資源簡(jiǎn)介

導(dǎo)數(shù)的概念與切線問題
一．導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義
函數(shù) y f (x)在 x x0處的導(dǎo)數(shù)：稱函數(shù) y f (x)在 x x0處的瞬時(shí)變化率 lim y lim f (x0 x) f (x0 )為
x 0 x x 0 x
導(dǎo) 數(shù) 函數(shù) y f (x) '在 x x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 f (x0 )或，即 f ' (x ) lim y lim f (x0 x) f (x 0 )0
的 定 x 0 x x 0 x
義
函數(shù) f (x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù) f ' (x0 ) lim
f (x0 x) f (x0 ) 為 f (x)的導(dǎo)函數(shù).
x 0 x
導(dǎo) 數(shù) '
函數(shù) f (x)在 x x0處的導(dǎo)數(shù) f (x0 )是曲線 y f (x)在點(diǎn) P( x0 , f (x
'
0 ) )處的切線的斜率 k，即 k= f (x )的 幾 0
何 意
注：曲線 y f (x)在點(diǎn)處的切線是指 P( x0 , f (x
'
0 ) )為切點(diǎn)斜率為 k= f (x義 0
)
的切線，是唯一的一條切線；
曲線 y f (x)過點(diǎn) P( x0 , f (x0 ) )的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn) P，點(diǎn) P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且
這樣的直線可能有多條.
二. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
① f (x) C, f ' (x) _____ f (x) x ；② , f ' (x) _____
③ f (x) sin x, f ' (x) _____；④ f (x) cosx, f ' (x) _____
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公
式
⑤ f (x) a x , f ' (x) _____；⑥ f (x) e x , f ' (x) _____
⑦ f (x) log xa , f ' (x) _____；⑧ f (x) lnx, f ' (x) _____
①[ f (x) g(x)]' _________ ；②[ f (x) g(x)]' _________
f (x)
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 ③[ ]' _________ ；④[Cf (x)]' _________
g(x)
⑤復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù) y f (g(x))，設(shè)u g(x)，則 y' f (u)' u(x)'
導(dǎo)數(shù)的概念與公式應(yīng)用
例 1已知 f (2) 3, f ' (2) 4，則 lim f (2 2x) f (2 4x) 6 _______
x 0 x
解：注意到 x 0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，需構(gòu)造
lim f (2 2x) f (2 4x) 6 lim f (2 2x) f (2) f (2 4x) f (2) f (2 2x) f (2) f (2 4x) f (2) lim lim
x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x
f (2 2x) f (2) f (2 4x) f (2)
2lim 4lim 2 f ' (2) 4 f ' (x) 2 f ' (2) 8
x 0 2x x 0 4x
練習(xí) 1
lim f (1 2 x) f (1)1.已知函數(shù) f(x)＝2ln(3x)＋8x，則 的值為( )
x 0 x
A．10 B．－10 C．－20 D．20
2. f (x) ax4 bx2若 c滿足 f ' (1) 2，則 f ' ( 1) ( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.已知對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有 f ( x) f (x), g( x) g(x)，且 x>0時(shí)， f ' (x) 0, g ' (x) 0，則 x<0時(shí)，( )
A. f ' (x) 0, g ' (x) 0 B. f ' (x) 0, g ' (x) 0
C. f ' (x) 0, g ' (x) 0 D. f ' (x) 0, g ' (x) 0
導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算
例 2 已知 f (x) f ' (1)x3 x2 4x，則 f (x) _______
f ' (x) 3 f ' (1)x2解：直接求導(dǎo)得 2x 4，令 x=1，得 f ' (1) 3 f ' (1) 2即有 f ' (1) 1，故
f (x) 3x3 x2 4x
練習(xí) 2
1. f (x) sin 2函數(shù) x的導(dǎo)數(shù) f ' (x) _______
2. 函數(shù) f (x) cos(1 x2 )的導(dǎo)數(shù) f ' (x) _______
3. 等比數(shù)列{an}中， a1 2,a8 8函數(shù) f (x) x(x a1)(x a2 ).....(x a8 )，則 f ' (0) _______
4. 函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù)為 f ' (x)，滿足 f (x) 2xf ' (x) ln x，則 f ' (1) _______
5. 函數(shù) f (x) sinx cosx，且 f ' (x) 1 f (x)，則 tan2x的值是________
2
3sin cos 5
6. 函數(shù) f (x) x3 x2 4x 1 , [0, ] ,導(dǎo)數(shù) f ' ( 1)的取值范圍是( )
3 2 6
A. [3,4 3] B. [3,6] C.[4 3，6] D.[4 3,4 3]
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
x
例 3 曲線 y 在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為_________
2x 1
解：求導(dǎo) y' (2x 1) 2x 1 ，當(dāng) x=1時(shí)， y' 1，故切線方程為 y=-x+2
(2x 1)2 (2x 1)2
練習(xí) 3
1
1. 曲線 y 和 y=x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與 x軸所圍成的三角形的面積是________
x
2. 設(shè)函數(shù) f (x) g(x) x2，曲線 y g(x)在點(diǎn) (1, g(1))處的切線方程為 y 2x 1，則曲線 y f (x)在
(1, f (1))處的切線的方程為________
3. 已知函數(shù) f (x)在 R上滿足 f (x) 2 f (2 x) x2 8x 8，則曲線 y f (x)在點(diǎn) (1, f (1))處的切線方
程是( )
A. y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3
15
4.若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線 y x3 和 y ax2 x 9都相切，則 a等于( )
4
25 21 7 25 7
A.-1或 B.-1或 C. 或 D. 或7
64 4 4 64 4
5.若曲線 f (x) ax3 ln x存在垂直于 y軸的切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_______
6.曲線 y ln x上的點(diǎn)到直線 y=x+3的最短距離為_________
7. 3已知直線 y=2x-2為曲線 f (x) x ax的一條切線，則 a=__________
切線問題的綜合應(yīng)用
例 4 已知函數(shù) f (x) xn xn 1(n N*)，曲線 y f (x)在點(diǎn) (2, f (2))處的切線與 y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
bn ，則數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng)和為____
f ' (x) nxn 1解：求導(dǎo)得 (n 1)xn x=2 n 1 n n 1， 時(shí)， f ' (2) n 2 (n 1) 2 (n 2)2 ，
f (2) 2n 2n 1 2n n 1，切線方程為 y (n 2)2 (x 2) 2n，令 x=0得
y= y (n 2)2n 2n (n 1)2n ,bn (n 1)2
n
，前 n項(xiàng)和Sn 2 2 3 2
2 4 23 ....n 2n 1 (n 1) 2n ；
2Sn 2 2
2 3 23 4 24 ....n 2n (n 1) 2n 1 n 1，兩式相減得Sn n 2
練習(xí) 4
1 s
1. 若曲線 y a ln x(a 0) 2與曲線 y x 在它們的公共點(diǎn) P(s，t)處具有公共切線，則 _______
2e t
2. y e x a 2已知曲線 與 y x 恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_________
3. 2 2已知函數(shù) f (x) x 的圖像在點(diǎn) (x0 , x0 )處的切線為 l，若 l也與函數(shù)的圖像 y ln x，x (0,1)相切，則
x0必滿足( )
0 x 1 1 2A. 0 B. x0 1 C. x0 2 D. 2 x2 2 2 0
3
4. 點(diǎn) P是曲線 y x2 ln x上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P到直線 y x 2的最小距離是__________
5. 若曲線 y ln(x a)的一條切線為 y ex b e，其中 a,b為正實(shí)數(shù)，則 a 的取值范圍是( )
b 2
2 e
A. ( , ) B. [e, ) C. [2, ) D.[2，e)
e 2
課后檢測(cè)
1. 已知函數(shù) f (x) ax3 x 1的圖像在點(diǎn) (1, f (1))處的切線過點(diǎn)(2,7),則實(shí)數(shù) a=_________
f (x) x3 x 22. 若點(diǎn) P在曲線 上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P處切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是__________
3
x2 a 3
3. 若曲線 f (x) 在點(diǎn) (1, f (1))處的切線的傾斜角為 ，則實(shí)數(shù) a=_________
x 1 4
4. 若滿足 f (x) ax4 bx2 c滿足 f ' (1) 2，則 f ' ( 1)=( )
A. -4 B.-2 C.2 D.4
5. 設(shè)函數(shù) f (x)在 R 2上可導(dǎo)， f (x) x f ' (2) 3x，則 f ( 1)與 f (1)的大小關(guān)系是_________
1
6. 已知函數(shù) y f (x)的圖像在點(diǎn)M(1, f (1))處的切線方程是 y x 2，則 f (1) f ' (1) =_______
2
y ln x7. 已知函數(shù) 在點(diǎn) (m, f (m))處的切互平行于 x軸，則實(shí)數(shù) m=_________
x
2
8. 函數(shù) f (x) x sinx，其導(dǎo)函數(shù)記為 f ' (x)，則 f (2018) f ( 2018) f ' (2018) f ' ( 2018)的e 1
值為_________
參考答案
練習(xí) 1
1. C 2.B 3.B
練習(xí) 2
3
1. sin2x 2.2xsin(1+x2) 3.28 4.1 5. 6.2 2 7.1
4
練習(xí) 3
1.2 e 2. ( ,2 ln 2 2) 3.D 4. 2 5.C
課后檢測(cè)
1.1 2.[0, ) 3 [ , ) 3.-1 4.B 5. f ( 1) f (1) 6.3 7.e 8.2
2 4

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