出該直線．
[解]　經過點P(2，3)，斜率為2的直線的點斜式方程是y－3＝2(x－2)．
畫該直線時，可在直線l上另取一點P1(x1，y1)，如取x1＝1，y1＝1，得P1(1，1)，過P，P1作直線即為所求，如圖所示．
　求直線的點斜式方程的步驟及注意點
(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但直線x＝x0除外．
[跟進訓練]
1．求滿足下列條件的直線的點斜式方程．
(1)過點P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)過點P(3，－4)，且與y軸平行；
(3)過點P(－2，3)，Q(5，－4)兩點．
[解]　(1)因為直線過點P(－4，3)，斜率k＝－3，由直線方程的點斜式得直線方程為y－3＝－3(x＋4)．
(2)直線與y軸平行，斜率不存在，其直線方程為x＝3.
(3)過點P(－2，3)，Q(5，－4)的直線的斜率kPQ＝＝＝－1.又因為直線過點P(－2，3)，
所以直線的點斜式方程為y－3＝－(x＋2)．
類型2　直線的斜截式方程
【例2】　根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3；
(2)在y軸上的截距為－6，且與y軸夾角為60°.
[思路導引]　
[解]　(1)因為直線的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因為直線與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.
(2)與y軸夾角為60°的直線傾斜角為30°或150°，所以斜率k為tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直線的斜截式方程為y＝±x－6.
　求直線的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．
(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．
[跟進訓練]
2．已知直線l的斜率為，且和兩坐標軸圍成面積為3的三角形，求l的斜截式方程．
[解]　設直線方程為y＝x＋b，則x＝0時，y＝b；y＝0時，x＝－6b.
由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直線方程為y＝x＋1或y＝x－1.
類型3　利用斜截式方程求平行與垂直的條件
【例3】　(1)當a為何值時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)當a為何值時，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直？
[解]　(1)由題意可知＝＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
故當a＝－1時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由題意可知＝＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，
解得a＝.
故當a＝時，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直．
　已知兩直線的斜截式方程，判定兩直線平行與垂直
設直線l1的方程為y＝k1x＋b1，直線l2的方程為y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1與l2重合 k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2 k1·k2＝－1.
[跟進訓練]
3．已知直線l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，問m為何值時，l1與l2平行或垂直？
[解]　當m＝0時，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1與l2垂直；
當m≠0時，l2的方程可化為y＝－x＋.
由－＝－得m＝±；由≠，得m≠或m≠，－＝－1無解．
故當m＝－時，l1與l2平行；
當m＝0時，l1與l2垂直．
1．經過點P(2，－3)，且傾斜角為45°的直線方程為(　　)
A．y－3＝－(x－2)
B．y＋3＝－(x－2)
C．y＋3＝－x－2
D．y＋3＝x－2
D　[傾斜角為45°的直線的斜率為tan 45°＝1，又該直線經過點P(2，－3)，所以用直線的點斜式求得直線的方程為y＋3＝x－2．]
2．傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為(　　)
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x＋2 D．y＝x－2
B　[斜率為tan 120°＝－，則直線方程為y＝－x－2．]
3．與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
D　[由題意可設所求直線方程為y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－，∴所求直線方程為y＝－x＋4．]
4．在平面直角坐標系中，下列三個結論：
①每一條直線都有點斜式方程；
②方程k＝與方程y＋1＝k(x－2)可表示同一條直線；
③直線l過點P0(x0，y0)，傾斜角為90°，則其方程為x＝x0.
其中正確結論的序號為________．
③　[直線的點斜式方程不能表示斜率不存在的直線，所以①錯誤．點(2，－1)不在方程k＝所表示的直線上，所以②錯誤．③顯然正確．]2.2.1　直線的點斜式方程
學習任務 1．掌握直線方程的點斜式和斜截式，并會用它們求直線的方程．(數學運算) 2．了解直線的斜截式方程與一次函數的關系．(數學抽象) 3．會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．(數學運算)
我們知道，一點與一個方向可以確定一條直線．例如，如圖所示，直線l經過點P(0，3)，且斜率k＝2，則直線l上的每個點在平面直角坐標系中的位置就被確定了．也就是說，對于直線l上不同于點P的每一個點，其坐標都和已知點P的坐標與斜率存在某種恒定的數量關系．那么，這一數量關系是什么呢？
知識點1　直線的點斜式方程
名稱 點斜式
已知條件 點P(x0，y0)和斜率k
示意圖
方程 ______________________
使用范圍 斜率存在的直線
經過點P0(x0，y0)的直線有無數條，可分為兩類：①斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直線，方程為x＝x0.
知識點2　直線的斜截式方程
(1)截距：我們把直線l與y軸的交點(0，b)的________叫做直線l在y軸上的截距；
(2)斜截式：方程____________由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程____________叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
方程________叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．
1.斜截式方程適用于斜率存在的直線，不能表示斜率不存在的直線，故利用斜截式設直線方程時也要討論斜率是否存在．
2．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，所以可以取一切實數，即可為正數、負數或零．
知識點3　根據直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1⊥l2 k1k2＝－1.
1．已知直線l經過點P(2，－3)，且傾斜角α＝60°，則直線的點斜式方程是________．
2．已知直線l的方程為y＝－2x－2，則直線l在y軸上的截距b＝________．
3．已知直線l1：y＝x＋2與l2：y＝－2ax＋1平行，則a＝________．
類型1　直線的點斜式方程
【例1】　(源自湘教版教材)已知直線l經過點P(2，3)，斜率為2，求直線l的方程，并畫出該直線．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求直線的點斜式方程的步驟及注意點
(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但直線x＝x0除外．
[跟進訓練]
1．求滿足下列條件的直線的點斜式方程．
(1)過點P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)過點P(3，－4)，且與y軸平行；
(3)過點P(－2，3)，Q(5，－4)兩點．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】　根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3；
(2)在y軸上的截距為－6，且與y軸夾角為60°.
[思路導引]　
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求直線的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．
(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．
[跟進訓練]
2．已知直線l的斜率為，且和兩坐標軸圍成面積為3的三角形，求l的斜截式方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用斜截式方程求平行與垂直的條件
【例3】　(1)當a為何值時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)當a為何值時，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知兩直線的斜截式方程，判定兩直線平行與垂直
設直線l1的方程為y＝k1x＋b1，直線l2的方程為y＝k2x＋b2．
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1與l2重合 k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2 k1·k2＝－1．
[跟進訓練]
3．已知直線l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，問m為何值時，l1與l2平行或垂直？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．經過點P(2，－3)，且傾斜角為45°的直線方程為(　　)
A．y－3＝－(x－2) B．y＋3＝－(x－2)
C．y＋3＝－x－2 D．y＋3＝x－2
2．傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為(　　)
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x＋2 D．y＝x－2
3．與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
4．在平面直角坐標系中，下列三個結論：
①每一條直線都有點斜式方程；
②方程k＝與方程y＋1＝k(x－2)可表示同一條直線；
③直線l過點P0(x0，y0)，傾斜角為90°，則其方程為x＝x0．
其中正確結論的序號為________．2.2.2　直線的兩點式方程
學習任務 1．掌握直線的兩點式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象) 2．了解直線的截距式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象) 3．能用直線的兩點式方程和截距式方程解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
我們知道，兩點可以確定一條直線，因此，直線上其他的任意一點的位置都可以由已知兩點確定，即直線上任意其他點的坐標和已知兩點的坐標都存在著恒定的數量關系．
如圖所示，已知直線l上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，對于直線l上其他的任意一點Q(x，y)，A，B，Q三點坐標間的數量關系是怎樣的呢？
知識點1　直線的兩點式方程
名稱 兩點式
已知條件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意圖
方程 _＝
使用范圍 不表示垂直于坐標軸的直線
兩點式方程也可寫成＝，需注意等號左右兩邊的字母、下標必須對應，不能亂寫，并注意x1≠x2，y1≠y2.
知識點2　直線的截距式方程
(1)直線在x軸上的截距
把直線l與x軸的交點(a，0)的橫坐標a叫做直線l在x軸上的截距．
(2)直線的截距式方程
名稱 截距式
已知條件 在x，y軸上的截距分別為a，b
示意圖
方程 ＋＝1
使用范圍 不表示垂直于坐標軸的直線及過原點的直線
直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況，由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便．
1．過點(1，2)，(5，3)的直線方程是(　　)
A．＝　　 B．＝
C．＝ D．＝
B　[所求直線過點(1，2)，(5，3)，將兩點坐標代入兩點式，得＝．]
2．直線－＝1在y軸上的截距是________．
－b2　[直線的截距式方程為＋＝1，因此直線在y軸上的截距是－b2．]
3．過兩點(－1，1)和(3，9)的直線在x軸上的截距為________．
－　[直線方程為＝，化為截距式為＋＝1，則在x軸上的截距為－．]
類型1　直線的兩點式方程
【例1】　(源自湘教版教材)如圖所示，已知三角形的三個頂點為A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC邊所在直線的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
[解]　(1)過B(5，－4)，C(0，－2)的直線的兩點式方程為＝.
整理得2x＋5y＋10＝0.
這就是BC邊所在直線的方程．
(2)BC中點M的坐標為＝.
過A(－3，2)，M的直線的兩點式方程為＝.
整理得10x＋11y＋8＝0.
這就是BC邊上的中線AM所在直線的方程．
　利用兩點式求直線的方程
首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件．
若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．
注意：兩點式方程不必記憶，可先用過兩點的直線的斜率公式算出斜率，再用點斜式寫出方程．
[跟進訓練]
1．已知直線經過點A(1，0)，B(m，1)，求直線的方程．
[解]　由直線經過點A(1，0)，B(m，1)知，該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．
(1)當m＝1時，直線斜率不存在，直線方程為x＝1；
(2)當m≠1時，直線斜率存在，利用兩點式，可得直線方程為＝，
即x－(m－1)y－1＝0.
綜上可得，當m＝1時，直線方程為x＝1；
當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.
類型2　直線的截距式方程
【例2】　求過點A(3，4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線l的方程．
[解]　(1)當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數且不為0時，可設直線l的方程為＋＝1.
又l過點A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直線l的方程為＋＝1，即x－y＋1＝0.
(2)當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數且為0時，即直線l過原點時，設直線l的方程為y＝kx，因為l過點A(3，4)，所以4＝3k，解得k＝，直線l的方程為y＝x，即4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
[母題探究]
1．若將點A的坐標改為“A(－3，－4)”，其他條件不變，又如何求解？
[解]　(1)當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數且不為0時，設直線l的方程為＋＝1，又l過點A(－3，－4)，
所以＋＝1，解得a＝1.
所以直線l的方程為＋＝1，即x－y－1＝0.
(2)當直線l過原點時，設直線l的方程為y＝kx，由于l過(－3，－4)，
所以－4＝k·(－3)，
解得k＝.
所以直線l的方程為4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若將本例中“截距互為相反數”改為“截距相等”呢？
[解]　(1)當截距不為0時，設直線l的方程為＋＝1，
又l過(3，4)，∴＋＝1，解得a＝7，
∴直線l的方程為x＋y－7＝0.
(2)當截距為0時，設直線l的方程為
y＝kx，又l過(3，4)，∴4＝k·3，
解得k＝，∴直線l的方程為y＝x，即4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
　零截距的重要性
如果題目中出現直線在兩坐標軸上的“截距相等”、“截距互為相反數”、“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m>0)”等條件時，采用截距式求直線方程，一定要注意考慮“零截距”的情況．
[跟進訓練]
2．(2022·杭州高級中學高二月考)求過點(4，－3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程．
[解]　法一：設直線在x軸，y軸上的截距分別為a，b.
①當a≠0，b≠0時，設l的方程為＋＝1.
∵點(4，－3)在直線上，∴＋＝1，
若a＝b，則a＝b＝1，直線方程為x＋y＝1.
若a＝－b，則a＝7，b＝－7，此時直線的方程為x－y＝7.
②當a＝b＝0時，直線過原點，且過點(4，－3)，∴直線的方程為3x＋4y＝0.
綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二：設直線l的方程為y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直線在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，
∴|－4k－3|＝，解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直線方程為x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
類型3　直線方程的靈活應用
【例3】　過點P(1，4)作直線l，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為原點．
(1)若△ABO的面積為9，求直線l的方程；
(2)若△ABO的面積為S，求S的最小值，并求出此時直線l的方程．
[解]　設A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，
則由直線的截距式方程得直線l的方程為＋＝1.將P(1，4)代入直線l的方程，得＋＝1.(*)
(1)依題意得，ab＝9，
即ab＝18，由(*)式得，b＋4a＝ab＝18，從而b＝18－4a，
∴a(18－4a)＝18，整理得，2a2－9a＋9＝0，解得a1＝3，a2＝，對應的b1＝6，b2＝12，因此直線l的方程為＋＝1或＋＝1，整理得，2x＋y－6＝0或8x＋y－12＝0.
(2)由題意得S＝ab＝ab＝×≥×＝×(8＋8)＝8，
當且僅當＝，即a＝2，b＝8時取等號，因此直線l的方程為＋＝1，即4x＋y－8＝0.
　直線方程的選擇技巧
(1)已知一點的坐標，求過該點的直線方程，一般選取直線的點斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率；
(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的點斜式或斜截式方程，再由其他條件確定直線的一個點或者截距；
(3)若已知兩點坐標，一般選用直線的兩點式方程，若兩點是與坐標軸的交點，就用直線的截距式方程．
注意：不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨討論解決．
[跟進訓練]
3．如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應該如何設計才能使草坪面積最大？
[解]　在線段EF上取一點P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，則矩形PQCR即為要建的矩形草坪，
設矩形PQCR的面積是S，則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又因為＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20，
故S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
當m＝5時，S有最大值，此時＝＝5，即當點P為線段EF上靠近F點的六等分點時，可使草坪面積最大．
1．已知直線l的兩點式方程為＝，則l的斜率為(　　)
A．－ 　　　B．　　　C．－ 　　　D．
A　[由兩點式方程＝，知直線l過點(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率為＝－．]
2．直線－＝1在兩坐標軸上的截距之和為(　　)
A．1 　　　B．－1　　　C．7 　　　D．－7
B　[直線－＝1的橫截距為3，縱截距為－4，
所以直線－＝1在兩坐標軸上的截距之和為－1．]
3．經過兩點M(4，3)，N(1，5)的直線交x軸于點P，則P點的坐標是________．
　[由直線的兩點式方程，得MN所在直線的方程為＝，即2x＋3y－17＝0.
令y＝0，得x＝，故P點坐標為．]
4．過點P(1，2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為________．
2x－y＝0或x－y＋1＝0　[當直線過原點時，得直線方程為2x－y＝0.
當在坐標軸上的截距不為零時，
可設直線方程為－＝1，
將x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直線方程為x－y＋1＝0.
∴直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的兩點式方程．
提示：＝.
2．試寫出直線的截距式方程．
提示：＋＝1.
3．如何解決與直線在x軸、y軸上的截距有關的問題？
提示：可設直線的截距式方程求解，應注意當截距為0時，直線過原點，不能用截距式方程表示.2.2.2　直線的兩點式方程
學習任務 1．掌握直線的兩點式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象) 2．了解直線的截距式方程的形式、特點及適用范圍．(數學抽象) 3．能用直線的兩點式方程和截距式方程解決有關問題．(邏輯推理、數學運算)
我們知道，兩點可以確定一條直線，因此，直線上其他的任意一點的位置都可以由已知兩點確定，即直線上任意其他點的坐標和已知兩點的坐標都存在著恒定的數量關系．
如圖所示，已知直線l上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，對于直線l上其他的任意一點Q(x，y)，A，B，Q三點坐標間的數量關系是怎樣的呢？
知識點1　直線的兩點式方程
名稱 兩點式
已知條件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意圖
方程 __________
使用范圍 不表示______坐標軸的直線
兩點式方程也可寫成＝，需注意等號左右兩邊的字母、下標必須對應，不能亂寫，并注意x1≠x2，y1≠y2.
知識點2　直線的截距式方程
(1)直線在x軸上的截距
把直線l與x軸的交點(a，0)的________叫做直線l在x軸上的截距．
(2)直線的截距式方程
名稱 截距式
已知條件 在x，y軸上的截距分別為a，b
示意圖
方程 ________
使用范圍 不表示______坐標軸的直線及過____的直線
直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況，由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便．
1．過點(1，2)，(5，3)的直線方程是(　　)
A．＝　　 B．＝
C．＝ D．＝
2．直線－＝1在y軸上的截距是________．
3．過兩點(－1，1)和(3，9)的直線在x軸上的截距為________．
類型1　直線的兩點式方程
【例1】　(源自湘教版教材)如圖所示，已知三角形的三個頂點為A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC邊所在直線的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用兩點式求直線的方程
首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件．
若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．
注意：兩點式方程不必記憶，可先用過兩點的直線的斜率公式算出斜率，再用點斜式寫出方程．
[跟進訓練]
1．已知直線經過點A(1，0)，B(m，1)，求直線的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　直線的截距式方程
【例2】　求過點A(3，4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線l的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．若將點A的坐標改為“A(－3，－4)”，其他條件不變，又如何求解？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若將本例中“截距互為相反數”改為“截距相等”呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　零截距的重要性
如果題目中出現直線在兩坐標軸上的“截距相等”、“截距互為相反數”、“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m>0)”等條件時，采用截距式求直線方程，一定要注意考慮“零截距”的情況．
[跟進訓練]
2．(2022·杭州高級中學高二月考)求過點(4，－3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　直線方程的靈活應用
【例3】　過點P(1，4)作直線l，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為原點．
(1)若△ABO的面積為9，求直線l的方程；
(2)若△ABO的面積為S，求S的最小值，并求出此時直線l的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直線方程的選擇技巧
(1)已知一點的坐標，求過該點的直線方程，一般選取直線的點斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率；
(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的點斜式或斜截式方程，再由其他條件確定直線的一個點或者截距；
(3)若已知兩點坐標，一般選用直線的兩點式方程，若兩點是與坐標軸的交點，就用直線的截距式方程．
注意：不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨討論解決．
[跟進訓練]
3．如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應該如何設計才能使草坪面積最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知直線l的兩點式方程為＝，則l的斜率為(　　)
A．－　　　　B．　　　　C．－　　　　 D．
2．直線－＝1在兩坐標軸上的截距之和為(　　)
A．1　　　　B．－1　　　　C．7　　　　 D．－7
3．經過兩點M(4，3)，N(1，5)的直線交x軸于點P，則P點的坐標是________．
4．過點P(1，2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的兩點式方程．
2．試寫出直線的截距式方程．
3．如何解決與直線在x軸、y軸上的截距有關的問題？2.2.3　直線的一般式方程
學習 任務 1．探索并掌握直線的一般式方程．(數學抽象) 2．理解關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線．(數學抽象) 3．會進行直線方程的五種形式之間的互化．(邏輯推理)
前面學習了直線方程的四種形式，但它們各自有自己的適用條件，也就是說上述方程形式不是對任何直線都適用．那么是否存在一種方程形式，對任何直線都適用？
知識點　直線的一般式方程
(1)定義
關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
(2)適用范圍
平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一般式表示．
(3)系數的幾何意義
①當B≠0時，則－＝k(斜率)，－＝b(y軸上的截距)；
②當B＝0，A≠0時，則－＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率．
解題時，如無特殊說明，應把最終結果化為一般式．
直線與二元一次方程有何關系？
提示：直線的方程都可以化為二元一次方程；二元一次方程都表示直線．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0來表示． (　　)
(2)垂直于x軸的直線方程可表示為Ax＋C＝0(A≠0)． (　　)
(3)直線l：Ax＋By＋C＝0的斜率為－． (　　)
(4)當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0表示過原點的直線． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
類型1　直線的一般式方程
【例1】　根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，經過點A(8，－2)；
(2)經過點B(4，2)，平行于x軸；
(3)在x軸和y軸上的截距分別是，－3；
(4)經過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解]　(1)斜率是－，經過點A(8，－2)的直線的點斜式方程是y＋2＝－(x－8)，
化為一般式得x＋2y－4＝0.
(2)經過點B(4，2)，平行于x軸的直線方程是y＝2，
化為一般式得y－2＝0.
(3)在x軸和y軸上的截距分別為，－3的直線的截距式方程是＋＝1，
化為一般式得2x－y－3＝0.
(4)經過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)的直線的兩點式方程是＝，
化為一般式得x＋y－1＝0.
　在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后轉化為一般式．
[跟進訓練]
1．根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：
(1)斜率是，且經過點A(5，3)；
(2)經過點A(－1，5)，B(2，－1)兩點；
(3)在x軸，y軸上的截距分別為－3，－1；
(4)經過點B(4，2)，且平行于y軸．
[解]　(1)斜率是，且經過點A(5，3)的直線的點斜式方程是y－3＝(x－5)，
化為一般式得x－y＋3－5＝0.
(2)經過點A(－1，5)，B(2，－1)的直線的兩點式方程是＝，
化為一般式得2x＋y－3＝0.
(3)在x軸，y軸上的截距分別是－3，－1的直線的截距式方程是＋＝1，
化為一般式得x＋3y＋3＝0.
(4)經過點B(4，2)，平行于y軸的直線方程為x＝4，
化為一般式得x－4＝0.
類型2　利用一般式研究直線的平行與垂直
【例2】　(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)當a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解]　(1)法一：①若m＋1＝0，即m＝－1時，直線l1：x＋2＝0與直線l2：x－3y＋2＝0顯然不平行．
②若m＋1≠0，即m≠－1時，直線l1，l2的斜率分別為k1＝－，k2＝－，若l1∥l2時，k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或m＝－3，經驗證，m＝2或m＝－3符合條件，所以m的值為2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
當m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
顯然l1與l2不重合，所以l1∥l2.
同理當m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，所以l1∥l2，所以m的值為2或－3.
(2)法一：由題意，直線l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1時，直線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0，顯然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－時，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，
當l1⊥l2時，k1·k2＝－1，
即＝－1，
所以a＝－1.綜上可知，當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.
法二：由直線l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
將a＝±1代入方程，均滿足題意．
故當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.
　1．利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略
已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)．
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．過一點與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法
(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程．
(2)可利用待定系數法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.
[跟進訓練]
2．已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：
(1)過點(－1，3)，且與l平行；
(2)過點(－1，3)，且與l垂直．
[解]　法一：l的方程可化為y＝－x＋3，
∴l的斜率為－.
(1)∵l′與l平行，∴l′的斜率為－.
又∵l′過點(－1，3)，
由點斜式知方程為y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′與l垂直，∴l′的斜率為，
又l′過點(－1，3)，
由點斜式可得方程為y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′與l平行，可設l′的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
將點(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.
(2)由l′與l垂直，可設l′的方程為4x－3y＋n＝0.
將(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.
類型3　直線的一般式方程的應用
【例3】　(源自北師大版教材)已知直線l的方程為mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R.
(1)若直線l在x軸上的截距為－2，求m的值；
(2)若直線l與y軸垂直，求m的值；
(3)若直線l的傾斜角為，求m的值．
[解]　(1)由已知，可得直線l與x軸交于點(－2，0)，
所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝.
故m的值為.
(2)因為直線l與y軸垂直，所以直線l的斜率為0.
所以直線l的方程可化為斜截式y＝x－.
由＝0，可得m＝0.
故m的值為0.
(3)由(2)可知直線l的斜率為，又傾斜角為，
所以由斜率與傾斜角的關系可得＝tan ，即＝1.解得m＝.
故m的值為.
[母題探究]
1．對于本例中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，求m的值．
[解]　∵直線l與y軸平行，
∴∴m＝1.
2．對于本例中的直線l的方程，若直線l在兩坐標軸上截距的絕對值相等，求m的值．
[解]　由題意知，|m|＝|m－1|，解得m＝.
　含參直線方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0(A2＋B2≠0)．
(2)令x＝0可得在y軸上的截距，且x的系數不為0.令y＝0可得在x軸上的截距，且y的系數不為0.若確定直線斜率存在，則可將一般式化為斜截式．
(3)解分式方程要注意驗根．
[跟進訓練]
3．(源自湘教版教材)已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0.
(1)求直線l的斜率；
(2)求直線l與兩條坐標軸所圍成的三角形的面積．
[解]　(1)將直線的一般式方程化為斜截式，
得到y＝－x＋3.因此，直線l的斜率k＝－.
(2)法一：如圖所示，設直線l交x軸于點A(a，0)，交y軸于點B(0，b)．
對于直線方程3x＋4y－12＝0，令y＝0，得x＝4；令x＝0，得y＝3.
于是得a＝4，b＝3.
因此S△ABO＝|ab|＝×4×3＝6.
法二：將直線的一般式方程3x＋4y－12＝0化為截距式，
得到＋＝1.
于是得a＝4，b＝3.
因此S△ABO＝|ab|＝×4×3＝6.
1．直線2x－y＋1＝0在x軸上的截距是(　　)
A．1 　　　B．－1　　　C．－ 　　　D．
C　[當y＝0時，x＝－，所以直線2x－y＋1＝0在x軸上的截距是－，故選C．]
2．在直角坐標系中，直線x＋y－3＝0的傾斜角是(　　)
A．30° 　　　B．60°　　　C．150° 　　　D．120°
C　[直線斜率k＝－，所以傾斜角為150°，故選C．]
3．若直線的截距式＋＝1化為斜截式為y＝－2x＋b，化為一般式為bx＋ay－8＝0且a>0，則a＋b＝________．
6　[由＋＝1，得y＝－x＋b，
一般式為bx＋ay－ab＝0，所以－＝－2，－ab＝－8，即
解得或因為a>0，
所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6．]
4．若直線l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，則實數m的值為________．
±2　[因為l1∥l2，所以
解得m＝±2．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的一般式方程．
提示：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)．
2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)中，A，B，C為何值時，方程表示的直線(1)平行于x軸；(2)與x軸重合；(3)平行于y軸；(4)與y軸重合．
提示：當A＝0時，方程變為y＝－，當C≠0時，表示的直線平行于x軸，當C＝0時，表示的直線與x軸重合；當B＝0時，方程變為x＝－，當C≠0時，表示的直線平行于y軸，當C＝0時，表示的直線與y軸重合．
3．如何根據直線的一般式方程求直線的斜率和直線在x軸，y軸上的截距？
提示：法一：將直線方程化為斜截式和截距式，
可求直線的斜率和在x軸，y軸上的截距．
法二：斜率k＝－，令x＝0，可得直線在y軸的截距，令y＝0，可得直線在x軸上的截距．2.2.3　直線的一般式方程
學習 任務 1．探索并掌握直線的一般式方程．(數學抽象) 2．理解關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線．(數學抽象) 3．會進行直線方程的五種形式之間的互化．(邏輯推理)
前面學習了直線方程的四種形式，但它們各自有自己的適用條件，也就是說上述方程形式不是對任何直線都適用．那么是否存在一種方程形式，對任何直線都適用？
知識點　直線的一般式方程
(1)定義
關于x，y的二元一次方程_________________(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
(2)適用范圍
平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一般式表示．
(3)系數的幾何意義
①當B≠0時，則－＝k(斜率)，－＝b(y軸上的截距)；
②當B＝0，A≠0時，則－＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率．
解題時，如無特殊說明，應把最終結果化為一般式．
直線與二元一次方程有何關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0來表示． (　　)
(2)垂直于x軸的直線方程可表示為Ax＋C＝0(A≠0)． (　　)
(3)直線l：Ax＋By＋C＝0的斜率為－． (　　)
(4)當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0表示過原點的直線． (　　)
類型1　直線的一般式方程
【例1】　根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，經過點A(8，－2)；
(2)經過點B(4，2)，平行于x軸；
(3)在x軸和y軸上的截距分別是，－3；
(4)經過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后轉化為一般式．
[跟進訓練]
1．根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：
(1)斜率是，且經過點A(5，3)；
(2)經過點A(－1，5)，B(2，－1)兩點；
(3)在x軸，y軸上的截距分別為－3，－1；
(4)經過點B(4，2)，且平行于y軸．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　利用一般式研究直線的平行與垂直
【例2】　(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)當a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略
已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)．
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0．
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
2．過一點與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法
(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程．
(2)可利用待定系數法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2．
[跟進訓練]
2．已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：
(1)過點(－1，3)，且與l平行；
(2)過點(－1，3)，且與l垂直．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　直線的一般式方程的應用
【例3】　(源自北師大版教材)已知直線l的方程為mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R．
(1)若直線l在x軸上的截距為－2，求m的值；
(2)若直線l與y軸垂直，求m的值；
(3)若直線l的傾斜角為，求m的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．對于本例中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，求m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．對于本例中的直線l的方程，若直線l在兩坐標軸上截距的絕對值相等，求m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　含參直線方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0(A2＋B2≠0)．
(2)令x＝0可得在y軸上的截距，且x的系數不為0．令y＝0可得在x軸上的截距，且y的系
數不為0．若確定直線斜率存在，則可將一般式化為斜截式．
(3)解分式方程要注意驗根．
[跟進訓練]
3．(源自湘教版教材)已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0．
(1)求直線l的斜率；
(2)求直線l與兩條坐標軸所圍成的三角形的面積．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直線2x－y＋1＝0在x軸上的截距是(　　)
A．1　　　　B．－1　　　　C．－　　　　D．
2．在直角坐標系中，直線x＋y－3＝0的傾斜角是(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．150°　　　　D．120°
3．若直線的截距式＋＝1化為斜截式為y＝－2x＋b，化為一般式為bx＋ay－8＝0且a>0，則a＋b＝________．
4．若直線l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，則實數m的值為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出直線的一般式方程．
2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)中，A，B，C為何值時，方程表示的直線(1)平行于x軸；(2)與x軸重合；(3)平行于y軸；(4)與y軸重合．
3．如何根據直線的一般式方程求直線的斜率和直線在x軸，y軸上的截距？

展開更多......

收起↑