資源簡介

2.3　直線的交點坐標與距離公式
2.3.1　兩條直線的交點坐標
學習任務 1．會用解方程的方法求兩條相交直線的交點坐標．(數學運算) 2．會根據方程解的個數判定兩條直線的位置關系．(數學運算)
點P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C＝0上，那么我們會有Ax0＋By0＋C＝0，當P(x0，y0)同時在兩條直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上時，我們會有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么點P就是這兩條直線的交點．
下面我們就來研究兩直線的交點問題．
知識點1　兩條直線的交點
已知兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，設這兩條直線的交點為P，則點P既在直線l1上，也在直線l2上．所以點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標就是方程組的解．
知識點2　兩直線的位置關系和方程組解的個數的關系
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)的位置關系如表所示．
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1和l2公共點的個數 一個 無數個 零個
直線l1和l2的位置關系 相交 重合 平行
1．直線x＋y＝5與直線x－y＝3交點坐標是(　　)
A．(1，2)　　　　 B．(4，1)
C．(3，2) D．(2，1)
B　[解方程組得
因此交點坐標為(4，1)，故選B．]
2．若方程組無解，則直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關系是________．
l1∥l2　[方程組無解，則l1與l2無公共點，從而l1∥l2．]
3．直線l1：4x－y＋3＝0與直線l2：3x＋12y－11＝0的位置關系是________．
l1⊥l2　[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
類型1　求相交直線的交點坐標
【例1】　求經過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程．
[解]　由方程組
解得即l1與l2的交點坐標為(－2，2)．
∵直線過坐標原點，
∴其斜率k＝＝－1.
故直線方程為y＝－x，
即x＋y＝0.
　求與已知兩直線的交點有關的問題，先通過解二元一次方程組求出交點坐標，然后再利用其他條件求解．
[跟進訓練]
1．求經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．
[解]　由方程組
得即P(0，2)．
∵l⊥l3，l3的斜率為，
∴kl＝－，
∴直線l的方程為y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
類型2　判斷兩條直線位置關系的方法
【例2】　(源自湘教版教材)判斷下列各組中直線的位置關系，若相交，求出交點的坐標：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[解]　(1)解方程組
得
因此直線l1和l2相交，交點坐標為(－1，－1)．
(2)解方程組
①×2－②得1＝0，矛盾．
由此可知方程組無解，因此直線l1與l2平行．
(3)解方程組
①×2得　2x－2y＋2＝0.
說明方程②是方程①的2倍，方程①的解都是方程②的解．
因此直線l1與l2重合．
　(1)判斷兩直線位置關系的方法，關鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．
有唯一解的等價條件是A1B2－A2B1≠0，即兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0.
(2)雖然利用方程組解的個數可以判斷兩直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般較少使用．
[跟進訓練]
2．(源自人教B版教材)判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出交點的坐標：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0.
[解]　(1)將l1與l2的方程分別化為斜截式可知l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋.
因此l1與l2的斜率相等，但截距不相等，所以它們平行．
(2)解方程組可得x＝－3，y＝－1，
因此，l1與l2相交，而且交點坐標為(－3，－1)．
類型3　直線系過定點問題
【例3】　(1)直線mx－3y＋2m＋3＝0，當m變動時，所有直線都經過的定點坐標為(　　)
A．(－2，1)　　 B．(1，2)
C．(1，－2) D．(2，1)
(2)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為________．
(1)A　(2)15x＋5y＋16＝0　[(1)方程mx－3y＋2m＋3＝0可化為m(x＋2)－3y＋3＝0，
令得
即直線mx－3y＋2m＋3＝0過定點(－2，1)，故選A．
(2)法一：解方程組
得所以兩直線的交點坐標為.
又所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，所以所求直線的斜率為－3.
故所求直線方程為y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：設所求直線方程為(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，
所以有(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0, 得λ＝.
代入(*)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.符合條件．]
[母題探究]
本例(2)中若將“平行”改為“垂直”，如何求解？
[解]　設所求直線方程為(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，
則3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直線方程為5x－15y－18＝0.
　1．含有參數的直線恒過定點的問題
(1)法一：任給直線中的參數賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數直線所過的定點，從而問題得解．
(2)法二：若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數，這就說明了它表示的直線必過定點，其定點可由方程組解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的直線必過定點(x0，y0)．
2．經過兩直線交點的直線方程
經過兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線方程可寫為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直線l2)．反之，當直線的方程寫為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0時，直線一定過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點．
[跟進訓練]
3．已知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1，求證：無論a為何值，直線總經過第一象限．
[證明]　將直線方程整理為a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
因為直線3x－y＝0與x－2y＋1＝0的交點為，
即直線系恒過第一象限內的定點，
所以無論a為何值，直線總經過第一象限．
1．直線2x＋y＋1＝0與直線x－y＋2＝0的交點在(　　)
A．第一象限　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[聯立解得
∴交點(－1，1)在第二象限．故選B．]
2．若直線ax＋by－11＝0與3x＋4y－2＝0平行，并且經過直線2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交點，則a，b的值分別為(　　)
A．－3，－4 B．3，4
C．4，3 D．－4，－3
B　[由得
由題意得得]
3．已知直線l1：ax＋y－6＝0與l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于點P，若l1⊥l2，則點P的坐標為________．
(3，3)　[∵直線l1：ax＋y－6＝0與l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于點P，且l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，
聯立方程易得x＝3，y＝3，
∴點P的坐標為(3，3)．]
4．若a∈R，則直線(a－1)x－y＋2a－1＝0恒過定點________．
(－2，1)　[方程(a－1)x－y＋2a－1＝0可化為
a(x＋2)－x－y－1＝0
令得
即直線(a－1)x－y＋2a－1＝0恒過定點(－2，1)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求兩直線的交點坐標？
提示：解兩直線方程組成的方程組，方程組的解就是交點的坐標．
2．直線方程具有什么特點時，直線恒過定點？
提示：當x或y的系數含有字母參數時，直線恒過定點．
3．對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0.兩直線相交、平行和垂直的充要條件是什么？
提示：l1與l2相交 A1B2≠A2B1；
l1與l2平行 A1B2＝A2B1；
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.2.3　直線的交點坐標與距離公式
2.3.1　兩條直線的交點坐標
學習任務 1．會用解方程的方法求兩條相交直線的交點坐標．(數學運算) 2．會根據方程解的個數判定兩條直線的位置關系．(數學運算)
點P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C＝0上，那么我們會有Ax0＋By0＋C＝0，當P(x0，y0)同時在兩條直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上時，我們會有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么點P就是這兩條直線的交點．
下面我們就來研究兩直線的交點問題．
知識點1　兩條直線的交點
已知兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，設這兩條直線的交點為P，則點P既在直線______上，也在直線______上．所以點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標就是方程組____________的解．
知識點2　兩直線的位置關系和方程組解的個數的關系
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)的位置關系如表所示．
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1和l2公共點的個數 一個 無數個 零個
直線l1和l2的位置關系 ____ ____ ____
1．直線x＋y＝5與直線x－y＝3交點坐標是(　　)
A．(1，2)　　　　　 B．(4，1)
C．(3，2) D．(2，1)
2．若方程組無解，則直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關系是________．
3．直線l1：4x－y＋3＝0與直線l2：3x＋12y－11＝0的位置關系是________．
類型1　求相交直線的交點坐標
【例1】　求經過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求與已知兩直線的交點有關的問題，先通過解二元一次方程組求出交點坐標，然后再利用其他條件求解．
[跟進訓練]
1．求經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　判斷兩條直線位置關系的方法
【例2】　(源自湘教版教材)判斷下列各組中直線的位置關系，若相交，求出交點的坐標：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)判斷兩直線位置關系的方法，關鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．
有唯一解的等價條件是A1B2－A2B1≠0，即兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0．
(2)雖然利用方程組解的個數可以判斷兩直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般較少使用．
[跟進訓練]
2．(源自人教B版教材)判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出交點的坐標：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　直線系過定點問題
【例3】　(1)直線mx－3y＋2m＋3＝0，當m變動時，所有直線都經過的定點坐標為(　　)
A．(－2，1)　　　 B．(1，2)
C．(1，－2) D．(2，1)
(2)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例(2)中若將“平行”改為“垂直”，如何求解？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．含有參數的直線恒過定點的問題
(1)法一：任給直線中的參數賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數直線所過的定點，從而問題得解．
(2)法二：若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數，這就說明了它表示的直線必過定點，其定點可由方程組解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的直線必過定點(x0，y0)．
2．經過兩直線交點的直線方程
經過兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線方程可寫為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直線l2)．反之，當直線的方程寫為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0時，直線一定過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點．
[跟進訓練]
3．已知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1，求證：無論a為何值，直線總經過第一象限．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直線2x＋y＋1＝0與直線x－y＋2＝0的交點在(　　)
A．第一象限　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若直線ax＋by－11＝0與3x＋4y－2＝0平行，并且經過直線2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交點，則a，b的值分別為(　　)
A．－3，－4 B．3，4
C．4，3 D．－4，－3
3．已知直線l1：ax＋y－6＝0與l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于點P，若l1⊥l2，則點P的坐標為________．
4．若a∈R，則直線(a－1)x－y＋2a－1＝0恒過定點________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求兩直線的交點坐標？
2．直線方程具有什么特點時，直線恒過定點？
3．對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0．兩直線相交、平行和垂直的充要條件是什么？2.3.2　兩點間的距離公式
學習 任務 1．探索并掌握平面上兩點間的距離公式．(數學抽象) 2．會用坐標法證明簡單的平面幾何問題．(邏輯推理)
知識點　兩點間的距離公式
(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝.
(2)兩點間距離的特殊情況
①原點O(0，0)與任一點P(x，y)間的距離|OP|＝.
②當P1P2∥x軸(y1＝y2)時，|P1P2|＝|x2－x1|．
③當P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝|y2－y1|．
兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式是否可以寫成|P1P2|＝的形式？
提示：可以，原因是＝，也就是說公式中P1，P2兩點的位置沒有先后之分．
已知點P1(4，2)，P2(2，－2)，則|P1P2|＝________．
2　[|P1P2|＝＝＝2．]
類型1　求兩點間的距離
【例1】　(源自北師大版教材)如圖所示，已知△ABC的三個頂點分別為A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)設點D為BC的中點，求BC邊上中線的長．
[解]　(1)根據兩點間的距離公式，得
|AB|＝＝，
|BC|＝＝2，
|CA|＝＝5.
因為()2＋(2)2＝(5)2，
即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，
所以△ABC是直角三角形．
(2)因為BC的中點D的橫坐標x＝＝2，縱坐標y＝＝－1，
所以BC邊上中線的長|AD|＝＝2.
　計算兩點間距離的方法
(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝.
(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．
[跟進訓練]
1．(1)已知點A(－3，4)，B(2，)，在x軸上找一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知△ABC三頂點坐標A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀．
[解]　(1)設點P的坐標為(x，0)，則有
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－.
故所求點P的坐標為.
|PA|＝＝.
(2)法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB．
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形．
類型2　坐標法的應用
【例2】　如圖，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC邊上異于B，C的任意一點，求證：|AB|2＝＋|BD|·|DC|.
[思路導引]　建立適當的坐標系→寫出相關點的坐標→利用兩點間的距離公式求距離→證明．
[證明]　如圖，以BC的中點為原點O，BC所在的直線為x軸，建立直角坐標系．
設A(0，a)，B(－b，0)，
C(b，0)，D(m，0)(－b則|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，
|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)·(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，
∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
　坐標法及其應用
(1)坐標法解決幾何問題時，關鍵要結合圖形的特征，建立平面直角坐標系．坐標系建立的是否合適，會直接影響問題能否方便解決．建系的原則主要有兩點：
①讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算；
②如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸．
(2)利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟：
①建立坐標系，盡可能將有關元素放在坐標軸上；
②用坐標表示有關的量；
③將幾何關系轉化為坐標運算；
④把代數運算結果“翻譯”成幾何關系．
[跟進訓練]
2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD．
求證：|AC|＝|BD|.
[證明]　如圖所示，建立直角坐標系，
設A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，則點D的坐標是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
類型3　對稱問題
　光的反射問題
【例3】　一束光線從原點O(0，0)出發，經過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P(－4，3)，求反射光線的方程及光線從O點到達P點所走過的路程．
[解]　如圖，設原點關于l的對稱點A的坐標為(a，b)，
由直線OA與l垂直和線段AO的中點在l上得
解得
∴A的坐標為(4，3)．
∵反射光線的反向延長線過A(4，3)，
又由反射光線過P(－4，3)，A，P兩點縱坐標相等，
故反射光線所在直線的方程為y＝3.
聯立解得即交點Q，
由于反射光線為射線，
故反射光線的方程為y＝3.
由光的性質可知，
光線從O到P的路程即為AP的長度|AP|，
由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光線從O點到達P點所走過的路程為8.
　1．對稱問題的解決方法
(1)點關于點對稱：點關于點的對稱問題是最基本的對稱問題，用中點坐標公式求解．點M(a，b)關于點(x0，y0)的對稱點為M′(2x0－a，2y0－b)；
(2)直線關于點對稱：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再用兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用直線平行，由點斜式得所求直線方程；
(3)點關于直線對稱：點(x1，y1)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱的對稱點(x2，y2)可由
求出；
(4)直線關于直線對稱：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱的直線l2的方程的求法：轉化為點關于直線對稱，在直線l1上任取兩點P1和P2，求出P1，P2關于l的對稱點，再用兩點式求出直線l2的方程．
2．根據平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線上對應的點是關于法線對稱的．利用點的對稱關系可以求解．
[跟進訓練]
3．(2022·濰坊市期末)如圖所示，已知點A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到點P，則光線所經過的路程是(　　)
A．2 　　　B．6　　　C．3 　　　D．2
A　[由題意知，AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.
如圖所示，點P關于直線AB的對稱點為D(4，2)，關于y軸的對稱點為C(－2，0)，連接MD，NC，
易知|PM|＝|MD|，
|PN|＝|NC|，所以|PM|＋|MN|＋|NP|＝|MD|＋|MN|＋|NC|＝|CD|，
故光線所經過的路程為|CD|＝2．]
　利用對稱解決有關最值問題
【例4】　在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q.使得：
(1)P到A(4，1)與B(0，4)的距離之差最大；
(2)Q到A(4，1)與C(3，0)的距離之和最小．
[解]　(1)如圖，設點B關于l的對稱點B′的坐標為(a，b)，連接BB′，則kBB′·kl＝－1，
即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中點在直線l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得∴點B′的坐標為(5，－1)．
于是AB′所在直線的方程為＝，
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，當且僅當P，B′，A三點共線時，||PB′|－|PA||最大．
∴聯立直線l與AB′的方程，解得x＝，y＝，
即l與AB′的交點坐標為.
故點P的坐標為.
(2)如圖，設點C關于l的對稱點為C′，可求得C′的坐標為(1，2)，
∴AC′所在直線的方程為x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，
當且僅當Q，A，C′三點共線時，|QA|＋|QC′|最小．
∴聯立直線AC′與l的方程，解得x＝，y＝，
即AC′與l的交點坐標為.
故點Q的坐標為.
　利用對稱性求距離的最值問題
由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側，則先求A，B兩點中某一點，如A關于直線l的對稱點A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點即可．對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解．
[跟進訓練]
4．在平面直角坐標系中，點A，B分別是x軸、y軸上兩個動點，又有一定點M(3，4)，則|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是(　　)
A．10 　　　B．11　　　C．12 　　　D．13
A　[如圖，設點M(3，4)關于y軸的對稱點為P(－3，4)，關于x軸的對稱點為Q(3，－4)，
則|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
當A與B重合于坐標原點O時，
|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝＝10；
當A與B不重合時，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
綜上可知，當A與B重合于坐標原點O時，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值為10．]
1．已知點A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，則a的值為(　　)
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
C　[∵|AB|＝＝5，
∴a2＋4a－5＝0，
解得a＝1或－5，故選C．]
2．△ABC三個頂點的坐標分別為A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，則三角形AB邊上的中線長為(　　)
A． B．
C． D．
A　[AB的中點D的坐標為D(－1，－1)，
∴|CD|＝＝．]
3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則的值為(　　)
A． 　　　B．　　　C．3 　　　D．2
D　[由兩點間的距離公式，得
|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，
故＝＝2．]
4．已知點A(4，12)，P為x軸上的一點，且點P與點A的距離等于13，則點P的坐標為________．
(－1，0)或(9，0)　[設點P的坐標為(a，0)，
則|PA|＝＝13，
即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，
∴點P的坐標為(－1，0)或(9，0)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出兩點間的距離公式．
提示：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點間的距離公式|P1P2|＝.
2．試寫出利用坐標法解決平面幾何問題的常見步驟．
提示：(1)建立坐標系，用坐標表示有關的量．
(2)進行有關代數運算．
(3)把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論．
3．常見的對稱問題有哪些？
提示：(1)點關于點對稱；
(2)直線關于點對稱；
(3)點關于直線對稱；
(4)直線關于直線對稱．2.3.2　兩點間的距離公式
學習 任務 1．探索并掌握平面上兩點間的距離公式．(數學抽象) 2．會用坐標法證明簡單的平面幾何問題．(邏輯推理)
知識點　兩點間的距離公式
(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝．
(2)兩點間距離的特殊情況
①原點O(0，0)與任一點P(x，y)間的距離|OP|＝．
②當P1P2∥x軸(y1＝y2)時，|P1P2|＝____________．
③當P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝____________．
兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式是否可以寫成
|P1P2|＝的形式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知點P1(4，2)，P2(2，－2)，則|P1P2|＝________．
類型1　求兩點間的距離
【例1】　(源自北師大版教材)如圖所示，已知△ABC的三個頂點分別為A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)設點D為BC的中點，求BC邊上中線的長．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　計算兩點間距離的方法
(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝．
(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．
[跟進訓練]
1．(1)已知點A(－3，4)，B(2，)，在x軸上找一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知△ABC三頂點坐標A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　坐標法的應用
【例2】　如圖，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC邊上異于B，C的任意一點，求證：|AB|2＝＋|BD|·|DC|．
[思路導引]　建立適當的坐標系→寫出相關點的坐標→利用兩點間的距離公式求距離→證明．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　坐標法及其應用
(1)坐標法解決幾何問題時，關鍵要結合圖形的特征，建立平面直角坐標系．坐標系建立的是否合適，會直接影響問題能否方便解決．建系的原則主要有兩點：
①讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算；
②如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸．
(2)利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟：
①建立坐標系，盡可能將有關元素放在坐標軸上；
②用坐標表示有關的量；
③將幾何關系轉化為坐標運算；
④把代數運算結果“翻譯”成幾何關系．
[跟進訓練]
2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD．
求證：|AC|＝|BD|．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　對稱問題
　光的反射問題
【例3】　一束光線從原點O(0，0)出發，經過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P(－4，3)，求反射光線的方程及光線從O點到達P點所走過的路程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．對稱問題的解決方法
(1)點關于點對稱：點關于點的對稱問題是最基本的對稱問題，用中點坐標公式求解．點M(a，b)關于點(x0，y0)的對稱點為M′(2x0－a，2y0－b)；
(2)直線關于點對稱：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再用兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用直線平行，由點斜式得所求直線方程；
(3)點關于直線對稱：點(x1，y1)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱的對稱點(x2，y2)可由求出；
(4)直線關于直線對稱：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱的直線l2的方程的求法：轉化為點關于直線對稱，在直線l1上任取兩點P1和P2，求出P1，P2關于l的對稱點，再用兩點式求出直線l2的方程．
2．根據平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線上對應的點是關于法線對稱的．利用點的對稱關系可以求解．
[跟進訓練]
3．(2022·濰坊市期末)如圖所示，已知點A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到點P，則光線所經過的路程是(　　)
A．2　　　B．6　　　C．3　　　D．2
　利用對稱解決有關最值問題
【例4】　在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q．使得：
(1)P到A(4，1)與B(0，4)的距離之差最大；
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)Q到A(4，1)與C(3，0)的距離之和最小．
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　利用對稱性求距離的最值問題
由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若A，B兩點位于直線l的異側，則先求A，B兩點中某一點，如A關于直線l的對稱點A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點即可．對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解．
[跟進訓練]
4．在平面直角坐標系中，點A，B分別是x軸、y軸上兩個動點，又有一定點M(3，4)，則|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是(　　)
A．10　　　B．11　　　C．12　　　D．13
1．已知點A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，則a的值為(　　)
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
2．△ABC三個頂點的坐標分別為A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，則三角形AB邊上的中線長為(　　)
A． B．
C． D．
3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則的值為(　　)
A．　　　C．3　　　D．2
4．已知點A(4，12)，P為x軸上的一點，且點P與點A的距離等于13，則點P的坐標為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出兩點間的距離公式．
2．試寫出利用坐標法解決平面幾何問題的常見步驟．
3．常見的對稱問題有哪些？2.3.3　點到直線的距離公式　
2.3.4　兩條平行直線間的距離
學習任務 1．探索并掌握點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式．(數學抽象) 2．會求點到直線的距離與兩平行直線間的距離．(數學運算)
在鐵路的附近，有一大型倉庫，現要修建一條公路與之連接起來，易知，從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短．將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P.
(1)若已知直線l的方程和點P的坐標(x0，y0)，如何求P到直線l的距離？
(2)如果利用一個向量在另一個向量上的投影，如何求點到直線的距離？
知識點1　點到直線的距離
(1)定義：點到直線的距離，就是點到直線的垂線段的長度．
(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝．
在應用點到直線的距離公式時，若給出的直線方程不是一般式，則應先把方程化為一般式．
知識點2　兩條平行直線間的距離
(1)定義：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．
(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝.
兩直線方程中x，y的系數對應相等，若不相等，則先將系數化為相等，再代入公式．
1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離d＝________．
　[d＝＝．]
2．若第二象限內的點P(m，1)到直線x＋y＋1＝0的距離為，則m的值為________．
－4　[∵＝，
∴m＝0或－4.
∵點P(m，1)在第二象限內，
∴m＝－4．]
3．兩條平行直線5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之間的距離為________．
　[由兩條平行直線的距離公式得：
d＝＝．]
4．已知直線l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且兩直線間的距離為，則a＝________．
1或－3　[由＝得a＋1＝±2，
解得a＝1或－3．]
類型1　點到直線的距離
【例1】　(源自北師大版教材)求點P(－2，1)到下列直線的距離：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0.
[解]　(1)根據點到直線的距離公式，得d＝＝.
即點P(－2，1)到直線3x＋4y－1＝0的距離為.
(2)直線方程y＝2x＋3可化為一般式2x－y＋3＝0.
根據點到直線的距離公式，得d＝＝＝.
即點P(－2，1)到直線y＝2x＋3的距離為.
(3)直線方程2x＋5＝0可化為x＝－，這條直線垂直于x軸，
所以d＝＝.
即點P(－2，1)到直線2x＋5＝0的距離為.
　點到直線的距離的求解方法
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式，直接利用點到直線的距離公式即可．
(2)若已知點到直線的距離求參數值時，只需根據點到直線的距離公式列出關于參數的方程即可．
[跟進訓練]
1．(1)點P(2m，m2)到直線x＋y＋7＝0的距離的最小值為(　　)
A．4 　　　B．2　　　C．4 　　　D．3
(2)垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1，0)的距離是的直線l的方程為________．
(1)D　(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　[(1)點P(2m，m2)到直線x＋y＋7＝0的距離d＝＝≥＝3，
∴d有最小值3，故選D．
(2)設與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點到直線的距離公式知，
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0．]
類型2　兩條平行線間的距離
【例2】　(1)兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________．
(2)求到直線3x－4y＋1＝0的距離為3，且與此直線平行的直線方程．
(1)　[由題意，得＝，∴m＝2，將直線3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，由兩平行線間的距離公式，
得＝＝．]
(2)[解]　設所求直線方程為3x－4y＋m＝0，
由兩平行線間的距離公式得＝3，
解得m＝16或m＝－14.
故所求的直線方程為3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
[母題探究]
把本例(2)改為“直線l與直線3x－4y＋1＝0平行且點P(2，3)到直線l的距離為3，求直線l的方程”．
[解]　由直線l平行于直線3x－4y＋1＝0，
可設l的方程為3x－4y＋c＝0，
又點P到l的距離為3，
所以＝3.
解得c＝21或c＝－9，
故所求直線方程為3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
　求兩條平行直線間的距離的兩種思路
(1)利用“化歸”思想將兩條平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．由于這種求法與點的選擇無關，因此，選點時，常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算．
(2)利用兩條平行直線間的距離公式求解．
[跟進訓練]
2．(1)已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是(　　)
A．4 　　　B．　　　C． 　　　D．
(2)若兩條平行直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是，則m＋n＝(　　)
A．0 　　　B．1　　　C．－2 　　　D．－1
(1)D　(2)C　[(1)由題意，直線3x＋2y－3＝0和直線6x＋my＋1＝0平行，則＝，即m＝4.
所以對應直線方程為6x＋4y＋1＝0.
又直線3x＋2y－3＝0可化為6x＋4y－6＝0，
所以兩平行直線間的距離為d＝＝＝.
(2)因為l1∥l2，所以＝，解得n＝－4，即直線l2：x－2y－3＝0，所以兩平行直線間的距離d＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2．]
類型3　利用距離公式解決最值問題
【例3】　兩條互相平行的直線分別過A(6，2)和B(－3，－1)兩點，如果兩條平行直線間的距離為d，求：
(1)d的取值范圍；
(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．
[解]　(1)如圖，當兩條平行直線與AB垂直時，兩平行直線間的距離最大，為d＝|AB|＝＝3；
當兩條平行線各自繞點B，A逆時針旋轉時，距離逐漸變小，越來越接近于0，所以0(2)當d取最大值3時，兩條平行線都垂直于AB，它們的斜率k＝－＝－＝－3.
故所求的直線方程分別為
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
　應用數形結合思想求最值
(1)解決此類問題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數”轉化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決；
(2)數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．
[跟進訓練]
3．已知△ABC的頂點坐標為A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1[解]　|AC|＝＝，
直線AC的方程為＝，
即x－3y＋2＝0.
因為點B(m，)到直線AC的距離
d＝，
所以△ABC的面積S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝.
因為1所以0<≤，0所以當＝，即m＝時，△ABC的面積S最大．
1．(多選)已知點(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值可能為(　　)
A．1　　　B．－1　　　C．　　　D．－
CD　[由題意知＝1，
即|a|＝，∴a＝±．]
2．已知兩條平行直線l1：3x－4y＋6＝0與l2：3x－4y＋C＝0間的距離為3，則C＝(　　)
A．9或21 B．－9或21
C．9或－9 D．9或3
B　[已知兩條平行直線l1：3x－4y＋6＝0與l2：3x－4y＋C＝0間的距離為3，
則兩平行線間的距離為＝3，解得C＝21或C＝－9.故選B．]
3．已知點M(1，2)，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．3
B　[點M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為|MP|的最小值，所以|MP|的最小值為＝．]
4．直線3x－4y－27＝0上到點P(2，1)距離最近的點的坐標是________．
(5，－3)　[由題意知過點P作直線3x－4y－27＝0的垂線，設垂足為M，則|MP|最小，直線MP的方程為y－1＝－(x－2)，解方程組得∴所求點的坐標為(5，－3)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出點到直線的距離公式．
提示：點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式為d＝.
2．試寫出兩條平行直線間的距離公式．
提示：兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝.
3．如何解決與距離有關的最值問題？
提示：(1)利用對稱轉化為兩點之間的距離問題．
(2)利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離．
(3)利用距離公式將問題轉化為二次函數的最值問題．2.3.3　點到直線的距離公式
2.3.4　兩條平行直線間的距離
學習任務 1．探索并掌握點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式．(數學抽象) 2．會求點到直線的距離與兩平行直線間的距離．(數學運算)
在鐵路的附近，有一大型倉庫，現要修建一條公路與之連接起來，易知，從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短．將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P.
(1)若已知直線l的方程和點P的坐標(x0，y0)，如何求P到直線l的距離？
(2)如果利用一個向量在另一個向量上的投影，如何求點到直線的距離？
知識點1　點到直線的距離
(1)定義：點到直線的距離，就是點到直線的________的長度．
(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________．
在應用點到直線的距離公式時，若給出的直線方程不是一般式，則應先把方程化為一般式．
知識點2　兩條平行直線間的距離
(1)定義：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的________的長．
(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離
d＝．
兩直線方程中x，y的系數對應相等，若不相等，則先將系數化為相等，再代入公式．
1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離d＝________．
2．若第二象限內的點P(m，1)到直線x＋y＋1＝0的距離為，則m的值為________．
3．兩條平行直線5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之間的距離為________．
4．已知直線l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且兩直線間的距離為，則a＝________．
類型1　點到直線的距離
【例1】　(源自北師大版教材)求點P(－2，1)到下列直線的距離：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　點到直線的距離的求解方法
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式，直接利用點到直線的距離公式即可．
(2)若已知點到直線的距離求參數值時，只需根據點到直線的距離公式列出關于參數的方程即可．
[跟進訓練]
1．(1)點P(2m，m2)到直線x＋y＋7＝0的距離的最小值為(　　)
A．4　　　B．2　　　C．4　　　D．3
(2)垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1，0)的距離是的直線l的方程為________．
類型2　兩條平行線間的距離
【例2】　(1)兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________．
(2)求到直線3x－4y＋1＝0的距離為3，且與此直線平行的直線方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
把本例(2)改為“直線l與直線3x－4y＋1＝0平行且點P(2，3)到直線l的距離為3，求直線l的方程”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求兩條平行直線間的距離的兩種思路
(1)利用“化歸”思想將兩條平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．由于這種求法與點的選擇無關，因此，選點時，常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算．
(2)利用兩條平行直線間的距離公式求解．
[跟進訓練]
2．(1)已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是(　　)
A．4　 B．　 C．　 D．
(2)若兩條平行直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是，則m＋n＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．－2　　　D．－1
類型3　利用距離公式解決最值問題
【例3】　兩條互相平行的直線分別過A(6，2)和B(－3，－1)兩點，如果兩條平行直線間的距離為d，求：
(1)d的取值范圍；
(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　應用數形結合思想求最值
(1)解決此類問題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數”轉化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決；
(2)數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．
[跟進訓練]
3．已知△ABC的頂點坐標為A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)已知點(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值可能為(　　)
A．1　　　B．－1　　　C．　　　D．－
2．已知兩條平行直線l1：3x－4y＋6＝0與l2：3x－4y＋C＝0間的距離為3，則C＝(　　)
A．9或21 B．－9或21
C．9或－9 D．9或3
3．已知點M(1，2)，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是(　　)
A．　　　C．　　　D．3
4．直線3x－4y－27＝0上到點P(2，1)距離最近的點的坐標是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出點到直線的距離公式．
2．試寫出兩條平行直線間的距離公式．
3．如何解決與距離有關的最值問題？

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