資源簡介

2.4　圓的方程
2.4.1　圓的標準方程
學習任務 1．會用定義推導圓的標準方程，并掌握圓的標準方程的特征．(數學抽象) 2．能根據所給條件求圓的標準方程．(數學運算) 3．能準確判斷點與圓的位置關系．(數學運算)
月亮，是中國人心目中的宇宙精靈，古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮，在文學作品中也大量描寫、吟詠月亮．有詩道：“明月四時有，何事喜中秋？瑤臺寶鑒，宜掛玉宇最高頭；放出白豪千丈，散作太虛一色．萬象入吾眸，星斗避光彩，風露助清幽．”
如果把天空看作一個平面，在上面建立一個平面直角坐標系，那么月亮的坐標方程如何表示？
知識點1　圓的標準方程
(1)圓的定義
圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合，定點稱為圓的圓心，定長稱為圓的半徑．用集合表示為P＝{M||MA|＝r}．
(2)圓的標準方程
確定圓的標準方程需要兩個條件：圓心坐標與半徑．
相同的圓，建立坐標系不同時，圓心坐標不同，導致圓的方程不同，但是半徑是不變的．
(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圓的方程嗎？
(2)若方程表示圓，m滿足什么條件？此時圓的圓心和半徑分別是什么？
提示：(1)當m＝0時，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示點(－a，－b)．
(2)當m≠0時，方程表示圓，此時圓的圓心為(－a，－b)，半徑為|m|.
知識點2　點與圓的位置關系
圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，設d＝|PC|＝.
位置關系 d與r的大小 點P的坐標的特點
點在圓外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
點在圓上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點在圓內 d1．點P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關系是(　　)
A．在圓上　　　　 B．在圓外
C．在圓內 D．以上都不對
B　[∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴點P(－2，－2)在圓外，故選B．]
2．若圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心坐標為________，半徑為________．
[答案]　(1，－5)　
3．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是____________．
[答案]　(x－1)2＋(y＋2)2＝9
類型1　求圓的標準方程
【例1】　(源自北師大版教材)求經過A(1，3)，B(4，2)兩點，且圓心C在直線l：x＋y－3＝0上的圓的標準方程．
[解]　法一：設該圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由圓經過A，B兩點且圓心C在直線l上，可得方程組
①－②，得
(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④
化簡、整理，得3a－b－5＝0.⑤
聯立③⑤解得代入①，得r2＝5.
故所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5(如圖1)．
法二：如圖2，連接AB，作AB的垂直平分線交AB于點D，則圓心C是線段AB的垂直平分線與直線l的交點．線段AB的垂直平分線的方程為3x－y－5＝0.
聯立線段AB的垂直平分線方程和直線l的方程得方程組
解得即圓心C的坐標為(2，1)．
又該圓經過點A，則r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，
故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
[母題探究]
如何求經過A(1，3)，B(4，2)兩點，周長最小的圓的標準方程？
[解]　當線段AB為圓的直徑時，過點A、B的圓的半徑最小，從而周長最小，
即所求圓以線段AB的中點為圓心，
|AB|＝為半徑，故所求圓的標準方程為＋＝.
　求圓的標準方程的方法
確定圓的標準方程只需確定圓心C(a，b)和半徑r，其求解方法：一是幾何法，常用到中點坐標公式，兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線交點必為圓心”等；二是待定系數法，由三個獨立的條件建立關于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程，它是求圓的方程的常用方法．
[跟進訓練]
1．求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(3，－4)；
(2)△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圓方程．
[解]　(1)設圓心C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.
∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)法一：(待定系數法)
設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則
解得
所以外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.
法二：(幾何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圓心是斜邊AC的中點(2，2)，半徑是斜邊長的一半，即r＝，所以外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.
類型2　點與圓的位置關系
【例2】　已知圓N的標準方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若點M(6，9)在圓上，求a的值；
(2)已知點P(3，3)和點Q(5，3)，線段PQ(不含端點)與圓N有且只有一個公共點，求a的取值范圍．
[解]　(1)因為點M在圓上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a>0，可得a＝.
(2)由兩點間距離公式可得：
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3.
因為線段PQ與圓有且只有一個公共點，即P，Q兩點一個在圓N內，另一個在圓N外，又3<，所以3即a的取值范圍是(3，)．
　試總結點與圓的位置關系的判斷方法．
提示：(1)幾何法：判斷點到圓心的距離與半徑的大小；
(2)代數法：將點的坐標代入圓的方程左邊，判斷與r2的大小．
[跟進訓練]
2．(1)點P(m2，5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是(　　)
A．點P在圓內　 B．點P在圓外
C．點P在圓上 D．不確定
(2)已知點M(5＋1，)在圓(x－1)2＋y2＝26的內部，則a的取值范圍為________．
(1)B　(2)[0，1)　[(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點P在圓外．
(2)由題意知
即解得0≤a<1．]
1．圓心為(1，1)，且過原點的圓的標準方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D　[由圓過原點知r＝＝，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，故選D．]
2．點P(1，3)與圓x2＋y2＝24的位置關系是(　　)
A．在圓外　　　 B．在圓內
C．在圓上 D．不確定
B　[由12＋32<24知，點P(1，3)在圓內，故選B．]
3．(2022·哈工大附中期末)經過點A(－4，－5)，B(6，－1)，且以線段AB為直徑的圓的標準方程為__________．
(x－1)2＋(y＋3)2＝29　[設P(x，y)為圓上任意一點，
則由＝0知，(x＋4)(x－6)＋(y＋5)(y＋1)＝0，
∴所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝29．]
4．若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相異兩點P，Q關于直線kx＋2y－4＝0對稱，則k的值為________．
2　[圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸，已知圓的圓心為(－1，3)，由題設知，直線kx＋2y－4＝0過圓心，則k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出圓的標準方程．
提示：圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．如何求圓的標準方程？
提示：確定圓的標準方程主要方法是待定系數法，即列出關于a，b，r的方程組求a，b，r或直接求出圓心(a，b)和半徑r.
3．如何判斷點P(x0，y0)和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關系？
提示：法一：(代數法)點P在圓外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
點P在圓上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
點P在圓內 (x0－a)2＋(y0－b)2法二：(幾何法)判斷點到圓心的距離與半徑的大小．2.4　圓的方程
2.4.1　圓的標準方程
學習任務 1．會用定義推導圓的標準方程，并掌握圓的標準方程的特征．(數學抽象) 2．能根據所給條件求圓的標準方程．(數學運算) 3．能準確判斷點與圓的位置關系．(數學運算)
月亮，是中國人心目中的宇宙精靈，古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮，在文學作品中也大量描寫、吟詠月亮．有詩道：“明月四時有，何事喜中秋？瑤臺寶鑒，宜掛玉宇最高頭；放出白豪千丈，散作太虛一色．萬象入吾眸，星斗避光彩，風露助清幽．”
如果把天空看作一個平面，在上面建立一個平面直角坐標系，那么月亮的坐標方程如何表示？
知識點1　圓的標準方程
(1)圓的定義
圓是平面上到定點的距離______的點的集合，定點稱為圓的______，________稱為圓的半徑．用集合表示為P＝{M|________}．
(2)圓的標準方程
確定圓的標準方程需要兩個條件：圓心坐標與半徑．
相同的圓，建立坐標系不同時，圓心坐標不同，導致圓的方程不同，但是半徑是不變的．
(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圓的方程嗎？
(2)若方程表示圓，m滿足什么條件？此時圓的圓心和半徑分別是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　點與圓的位置關系
圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，設d＝|PC|＝．
位置關系 d與r的大小 點P的坐標的特點
點在圓外 d>r ________________
點在圓上 d＝r ________________
點在圓內 d1．點P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關系是(　　)
A．在圓上　　　　　　　 B．在圓外
C．在圓內 D．以上都不對
2．若圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心坐標為________，半徑為________．
3．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是____________．
類型1　求圓的標準方程
【例1】　(源自北師大版教材)求經過A(1，3)，B(4，2)兩點，且圓心C在直線l：x＋y－3＝0上的圓的標準方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
如何求經過A(1，3)，B(4，2)兩點，周長最小的圓的標準方程？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求圓的標準方程的方法
確定圓的標準方程只需確定圓心C(a，b)和半徑r，其求解方法：一是幾何法，常用到中點坐標公式，兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線交點必為圓心”等；二是待定系數法，由三個獨立的條件建立關于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程，它是求圓的方程的常用方法．
[跟進訓練]
1．求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(3，－4)；
(2)△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圓方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　點與圓的位置關系
【例2】　已知圓N的標準方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若點M(6，9)在圓上，求a的值；
(2)已知點P(3，3)和點Q(5，3)，線段PQ(不含端點)與圓N有且只有一個公共點，求a的取值范圍．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　試總結點與圓的位置關系的判斷方法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
2．(1)點P(m2，5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是(　　)
A．點P在圓內　　　　 B．點P在圓外
C．點P在圓上 D．不確定
(2)已知點M(5＋1，)在圓(x－1)2＋y2＝26的內部，則a的取值范圍為________．
1．圓心為(1，1)，且過原點的圓的標準方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．點P(1，3)與圓x2＋y2＝24的位置關系是(　　)
A．在圓外　　　　　　 B．在圓內
C．在圓上 D．不確定
3．(2022·哈工大附中期末)經過點A(－4，－5)，B(6，－1)，且以線段AB為直徑的圓的標準方程為__________．
4．若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相異兩點P，Q關于直線kx＋2y－4＝0對稱，則k的值為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出圓的標準方程．
2．如何求圓的標準方程？
3．如何判斷點P(x0，y0)和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關系？2.4.2　圓的一般方程
學習任務 1．理解圓的一般方程及其特點．(數學抽象) 2．掌握圓的一般方程和標準方程的互化．(數學運算) 3．會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題．(邏輯推理)
把圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開得到
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
反之，這個方程表示的圖形是否都是圓呢？
知識點　圓的一般方程
(1)圓的一般方程
當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，此時方程表示以為圓心，為半徑的圓．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形
條件 圖形
D2＋E2－4F<0 不表示任何圖形
D2＋E2－4F＝0 表示一個點
D2＋E2－4F>0 表示以為圓心，以為半徑的圓
(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
(2)圓的一般方程中有三個系數，這說明確定一個圓需要三個獨立條件．
點M(x0，y0)和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置關系怎么判斷？
提示：點M在圓外＋Dx0＋Ey0＋F>0；點M在圓上＋Dx0＋Ey0＋F＝0；點M在圓內＋Dx0＋Ey0＋F<0.
1．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是________．
(－∞，－1)　[由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，
因為方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，
所以－2k－2>0，解得k<－1．]
2．已知圓C的一般方程為x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圓心C(5，0)，則圓C的半徑r＝________．
4　[由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9.
由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16.
所以圓C的半徑r＝4．]
類型1　圓的一般方程的辨析
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓．
(1)求實數m的取值范圍；
(2)寫出圓心坐標和半徑．
[解]　法一：根據D2＋E2－4F>0求解．
(1)由表示圓的條件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<，
即實數m的取值范圍為.
(2)－＝－m，－＝1，
＝
＝，
故圓心坐標為(－m，1)，半徑r＝.
法二：化為圓的標準方程求解．
(1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m.
由題意知1－5m>0，即m<.
所以實數m的取值范圍是.
(2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標準方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圓心坐標為(－m，1)，半徑r＝.
　圓的一般方程的辨析
(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．
(2)將方程配方后，根據圓的標準方程的特征求解．
[跟進訓練]
1．(源自人教B版教材)判斷下列方程是否是圓的方程，如果是，寫出圓的圓心坐標與半徑；如果不是，說明理由：
(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；
(2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；
(3)x2＋y2－6x＋10＝0.
[解]　(1)原方程可以化為x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝25，
即(x＋2)2＋(y－3)2＝25，所以是圓心坐標為(－2，3)，半徑為5的圓的方程．
(2)方程兩邊除以4，得x2＋y2－2x＋y－＝0.
將左邊配方，得(x－1)2＋＝5，
所以是圓心坐標為，半徑為的圓的方程．
(3)因為原方程可以化為x2－6x＋9＋y2＝－1，即(x－3)2＋y2＝－1，
又因為滿足上述方程的實數x，y不存在，所以原方程不是圓的方程．
類型2　求圓的一般方程
【例2】　(源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圓的圓心坐標和半徑．
[思路導引]　不在同一直線上的三點可以確定一個圓設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0建立關于D，E，F的方程組求出D，E，F的值圓的一般方程圓的標準方程→寫出圓心坐標和半徑．
[解]　設外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①
將圓上三點的坐標依次代入方程①，得到一個關于D，E，F的三元一次方程組
解這個方程組，得D＝－6，E＝－8，F＝0.
因此，外接圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.
整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52.
所以外接圓的圓心坐標為(3，4)，半徑為5.
[母題探究]
若點M(0，b)在△ABC的外接圓外，求b的取值范圍．
[解]　由M(0，b)在圓x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b>0，
解得b<0或b>8，所以b的取值范圍是(－∞，0)∪(8，＋∞)．
　待定系數法求圓的一般方程的步驟
(1)根據題意設所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(2)根據已知條件，建立關于D，E，F的方程組．
(3)解此方程組，求出D，E，F的值．
(4)將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程．
[跟進訓練]
2．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為，求圓的一般方程．
[解]　圓心C，
∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，
即D＋E＝－2.　①
又∵半徑長r＝＝，
∴D2＋E2＝20.　②
由①②可得或
又∵圓心在第二象限，
∴－<0，即D>0，則
故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
類型3　圓的軌跡問題
【例3】　已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，點B(1，1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點．
(1)求線段AP中點的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．
[解]　(1)設線段AP的中點M的坐標為(x，y)，P的坐標為(x0，y0)，
∵∴
又P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)設PQ的中點為N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ(圖略)，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
[母題探究]
1．本例條件不變，求BP的中點E的軌跡方程．
[解]　設點E(x，y)，P(x0，y0)．因為B(1，1)，所以整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
因為點P在圓x2＋y2＝4上，
所以(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得點E的軌跡方程為x2＋y2－x－y－＝0.
2．在本例條件不變的情況下，求過點B的弦的中點T的軌跡方程．
[解]　設T(x，y)．因為點T是弦的中點，所以OT⊥BT.當斜率存在時有kOT·kBT＝－1.
即×＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.
當x＝0或1時，點(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圓上．
故所求軌跡方程為x2＋y2－x－y＝0.
　求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．
(3)代入法：若動點P(x，y)依賴圓上的某一個動點Q(x0，y0)而運動，找到兩點的關系，把x0，y0用x，y表示，再將點Q的坐標代入到已知圓的方程中得P點的軌跡方程．
[跟進訓練]
3．設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
[解]　(1)法一：(定義法)設P(x，y)．|MP|＝|ON|＝2，所以動點P在以M為圓心，半徑為2的圓上．
又因為四邊形MONP為平行四邊形，
所以O，M，P不共線．當點P在直線OM上時有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
除去點和點.
法二：(代入法)如圖所示，
設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為，
線段MN的中點坐標為.
由于平行四邊形的對角線互相平分，故＝，＝，從而
又點N(x＋3，y－4)在圓上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
當點P在直線OM上時，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去點和點.
1．圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑分別為(　　)
A．(4，－6)，16　　 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
C　[圓的方程可化為(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圓心坐標為(－2，3)，半徑r＝4，故選C．]
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　)
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜2
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
D　[方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，
所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，
所以3a2＋4a－4＜0，
所以(a＋2)(3a－2)＜0，
所以－2＜a＜．]
3．在平面直角坐標系中，經過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________．
x2＋y2－2x＝0　[設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因為圓經過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)，
所以
解得D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圓的方程為x2＋y2－2x＝0．]
4．長度為6的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為________．
x2＋y2＝9　[設M(x，y)，因為△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3為定值，故M的軌跡為以O為圓心，3為半徑的圓，故x2＋y2＝9即為所求．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出圓的一般方程．
提示：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，需滿足什么條件？
提示：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
3．求動點的軌跡方程有哪些常用方法？
提示：直接法、定義法、代入法．2.4.2　圓的一般方程
學習任務 1．理解圓的一般方程及其特點．(數學抽象) 2．掌握圓的一般方程和標準方程的互化．(數學運算) 3．會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題．(邏輯推理)
把圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開得到
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
反之，這個方程表示的圖形是否都是圓呢？
知識點　圓的一般方程
(1)圓的一般方程
當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程________________叫做圓的一般方程，此時方程表示以____________為圓心，______________為半徑的圓．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形
條件 圖形
D2＋E2－4F<0 不表示任何圖形
D2＋E2－4F＝0 表示一個點____________
D2＋E2－4F>0 表示以為圓心，以為半徑的圓
(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．
(2)圓的一般方程中有三個系數，這說明確定一個圓需要三個獨立條件．
點M(x0，y0)和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置關系怎么判斷？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是________．
2．已知圓C的一般方程為x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圓心C(5，0)，則圓C的半徑r＝________．
類型1　圓的一般方程的辨析
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓．
(1)求實數m的取值范圍；
(2)寫出圓心坐標和半徑．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圓的一般方程的辨析
(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．
(2)將方程配方后，根據圓的標準方程的特征求解．
[跟進訓練]
1．(源自人教B版教材)判斷下列方程是否是圓的方程，如果是，寫出圓的圓心坐標與半徑；如果不是，說明理由：
(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；
(2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；
(3)x2＋y2－6x＋10＝0．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　求圓的一般方程
【例2】　(源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圓的圓心坐標和半徑．
[思路導引]　不在同一直線上的三點可以確定一個圓設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0建立關于D，E，F的方程組求出D，E，F的值圓的一般方程圓的標準方程→寫出圓心坐標和半徑．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
若點M(0，b)在△ABC的外接圓外，求b的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　待定系數法求圓的一般方程的步驟
(1)根據題意設所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
(2)根據已知條件，建立關于D，E，F的方程組．
(3)解此方程組，求出D，E，F的值．
(4)將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程．
[跟進訓練]
2．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為，求圓的一般方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　圓的軌跡問題
【例3】　已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，點B(1，1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點．
(1)求線段AP中點的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．本例條件不變，求BP的中點E的軌跡方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在本例條件不變的情況下，求過點B的弦的中點T的軌跡方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．
(3)代入法：若動點P(x，y)依賴圓上的某一個動點Q(x0，y0)而運動，找到兩點的關系，把x0，y0用x，y表示，再將點Q的坐標代入到已知圓的方程中得P點的軌跡方程．
[跟進訓練]
3．設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑分別為(　　)
A．(4，－6)，16　　　　　 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　)
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜2
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
3．在平面直角坐標系中，經過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________．
4．長度為6的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試寫出圓的一般方程．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，需滿足什么條件？
3．求動點的軌跡方程有哪些常用方法？

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