資源簡(jiǎn)介

3.1　橢圓
3.1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．理解并掌握橢圓的定義．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．會(huì)求簡(jiǎn)單的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
我們對(duì)“橢圓形狀”并不陌生，如有些汽車油罐橫截面的輪廓、天體中一些行星和衛(wèi)星運(yùn)行的軌道、籃球在陽光下的投影(如圖所示)等．那么，具有怎樣特點(diǎn)的曲線是橢圓呢？
知識(shí)點(diǎn)1　橢圓的定義
(1)定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．
(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|.
在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個(gè)條件；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．因此在根據(jù)橢圓定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，務(wù)必注意這一隱含的條件．
知識(shí)點(diǎn)2　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 _＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦點(diǎn) (－c，0)與(c，0) (0，－c)與(0，c)
a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2
能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判定焦點(diǎn)位置？
提示：能．橢圓的焦點(diǎn)在x軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中含x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中含y2項(xiàng)的分母較大．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓． (　　)
(2)已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓． (　　)
(3)已知點(diǎn)F1(0，－1)，F(xiàn)2(0，1)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝1，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓． (　　)
(4)橢圓定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量． (　　)
提示：(1)√
(2)×　因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2.
(3)×　因?yàn)閨PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以點(diǎn)P的軌跡不存在．
(4)√
2．(1)若橢圓方程為＋＝1，則其焦點(diǎn)在______軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．
(2)焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，且經(jīng)過點(diǎn)P(6，0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
(1)y　(0，－12)和(0，12)　(2)＋＝1
[(1)因?yàn)?69>25，所以焦點(diǎn)在y軸上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－12)和(0，12)．
(2)因?yàn)榻咕嗟扔?，所以c＝2，
因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)P(6，0)，所以a＝6，
所以b2＝a2－c2＝36－4＝32.
因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1．]
類型1　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)和(3，0)，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10；
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)和(0，2)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，2)；
(3)經(jīng)過點(diǎn)P，Q.
[解]　(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．
由橢圓的定義知2a＝10，所以a＝5.
又因?yàn)閏＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．
已知焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上一點(diǎn)(3，2)，由橢圓的定義可知2a＝＋＝5＋3＝8，因此a＝4.
又因?yàn)閏＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(3)法一：①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，
可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．
依題意，有
解得
由a>b>0，知不合題意，故舍去；
②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
＋＝1(a>b>0)．
依題意，有
解得
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
法二：設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
則解得
所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
　試總結(jié)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟．
提示：(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能．
(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c(或m，n)的方程組．
(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即為所求．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－)，；
(2)過點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)．
[解]　(1)設(shè)橢圓的方程為
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
將兩點(diǎn)(2，－)，代入，
得解得
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)因?yàn)樗髾E圓與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．
因?yàn)閏2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又點(diǎn)(，－)在橢圓上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
類型2　對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解
【例2】　(1)(2022·江蘇省揚(yáng)州市期中)若方程＋＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A．(5，7) B．(5，6)
C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7)
(2)(2022·黃岡期末)若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則t的取值范圍為________．
(1)D　(2)　[(1)由題意可知
解得5所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(5，6)∪(6，7)．
(2)∵已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
∴解得∴t的取值范圍是．]
　由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判定焦點(diǎn)位置的依據(jù)
判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的依據(jù)是判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“焦點(diǎn)位置看大小，焦點(diǎn)隨著大的跑”．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．橢圓8k2x2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，則k的值為________．
－1或－　[原方程可化為＋＝1.
依題意可得
則所以k的值為－1或－．]
類型3　橢圓的定義及其應(yīng)用
　求橢圓焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或邊長(zhǎng)
【例3】　(1)橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，一直線過F1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△ABF2的周長(zhǎng)；
(2)橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
[解]　(1)因?yàn)锳，B都在橢圓上，由橢圓的定義知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因?yàn)閨AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周長(zhǎng)為4×5＝20.
(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
所以cos ∠F1PF2＝＝，
所以∠F1PF2＝60°.
　關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，可結(jié)合橢圓的定義列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用這個(gè)關(guān)系式便可求出結(jié)果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點(diǎn)三角形問題的常用方法．在求解過程中要靈活運(yùn)用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
　求橢圓焦點(diǎn)三角形的面積
【例4】　已知橢圓＋＝1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．
[解]　由＋＝1，可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，從而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，
即|PF2|2＝2|PF1|.　①
由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　②
由①②聯(lián)立可得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝××2×＝.
[母題探究]
1．本例中，把“∠PF1F2＝120°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面積．
[解]　由橢圓方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
從而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，則|PF1|＝，
因此＝|F1F2||PF1|＝.
故所求△PF1F2的面積為.
2．本例中方程改為“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改為“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面積為，求b的值．
[解]　由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面積為，可得|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1||PF2|＝4.根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a.再利用余弦定理可得4c2＝＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，
∴b2＝1，即b＝1.
　橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積公式速解：若∠F1PF2＝θ，則＝b2tan .解答選擇題、填空題可直接應(yīng)用．
　與焦半徑有關(guān)的最值問題
【例5】　已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)
A．13 　　　B．12　　　C．9 　　　D．6
C　[由橢圓C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，則|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時(shí)等號(hào)成立．故選C．]
　與焦半徑(橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑)乘積有關(guān)的最值問題，一般利用橢圓的定義(兩個(gè)焦半徑的和為定值2a)，根據(jù)基本不等式求解，注意等號(hào)成立的條件．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓E上，∠F1PF2＝2θ.
(1)求△F1PF2的面積S；
(2)研究△PF1F2的內(nèi)角∠F1PF2的變化規(guī)律．
[解]　(1)如圖所示，由橢圓的定義，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 2θ＝·sin 2θ＝·b2＝b2tan θ.
(2)∵2θ為△PF1F2的內(nèi)角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈.
令點(diǎn)P順時(shí)針方向由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，則△PF1F2的邊F1F2不變，但F1F2上的高逐漸增大，故S逐漸增大，從而tan θ逐漸變大．由θ∈可知，θ也逐漸變大．由此可見，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值越大，2θ也越大，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠F1PF2達(dá)到最大值．
1．(多選)下列命題是真命題的是(　　)
A．已知定點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝的點(diǎn)P的軌跡為橢圓
B．已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4的點(diǎn)P的軌跡為線段
C．到定點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓
D．若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離之和等于點(diǎn)M(5，3)到定點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離之和，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓
BD　[A．＜2，故點(diǎn)P的軌跡不存在；B．因?yàn)?a＝|F1F2|＝4，所以點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；C．到定點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)；D．點(diǎn)M(5，3)到定點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離之和為4＞8，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓．]
2．“mn<0”是“方程mx2－ny2＝1表示橢圓”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[若m＝1，n＝－1，則方程x2＋y2＝1表示圓．反之，若方程表示橢圓，則mn<0.故為必要不充分條件．]
3．(2022·鄭州模擬)與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且滿足2b＝4的橢圓方程是(　　)
A．＋＝1　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B　[由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求橢圓方程為＋＝1．]
4．已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2連線的夾角為直角，則|PF1|·|PF2|＝________．
48　[由題意知
由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，
∴|PF1||PF2|＝48．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．橢圓是如何定義的？請(qǐng)寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程．
提示：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．
其標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
2．當(dāng)方程＋＝1表示橢圓時(shí)，m，n滿足什么條件？當(dāng)方程表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上的橢圓時(shí)，m，n又滿足什么條件？
提示：表示橢圓時(shí)，
表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，m>n>0，
表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，n>m>0.3.1　橢圓
3.1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．理解并掌握橢圓的定義．(數(shù)學(xué)抽象) 2．掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．會(huì)求簡(jiǎn)單的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
我們對(duì)“橢圓形狀”并不陌生，如有些汽車油罐橫截面的輪廓、天體中一些行星和衛(wèi)星運(yùn)行的軌道、籃球在陽光下的投影(如圖所示)等．那么，具有怎樣特點(diǎn)的曲線是橢圓呢？
知識(shí)點(diǎn)1　橢圓的定義
(1)定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于________(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這________叫做橢圓的焦點(diǎn)，________________叫做橢圓的焦距，焦距的________稱為半焦距．
(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a____|F1F2|．
在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個(gè)條件；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．因此在根據(jù)橢圓定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，務(wù)必注意這一隱含的條件．
知識(shí)點(diǎn)2　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 ____________ ＋＝1(a＞b＞0)
焦點(diǎn) (－c，0)與(c，0) ________與________
a，b，c的關(guān)系 c2＝________
能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判定焦點(diǎn)位置？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓． (　　)
(2)已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓． (　　)
(3)已知點(diǎn)F1(0，－1)，F(xiàn)2(0，1)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝1，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓． (　　)
(4)橢圓定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量． (　　)
2．(1)若橢圓方程為＋＝1，則其焦點(diǎn)在________軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．
(2)焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，且經(jīng)過點(diǎn)P(6，0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
類型1　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)和(3，0)，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10；
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)和(0，2)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，2)；
(3)經(jīng)過點(diǎn)P，Q．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　試總結(jié)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－)，；
(2)過點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解
【例2】　(1)(2022·江蘇省揚(yáng)州市期中)若方程＋＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A．(5，7) B．(5，6)
C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7)
(2)(2022·黃岡期末)若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則t的取值范圍為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判定焦點(diǎn)位置的依據(jù)
判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的依據(jù)是判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“焦點(diǎn)位置看大小，焦點(diǎn)隨著大的跑”．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．橢圓8k2x2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，則k的值為________．
類型3　橢圓的定義及其應(yīng)用
　求橢圓焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或邊長(zhǎng)
【例3】　(1)橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，一直線過F1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△ABF2的周長(zhǎng)；
(2)橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，可結(jié)合橢圓的定義列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用這個(gè)關(guān)系式便可求出結(jié)果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點(diǎn)三角形問題的常用方法．在求解過程中要靈活運(yùn)用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
　求橢圓焦點(diǎn)三角形的面積
【例4】　已知橢圓＋＝1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．本例中，把“∠PF1F2＝120°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面積．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例中方程改為“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改為“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面積為，求b的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積公式速解：若∠F1PF2＝θ，則＝b2tan ．解答選擇題、填空題可直接應(yīng)用．
　與焦半徑有關(guān)的最值問題
【例5】　已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)
A．13　　　B．12　　　C．9　　　D．6
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　與焦半徑(橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑)乘積有關(guān)的最值問題，一般利用橢圓的定義(兩個(gè)焦半徑的和為定值2a)，根據(jù)基本不等式求解，注意等號(hào)成立的條件．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面積S；
(2)研究△PF1F2的內(nèi)角∠F1PF2的變化規(guī)律．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列命題是真命題的是(　　)
A．已知定點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝的點(diǎn)P的軌跡為橢圓
B．已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4的點(diǎn)P的軌跡為線段
C．到定點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓
D．若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離之和等于點(diǎn)M(5，3)到定點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離之和，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓
2．“mn<0”是“方程mx2－ny2＝1表示橢圓”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．(2022·鄭州模擬)與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且滿足2b＝4的橢圓方程是(　　)
A．＋＝1　　　　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2連線的夾角為直角，則|PF1|·|PF2|＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．橢圓是如何定義的？請(qǐng)寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．當(dāng)方程＋＝1表示橢圓時(shí)，m，n滿足什么條件？當(dāng)方程表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上的橢圓時(shí)，m，n又滿足什么條件？3.1.2　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
第1課時(shí)　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能利用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能運(yùn)用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)分析和解決問題．(邏輯推理)
通過橢圓的定義及圖形認(rèn)識(shí)了橢圓的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)(如對(duì)稱性)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，類比圓的研究方法，就有了一個(gè)新的途徑——通過方程來探索和驗(yàn)證橢圓的幾何性質(zhì)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1(a＞b＞0)，可以獲得橢圓的哪些幾何性質(zhì)呢？
知識(shí)點(diǎn)1　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a＞b＞0) _＋＝1(a>b>0)
范圍 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a
對(duì)稱性 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)
頂點(diǎn) A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長(zhǎng) 短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a
焦點(diǎn) F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
離心率 e＝∈(0，1)
(1)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值分別是多少？
(2)在橢圓的性質(zhì)中，哪些是與位置無關(guān)的？哪些是與位置有關(guān)的？
提示：(1)最大值a＋c，最小值a－c.
(2)與位置無關(guān)的，如長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距；與位置有關(guān)的，如頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等．
知識(shí)點(diǎn)2　橢圓的離心率
(1)定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比．
(2)記法：e＝．
(3)范圍：0(4)e與橢圓形狀的關(guān)系：e越接近1，橢圓越扁平，e越接近0，橢圓越接近于圓．
1．已知橢圓＋＝1，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為________________，焦點(diǎn)坐標(biāo)為________________，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于____，短軸長(zhǎng)等于____，焦距等于________．若點(diǎn)P(m，n)為該橢圓上任意一點(diǎn)，則m的取值范圍是________．
[答案]　(0，4)，(0，－4)，(3，0)，(－3，0)　(0，)，(0，－)　8　6　2　[－3，3]
2．已知橢圓＋＝1，則橢圓的離心率e＝________．
　[由題意知a2＝16，b2＝9，則c2＝7，
從而e＝＝．]
3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
＋＝1或＋＝1　[由題意知2a＝8，＝，則c＝1，從而b2＝42－1＝15，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1．]
類型1　由橢圓方程研究幾何性質(zhì)
【例1】　(源自北師大版教材)求橢圓9x2＋25y2＝225的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．
[解]　將已知方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1.
則a＝5，b＝3，c＝＝4.
因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)分別是2a＝10，2b＝6.
離心率e＝＝.
兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)．
橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A1(－5，0)，A2(5，0)，
B1(0，－3)，B2(0，3)．
將方程變形為y＝±，
由y＝，在0≤x≤5的范圍內(nèi)計(jì)算出一些點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)，如下表(y的值精確到0.1)．
x 0 1 2 3 4 5
y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0
先用描點(diǎn)法畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓(如圖所示)．
　試總結(jié)根據(jù)橢圓方程研究其幾何性質(zhì)的步驟．
提示：(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式．
(2)確定焦點(diǎn)位置．(焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論)
(3)求出a，b，c.
(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)與橢圓＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)
A．相同的焦點(diǎn)　 B．相同的頂點(diǎn)
C．相同的離心率 D．相同的長(zhǎng)、短軸
(2)已知橢圓mx2＋4y2＝4m(m>0)的離心率為，試求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(1)C　[在兩個(gè)方程的比較中，端點(diǎn)a，b均取值不同，故A，B，D都不對(duì)，而a，b，c雖然均不同，但倍數(shù)增長(zhǎng)一樣，所以比值不變，故應(yīng)選C．]
(2)[解]　橢圓方程可化為＋＝1.
①當(dāng)0∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是4，2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②當(dāng)m>4時(shí)，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為，4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1，F(xiàn)2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)．
類型2　由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)橢圓過點(diǎn)(3，0)，離心率e＝；
(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；
(3)經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，且與橢圓＋＝1有相同的離心率．
[解]　(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴橢圓的方程為＋＝1.
若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，
∵e＝＝＝＝，
解得a2＝27.
∴橢圓的方程為＋＝1.
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
(2)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)．
如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，
OF為斜邊A1A2的中線(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(3)法一：由題意知e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.將點(diǎn)M(1，2)代入橢圓方程，得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
法二：設(shè)所求橢圓方程為＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，
故＋＝或＋＝，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
　利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路
(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：
①確定焦點(diǎn)位置；
②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；
③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè)．
提醒：與橢圓＋＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程為＋＝k1(k1>0，焦點(diǎn)在x軸上)或＋＝k2(k2>0，焦點(diǎn)在y軸上)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
(2)已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且cos ∠OFA＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
(1)＋＝1　(2)＋＝1或＋＝1　[(1)由題意，得
解得因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，cos ∠OFA＝，所以點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1或＋＝1．]
類型3　橢圓的離心率問題
【例3】　(1)(2022·全國(guó)甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
(2)設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P，它與橢圓中心O的連線和它與長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，則橢圓離心率的取值范圍為________．
(1)A　(2)　[(1)已知A(－a，0)，設(shè)P(x0，y0)，則Q(－x0，y0)，kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝＝，①
∵＋＝1，即＝，②
將②代入①整理得＝.
∴e＝＝＝.故選A．
(2)由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，A(a，0)為右頂點(diǎn)，P(x0，y0)(0因?yàn)镻O⊥PA，所以＝－1，即＝.
又＋＝1，所以－a3x0＋a2b2＝0，
即(x0－a)[(a2－b2)x0－ab2]＝0.
因?yàn)?而b2＝a2－c2，所以0<<1，所以0<－1<1，所以[母題探究]
本例(1)中，“若直線AP，AQ的斜率之積為”改為“若直線AP，AQ的斜率之積不小于”，求C的離心率的取值范圍．
[解]　已知A(－a，0)，設(shè)P(x0，y0)，則Q(－x0，y0)，顯然，|x0|≠a，
kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝≥.
∵|x0|0，　①
∵＋＝1，∴＝，　②
由①②知≥，
∴e＝＝≤.
又e>0，∴離心率的取值范圍為.
　求橢圓離心率及取值范圍的兩種方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且cos ∠F1AF2＝，則橢圓的離心率e＝(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
(2)(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)B是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是(　　)
A．　B．　C．　D．
(1)D　(2)C　[(1)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的焦距為2c(c>0)，則左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(－c，0)，右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c，0)，依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，b)，
在△F1AF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos ∠F1AF2，因?yàn)閏os ∠F1AF2＝，所以4c2＝a2＋a2－2a2×＝a2，所以e2＝＝，解得e＝或e＝(舍)．故選D．
(2)依題意，B(0，b)，設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則|y0|≤b，＋＝1，可得＝a2－，則|PB|2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2.因?yàn)楫?dāng)y0＝－b時(shí)，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以離心率e＝≤，又e>0，所以01．橢圓25x2＋9y2＝225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是(　　)
A．5，3，　　　　 B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
B　[橢圓方程可變形為＋＝1，∴a＝5，b＝3，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，e＝＝.故選B．]
2．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率為，則C的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
C　[依題意知，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，
且c＝1，e＝＝，則a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此橢圓的方程是＋＝1．]
3．比較橢圓①x2＋9y2＝36與②＋＝1的形狀，則________更扁．(填序號(hào))
①　[x2＋9y2＝36化為標(biāo)準(zhǔn)方程得＋＝1，故離心率e1＝＝；橢圓＋＝1的離心率e2＝.因?yàn)閑1>e2，故①更扁．]
4．已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率的取值范圍為________．
　[依題意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，從而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.
又因?yàn)?所以橢圓離心率的取值范圍是．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．試總結(jié)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)的步驟．
提示：(1)化標(biāo)準(zhǔn)，把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式；
(2)定位置，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程中x2，y2對(duì)應(yīng)分母的大小來確定焦點(diǎn)位置；
(3)求參數(shù)，寫出a，b的值，并求出c的值；
(4)寫性質(zhì)，按要求寫出橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
2．試總結(jié)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程的思路.
提示：已知橢圓的幾何性質(zhì)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程主要采用待定系數(shù)法，解題步驟為：
(1)確定焦點(diǎn)所在的位置，以確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；
(2)確立關(guān)于a，b，c的方程(組)，求出參數(shù)a，b，c；
(3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．
3．試總結(jié)求橢圓離心率的方法．
提示：(1)若已知a，c的值或關(guān)系，則可直接利用e＝求解；
(2)若已知a，b的值或關(guān)系，則可利用e＝＝求解；
(3)若已知a，b，c的關(guān)系，則可轉(zhuǎn)化為a，c的方程或不等式，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程或不等式進(jìn)行求解．3.1.2　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
第1課時(shí)　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能利用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算) 3．能運(yùn)用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)分析和解決問題．(邏輯推理)
通過橢圓的定義及圖形認(rèn)識(shí)了橢圓的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)(如對(duì)稱性)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，類比圓的研究方法，就有了一個(gè)新的途徑——通過方程來探索和驗(yàn)證橢圓的幾何性質(zhì)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1(a＞b＞0)，可以獲得橢圓的哪些幾何性質(zhì)呢？
知識(shí)點(diǎn)1　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a＞b＞0) ______(a>b>0)
范圍 ____________ ______________ ____________ ______________
對(duì)稱性 對(duì)稱軸為______，對(duì)稱中心為____
頂點(diǎn) A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長(zhǎng) 短軸長(zhǎng)|B1B2|＝___，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝___
焦點(diǎn) _____________________ _______________________
焦距 |F1F2|＝___
離心率 e＝∈________
(1)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值分別是多少？
(2)在橢圓的性質(zhì)中，哪些是與位置無關(guān)的？哪些是與位置有關(guān)的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)2　橢圓的離心率
(1)定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比．
(2)記法：e＝________．
(3)范圍：________．
(4)e與橢圓形狀的關(guān)系：e越接近1，橢圓越扁平，e越接近0，橢圓越接近于圓．
1．已知橢圓＋＝1，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為________________，焦點(diǎn)坐標(biāo)為________________，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于________，短軸長(zhǎng)等于________，焦距等于________．若點(diǎn)P(m，n)為該橢圓上任意一點(diǎn)，則m的取值范圍是________．
2．已知橢圓＋＝1，則橢圓的離心率e＝________．
3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
類型1　由橢圓方程研究幾何性質(zhì)
【例1】　(源自北師大版教材)求橢圓9x2＋25y2＝225的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　試總結(jié)根據(jù)橢圓方程研究其幾何性質(zhì)的步驟．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)與橢圓＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)
A．相同的焦點(diǎn)　　　　 B．相同的頂點(diǎn)
C．相同的離心率 D．相同的長(zhǎng)、短軸
(2)已知橢圓mx2＋4y2＝4m(m>0)的離心率為，試求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)橢圓過點(diǎn)(3，0)，離心率e＝；
(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；
(3)經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，且與橢圓＋＝1有相同的離心率．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路
(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：
①確定焦點(diǎn)位置；
②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；
③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè)．
提醒：與橢圓＋＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程為＋＝k1(k1>0，焦點(diǎn)在x軸上)或＋＝k2(k2>0，焦點(diǎn)在y軸上)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
(2)已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且cos ∠OFA＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
類型3　橢圓的離心率問題
【例3】　(1)(2022·全國(guó)甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A．　　　C．
(2)設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P，它與橢圓中心O的連線和它與長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，則橢圓離心率的取值范圍為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例(1)中，“若直線AP，AQ的斜率之積為”改為“若直線AP，AQ的斜率之積不小于”，求C的離心率的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求橢圓離心率及取值范圍的兩種方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且cos∠F1AF2＝，則橢圓的離心率e＝(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
(2)(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)B是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是(　　)
A．　B．　C．　D．
1．橢圓25x2＋9y2＝225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是(　　)
A．5，3，　　　　 B．10，6，
C．5，3， D．10，6，
2．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率為，則C的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
3．比較橢圓①x2＋9y2＝36與②＋＝1的形狀，則________更扁．(填序號(hào))
4．已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率的取值范圍為________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．試總結(jié)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)的步驟．
2．試總結(jié)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程的思路．
3．試總結(jié)求橢圓離心率的方法．第2課時(shí)　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的應(yīng)用
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，了解橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象) 3．能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
從橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F1處出發(fā)的光線照射到P點(diǎn)，經(jīng)反射后通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2，如圖所示．
點(diǎn)P及點(diǎn)O與橢圓C具有怎樣的位置關(guān)系？直線l及直線PF2與橢圓C具有怎樣的位置關(guān)系？
知識(shí)點(diǎn)1　點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上 ＋＝1；
點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部 ＋<1；
點(diǎn)P在橢圓外部 ＋>1．
知識(shí)點(diǎn)2　直線與橢圓的位置關(guān)系
(1)判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法
直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程．
當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同解，直線與橢圓相交；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，直線與橢圓相切；
當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無解，直線與橢圓相離．
(2)弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，橢圓方程為＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝·，或|AB|＝_·，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y(或x)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若直線的斜率一定，則當(dāng)直線過橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大． (　　)
(2)已知橢圓＋＝1(a>b>0)與點(diǎn)P(b，0)，過點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線． (　　)
(3)直線y＝k(x－a)(k≠0)與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是相交． (　　)
提示：(1)√　根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，直線過橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大．
(2)×　因?yàn)镻(b，0)在橢圓內(nèi)部，過點(diǎn)P作不出橢圓的切線．
(3)√　直線y＝k(x－a)(k≠0)過點(diǎn)(a，0)且斜率存在，所以直線y＝k(x－a)與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是相交．
2．(1)點(diǎn)P(2，1)與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是______．
(2)若點(diǎn)A(a，1)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，則a的取值范圍是________．
(1)點(diǎn)P在橢圓外部　(2)(－，)　[(1)由＋>1知，點(diǎn)P(2，1)在橢圓的外部．
(2)∵點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，
∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
3．過橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)F(c，0)的弦中最短弦長(zhǎng)是________．
　[最短弦是過焦點(diǎn)F(c，0)且與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦．將點(diǎn)(c，y)的坐標(biāo)代入橢圓＋＝1，得y＝±，故最短弦長(zhǎng)是．]
類型1　直線與橢圓的位置關(guān)系
【例1】　(源自湘教版教材)對(duì)不同的實(shí)數(shù)m，討論直線l：y＝x＋m與橢圓C：＋y2＝1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
[解]　由
消去y并整理得
5x2＋8mx＋4m2－4＝0.　③
此方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)由它的判別式Δ決定，
Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16(5－m2)．
當(dāng)－0，方程③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，代入方程①可得到兩個(gè)不同的公共點(diǎn)坐標(biāo)．此時(shí)直線l與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，即它們相交．
當(dāng)m＝－或m＝時(shí)，Δ＝0，方程③有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，代入方程①得到一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)．此時(shí)直線l與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)．觀察圖象可知，它們?cè)谶@一點(diǎn)相切．
當(dāng)m<－或m>時(shí)，Δ<0，方程③沒有實(shí)數(shù)根．此時(shí)直線l與橢圓沒有公共點(diǎn)，即它們相離．
綜上，可得：
當(dāng)－當(dāng)m＝－或m＝時(shí)，直線l與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)m<－或m>時(shí)，直線l與橢圓沒有公共點(diǎn)．
直線l與橢圓C的位置關(guān)系如圖所示．
　直線與橢圓有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：
(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)沒有公共點(diǎn)．
[解]　直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y，
得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　①
方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)當(dāng)Δ＞0，即－3＜m＜3時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)．
(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3或m＞3時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．
類型2　實(shí)際生活中的橢圓問題
【例2】　(多選)如圖所示，現(xiàn)假設(shè)某探測(cè)器沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是(　　)
A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2 B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2
C．< D．>
BD　[由題圖可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正確；
在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在橢圓軌道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；
a1＋c2＝a2＋c1，兩邊同時(shí)平方得＋2a1c2＝＋2a2c1，
所以＋2a1c2＝＋2a2c1，
即＋2a1c2＝＋2a2c1，由題圖可得，
所以2a1c2<2a2c1，<，所以C錯(cuò)誤，D正確．]
　解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路
(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．
(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自北師大版教材)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送入到距地球表面近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))高度約200 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度約350 km的橢圓軌道(將地球看作一個(gè)球，其半徑約為6 371 km)，求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程．(注：地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，且近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線)
[解]　如圖所示，設(shè)地心為橢圓軌道右焦點(diǎn)F2，近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)分別為A2，A1，以直線A1A2為x軸，線段A1A2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則F2，A1，A2三點(diǎn)都在x軸上，
|F2A2|＝a－c＝200＋6 371，
|A1F2|＝a＋c＝350＋6 371，
所以a＝6 646，c＝75，
從而b2＝a2－c2＝6 6462－752＝44 163 691.
所以橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
類型3　直線與橢圓的相交弦問題
　弦長(zhǎng)問題
【例3】　已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.
(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程．
[解]　(1)由消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
(2)設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0.
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝(m2－1)．
∴d＝
＝
＝
＝
＝，
∴當(dāng)m＝0時(shí)，d最大，此時(shí)直線方程為y＝x.
　(1)求直線被橢圓截得弦長(zhǎng)的方法：
一是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式；
二是用弦長(zhǎng)公式|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|，其中k為直線AB的斜率，A(x1，y2)，B(x2，y2)．
(2)有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)最值問題，要特別注意判別式的限制．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距的2倍，且過點(diǎn)M，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|＝時(shí)，求直線l的方程．
[解]　(1)由條件知a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，
又橢圓過點(diǎn)M，∴＋＝1.
∴c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，|AB|＝3，不合題意．
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y＝k(x＋1)，由
消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝.
∴k2＝，即k＝±，
∴直線l的方程為x－2y＋＝0或x＋2y＋＝0.
　中點(diǎn)弦問題
【例4】　(2022·山西省朔州市期末)已知橢圓＋＝1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，則直線AB的方程為________．
x＋2y－4＝0　[法一：易知直線的斜率k存在．
設(shè)所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，
由消去y，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，于是x1＋x2＝.
又M為AB的中點(diǎn)，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
法二：由題意知，直線斜率存在．設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
∵M(jìn)(2，1)為AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則＝＝16，
兩式相減，得＋＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，即kAB＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x，y)，由于弦AB的中點(diǎn)為M(2，1)，則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4－x，2－y)．
∵A，B兩點(diǎn)都在橢圓上，
∴
①－②，化簡(jiǎn)得x＋2y－4＝0.
顯然點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，代入驗(yàn)證可知點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程，而過點(diǎn)A，B的直線只有一條，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0．]
[母題探究]
本例中把條件改為“點(diǎn)M(2，1)是直線x＋2y－4＝0被焦點(diǎn)在x軸上的橢圓所截得的線段的中點(diǎn)”，求該橢圓的離心率．
[解]　設(shè)直線與橢圓的兩交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由＋＝1和＋＝1，
得＝－，
∴k＝＝.
又x＋2y－4＝0的斜率為－，
∴＝.
∴橢圓的離心率e＝＝＝＝.
　試總結(jié)用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問題的解題步驟．
提示：(1)設(shè)點(diǎn)——設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)代入——代入圓錐曲線方程；
(3)作差——兩式相減，再用平方差公式把上式展開；
(4)整理——轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．過點(diǎn)M(1，1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________．
　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1，　①
＋＝1.　②
因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以＝1，＝1.
因?yàn)橹本€AB的方程是y＝－(x－1)＋1，所以y1－y2＝－(x1－x2)．
將①②兩式相減，可得＋＝0，
即＋＝0.
所以a＝b.
所以c＝b.所以e＝＝．]
　與弦長(zhǎng)有關(guān)的最值、范圍問題
【例5】　已知橢圓C：＋y2＝1，點(diǎn)P為橢圓C上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過A1，A2分別作l1⊥PA1，l2⊥PA2，直線l1，l2相交于點(diǎn)G，連接OG(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，線段OG與橢圓C交于點(diǎn)Q.記直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2.
(1)求的值；
(2)求△POQ面積的最大值．
[思路導(dǎo)引]　(1)寫出點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)→設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)→k1＝，寫出直線l1，l2的方程→聯(lián)立直線l1，l2的方程求出G的坐標(biāo)→求出k2→求出的值．
(2)結(jié)合(1)設(shè)出直線OP，OQ的方程→分別與橢圓方程聯(lián)立求出P，Q的坐標(biāo)→利用兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式求出△POQ面積的表達(dá)式→利用基本不等式求出△POQ面積的最大值．
[解]　(1)由題意知，A1(－2，0)，A2(2，0)，
設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)．
則k1＝，直線l1的方程為y＝－(x＋2)，直線l2的方程為y＝－(x－2)．
由得
又＝1，∴G(－x0，－4y0)，
∴k2＝，∴＝.
(2)根據(jù)(1)可設(shè)直線OP的方程為y＝k1x，
直線OQ的方程為y＝4k1x.
由＋1)x2＝4，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)x0>0，則
P，|OP|＝.
由)x2＝4.
設(shè)G(xG，yG)，Q(xQ，yQ)，
由(1)知，x0，xG異號(hào)，∴易知x0，xQ異號(hào)，
∴Q.
∴點(diǎn)Q到直線OP的距離d＝.
S△POQ＝|OP|d＝·＝
＝6
＝6.
＋≥32，∴S△POQ≤，當(dāng)且僅當(dāng)k1＝±時(shí)取“＝”．∴△POQ面積的最大值為.
　求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法
(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．
(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．
(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
5．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且點(diǎn)P(2，1)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率為－1的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．
[解]　(1)由題意得
∴
∴橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋m，
聯(lián)立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴
∴|AB|＝|x1－x2|＝，
原點(diǎn)到直線的距離d＝.
∴S△OAB＝××＝≤＝.
當(dāng)且僅當(dāng)m＝±時(shí)，等號(hào)成立，
∴△AOB面積的最大值為.
1．直線y＝x＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　　　　 B．相切
C．相離 D．無法判斷
A　[法一：聯(lián)立直線與橢圓的方程得消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直線與橢圓相交．
法二：因?yàn)橹本€過點(diǎn)(0，1)，而0＋<1，即點(diǎn)(0，1)在橢圓內(nèi)部，所以可推斷直線與橢圓相交．]
2．若點(diǎn)P(a，1)在橢圓＋＝1的外部，則a的取值范圍為(　　)
A．
B．∪
C．
D．
B　[由題意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－．]
3．直線y＝x－1被橢圓2x2＋y2＝4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A． B．
C． D．
A　[由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
所以弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x＝×＝，
代入直線方程y＝x－1中，得y＝－，
所以弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是.故選A．]
4．直線y＝x＋1與橢圓＋＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．
　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y＝x＋1代入＋＝1，整理得7x2＋8x－8＝0，Δ＝82＋4×8×7>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系知
所以|AB|＝·|x1－x2|＝＝．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．直線和橢圓有幾種位置關(guān)系？如何判斷？
提示：三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．
解直線方程與橢圓方程組成的方程組，通過解的個(gè)數(shù)判斷位置關(guān)系，當(dāng)方程組有兩個(gè)解(Δ>0)時(shí)，直線與橢圓相交，當(dāng)方程組有一個(gè)解(Δ＝0)時(shí)，直線與橢圓相切，當(dāng)方程組無解(Δ<0)時(shí)，直線與橢圓相離．
2．當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，試寫出弦長(zhǎng)公式．
提示：|AB|＝
＝.
3．如何處理橢圓的中點(diǎn)弦問題？
提示：①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組，消掉其中的一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．
②點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系．即“設(shè)而不求”思想，這也是此類問題最常用的方法.
圓柱體截面問題
我們可以用平面來截圓柱，觀察分析其截面曲線的形狀．很顯然，當(dāng)平面與圓柱的軸垂直時(shí)，可以得到圓．而用平面斜截圓柱時(shí)，截面曲線從直觀上看是橢圓(如圖1)．歷史上，法國(guó)人Dandelin采用一個(gè)巧妙的方法證明了這一結(jié)論．
如圖2，將兩個(gè)同樣大小的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于斜截面的上方和下方，并且與截面和圓柱側(cè)面均相切，兩球面與圓柱側(cè)面分別相切于以BC，DE為直徑且平行于圓柱底面的大圓O1和O2，兩球面與斜截面分別相切于點(diǎn)F和F′，斜截面與BD，CE分別交于點(diǎn)A和A′，P為所得截面邊緣上一點(diǎn)．設(shè)圓柱過點(diǎn)P的母線與圓O1和O2分別交于點(diǎn)M和N，則PM和PN分別是兩球面的一條切線．
由于PM和PF是同一個(gè)球面的切線，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN為定值，即截面曲線上任意一點(diǎn)P到F和F′的距離之和為定值，由橢圓的定義可知，這時(shí)的截面曲線是橢圓，而兩球與斜截面的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)．第2課時(shí)　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的應(yīng)用
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，了解橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象) 3．能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
從橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F1處出發(fā)的光線照射到P點(diǎn)，經(jīng)反射后通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2，如圖所示．
點(diǎn)P及點(diǎn)O與橢圓C具有怎樣的位置關(guān)系？直線l及直線PF2與橢圓C具有怎樣的位置關(guān)系？
知識(shí)點(diǎn)1　點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上 ________________；
點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部 ________________；
點(diǎn)P在橢圓外部 ________________．
知識(shí)點(diǎn)2　直線與橢圓的位置關(guān)系
(1)判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法
直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程．
當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同解，直線與橢圓____；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，直線與橢圓____；
當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無解，直線與橢圓____．
(2)弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，橢圓方程為＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝______，或|AB|＝______，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y(或x)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若直線的斜率一定，則當(dāng)直線過橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大． (　　)
(2)已知橢圓＋＝1(a>b>0)與點(diǎn)P(b，0)，過點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線． (　　)
(3)直線y＝k(x－a)(k≠0)與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是相交． (　　)
2．(1)點(diǎn)P(2，1)與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是________．
(2)若點(diǎn)A(a，1)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，則a的取值范圍是________．
3．過橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)F(c，0)的弦中最短弦長(zhǎng)是________．
類型1　直線與橢圓的位置關(guān)系
【例1】　(源自湘教版教材)對(duì)不同的實(shí)數(shù)m，討論直線l：y＝x＋m與橢圓C：＋y2＝1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直線與橢圓有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1．試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：
(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)沒有公共點(diǎn)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　實(shí)際生活中的橢圓問題
【例2】　(多選)如圖所示，現(xiàn)假設(shè)某探測(cè)器沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是(　　)
A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2 B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2
C．< D．>
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路
(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．
(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自北師大版教材)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送入到距地球表面近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))高度約200 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度約350 km的橢圓軌道(將地球看作一個(gè)球，其半徑約為6 371 km)，求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程．(注：地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，且近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　直線與橢圓的相交弦問題
　弦長(zhǎng)問題
【例3】　已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m．
(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)求直線被橢圓截得弦長(zhǎng)的方法：
一是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式；
二是用弦長(zhǎng)公式|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|，其中k為直線AB的斜率，A(x1，y2)，B(x2，y2)．
(2)有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)最值問題，要特別注意判別式的限制．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距的2倍，且過點(diǎn)M，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|＝時(shí)，求直線l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　中點(diǎn)弦問題
【例4】　(2022·山西省朔州市期末)已知橢圓＋＝1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，則直線AB的方程為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例中把條件改為“點(diǎn)M(2，1)是直線x＋2y－4＝0被焦點(diǎn)在x軸上的橢圓所截得的線段的中點(diǎn)”，求該橢圓的離心率．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　試總結(jié)用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問題的解題步驟．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．過點(diǎn)M(1，1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________．
　與弦長(zhǎng)有關(guān)的最值、范圍問題
【例5】　已知橢圓C：＋y2＝1，點(diǎn)P為橢圓C上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過A1，A2分別作l1⊥PA1，l2⊥PA2，直線l1，l2相交于點(diǎn)G，連接OG(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，線段OG與橢圓C交于點(diǎn)Q．記直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2．
(1)求的值；
(2)求△POQ面積的最大值．
[思路導(dǎo)引]　(1)寫出點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)→設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)→k1＝，寫出直線l1，l2的方程→聯(lián)立直線l1，l2的方程求出G的坐標(biāo)→求出k2→求出的值．
(2)結(jié)合(1)設(shè)出直線OP，OQ的方程→分別與橢圓方程聯(lián)立求出P，Q的坐標(biāo)→利用兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式求出△POQ面積的表達(dá)式→利用基本不等式求出△POQ面積的最大值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法
(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．
(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．
(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
5．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且點(diǎn)P(2，1)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率為－1的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直線y＝x＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　　　 B．相切
C．相離 D．無法判斷
2．若點(diǎn)P(a，1)在橢圓＋＝1的外部，則a的取值范圍為(　　)
A．
B．∪
C．
D．
3．直線y＝x－1被橢圓2x2＋y2＝4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A． B．
C． D．
4．直線y＝x＋1與橢圓＋＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．直線和橢圓有幾種位置關(guān)系？如何判斷？
2．當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，試寫出弦長(zhǎng)公式．
3．如何處理橢圓的中點(diǎn)弦問題？
圓柱體截面問題
我們可以用平面來截圓柱，觀察分析其截面曲線的形狀．很顯然，當(dāng)平面與圓柱的軸垂直時(shí)，可以得到圓．而用平面斜截圓柱時(shí)，截面曲線從直觀上看是橢圓(如圖1)．歷史上，法國(guó)人Dandelin采用一個(gè)巧妙的方法證明了這一結(jié)論．
如圖2，將兩個(gè)同樣大小的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于斜截面的上方和下方，并且與截面和圓柱側(cè)面均相切，兩球面與圓柱側(cè)面分別相切于以BC，DE為直徑且平行于圓柱底面的大圓O1和O2，兩球面與斜截面分別相切于點(diǎn)F和F′，斜截面與BD，CE分別交于點(diǎn)A和A′，P為所得截面邊緣上一點(diǎn)．設(shè)圓柱過點(diǎn)P的母線與圓O1和O2分別交于點(diǎn)M和N，則PM和PN分別是兩球面的一條切線．
由于PM和PF是同一個(gè)球面的切線，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN為定值，即截面曲線上任意一點(diǎn)P到F和F′的距離之和為定值，由橢圓的定義可知，這時(shí)的截面曲線是橢圓，而兩球與斜截面的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)．

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