資源簡介

3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
學習任務 1．理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(數學抽象、直觀想象) 2．掌握雙曲線的標準方程及其求法．(數學運算) 3．會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
做下面一個試驗．
(1)取一條拉鏈，拉開一部分．
(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F2上．
(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．
試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？
知識點1　雙曲線的定義
文字 語言 平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡
符號語言 ||PF1|－|PF2||＝常數(常數＜|F1F2|)
焦點 定點F1，F2
焦距 兩焦點間的距離
(1)常數要小于兩個定點的距離．
(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支．
(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．
(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．
(5)當2a＝0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
1．雙曲線的定義中，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數)，且2a<|F1F2|，則點M的軌跡是什么？
提示：雙曲線的右支．
知識點2　雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 _－＝1(a>0，b>0) _－＝1(a>0，b>0)
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2
2.如何根據雙曲線的標準方程判斷焦點所在的坐標軸？
提示：雙曲線的焦點在x軸上 標準方程中x2項的系數為正；雙曲線的焦點在y軸上 標準方程中y2項的系數為正，即“焦點跟著正的跑”．這是判斷雙曲線焦點所在坐標軸的重要方法．
1．已知點F1(－5，0)，F2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別是(　　)
A．雙曲線和一條直線
B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條直線
D．雙曲線的一支和一條射線
D　[依題意得|F1F2|＝10，當a＝3時，
因為|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，
故點P的軌跡為雙曲線的右支；
當a＝5時，2a＝10＝|F1F2|，
故點P的軌跡為一條射線．]
2．(1)若雙曲線方程為－＝1，則其焦點在________軸上，焦點坐標為________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦點在y軸上，則雙曲線的標準方程為________．
(1)x　(6，0)和(－6，0)　(2)－＝1　[(1)因為方程中x2的系數>0，所以焦點在x軸上，且a2＝16，b2＝20，從而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦點坐標為(6，0)和(－6，0)．
(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是雙曲線方程為－＝1．]
類型1　雙曲線的標準方程
【例1】　根據下列條件，求雙曲線的標準方程：
(1)a＝4，經過點A；
(2)與雙曲線－＝1有相同的焦點，且經過點(3，2)；
(3)過點P，Q且焦點在坐標軸上．
[解]　(1)當焦點在x軸上時，設所求標準方程為－＝1(b>0)，把點A的坐標代入，得b2＝－×<0，不符合題意；當焦點在y軸上時，設所求標準方程為－＝1(b>0)，把A點的坐標代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)雙曲線－＝1的焦點在x軸，
因此設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵雙曲線經過點(3，2)，
∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標準方程為－＝1.
(3)設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵點P，Q在雙曲線上，
∴解得
∴雙曲線的標準方程為－＝1.
　試總結用待定系數法求雙曲線方程的步驟．
提示：(1)定型：確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸．
(2)設方程：根據焦點位置設出相應的標準方程的形式，若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)；
(3)計算：利用題中條件列出方程組，求出相關值．
(4)結論：寫出雙曲線的標準方程．
[跟進訓練]
1．(源自湘教版教材)已知雙曲線兩個焦點分別為F1(0，－2)，F2(0，2)，并且雙曲線經過點P(3，－2)，求該雙曲線的標準方程．
[解]　由于雙曲線的焦點在y軸上，故可設它的標準方程為－＝1(a>0，b>0)．
已知焦點F1，F2及雙曲線上一點P，由雙曲線的定義可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1.
又因為c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.
因此，所求雙曲線的標準方程為y2－＝1.
類型2　雙曲線標準方程的識別
【例2】　給出曲線方程＋＝1.
(1)若該方程表示雙曲線，求實數k的取值范圍；
(2)若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，求實數k的取值范圍．
[解]　(1)方程表示雙曲線，則有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，
解得k>1或k<－4，
因此實數k的取值范圍是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則有
解得k<－4，
因此實數k的取值范圍是(－∞，－4)．
　方程表示雙曲線的條件
(1)對于方程＋＝1，當mn<0時表示雙曲線，進一步來說，當m>0，n<0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
(2)對于方程－＝1，當mn>0時表示雙曲線，且當m>0，n>0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n<0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
[跟進訓練]
2．(源自湘教版教材)已知方程＋＝1.
(1)若方程表示雙曲線，求a的取值范圍；
(2)試說明(1)中的雙曲線有共同的焦點．
[解]　(1)方程表示雙曲線，則(4＋a)(5＋a)<0.
解得－5因此，當－5(2)由(1)可知，雙曲線的焦點在y軸上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1.
所以，方程表示的雙曲線的焦點坐標為(0，1)，(0，－1)，顯然與方程中的a無關，因此(1)中的雙曲線有共同的焦點．
類型3　雙曲線的定義及其應用
【例3】　若F1，F2是雙曲線－＝1的兩個焦點．
(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于7，求點M到另一個焦點的距離．
(2)若點P是雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[解]　(1)由雙曲線方程知a2＝9，b2＝16，則c2＝25，所以a＝3，b＝4，c＝5.
設|MF1|＝7，則根據雙曲線的定義知
||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6.
解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1因此，點M到另一個焦點的距離為13.
(2)由定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
[母題探究]
(1)若將本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面積．
(2)若將本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面積．
[解]　(1)將||PF2|－|PF1||＝2a＝6，兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理的推論得
cos ∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
＝×4×＝8.
　雙曲線的定義的應用
(1)已知雙曲線上一點的坐標，可以求得該點到某一焦點的距離，進而根據定義求該點到另一焦點的距離．
(2)雙曲線中與焦點三角形有關的問題可以根據定義結合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用．
[跟進訓練]
3．(1)如圖，已知雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，點A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經過雙曲線的右焦點F2，|AB|＝m，F1為雙曲線的左焦點，則△ABF1的周長為(　　)
A．2a＋2m　　 B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
(2)已知雙曲線的方程為x2－＝1，如圖所示，點A的坐標為(－，0)，B是圓x2＋(y－)2＝1上的點，點C為其圓心，點M在雙曲線的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
(1)B　[由雙曲線的定義，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m．]
(2)[解]　設點D的坐標為(，0)，則點A，D是雙曲線的焦點，如圖所示，連接MD，BD．由雙曲線的定義，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
∴|MA|＋|MB|＝|MA|－|MD|＋|MB|＋|MD|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.
又點B是圓x2＋(y－)2＝1上的點，圓的圓心為C(0，)，半徑長為1，
故|BD|≥|CD|－1＝－1，
從而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，
當且僅當點M，B在線段CD上時取等號．
故|MA|＋|MB|的最小值為＋1.
類型4　雙曲線在生活中的應用
【例4】　某區域有三個救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號．已知該信號的傳播速度為1千米/秒，求在A處發現P的方位角．
[解]　如圖所示，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
則A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴點P在線段BC的垂直平分線上，
又易知kBC＝－，線段BC的中點D(－4，)，
∴直線PD的方程為y－＝(x＋4)， ①
又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
∴點P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則a＝2，c＝3，
∴點P的軌跡方程為－＝1(x≥2)， ②
聯立①②，得P點坐標為(8，5)，
∴kPA＝＝，
因此在A處發現P的方位角為北偏東30°.
　利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
(1)建立適當的坐標系．
(2)求出雙曲線的標準方程．
(3)根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義)．
[跟進訓練]
4．(源自北師大版教材)相距2 km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4 s．已知當時的聲速為340 m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程．
[解]　設爆炸點為P，由已知，得
|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)．
因為|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，
|PA|>|PB|，所以點P在以點A，B為焦點的雙曲線并靠近點B的那一支上．
以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖所示)．
由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，
b2＝c2－a2＝537 600.
因此，點P所在曲線是雙曲線的右支，它的方程是－＝1(x>0)．
1．在雙曲線的標準方程中，若a＝6，b＝8，則標準方程是(　　)
A．－＝1　 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1或－＝1
D　[應分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況進行討論，顯然D選項符合要求．]
2．(多選)已知方程＋＝1表示曲線C，則下列判斷正確的是(　　)
A．當1B．當t>4或t<1時，曲線C表示雙曲線
C．若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1D．若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則t>4
BCD　[由4－t＝t－1，得t＝，此時方程＋＝1表示圓，故A選項錯誤．由雙曲線的定義可知，當(4－t)(t－1)<0時，即t<1或t>4時，方程＋＝1表示雙曲線，故B選項正確．由橢圓的定義可知，當橢圓焦點在x軸上時，滿足4－t>t－1>0，解得14，故D選項正確．綜上所述，正確的選項為BCD．故選BCD．]
3．已知雙曲線－＝1(a>0)的一個焦點為F1(5，0)，設另一個為F2，點P是雙曲線上的一點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________．
17或1　[由題意知，雙曲線－＝1(a>0)的一個焦點為F1(5，0)，∴c＝5，
又由a2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4，
因為點P為雙曲線上一點，且|PF1|＝9，
根據雙曲線的定義可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，
所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．]
4．設雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓的一個公共點的縱坐標為4，則雙曲線的標準方程為________．
－＝1　[由橢圓方程得焦點坐標為(0，±3)，橢圓與雙曲線的一個公共點為(，4)．
設所求的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，
則解得
故所求雙曲線的標準方程為－＝1．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．雙曲線是如何定義的？請寫出它的標準方程．
提示：定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．
標準方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)．
2．方程－＝1表示雙曲線，則m，n滿足的條件是什么？若方程表示焦點在x軸(y軸)上的雙曲線，則m，n滿足什么條件？
提示：(1)若表示雙曲線，則滿足mn>0.
(2)若表示焦點在x軸上的雙曲線，則滿足
(3)若表示焦點在y軸上的雙曲線，則滿足
3．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P是雙曲線左支上一點，則|PF1|、|PF2|的最小值分別是多少？
提示：|PF1|的最小值為c－a，|PF2|的最小值為a＋c.
4．定義法求雙曲線方程時，如何確定點的軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支？
提示：根據條件看是|PF1|－|PF2|＝2a還是||PF1|－|PF2||＝2a，
若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，點的軌跡是雙曲線一支，
若||PF1|－|PF2||＝2a，則點的軌跡是雙曲線．3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
學習任務 1．理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(數學抽象、直觀想象) 2．掌握雙曲線的標準方程及其求法．(數學運算) 3．會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
做下面一個試驗．
(1)取一條拉鏈，拉開一部分．
(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F2上．
(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．
試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？
知識點1　雙曲線的定義
文字語言 平面內與兩個定點F1，F2的距離的____________等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡
符號語言 ||PF1|－|PF2||＝常數(常數＜|F1F2|)
焦點 定點________
焦距 ________的距離
(1)常數要小于兩個定點的距離．
(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支．
(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．
(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．
(5)當2a＝0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
1．雙曲線的定義中，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數)，且2a<|F1F2|，則點M的軌跡是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ________________ ______________
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) ____________
a，b，c的關系 c2＝________
2．如何根據雙曲線的標準方程判斷焦點所在的坐標軸？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知點F1(－5，0)，F2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別是(　　)
A．雙曲線和一條直線
B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條直線
D．雙曲線的一支和一條射線
2．(1)若雙曲線方程為－＝1，則其焦點在________軸上，焦點坐標為________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦點在y軸上，則雙曲線的標準方程為________．
類型1　雙曲線的標準方程
【例1】　根據下列條件，求雙曲線的標準方程：
(1)a＝4，經過點A；
(2)與雙曲線－＝1有相同的焦點，且經過點(3，2)；
(3)過點P，Q且焦點在坐標軸上．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　試總結用待定系數法求雙曲線方程的步驟．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
1．(源自湘教版教材)已知雙曲線兩個焦點分別為F1(0，－2)，F2(0，2)，并且雙曲線經過點P(3，－2)，求該雙曲線的標準方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　雙曲線標準方程的識別
【例2】　給出曲線方程＋＝1．
(1)若該方程表示雙曲線，求實數k的取值范圍；
(2)若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，求實數k的取值范圍．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　方程表示雙曲線的條件
(1)對于方程＋＝1，當mn<0時表示雙曲線，進一步來說，當m>0，n<0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
(2)對于方程－＝1，當mn>0時表示雙曲線，且當m>0，n>0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n<0時表示焦點在y軸上的雙曲線．
[跟進訓練]
2．(源自湘教版教材)已知方程＋＝1．
(1)若方程表示雙曲線，求a的取值范圍；
(2)試說明(1)中的雙曲線有共同的焦點．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　雙曲線的定義及其應用
【例3】　若F1，F2是雙曲線－＝1的兩個焦點．
(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于7，求點M到另一個焦點的距離．
(2)若點P是雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
(1)若將本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面積．
(2)若將本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改為“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面積．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　雙曲線的定義的應用
(1)已知雙曲線上一點的坐標，可以求得該點到某一焦點的距離，進而根據定義求該點到另一焦點的距離．
(2)雙曲線中與焦點三角形有關的問題可以根據定義結合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用．
[跟進訓練]
3．(1)如圖，已知雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，點A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經過雙曲線的右焦點F2，|AB|＝m，F1為雙曲線的左焦點，則△ABF1的周長為(　　)
A．2a＋2m　　　　　 B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
(2)已知雙曲線的方程為x2－＝1，如圖所示，點A的坐標為(－，0)，B是圓x2＋(y－)2＝1上的點，點C為其圓心，點M在雙曲線的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型4　雙曲線在生活中的應用
【例4】　某區域有三個救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號．已知該信號的傳播速度為1千米/秒，求在A處發現P的方位角．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
(1)建立適當的坐標系．
(2)求出雙曲線的標準方程．
(3)根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義)．
[跟進訓練]
4．(源自北師大版教材)相距2 km的兩個哨所A，B聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B哨所遲4 s．已知當時的聲速為340 m/s，試判斷爆炸點在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在雙曲線的標準方程中，若a＝6，b＝8，則標準方程是(　　)
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
2．(多選)已知方程＋＝1表示曲線C，則下列判斷正確的是(　　)
A．當1B．當t>4或t<1時，曲線C表示雙曲線
C．若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1D．若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則t>4
3．已知雙曲線－＝1(a>0)的一個焦點為F1(5，0)，設另一個為F2，點P是雙曲線上的一點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________．
4．設雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓的一個公共點的縱坐標為4，則雙曲線的標準方程為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．雙曲線是如何定義的？請寫出它的標準方程．
2．方程－＝1表示雙曲線，則m，n滿足的條件是什么？若方程表示焦點在x軸(y軸)上的雙曲線，則m，n滿足什么條件？
3．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P是雙曲線左支上一點，則|PF1|、|PF2|的最小值分別是多少？
4．定義法求雙曲線方程時，如何確定點的軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支？3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
學習任務 1．掌握雙曲線的簡單幾何性質．(數學抽象) 2．理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．(數學抽象)
已知雙曲線C的方程為x2－＝1，根據這個方程完成下列任務：
(1)觀察方程中x與y是否有取值范圍，由此指出雙曲線C在平面直角坐標系中的位置特征；
(2)指出雙曲線C是否關于x軸、y軸、原點對稱；
(3)指出雙曲線C與坐標軸是否有交點，如果有，求出交點坐標；
(4)如果(x，y)滿足雙曲線C的方程，說出當|x|增大時，|y|將怎樣變化，并指出這反映了雙曲線的形狀具有什么特點．
知識點1　雙曲線的幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 頂點坐標：A1(－a，0)，A2(a，0) 頂點坐標：A1(0，－a)，A2(0，a)
軸長 實軸長：2a；虛軸長：2b
漸近線 y＝±x y＝±_x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c 的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
雙曲線的離心率對雙曲線的形狀有何影響？
提示：以雙曲線－＝1(a>0，b>0)為例．
e＝＝＝，故當的值越大，漸近線y＝x的斜率越大，雙曲線的開口越大，e也越大，所以e反映了雙曲線開口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越大．
知識點2　等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)雙曲線－＝1與－＝1(a>0，b>0)的形狀相同． (　　)
(2)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關． (　　)
(3)離心率是的雙曲線為等軸雙曲線． (　　)
提示：(1)√　雙曲線－＝1與－＝1(a>0，b>0)的位置不一樣，但是形狀相同．
(2)×　等軸雙曲線的漸近線方程都是y＝±x.
(3)√　等軸雙曲線的離心率是.
2．雙曲線x2－4y2＝1的焦點坐標是______，______；中心坐標為______；頂點坐標為______，________；實軸長為________，虛軸長為________．
　　(0，0)　(－1，0)　(1，0)　2　1　[將x2－4y2＝1化為標準方程x2－＝1，
由此可得實半軸長a＝1，虛半軸長b＝，半焦距c＝，
所以雙曲線的焦點坐標是，，中心坐標為(0，0)，頂點坐標為(－1，0)，(1，0)，實軸長為2，虛軸長為1．]
3．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)經過點(，2)，且離心率為3，則它的虛軸長為________．
4　[由題意可得
解得
因此，該雙曲線的虛軸長2b＝4．]
類型1　根據雙曲線方程研究其幾何
性質
【例1】　(源自湘教版教材)求雙曲線－＝1的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線的草圖．
[解]　由雙曲線方程可得實半軸長a＝3，虛半軸長b＝4.
c＝＝＝5，焦點坐標為(－5，0)，(5，0)．
從而，漸近線方程為y＝±x＝±x，離心率e＝＝.
為畫出雙曲線的草圖，在坐標系中畫出漸近線y＝±x，頂點(±3，0)．算出雙曲線在第一象限內一點的坐標，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可見點(5，±5.33)在雙曲線上．將y軸右邊已知的三點(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次連成光滑曲線并讓它逐步接近漸近線，就畫出了雙曲線的一支．由對稱性可畫出位于y軸左邊的另一支，如圖所示．
　由雙曲線方程研究幾何性質的注意點
(1)把雙曲線方程化為標準形式，確定焦點位置，進而確定a，b的值是關鍵．
(2)由c2＝a2＋b2(易與橢圓中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
(3)漸近線是雙曲線的重要性質：先畫漸近線可使圖形更準確，焦點到漸近線距離為虛半軸長．
(4)注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應用．
如過雙曲線－＝1的左焦點F1(－c，0)垂直于x軸的弦AB，則|AB|＝.
[跟進訓練]
1．(1)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)求雙曲線nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．
(1)C　[由e2＝1＋得＝1＋，
∴＝，即＝.
又雙曲線的焦點在x軸上，則雙曲線漸近線方程為y＝±x，故選C．]
(2)[解]　把雙曲線方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化為標準方程為－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，實半軸長a＝，
虛半軸長b＝，c＝，
焦點坐標為(，0)，(－，0)，
離心率e＝＝＝，
頂點坐標為(－，0)，(，0)，
漸近線方程為y＝±x，
即y＝±x.
類型2　由雙曲線的幾何性質求其標準
方程
【例2】　求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)虛軸長為12，離心率為；
(2)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±x；
(3)與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)．
[思路導引]　
[解]　(1)設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由題知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
(2)法一：當焦點在x軸上時，由＝且a＝3，得b＝，
∴所求雙曲線的標準方程為－＝1.
當焦點在y軸上時，由＝且a＝3，
得b＝2.
∴所求雙曲線的標準方程為－＝1.
法二：設以直線y＝±x為漸近線的雙曲線的方程為－＝λ(λ≠0)．
當λ>0時，a2＝4λ，∴2a＝2＝6，解得λ＝；
當λ<0時，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6，解得λ＝－1.
∴雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
(3)設與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k(k≠0)，將點M(2，－2)的坐標代入得k＝－(－2)2＝－2，∴雙曲線的標準方程為－＝1.
　1．由幾何性質求雙曲線標準方程的解題思路
由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法．當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常見雙曲線方程的設法
(1)漸近線為y＝±x的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)與雙曲線－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設為－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置．
[跟進訓練]
2．已知雙曲線E與雙曲線－＝1共漸近線，且過點A(2，－3)．若雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，試求雙曲線M的標準方程．
[解]　由題意，設雙曲線E的方程為－＝t(t≠0)．
∵點A(2，－3)在雙曲線E上，
∴－＝t，解得t＝－.
∴雙曲線E的標準方程為－＝1.
又雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，
∴雙曲線M的標準方程為－＝1.
類型3　雙曲線的離心率
【例3】　已知雙曲線－＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a，0)和(0，b)，且點(1，0)到直線l的距離與點(－1，0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍．
[思路導引]　
―→―→
[解]　由題意可知直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.點(1，0)到直線l的距離d1＝，點(－1，0)到直線l的距離d2＝，
所以s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2，則5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.
因為e>1，所以e的取值范圍是.
　結合橢圓離心率的求法，試總結雙曲線離心率的求解方法．
提示：(1)若可求得a，c，則直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟進訓練]
3．(1)設F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)
A．　　　　　　C．2　　　D．
(2)實軸長為2的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)上恰有4個不同的點Pi(i＝1，2，3，4)滿足|PiB|＝2|PiA|，其中A，B分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右頂點，則C的離心率的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
(1)A　(2)A　[(1)如圖，設PQ與x軸交于點A，由對稱性可知PQ⊥x軸．
∵|PQ|＝|OF|＝c，
∴|PA|＝.
∴PA為以OF為直徑的圓的半徑，A為圓心，
∴|OA|＝.∴P.
又點P在圓x2＋y2＝a2上，∴＋＝a2，即＝a2，∴e2＝＝2，∴e＝，故選A．
(2)依題意可得a＝1，A(－1，0)，B(1，0)，
設P(x，y)，則由|PB|＝2|PA|，
得＝2，
整理得＋y2＝.
由
得x2＋x＋2＝0，
因為雙曲線C上恰有4個不同的點Pi(i＝1，2，3，4)滿足|PiB|＝2|PiA|，
所以方程x2＋x＋2＝0有兩不等實根，
所以只需Δ＝－8>0，解得b2>，
則e＝＝＝>＝.
故選A．]
1．(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則(　　)
A．實軸長為8 B．虛軸長為4
C．焦距為6 D．離心率為
ABD　[雙曲線方程x2－8y2＝32化為標準方程為－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為4，焦距為12，離心率為.故選ABD．]
2．若雙曲線－y2＝1(a>0)的離心率為2，則其實軸長為(　　)
A． 　　　B．2　　　C． 　　　D．
D　[由題意得e2＝1＋，即1＋＝4，
解得a＝，則實軸長為，故選D．]
3．焦點在x軸上，一條漸近線的方程為y＝x，虛軸長為4的雙曲線的標準方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
A　[根據題意，要求雙曲線的虛軸長2b＝4，即b＝2.又雙曲線的一條漸近線的方程為y＝x，所以＝，則a＝2.又雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線的標準方程為－＝1.故選A．]
4．已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是________．
　[由雙曲線－＝1(a>0，b>0)，可得其一條漸近線的方程為y＝x，即bx－ay＝0，
又由圓C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圓心為C(0，5)，半徑r＝2，
則圓心到直線的距離為d＝＝，則＝2，可得e＝＝．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何根據雙曲線的方程研究其幾何性質？
提示：(1)把雙曲線方程化為標準形式；
(2)由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
2．離心率e和有怎樣的關系？
提示：e2＝1＋.
3．如何用待定系數法設出與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程？
提示：可設為－＝λ(λ≠0)．3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
學習任務 1．掌握雙曲線的簡單幾何性質．(數學抽象) 2．理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．(數學抽象)
已知雙曲線C的方程為x2－＝1，根據這個方程完成下列任務：
(1)觀察方程中x與y是否有取值范圍，由此指出雙曲線C在平面直角坐標系中的位置特征；
(2)指出雙曲線C是否關于x軸、y軸、原點對稱；
(3)指出雙曲線C與坐標軸是否有交點，如果有，求出交點坐標；
(4)如果(x，y)滿足雙曲線C的方程，說出當|x|增大時，|y|將怎樣變化，并指出這反映了雙曲線的形狀具有什么特點．
知識點1　雙曲線的幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a ________________
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 頂點坐標：A1(－a，0)，A2(a，0) 頂點坐標：____________，____________
軸長 實軸長：2a；虛軸長：___
漸近線 y＝±x y＝_____
離心率 e＝________，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的關系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
雙曲線的離心率對雙曲線的形狀有何影響？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　等軸雙曲線
實軸和虛軸________的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為________，離心率為________．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)雙曲線－＝1與－＝1(a>0，b>0)的形狀相同． (　　)
(2)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關． (　　)
(3)離心率是的雙曲線為等軸雙曲線． (　　)
2．雙曲線x2－4y2＝1的焦點坐標是________，________；中心坐標為________；頂點坐標為________，________；實軸長為________，虛軸長為________．
3．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)經過點(，2)，且離心率為3，則它的虛軸長為________．
類型1　根據雙曲線方程研究其幾何性質
【例1】　(源自湘教版教材)求雙曲線－＝1的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線的草圖．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由雙曲線方程研究幾何性質的注意點
(1)把雙曲線方程化為標準形式，確定焦點位置，進而確定a，b的值是關鍵．
(2)由c2＝a2＋b2(易與橢圓中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質．
(3)漸近線是雙曲線的重要性質：先畫漸近線可使圖形更準確，焦點到漸近線距離為虛半軸長．
(4)注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應用．
如過雙曲線－＝1的左焦點F1(－c，0)垂直于x軸的弦AB，則|AB|＝．
[跟進訓練]
1．(1)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)求雙曲線nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　由雙曲線的幾何性質求其標準方程
【例2】　求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)虛軸長為12，離心率為；
(2)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±x；
(3)與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)．
[思路導引]　
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．由幾何性質求雙曲線標準方程的解題思路
由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法．當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常見雙曲線方程的設法
(1)漸近線為y＝±x的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)與雙曲線－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設為－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置．
[跟進訓練]
2．已知雙曲線E與雙曲線－＝1共漸近線，且過點A(2，－3)．若雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，試求雙曲線M的標準方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　雙曲線的離心率
【例3】　已知雙曲線－＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a，0)和(0，b)，且點(1，0)到直線l的距離與點(－1，0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍．
[思路導引]　
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[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　結合橢圓離心率的求法，試總結雙曲線離心率的求解方法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
3．(1)設F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)
A．　　　　　　C．2　　　D．
(2)實軸長為2的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)上恰有4個不同的點Pi(i＝1，2，3，4)滿足|PiB|＝2|PiA|，其中A，B分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右頂點，則C的離心率的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
1．(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則(　　)
A．實軸長為8 B．虛軸長為4
C．焦距為6 D．離心率為
2．若雙曲線－y2＝1(a>0)的離心率為2，則其實軸長為(　　)
A． 　　　B．2　　　C． 　　　D．
3．焦點在x軸上，一條漸近線的方程為y＝x，虛軸長為4的雙曲線的標準方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
4．已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何根據雙曲線的方程研究其幾何性質？
2．離心率e和有怎樣的關系？
3．如何用待定系數法設出與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程？第2課時　雙曲線的標準方程及其性質的應用
學習 任務 1．理解直線與雙曲線的位置關系．(數學運算、直觀想象) 2．會求解有關弦長問題．(數學運算、邏輯推理)
類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有哪幾種位置關系？
知識點　直線與雙曲線的位置關系
將y＝kx＋m與－＝1聯立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
類別 位置關系 交點個數
k＝±時(此時m≠0) 相交 只有一個交點
k≠±且Δ＞0 有兩個交點
k≠±且Δ＝0 相切 只有一個交點
k≠±且Δ＜0 相離 沒有公共點
直線和雙曲線只有一個公共點，那么直線和雙曲線相切嗎？
提示：不一定．當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個公共點，但直線與雙曲線相交．
直線l過點(，0)且與雙曲線x2－y2＝2僅有一個公共點，則這樣的直線有______條．
3　[根據雙曲線方程可知，點(，0)即為雙曲線的右頂點，過該點有兩條與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個公共點，另過該點且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個公共點．故過點(，0)且與雙曲線僅有一個公共點的直線有3條．]
類型1　直線與雙曲線的位置關系
【例1】　(1)過點P(，5)且與雙曲線－＝1有且只有一個公共點的直線有幾條？分別求出它們的方程．
(2)直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點，當a為何值時，A，B在雙曲線的同一支上？當a為何值時，A，B分別在雙曲線的兩支上？
[解]　(1)若直線的斜率不存在，則直線方程為x＝，此時僅有一個交點(，0)，滿足條件．
若直線的斜率存在，設直線的方程為y－5＝k(x－)，則y＝kx＋5－k，代入到雙曲線方程，得
－＝1，所以25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－k)－7(5－k)2－7×25＝0.
當k＝時，方程無解，不滿足條件．
當k＝－時，方程2×5x×10＝875有一解，滿足條件．
當k≠±時，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化簡后知方程無解，所以不滿足條件．
所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為x＝和y＝－x＋10.
(2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，
整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
當a≠±時，Δ＝24－4a2.
由Δ>0得－若A，B在雙曲線的同一支上，需x1x2＝>0，
所以a<－或a>.故當－若A，B分別在雙曲線的兩支上，需x1x2＝<0，所以－　(1)解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數為0時，直線與漸近線平行的特殊情況．
(2)雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
(3)注意對直線的斜率是否存在進行討論．
[跟進訓練]
1．(源自湘教版教材)討論直線y＝x＋b與雙曲線x2－y2＝1的公共點的個數．
[解]　由消去y得x2－(x＋b)2＝1.
整理得2bx＋b2＋1＝0.①
如果b＝0，則方程①變為1＝0，無解．此時直線與雙曲線無公共點．事實上，此時直線為y＝x，就是雙曲線的漸近線，自然與雙曲線無公共點．
現在設b≠0，即直線平行于兩條漸近線中的一條，方程①成為一元一次方程，有唯一解，原方程組有唯一一組解，此時直線與雙曲線有一個公共點．
類型2　與雙曲線有關的軌跡問題
【例2】　某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4 s．已知各觀測點到該中心的距離是1 020 m．則該巨響發生在接報中心的(假定當時聲音傳播的速度為340 m/s，相關各點均在同一平面上)(　　)
A．北偏西45°方向，距離680 m
B．南偏東45°方向，距離680 m
C．北偏西45°方向，距離680 m
D．南偏東45°方向，距離680 m
A　[如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸，y軸正向，建立直角坐標系．設A，B，C分別是正西、正東、正北觀測點，則A(－1 020，0)，
B(1 020，0)，C(0，1 020)．設P(x，y)為巨響發生點．
由已知|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分線上，易得PO所在直線的方程為y＝－x，又B點比A點晚4 s聽到爆炸聲，故|PB|－|PA|＝340×4＝1 360，可知P點在以A，B為焦點的雙曲線－＝1上，依題意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故雙曲線方程為－＝1，將y＝－x代入上式，得x＝±680，∵|PB|>|PA|，
∴x＝－680，y＝680，
即P(－680，680)，故|PO|＝680.
故巨響發生在接報中心的北偏西45°距中心680 m處．]
　求解與雙曲線有關的軌跡問題的一般思路
(1)定義法：解決軌跡問題時利用雙曲線的定義，判定動點的軌跡就是雙曲線．
(2)直接法：根據點滿足條件直接代入計算．
[跟進訓練]
2．若動圓P經過定點A(3，0)，且與定圓B：(x＋3)2＋y2＝16外切，試求動圓圓心P的軌跡．
[解]　設動圓圓心P(x，y)，半徑為r.
則依題意有|PA|＝r，|PB|＝r＋4，
故|PB|－|PA|＝4.
即動圓圓心P到兩個定點B(－3，0)，A(3，0)的距離之差等于常數4，且4<|AB|，因此根據雙曲線定義，點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支．
設其方程為－＝1(a>0，b>0)，則c＝3，2a＝4，b2＝5，
所以動圓圓心P的軌跡方程為－＝1(x≥2)．
所以動圓圓心P的軌跡是雙曲線－＝1的右支．
類型3　雙曲線與其他知識的綜合問題
【例3】　(2022·新高考Ⅰ卷)已知點A(2，1)在雙曲線C：－＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面積．
[解]　(1)因為點A(2，1)在雙曲線C：－＝1(a＞1)上，所以－＝1，解得a2＝2，即雙曲線C：－y2＝1.
易知直線l的斜率存在，設l：y＝kx＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯立可得，(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
所以，Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0 m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以由kAP＋kAQ＝0可得，＋＝0，
即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0，
化簡得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k，
當m＝1－2k時，直線l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
過點A(2，1)，與題意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨設直線AP，AQ的傾斜角為α，β(α＜β)，因為kAP＋kAQ＝0 ，所以α＋β＝π，
因為tan ∠PAQ＝2 ，所以tan (β－α)＝2 ，即tan 2α＝－2 ，
即tan2α－tanα－＝0，解得tan α＝(負值舍去)，
于是，直線AP：y＝(x－2)＋1，直線AQ：y＝－(x－2)＋1，
聯立可得，
x2＋2 (1－2 )x＋10－4 ＝0，
因為方程有一個根為2，
所以xP＝，yP＝，
同理可得，xQ＝，yQ＝.
所以PQ：x＋y－＝0，|PQ|＝，
點A到直線PQ的距離d＝＝，
故△PAQ的面積為××＝.
　雙曲線的綜合問題最終仍體現在直線與雙曲線、軌跡、向量的應用及參數范圍的探求上．設而不求，消參是解決這類問題常用的方法，在解題時，應有意識地運用這些方法，達到熟練掌握的程度．
[跟進訓練]
3．已知直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A，B．
(1)求實數k的取值范圍．
(2)是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)將直線l的方程y＝kx＋1與雙曲線C的方程2x2－y2＝1聯立，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①.
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點，
則
解得－2(2)設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由①式得
假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F，則FA⊥FB．
∴＋y1y2＝0，
即＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，
(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＝0，
∴(1＋k2)·＋＋＝0，
化簡得5k2＋2k－6＝0，
解得k＝－或k＝(舍去)．
故存在實數k＝－，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F.
1．已知雙曲線方程為x2－＝1，過點P(1，0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l共有(　　)
A．4條　　B．3條　　C．2條　　D．1條
B　[因為雙曲線方程為x2－＝1，則P(1，0)是雙曲線的右頂點，所以過P(1，0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個公共點，另外兩條就是過P(1，0)分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的有3條．]
2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
A　[易知k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－23．已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與直線y＝x交于A，B兩點，若|AB|＝2，則該雙曲線的方程為(　　)
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
B　[設等軸雙曲線的方程為x2－y2＝a2(a>0)，與y＝x聯立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，
∴a＝3，∴x2－y2＝9.故選B．]
4．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則實數m的值是________．
±1　[由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.則Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點坐標為(m，2m)．又點(m，2m)在x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線與雙曲線相交，有兩個交點時，其弦長公式與直線與橢圓相交時的弦長公式是否相同，你能寫出來嗎？
提示：完全相同．直線y＝kx＋m與雙曲線－＝1相交，其交點為
A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝或|AB|＝.
2．直線與雙曲線只有一個公共點，那么直線與雙曲線一定相切嗎？
提示：直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個公共點，但直線與雙曲線相交，不相切．
3．如何處理與雙曲線有關的綜合問題？
提示：雙曲線的綜合問題最終仍體現在直線與雙曲線、軌跡、向量的應用及參數范圍的探求上．設而不求，消參是解決這類問題常用的方法，在解題時，應有意識地運用這些方法，達到熟練掌握的程度．第2課時　雙曲線的標準方程及其性質的應用
學習任務 1．理解直線與雙曲線的位置關系．(數學運算、直觀想象) 2．會求解有關弦長問題．(數學運算、邏輯推理)
類比直線與橢圓的位置關系可知直線與雙曲線有哪幾種位置關系？
知識點　直線與雙曲線的位置關系
將y＝kx＋m與－＝1聯立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
類別 位置關系 交點個數
k＝±時(此時m≠0) 相交 只有____交點
k≠±且Δ＞0 有____交點
k≠±且Δ＝0 相切 只有____交點
k≠±且Δ＜0 相離 ____公共點
直線和雙曲線只有一個公共點，那么直線和雙曲線相切嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
直線l過點(，0)且與雙曲線x2－y2＝2僅有一個公共點，則這樣的直線有______條．
類型1　直線與雙曲線的位置關系
【例1】　(1)過點P(，5)且與雙曲線－＝1有且只有一個公共點的直線有幾條？分別求出它們的方程．
(2)直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點，當a為何值時，A，B在雙曲線的同一支上？當a為何值時，A，B分別在雙曲線的兩支上？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數為0時，直線與漸近線平行的特殊情況．
(2)雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
(3)注意對直線的斜率是否存在進行討論．
[跟進訓練]
1．(源自湘教版教材)討論直線y＝x＋b與雙曲線x2－y2＝1的公共點的個數．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　與雙曲線有關的軌跡問題
【例2】　某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4 s．已知各觀測點到該中心的距離是1 020 m．則該巨響發生在接報中心的(假定當時聲音傳播的速度為340 m/s，相關各點均在同一平面上)(　　)
A．北偏西45°方向，距離680 m
B．南偏東45°方向，距離680 m
C．北偏西45°方向，距離680 m
D．南偏東45°方向，距離680 m
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解與雙曲線有關的軌跡問題的一般思路
(1)定義法：解決軌跡問題時利用雙曲線的定義，判定動點的軌跡就是雙曲線．
(2)直接法：根據點滿足條件直接代入計算．
[跟進訓練]
2．若動圓P經過定點A(3，0)，且與定圓B：(x＋3)2＋y2＝16外切，試求動圓圓心P的軌跡．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　雙曲線與其他知識的綜合問題
【例3】　(2022·新高考Ⅰ卷)已知點A(2，1)在雙曲線C：－＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面積．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　雙曲線的綜合問題最終仍體現在直線與雙曲線、軌跡、向量的應用及參數范圍的探求上．設而不求，消參是解決這類問題常用的方法，在解題時，應有意識地運用這些方法，達到熟練掌握的程度．
[跟進訓練]
3．已知直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A，B．
(1)求實數k的取值范圍．
(2)是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知雙曲線方程為x2－＝1，過點P(1，0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l共有(　　)
A．4條　　B．3條　　C．2條　　D．1條
2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
3．已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與直線y＝x交于A，B兩點，若|AB|＝2，則該雙曲線的方程為(　　)
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
4．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則實數m的值是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線與雙曲線相交，有兩個交點時，其弦長公式與直線與橢圓相交時的弦長公式是否相同，你能寫出來嗎？
2．直線與雙曲線只有一個公共點，那么直線與雙曲線一定相切嗎？
3．如何處理與雙曲線有關的綜合問題？

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