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垂徑定理與第三定義
【知識框架】
1.橢圓的垂徑定理
如圍，已知直線1與箱國E:帶+茶-1Q>6>0)相突于A、B丙
點，點M為線段AB的中點，O為原點，且koM,kAB存在，則
koM·kB=-答=2-1
62
2.橢圓的第三定義
如國，已知直線1過精固戶，帶+茶-1@>6>0)中心的且與箱圓
交于A,B兩點，P為橢圓上異于A,B的點，則
aa=g=2-1
3.雙曲線的垂徑定理
如國已知直線1與雙當線E:器-茶-1a>0,b>0相交于A,B
兩點，點M為線段AB的中點，O為原點，且koM,kAB存在，則
bow k1.
4.雙曲線的第三定義
如國，已知直線1過雙重線E:號-茶-1o>0,6>0中心的且與
橢圓交于A,B兩點，P為雙曲線上異于A,B的點，則
kpA·kpB==e2-1.
5.兩種特殊情形
(山)P為箱圓的切點，則oP太度=-經=2-1
-e2-1
(②)P為線段AB的中點(A、B分別在雙曲線的兩條漸近線上)，則koP·kAB=
【經典例題】
一垂徑定理
例1（★★☆☆☆）
如圖，已知楷圖若+答=1a>b>0)的右焦點為F1.0,且離心
率為號，△ABC的三個頂點都在橢圓上，設△ABC三條邊AB、
BC,CA的中點分別為D,E,M,三條邊所在直線的斜率分別
為，2，k3,且，k2,3均不為0，O為坐標原點，若直線
0D,0E,01的斜率之和為1，則名++
例2（★★女☆☆）
設直線-3劉十m=0m40與雙面線若-茶-1e>0,6>0)的兩條漸近鏡分別交于A.
B,若點P(m.O)滿足PA=PB引，則雙曲線的離心率為
例3（★★★☆☆）
如圖，已知箱圖導+答-1e>6>0)內有一點M1.2.過M
D
的兩條直線11,2分別與橢圓交于A.C和B.D兩點，且滿足
MN=MC,Bi=MD,(其中，入>0且入≠1)，若入變化
時，AB的斜率總為-，則橢圓的離心率為
A
B.5-1
2
c
D.
練3.1（★★★☆☆）
已知箱圓C:等+號-1，存在-直線1：y=4紅+m,稀圓C上有不同的兩點關于直線1對
稱，則m的取值范圍為
二：第三定義
例4（★☆☆☆☆）
已知橢圖專+答=1的左右頂點分別為A,B,點P為橢圖上不同于AB兩點的動點，若
直線PA斜率的取值范圍是[1,2]，則直線PB斜率的取值范圍是
A.〔-2.-1]
B-是-別
c.-1.-
D.--別
第2頁共5頁垂徑定理與第三定義
【知識框架】
1.橢圓的垂徑定理
如圍，已知直線1與箱國E:帶+茶-1Q>6>0)相突于A、B丙
點，點M為線段AB的中點，O為原點，且koM,kAB存在，則
koM·kB=-答=2-1
62
2.橢圓的第三定義
如國，已知直線1過精固戶，帶+茶-1@>6>0)中心的且與箱圓
交于A,B兩點，P為橢圓上異于A,B的點，則
aa=g=2-1
3.雙曲線的垂徑定理
如國已知直線1與雙當線E:器-茶-1a>0,b>0相交于A,B
兩點，點M為線段AB的中點，O為原點，且koM,kAB存在，則
bow k1.
4.雙曲線的第三定義
如國，已知直線1過雙重線E:號-茶-1o>0,6>0中心的且與
橢圓交于A,B兩點，P為雙曲線上異于A,B的點，則
kpA·kpB==e2-1.
5.兩種特殊情形
(山)P為箱圓的切點，則oP太度=-經=2-1
-e2-1
(②)P為線段AB的中點(A、B分別在雙曲線的兩條漸近線上)，則koP·kAB=
【經典例題】
一垂徑定理
例1（★★☆☆☆）
如國，已知指圖號+素=1e>6>0)的右焦點為F1.0,且離心
率為號，△ABC的三個頂點都在橢圓上，設△ABC三條邊AB、
BC,CA的中點分別為D,E,M,三條邊所在直線的斜率分別
為1，k2,3,且1，k2,均不為0，O為坐標原點，若直線
0D,0E,01的斜率之和為1，則片+局+名
【簡要答案】一號
【解答】由橢圓的垂徑定理知：kAn kop=-62-1=-圣，所以從g=-考oD
KAB
同里：c=號o:動=青ko,所以店+后+房號ko+oE+o)=號
例2（★★女☆☆）
設直鏡1-初+m=0加≠0與雙曲線器-帶-1a>0,>0)的兩案濟近線分別交于A,
B,若點P(m.O)滿足PA=PB,則雙曲線的離心率為
【簡要谷案】
【解答】設線段AB的中點為M,如圖，因為PA=PB,所以PM⊥AB
所以kPM=-=-3,所以直線PM的方程為y=-3(x-m)
KAB
4m
x-3y+m=0
由
可得M(g嬰)，所以kow=五=是
5
y=-3(x-m)
5
由垂徑定理得：kAB koM=e2-l,所以e=y5
2
例3（★★★☆☆）
如圖，已知箱圓號+茶-1a>6>0)內有-點M1.2.過山
的兩條直線11，l2分別與橢圓交于A.C和B.D兩點，且滿足
MN=XM乙，BM=XMD,(其中，入>0且入≠1)，若入變化
時，AB的斜率總為-號，則橢圓的離心率為
A
B.V5-1
C.②
2
D.V3
2
2
【簡要答案】D
第2頁共7頁

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