資源簡(jiǎn)介

2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系
第1課時(shí)　直線與圓的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(直觀想象) 2．會(huì)用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能用直線與圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在平面幾何中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的三種位置關(guān)系：直線與圓相交，直線與圓相切，直線與圓相離(如圖所示)．
通過前面的學(xué)習(xí)，已經(jīng)知道，借助平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的直線l與圓C可以分別用方程表示．那么，由直線l與圓C的方程，如何判斷它們的位置關(guān)系呢？
知識(shí)點(diǎn)　直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷
位置關(guān)系 相交 相切 相離
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩個(gè) 一個(gè) 零個(gè)
判定方法 幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝ d＜r d＝r d＞r
判定方法 代數(shù)法：由 消元得到一元二次方程，計(jì)算方程的判別式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
(1)利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，不必求出方程組的實(shí)數(shù)解，只需將直線方程代入圓的方程中，并消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由Δ與0的大小關(guān)系判斷方程組解的組數(shù)，進(jìn)一步判斷兩者的位置關(guān)系．
(2)利用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，必須準(zhǔn)確計(jì)算出圓心坐標(biāo)、圓的半徑及圓心到直線的距離．
1．直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　 B．相切
C．相離 D．相切或相交
A　[圓心到直線的距離d＝＝1<4，所以直線與圓相交，故選A．]
2．已知直線l：y＝k(x＋)和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝________．
0或　[直線l的一般式方程為kx－y＋k＝0，圓C的圓心為(0，1)，半徑為1，
由直線l與圓C相切得＝1，解得k＝0或．]
類型1　直線與圓的位置關(guān)系的判定
【例1】　已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線：
(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)沒有公共點(diǎn)．
[解]　法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡(jiǎn)整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
Δ＝4m(3m＋4)．
(1)當(dāng)Δ>0時(shí)，
即m>0或m<－時(shí)，直線與圓相交，
即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．
(2)當(dāng)Δ＝0時(shí)，即m＝0或m＝－時(shí)，直線與圓相切，
即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(3)當(dāng)Δ<0時(shí)，即－即直線與圓沒有公共點(diǎn)．
法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圓心為C(2，1)，半徑r＝2.
圓心C(2，1)到直線mx－y－m－1＝0的距離
d＝＝.
(1)當(dāng)d<2時(shí)，即m>0或m<－時(shí)，直線與圓相交，
即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．
(2)當(dāng)d＝2時(shí)，即m＝0或m＝－時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(3)當(dāng)d>2時(shí)，即－即直線與圓沒有公共點(diǎn)．
　判斷直線和圓的位置關(guān)系有哪些方法？
提示：(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系，d＜r 相交；d＝r 相切；d＞r 相離．
(2)代數(shù)法：Δ＝b2－4ac，
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點(diǎn)P(3，0)的直線，則(　　)
A．l與C相交　　 B．l與C相切
C．l與C相離 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能
(2)設(shè)m>0，則直線l：(x＋y)＋1＋m＝0與圓O：x2＋y2＝m的位置關(guān)系為(　　)
A．相切 B．相交
C．相切或相離 D．相交或相切
(1)A　(2)C　[(1)將點(diǎn)P(3，0)代入圓的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴點(diǎn)P(3，0)在圓內(nèi)．
∴過點(diǎn)P的直線l必與圓C相交．
(2)圓心到直線l的距離為d＝，圓的半徑為r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直線l和圓O相切或相離．]
類型2　直線與圓的相切問題
【例2】　若直線l過點(diǎn)P(2，3)，且與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直線l的方程．
[解]　∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴點(diǎn)P在圓外．
法一：①若直線l的斜率存在，設(shè)l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∵直線l與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，∵＝1，∴k＝.
∴直線l的方程為y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
②若直線l的斜率不存在，則直線l：x＝2也符合要求．
∴直線l的方程為12x－5y－9＝0或x＝2.
法二：①若直線l的斜率存在，
設(shè)l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，
與圓的方程聯(lián)立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，
∴k＝.此時(shí)直線l的方程為y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
②若直線l的斜率不存在，則直線l：x＝2也符合要求．
∴直線l的方程為12x－5y－9＝0或x＝2.
[母題探究]
1．在本例條件下，求此切線長(zhǎng)．
[解]　點(diǎn)P(2，3)到圓心(1，－2)的距離為＝，
∴切線長(zhǎng)為＝5.
2．若本例點(diǎn)P的坐標(biāo)改為P(2，－2)，其他條件不變，求直線l的方程．
[解]　∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴點(diǎn)P在圓上．
∴過P(2，－2)的切線方程為x＝2，
即直線l的方程為x＝2.
　圓的切線方程的求法
(1)點(diǎn)在圓上時(shí)
求過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.
(2)點(diǎn)在圓外時(shí)
①幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．
②代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．
③過圓外一點(diǎn)的切線有兩條．
提醒：注意切線的斜率不存在的情況，不要漏解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)(2022·南京市調(diào)研)經(jīng)過點(diǎn)M(2，)，且與圓x2＋y2＝10相切的直線的方程為________．
(2)經(jīng)過點(diǎn)P(4，5)，且與圓(x－2)2＋y2＝4相切的直線的方程為________．
(1)2x＋y－10＝0　(2)x＝4或21x－20y＋16＝0
[(1)法一：因?yàn)?2＋()2＝10，
所以點(diǎn)M在圓x2＋y2＝10上，
由題意可知圓心C的坐標(biāo)為(0，0)，
則直線CM的斜率kCM＝.
因?yàn)閳A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的直徑所在的直線，所以所求切線的斜率k＝－.
故經(jīng)過點(diǎn)M的切線方程為y－＝－(x－2)，
整理得2x＋y－10＝0.
法二：顯然點(diǎn)M(2，)在圓x2＋y2＝10上，因?yàn)檫^圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2，故所求切線方程為2x＋y＝10，即2x＋y－10＝0.
(2)因?yàn)?4－2)2＋52＝29>4，所以點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝4外．
法一：若直線的斜率存在，依題意，設(shè)直線的方程為y－5＝k(x－4)，
即kx－y＋5－4k＝0.
又圓心為(2，0)，半徑r＝2，且圓心到切線的距離等于半徑，
所以＝2，解得k＝，
所以直線的方程為21x－20y＋16＝0.
若直線的斜率不存在，則直線的方程為x＝4，顯然滿足題意．
綜上可知，滿足題意的直線的方程為21x－20y＋16＝0或x＝4.
法二：設(shè)所求切線方程為(x0－2)(x－2)＋y0y＝4，其中(x0，y0)是圓上的切點(diǎn)，
將(4，5)代入后，得2(x0－2)＋5y0＝4.
由
解得或
故所求切線方程為x＝4或21x－20y＋16＝0．]
類型3　直線與圓相交問題
【例3】　(源自人教B版教材)已知直線l：x＋y＋2＝0與圓C：x2＋y2＝9相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求線段AB的長(zhǎng)；
(2)求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)．
[解]　(1)法一：如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，根據(jù)垂徑定理可知OM⊥AB，因此△AMO是個(gè)直角三角形．
由點(diǎn)到直線的距離公式可知|OM|＝＝，
又OA是圓的半徑，因此|OA|＝＝3，
從而在Rt△AMO中，有|AM|＝＝＝.
因此|AB|＝2|AM|＝2.
法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
因?yàn)锳(x1，y1)，B(x2，y2)都是直線x＋y＋2＝0上的點(diǎn)，所以
第二式減去第一式可得x2－x1＋y2－y1＝0，因此y2－y1＝－(x2－x1)，
從而|AB|2＝(x2－x1)2＋[－(x2－x1)]2＝2(x2－x1)2.
又因?yàn)閺姆匠探M
中消去y，整理可得2x2＋4x－5＝0，而且x1，x2是這個(gè)方程的兩個(gè)根，
因此由根與系數(shù)的關(guān)系可知
所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝14，
因此|AB|2＝2×14＝28，從而可知|AB|＝2.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則
x0＝，y0＝.
由(1)中的法二可知
x0＝＝＝－1，
又因?yàn)橹本€l的方程可以化為y＝－x－2，
所以y0＝＝＝－－2＝－(－1)－2＝－1，
因此所求中點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)．
　1．求圓的弦長(zhǎng)的兩種方法
(1)由半徑長(zhǎng)r、弦心距d、弦長(zhǎng)l的一半構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理d2＋＝r2求解，這是常用解法；
(2)聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間距離公式求解．此解法很煩瑣，一般不用．
2．利用弦長(zhǎng)求直線方程、圓的方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情況．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．過點(diǎn)(－4，0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，如果|AB|＝8，求直線l的方程．
[解]　將圓的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圓的性質(zhì)可得，圓心到直線l的距離d＝
＝3.
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x＝－4滿足題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為
y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由點(diǎn)到直線的距離公式，
得3＝，
解得k＝－，所以直線l的方程為5x＋12y＋20＝0.
綜上所述，直線l的方程為x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　)
A．相切 B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心 D．相離
B　[∵圓心(0，0)到直線y＝x＋1的距離
d＝＝<1，
∴直線與圓x2＋y2＝1相交，
又(0，0)不在y＝x＋1上，
∴直線不過圓心．]
2．已知直線x＝a(a>0)和圓(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)
A．5 　　　B．4　　　C．3 　　　D．2
C　[由題意知圓心(1，0)到直線x＝a的距離為2，即|a－1|＝2(a>0)，解得a＝3．]
3．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為________．
x－y＋2＝0　[由題意點(diǎn)P在圓上且P為切點(diǎn)．
∵點(diǎn)P與圓心(2，0)連線的斜率為＝－，
∴切線的斜率為，
∴切線方程為y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0．]
4．圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1的弦長(zhǎng)為2的圓的方程為________．
(x－2)2＋(y＋1)2＝4　[設(shè)圓的半徑為r，由條件，
得圓心到直線y＝x－1的距離d＝＝.又由題意知，半弦長(zhǎng)為，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.
∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．判斷直線和圓的位置關(guān)系有哪些方法？
提示：(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．
(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷．
2．如何求過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)的圓的切線？
提示：(1)點(diǎn)在圓上時(shí)，可先求點(diǎn)與圓心連線的斜率，根據(jù)切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，確定切線的斜率，從而求出切線方程．
(2)點(diǎn)在圓外時(shí)，可設(shè)出切線的點(diǎn)斜式方程，利用幾何法或代數(shù)法求解，當(dāng)只有一解時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情況．
3．直線和圓相交時(shí)，如何求弦長(zhǎng)？
提示：(1)利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長(zhǎng)l之間的關(guān)系＋d2＝r2解題．
(2)利用交點(diǎn)坐標(biāo)，若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)．2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系
第1課時(shí)　直線與圓的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(直觀想象) 2．會(huì)用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能用直線與圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在平面幾何中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的三種位置關(guān)系：直線與圓相交，直線與圓相切，直線與圓相離(如圖所示)．
通過前面的學(xué)習(xí)，已經(jīng)知道，借助平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的直線l與圓C可以分別用方程表示．那么，由直線l與圓C的方程，如何判斷它們的位置關(guān)系呢？
知識(shí)點(diǎn)　直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷
位置關(guān)系 相交 相切 相離
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) __個(gè) __個(gè) __個(gè)
判定方法 幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝ d__r d__r d__r
判定方法 代數(shù)法：由 消元得到一元二次方程，計(jì)算方程的判別式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
(1)利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，不必求出方程組的實(shí)數(shù)解，只需將直線方程代入圓的方程中，并消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由Δ與0的大小關(guān)系判斷方程組解的組數(shù)，進(jìn)一步判斷兩者的位置關(guān)系．
(2)利用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，必須準(zhǔn)確計(jì)算出圓心坐標(biāo)、圓的半徑及圓心到直線的距離．
1．直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　 B．相切
C．相離 D．相切或相交
2．已知直線l：y＝k(x＋)和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝________．
類型1　直線與圓的位置關(guān)系的判定
【例1】　已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線：
(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)沒有公共點(diǎn)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷直線和圓的位置關(guān)系有哪些方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點(diǎn)P(3，0)的直線，則(　　)
A．l與C相交　　 B．l與C相切
C．l與C相離 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能
(2)設(shè)m>0，則直線l：(x＋y)＋1＋m＝0與圓O：x2＋y2＝m的位置關(guān)系為(　　)
A．相切 B．相交
C．相切或相離 D．相交或相切
類型2　直線與圓的相切問題
【例2】　若直線l過點(diǎn)P(2，3)，且與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直線l的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．在本例條件下，求此切線長(zhǎng)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若本例點(diǎn)P的坐標(biāo)改為P(2，－2)，其他條件不變，求直線l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圓的切線方程的求法
(1)點(diǎn)在圓上時(shí)
求過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0．
(2)點(diǎn)在圓外時(shí)
①幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．
②代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．
③過圓外一點(diǎn)的切線有兩條．
提醒：注意切線的斜率不存在的情況，不要漏解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)(2022·南京市調(diào)研)經(jīng)過點(diǎn)M(2，)，且與圓x2＋y2＝10相切的直線的方程為________．
(2)經(jīng)過點(diǎn)P(4，5)，且與圓(x－2)2＋y2＝4相切的直線的方程為________．
類型3　直線與圓相交問題
【例3】　(源自人教B版教材)已知直線l：x＋y＋2＝0與圓C：x2＋y2＝9相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求線段AB的長(zhǎng)；
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求圓的弦長(zhǎng)的兩種方法
(1)由半徑長(zhǎng)r、弦心距d、弦長(zhǎng)l的一半構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理d2＋＝r2求解，這是常用解法；
(2)聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間距離公式求解．此解法很煩瑣，一般不用．
2．利用弦長(zhǎng)求直線方程、圓的方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情況．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．過點(diǎn)(－4，0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，如果|AB|＝8，求直線l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　)
A．相切 B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心 D．相離
2．已知直線x＝a(a>0)和圓(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)
A．5　　　B．4　　　C．3　　　D．2
3．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為________．
4．圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1的弦長(zhǎng)為2的圓的方程為________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．判斷直線和圓的位置關(guān)系有哪些方法？
2．如何求過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)的圓的切線？
3．直線和圓相交時(shí)，如何求弦長(zhǎng)？第2課時(shí)　直線和圓的方程的實(shí)際應(yīng)用
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題．(直觀想象)
有一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬12 m．當(dāng)水面下降1 m后，水面寬是多少？
如何才能正確地解決上述問題？
知識(shí)點(diǎn)　用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”
用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：
建立不同的平面直角坐標(biāo)系，對(duì)解決問題有著直接的影響．因此，建立直角坐標(biāo)系，應(yīng)使所給圖形盡量對(duì)稱，所需的幾何元素的坐標(biāo)或方程盡量簡(jiǎn)單．
1．某涵洞的橫截面是半徑為5 m的半圓，則該半圓的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．隨建立直角坐標(biāo)系的變化而變化
D　[沒有建立平面直角坐標(biāo)系，因此圓的方程無法確定，故選D．]
2．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直線方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為________．
－2　[圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0距離為＝，則從村莊外圍到小路的最短距離為－2．]
類型1　圓的方程的實(shí)際應(yīng)用
【例1】　某圓拱橋的水面跨度為20 m，拱高為4 m．現(xiàn)有一船，寬10 m，水面以上高3 m，這條船能否從橋下通過？
[解]　建立如圖所示的坐標(biāo)系，使圓心C在y軸上．依題意，有
A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，
D(－5，0)，E(5，0)．
設(shè)這座圓拱橋的拱圓的方程是
x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
則有解得
所以這座圓拱橋的拱圓的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m，3<3.1，
所以該船可以從橋下通過．
　建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，通過代數(shù)運(yùn)算，解決幾何問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖為一座圓拱橋的截面圖，當(dāng)水面在某位置時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬12 m，當(dāng)水面下降1 m后，水面寬為________m.
2　[如圖，以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過圓拱頂點(diǎn)的豎直直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)圓心為C，圓的方程設(shè)為x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則A(6，－2)．將A(6，－2)代入圓的方程，得r＝10，則圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當(dāng)水面下降1 m后，可設(shè)點(diǎn)A′(x0，－3)(x0>0)，將A′(x0，－3)代入圓的方程，得x0＝，所以當(dāng)水面下降1 m后，水面寬為2x0＝2(m)．]
類型2　直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用
【例2】　如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì))，A島在O島的北偏東45°方向距O島40千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B三點(diǎn)．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？
[解]　(1)由題意，得A(40，40)，B(20，0)，設(shè)過O，A，B三點(diǎn)的圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則
解得
∴圓C的方程為x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)該船初始位置為點(diǎn)D，則D(－20，－20)，
且該船航線所在直線l的斜率為1，
故該船航行方向?yàn)橹本€l：x－y＋20－20＝0，
由(1)得圓C的圓心為C(10，30)，半徑r＝10，
由于圓心C到直線l的距離
d＝＝10＜10，故該船有觸礁的危險(xiǎn)．
　試總結(jié)應(yīng)用直線與圓的方程解決實(shí)際問題的步驟．
提示：(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知；
(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知；
(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？
[解]　以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)，其中取10 km為單位長(zhǎng)度，
則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域?yàn)閳Ax2＋y2＝9及其內(nèi)部，港口所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，4)，輪船的初始位置所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7，0)，則輪船航線所在直線l的方程為＋＝1，
即4x＋7y－28＝0.圓心(0，0)到直線4x＋7y－28＝0的距離d＝＝，而半徑r＝3，
因?yàn)閐>r，所以直線與圓相離，所以輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響．
1．一輛寬1.6 m的卡車，要經(jīng)過一個(gè)半徑為3.6 m的半圓形隧道，則這輛卡車的高度不得超過(　　)
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
B　[如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
|OA|＝3.6，|AB|＝0.8，
則|OB|＝≈3.5，
所以卡車的高度不得超過3.5 m．]
2．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．π
D　[如圖，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的.
]
3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，點(diǎn)A(－2，0)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍為________．
∪　[由題意知，AB所在直線與圓C相切或相離時(shí)，視線不被擋住，直線AB的方程為y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，
所以d＝≥1，
即a≥或a≤－．]
4．如圖，圓弧形橋拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，則拱橋的直徑為________米．
13　[如圖，設(shè)圓心為O，半徑為r，
則由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱橋的直徑為13米．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何用坐標(biāo)法解答幾何問題？
提示：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，通過代數(shù)運(yùn)算，解決幾何問題．
2．用直線和圓的方程解決實(shí)際問題的步驟是什么？
提示：第2課時(shí)　直線和圓的方程的實(shí)際應(yīng)用
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題．(直觀想象)
有一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬12 m．當(dāng)水面下降1 m后，水面寬是多少？
如何才能正確地解決上述問題？
知識(shí)點(diǎn)　用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”
用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：
建立不同的平面直角坐標(biāo)系，對(duì)解決問題有著直接的影響．因此，建立直角坐標(biāo)系，應(yīng)使所給圖形盡量對(duì)稱，所需的幾何元素的坐標(biāo)或方程盡量簡(jiǎn)單．
1．某涵洞的橫截面是半徑為5 m的半圓，則該半圓的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．隨建立直角坐標(biāo)系的變化而變化
2．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直線方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為________．
類型1　圓的方程的實(shí)際應(yīng)用
【例1】　某圓拱橋的水面跨度為20 m，拱高為4 m．現(xiàn)有一船，寬10 m，水面以上高3 m，這條船能否從橋下通過？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，通過代數(shù)運(yùn)算，解決幾何問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖為一座圓拱橋的截面圖，當(dāng)水面在某位置時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬12 m，當(dāng)水面下降1 m后，水面寬為________m．
類型2　直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用
【例2】　如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì))，A島在O島的北偏東45°方向距O島40千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B三點(diǎn)．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　試總結(jié)應(yīng)用直線與圓的方程解決實(shí)際問題的步驟．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一輛寬1.6 m的卡車，要經(jīng)過一個(gè)半徑為3.6 m的半圓形隧道，則這輛卡車的高度不得超過(　　)
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
2．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．π
3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，點(diǎn)A(－2，0)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍為________．
4．如圖，圓弧形橋拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，則拱橋的直徑為________米．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何用坐標(biāo)法解答幾何問題？
2．用直線和圓的方程解決實(shí)際問題的步驟是什么？2.5.2　圓與圓的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解圓與圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判定方法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能利用圓與圓的位置關(guān)系解決有關(guān)問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關(guān)系？
前面我們已經(jīng)借助直線和圓的方程研究了它們之間的位置關(guān)系，那么能否借助圓的方程來研究圓與圓的位置關(guān)系呢？
知識(shí)點(diǎn)　兩圓的位置關(guān)系及其判定
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
圖示
d與r1， r2的關(guān)系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
聯(lián)立方程得
則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：
方程組解的個(gè)數(shù) 2組 1組 0組
兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 2個(gè) 1個(gè) 0個(gè)
兩圓的位置關(guān)系 相交 外切或內(nèi)切 外離或內(nèi)含
(1)當(dāng)兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，公切線的條數(shù)分別是多少？
(2)當(dāng)兩圓相交、外切、內(nèi)切時(shí)，連心線有什么性質(zhì)？
提示：(1)公切線的條數(shù)分別是4，3，2，1，0.
(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分公共弦；當(dāng)兩圓外切時(shí)，連心線垂直于過兩圓公共點(diǎn)的公切線；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，連心線垂直于兩圓的公切線．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切． (　　)
(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交． (　　)
(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程． (　　)
提示：(1)×　只有一組實(shí)數(shù)解時(shí)可能外切也可能內(nèi)切．
(2)×　當(dāng)兩圓圓心距小于兩圓半徑之和且大于兩圓半徑之差的絕對(duì)值時(shí)兩圓相交．
(3)×　只有兩圓相交時(shí)得到的二元一次方程才是公共弦所在的直線方程．
2．圓O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圓O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置關(guān)系是________．
外切　[圓O1的圓心O1(－2，2)，半徑r1＝1，
圓O2的圓心O2(2，5)，半徑r2＝4，
∴|O1O2|＝＝5＝r1＋r2，
∴圓O1與圓O2外切．]
類型1　兩圓位置關(guān)系的判斷
【例1】　(1)判斷圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系，如果相交，求出它們交點(diǎn)所在的直線的方程．
(2)已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.問：m為何值時(shí)，
①圓C1與圓C2外切？
②圓C1與圓C2內(nèi)含？
[解]　(1)法一：兩圓的圓心距為＝，
又因?yàn)?－1<<2＋1，所以C1與C2相交．
解方程組
可得或因此兩圓的交點(diǎn)為(2，0)，，從而可以求得交點(diǎn)所在的直線方程為2x＋y－4＝0.
法二：設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為A，B，
則A，B的坐標(biāo)都滿足方程組
將方程組的第一式減去第二式，整理可得2x＋y－4＝0，
顯然，A，B的坐標(biāo)都滿足上式，又因?yàn)閮牲c(diǎn)能確定一條直線，所以上式就是所求直線的方程．
(2)把圓C1，圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
兩圓圓心的坐標(biāo)分別為(m，－2)，(－1，m)，半徑分別為3，2.
①若圓C1與圓C2外切，則
＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
②若圓C1與圓C2內(nèi)含，則
<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2　試總結(jié)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的步驟．
提示：(1)將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑．
(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d.
(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可數(shù)形結(jié)合．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)圓(x－4)2＋y2＝9和圓x2＋(y－3)2＝4的公切線有(　　)
A．1條 　　　B．2條　　　C．3條 　　　D．4條
(2)已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：
①相切；②相交；③外離；④內(nèi)含．
(1)C　[圓(x－4)2＋y2＝9的圓心為(4，0)，半徑等于3，
圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為(0，3)，半徑等于2.
兩圓的圓心距等于＝5＝2＋3，
兩圓相外切，故兩圓的公切線的條數(shù)為3，
故選C．]
(2)[解]　圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圓心C1(a，1)，C2(2a，1)，半徑r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
①當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；
當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切．
②當(dāng)3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時(shí)，兩圓相交．
③當(dāng)|C1C2|＞5，即a＞5時(shí)，兩圓外離．
④當(dāng)|C1C2|＜3，即0類型2　相交弦及圓系方程問題
【例2】　已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)；
(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
[解]　(1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組
的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，
∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．
又圓C1的圓心(－3，0)，r＝，
∴C1到直線AB的距離d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即兩圓的公共弦長(zhǎng)為5.
(2)法一：解方程組
得兩圓的交點(diǎn)A(－1，3)，B(－6，－2)．
設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因?yàn)閳A心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.
則＝，
解得a＝，故圓心為，半徑為.
故圓的方程為＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圓心為，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7.
故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.
[母題探究]
1．本例條件不變，求兩圓公共弦所在直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦長(zhǎng)．
[解]　圓C3的圓心為C3(1，1)，半徑R＝5，圓心到直線l的距離d′＝＝2，由條件知R2－d′2＝52－(2)2＝17.
所以直線l被圓C3截得的弦長(zhǎng)為2.
2．本例條件不變，求過兩圓的交點(diǎn)且半徑最小的圓的方程．
[解]　根據(jù)條件可知，所求的圓就是以AB為直徑的圓．
∵AB所在直線方程為x－y＋4＝0，
C1C2所在直線方程為x＋y＋3＝0.
∴由得圓心，
由本例(1)解析知|AB|＝5，
∴半徑r＝，
故所求圓的方程為＋＝.
　1．兩圓的公共弦問題
(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦長(zhǎng)的求法
①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．
2．過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程
已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知點(diǎn)P(－1，－2)在圓C上，且圓C經(jīng)過直線x＋y＝0與圓C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點(diǎn)，求圓C的方程．
[解]　法一：由
得或
所以直線x＋y＝0與圓C1交于點(diǎn)A(1，－1)和點(diǎn)B(－4，4)．
設(shè)所求圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
將點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)代入，得
解得滿足D2＋E2－4F>0，
所以所求圓C的方程為x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
法二：設(shè)所求圓C的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0.
因?yàn)辄c(diǎn)P(－1，－2)在圓C上，
所以(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1，
所以所求圓C的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
類型3　兩圓的相切問題
【例3】　求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)M(3，－)的圓的方程．
[解]　設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，
則＝r＋1.①
又所求圓過點(diǎn)M的切線為直線x＋y＝0，
故＝.②
＝r.③
解由①②③組成的方程組得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
[母題探究]
1．將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過點(diǎn)(3，－)的圓的方程”，如何求？
[解]　因?yàn)閳A心在x軸上，
所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，0)，設(shè)半徑為r，
則所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，
又因?yàn)榕c圓x2＋y2－2x＝0外切，且過點(diǎn)(3，－)，
所以解得
所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.
2．將本例改為“若圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切”，試求實(shí)數(shù)m的值．
[解]　圓x2＋y2－2x＝0的圓心為A(1，0)，半徑為r1＝1，圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圓心為B(4，4)，半徑為r2＝.因?yàn)閮蓤A相外切，
所以＝1＋，解得m＝16.
　處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟
定性 即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論
轉(zhuǎn)化 思想 即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心為O2(2，1)．
(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程；
(2)若圓O2與圓O1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求圓O2的方程．
[解]　(1)因?yàn)閳AO1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，
所以圓心坐標(biāo)為O1(0，－1)，半徑為2.
又因?yàn)閳AO2的圓心O2(2，1)，
所以圓心距|O1O2|＝＝2，
由圓O2與圓O1外切，得圓O2的半徑為2－2，
所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)因?yàn)閳AO2與圓O1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，
所以圓心O1到直線AB的距離為＝.
當(dāng)圓心O2到直線AB的距離為時(shí)，圓O2的半徑為＝2.
此時(shí)，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.
當(dāng)圓心O2到直線AB的距離為3時(shí)，圓O2的半徑為＝.
此時(shí)，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝20.
綜上，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
1．圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　)
A．外離 B．相交
C．外切 D．內(nèi)切
B　[圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0，故圓心坐標(biāo)與半徑分別為O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝，r2－r1＝1，r1＋r2＝3，1<<3，所以兩圓相交．]
2．已知圓M的圓心坐標(biāo)為(2，0)，圓M與圓O：x2＋y2＝1外切，則圓M的方程為(　　)
A．(x－2)2＋y2＝2
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
B　[兩圓圓心距2，圓M的半徑為2－1＝1，所以圓M的方程為(x－2)2＋y2＝1．]
3．圓x2＋y2－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直線的方程為(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
A　[兩圓方程相減，消去二次項(xiàng)得4x－1＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．]
4．已知圓x2＋y2＝9與圓x2＋y2＋8x－6y＋25－r2＝0(r>0)有公共點(diǎn)，則r的取值范圍是________．
[2，8]　[圓x2＋y2＝9，其圓心為(0，0)，半徑為3，圓x2＋y2＋8x－6y＋25－r2＝0，其圓心為(－4，3)，半徑為r，兩圓的圓心距d＝5.因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，所以|3－r|≤5≤3＋r，解得2≤r≤8．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．判斷兩圓的位置關(guān)系有哪些方法？
提示：(1)幾何法：利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較，得到兩圓的位置關(guān)系；
(2)代數(shù)法：把兩圓位置關(guān)系的判定完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程組的解的組數(shù)問題．
2．兩圓相切時(shí)，圓心距和兩圓半徑有怎樣的關(guān)系？
提示：圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，
兩圓外切時(shí)，|O1O2|＝r1＋r2；
兩圓內(nèi)切時(shí)，|O1O2|＝|r1－r2|.
3．兩圓相交時(shí)，如何求兩圓的公共弦長(zhǎng)？
提示：求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解．2.5.2　圓與圓的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解圓與圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判定方法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能利用圓與圓的位置關(guān)系解決有關(guān)問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
觀察下面這些生活中常見的圖形，感受一下圓與圓之間有哪些位置關(guān)系？
前面我們已經(jīng)借助直線和圓的方程研究了它們之間的位置關(guān)系，那么能否借助圓的方程來研究圓與圓的位置關(guān)系呢？
知識(shí)點(diǎn)　兩圓的位置關(guān)系及其判定
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
圖示
d與r1， r2的關(guān)系 _________ ________ |r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，
聯(lián)立方程得
則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：
方程組解的個(gè)數(shù) 2組 1組 0組
兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù) _個(gè) _個(gè) _個(gè)
兩圓的位置關(guān)系 ____ ____或____ ____或____
(1)當(dāng)兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，公切線的條數(shù)分別是多少？
(2)當(dāng)兩圓相交、外切、內(nèi)切時(shí)，連心線有什么性質(zhì)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切． (　　)
(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交． (　　)
(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程． (　　)
2．圓O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圓O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置關(guān)系是________．
類型1　兩圓位置關(guān)系的判斷
【例1】　(1)判斷圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系，如果相交，求出它們交點(diǎn)所在的直線的方程．
(2)已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.問：m為何值時(shí)，
①圓C1與圓C2外切？
②圓C1與圓C2內(nèi)含？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　試總結(jié)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的步驟．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)圓(x－4)2＋y2＝9和圓x2＋(y－3)2＝4的公切線有(　　)
A．1條 　　　B．2條　　　C．3條 　　　D．4條
(2)已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：
①相切；②相交；③外離；④內(nèi)含．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　相交弦及圓系方程問題
【例2】　已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長(zhǎng)；
(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．本例條件不變，求兩圓公共弦所在直線l被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦長(zhǎng)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例條件不變，求過兩圓的交點(diǎn)且半徑最小的圓的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．兩圓的公共弦問題
(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
(2)公共弦長(zhǎng)的求法
①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．
2．過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程
已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知點(diǎn)P(－1，－2)在圓C上，且圓C經(jīng)過直線x＋y＝0與圓C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點(diǎn)，求圓C的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　兩圓的相切問題
【例3】　求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)M(3，－)的圓的方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過點(diǎn)(3，－)的圓的方程”，如何求？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．將本例改為“若圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切”，試求實(shí)數(shù)m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟
定性 即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論
轉(zhuǎn)化 思想 即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心為O2(2，1)．
(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程；
(2)若圓O2與圓O1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求圓O2的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　)
A．外離 B．相交
C．外切 D．內(nèi)切
2．已知圓M的圓心坐標(biāo)為(2，0)，圓M與圓O：x2＋y2＝1外切，則圓M的方程為(　　)
A．(x－2)2＋y2＝2
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
3．圓x2＋y2－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直線的方程為(　　)
A．4x－1＝0 B．4y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
4．已知圓x2＋y2＝9與圓x2＋y2＋8x－6y＋25－r2＝0(r>0)有公共點(diǎn)，則r的取值范圍是________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．判斷兩圓的位置關(guān)系有哪些方法？
2．兩圓相切時(shí)，圓心距和兩圓半徑有怎樣的關(guān)系？
3．兩圓相交時(shí)，如何求兩圓的公共弦長(zhǎng)？

展開更多......

收起↑