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定比點差法
1.定比分點
（1）若，則稱點M為線段AB的定比分點。
①當時，點M在線段AB上，稱點M為內分點；
②當時，點M在線段AB的延長線或反向延長線上，稱點M為外分點。
（2）定比分點公式：若點，，則點M的坐標為.
2.定比點差法的原理
若，，則稱M，N調和分割A，B，根據定義，那么A，B也調和分割M，N.
定理 設A，B為有心二次曲線上的兩點，若存在M，N兩點，滿足，，則一定有.
【證明】（1）設點因為，，所以由定比分點公式可得，，.將A，B的坐標代入曲線方程，得，得，于是，則.
（2）若點M為異于原點的定點，則點N在直線上。
3.定比點差法的基本題型
（1）求弦長被坐標軸分成的兩段的比值范圍；
（2）簡化證明過定點的直線問題的運算及定值問題。
已知橢圓，過定點的直線與橢圓交于A，B兩點（可重合），求的取值范圍.
【簡要答案】
【答案】設，則，將A，B的坐標代入橢圓方程，得，①－②得，可得，又因為，所以，因為，所以，所以.
已知橢圓，直線與y軸交于點P，與橢圓交于A，B兩個不同的點，若存在實數，使得，求m的取值范圍。
【簡要答案】
【答案】當時，，顯然成立；當時，，因為A，P，B三點共線，所以，所以.
由定比點差法可得，所以，結合可得且，可得。
過點的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足，求證：Q點總在某定直線上。
【簡要答案】
【答案】由定比點差法可知：點Q在直線上。
已知分別為有心二次曲線的左右焦點，P為曲線上任一點，直線分別交曲線于點A，B（異于點P），設，，求證：為定值.
【簡要答案】
【答案】設，由定比點差可知，于是，又，①+②得，同理，所以為定值。
已知橢圓，過點作橢圓的割線AB，C為B關于x軸的對稱點，求證：直線AC恒過定點。
【簡要答案】（1,0）
【答案】設，則，設AC與x軸的交點為，，，所以，，所以，，由定比點差法可知，所以，所以m=1，所以直線過定點（1,0）。
過橢圓的右焦點F的直線交其于A、B兩點，點，求證：。
【簡要答案】略
【答案】當直線AB與x軸重合或垂直時，顯然成立，當AB不與x軸重合或垂直時，設，點B關于x軸的對稱點為，令ON為的角分線，下面證明在N與M重合來證明。
根據角平分線定理，設，所以，則，，由定比點差可知，所以N與M重合，即。
已知橢圓，斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點A，B，設，直線PA與橢圓交于C，直線PB與橢圓交于D，若C，D和點共線，求k。
【簡要答案】1
【答案】設，，則，由定比點差可知，同理，故，由C，D，Q共線，可知，化簡可得，所以
練習題
1.已知點，橢圓上的兩點A,B滿足，則當m為何值時，點B的橫坐標的絕對值最大？
【簡要答案】5
【答案】由定比點差法可得，所以，，所以，所以，所以，所以m=5時符合題意。
2.過橢圓左焦點的直線與橢圓交于AB兩點，且AB的斜率為，延長AP，BP分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值。
【簡要答案】
【答案】設，，由定比點差可知，，
，所以。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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定比點差法
1.定比分點
（1）若，則稱點M為線段AB的定比分點。
①當時，點M在線段AB上，稱點M為內分點；
②當時，點M在線段AB的延長線或反向延長線上，稱點M為外分點。
（2）定比分點公式：若點，，則點M的坐標為.
2.定比點差法的原理
若，，則稱M，N調和分割A，B，根據定義，那么A，B也調和分割M，N.
定理 設A，B為有心二次曲線上的兩點，若存在M，N兩點，滿足，，則一定有.
【證明】（1）設點因為，，所以由定比分點公式可得，，.將A，B的坐標代入曲線方程，得，得，于是，則.
（2）若點M為異于原點的定點，則點N在直線上。
3.定比點差法的基本題型
（1）求弦長被坐標軸分成的兩段的比值范圍；
（2）簡化證明過定點的直線問題的運算及定值問題。
已知橢圓，過定點的直線與橢圓交于A，B兩點（可重合），求的取值范圍.
已知橢圓，直線與y軸交于點P，與橢圓交于A，B兩個不同的點，若存在實數，使得，求m的取值范圍。
過點的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足，求證：Q點總在某定直線上。
已知分別為有心二次曲線的左右焦點，P為曲線上任一點，直線分別交曲線于點A，B（異于點P），設，，求證：為定值.
已知橢圓，過點作橢圓的割線AB，C為B關于x軸的對稱點，求證：直線AC恒過定點。
過橢圓的右焦點F的直線交其于A、B兩點，點，求證：。
已知橢圓，斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點A，B，設，直線PA與橢圓交于C，直線PB與橢圓交于D，若C，D和點共線，求k。
練習題
1.已知點，橢圓上的兩點A,B滿足，則當m為何值時，點B的橫坐標的絕對值最大？
2.過橢圓左焦點的直線與橢圓交于AB兩點，且AB的斜率為，延長AP，BP分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值。
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