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點差法
1、點差法的原理
設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。
2.有心二次曲線的點差法
（1）設點：若，是橢圓上不重合的兩點，則，
（2）作差：兩式相減得，
（3）表斜率：是直線的斜率，是線段的中點，化簡可得，
注意：在雙曲線中有適用條件
當中點滿足時，中點弦不存在。
3.拋物線中的點差法
已知拋物線，其任意弦AB的中點為，將點代入曲線方程，得，兩式作差，得，式子兩邊同除以，得。
4.點差法的基本題型
（1）求以定點為中點的弦所在直線的方程；
（2）過定點的弦和平行弦的中點軌跡問題；
（3）求與中點弦有關的圓錐曲線的問題；
與中點有關的集合特征：中垂線、等腰三角形、平行四邊形等。
一、求直線問題
已知橢圓的一個頂點為，離心率，直線交橢圓于兩點，如果的重心恰好為橢圓的右焦點，直線方程為________．
【簡要答案】
【答案】
由題意得，又，解得．
∴橢圓的方程為．∴橢圓右焦點的坐標為，
設線段的中點為，
由三角形重心的性質知，從而，
解得，所以點Q的坐標為．
設，則，且，
以上兩式相減得，
∴，
故直線的方程為，即．
答案：
已知雙曲線，過能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，且B為線段PQ的中點？
【簡要答案】不存在
【答案】假設直線存在，由點差法，所以，可得，此時聯立方程得，所以，矛盾。
已知拋物線的一條弦恰好以為中點，則弦所在直線的方程是（ ）
A. B. C. D.
【簡要答案】B
【答案】由題意得：設，都在拋物線上
，直線還經過，
所以直線方程為。
已知是拋物線的焦點,是上的兩個點,線段的中點為,則的面積等于 ．
【簡要答案】2
【解析】:代入結論可得，，直線AB方程為，面積為2。
二、求軌跡問題
已知橢圓的方程是.設斜率為的直線,交橢圓于 兩點,的中點為.證明:當直線平行移動時,動點在一條過原點的定直線上.
【簡要答案】略
【答案】利用點差法可得：，即，即在過原點的定直線上。
已知橢圓的弦AB所在的直線過點，求AB的中點F的軌跡方程。
【簡要答案】
【答案】設，①當AB斜率存在時，由點差法可得，即（），整理得（）；②當AB斜率不存在時，，此時，滿足方程，綜上F的軌跡為。
設橢圓方程為:,過點的直線交橢圓于點,是坐標原點,點滿足,當繞點旋轉時，求動點的軌跡方程。
【簡要答案】
【答案】設，①當AB斜率存在時，由點差法可得，即（），整理得（）；②當AB斜率不存在時，，此時，滿足方程，綜上P的軌跡為。
三、與中點有關的圓錐曲線問題
已知橢圓，點為左焦點，點為下頂點，平行于的直線交橢圓于兩點，且的中點為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【簡要答案】A
【答案】設A（，），B（，），又的中點為，則
又因為A、B在橢圓上所以
兩式相減，得：
∵,
∴，∴，平方可得, ∴=,，
故選A.
已知雙曲線為該雙曲線的右焦點，過的直線交該雙曲線于兩點，且的中點，則該雙曲線的方程為 .
【簡要答案】：.
【答案】中點弦問題一般采用點差法.，
設兩式作差得
即
，所以雙曲線方程為.
已知為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于兩點，為的中點，為坐標原點.若△是以為底邊的等腰三角形，且△外接圓的面積為，則橢圓的長軸長為___________.
【簡要答案】
【答案】由△外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.
∵△是以為底邊的等腰三角形，設，則，
∴，得，∴或.
不妨設點在軸下方，由△是以為底邊的等腰三角形，知：或
又根據點差法可得，有，而此時焦點在軸上，舍去)∵為橢圓的右焦點，
∴，故橢圓的長軸長為.故答案為：.
已知直線：與橢圓：交于，兩點.
（1）若直線過橢圓的左焦點，求；
（2）線段的垂直平分線與軸交于點，求.
【簡要答案】（1）；（2）.
【答案】（1）由題意，橢圓，可得，
則，左焦點，
則直線的方程為，設，，
聯立方程，整理得，
所以，且，，
所以.
（2）設，，的中點，
由題知線段的垂直平分線方程為，直線不平行于軸，即，由，兩式相減整理得 ①，
因為是的中點，所以，，
因為，所以，
所以①變形為，解得，所以，
代入直線，可得，解得.
練習題
1.已知橢圓的右焦點為,過點的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為,則的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由結論可得：，得，，選D。
2.已知雙曲線的中心為原點,是的焦點,過的直線與相交于兩點,且的中點為,則的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由結論可得：，得，，選B。
3．橢圓的一條弦被點平分，則此弦所在的直線方程是
A． B． C． D．
【解析】設過點A的直線與橢圓相交于兩點，E（x1，y1），
F（x2，y2），則有①，②，
①﹣②式可得：
又點A為弦EF的中點，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0即得kEF=
∴過點A且被該點平分的弦所在直線的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故選D．
4．已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由題設，則線段的中點為，由三角形重心的性質知，即，解得：即代入直線，得①.
又B為線段的中點，則，
又為橢圓上兩點，，
以上兩式相減得，
所以，化簡得②
由①②及，解得：，即離心率. 故選：C.
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點差法
1、點差法的原理
設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。
2.有心二次曲線的點差法
（1）設點：若，是橢圓上不重合的兩點，則，
（2）作差：兩式相減得，
（3）表斜率：是直線的斜率，是線段的中點，化簡可得，
注意：在雙曲線中有適用條件
當中點滿足時，中點弦不存在。
3.拋物線中的點差法
已知拋物線，其任意弦AB的中點為，將點代入曲線方程，得，兩式作差，得，式子兩邊同除以，得。
4.點差法的基本題型
（1）求以定點為中點的弦所在直線的方程；
（2）過定點的弦和平行弦的中點軌跡問題；
（3）求與中點弦有關的圓錐曲線的問題；
與中點有關的集合特征：中垂線、等腰三角形、平行四邊形等。
一、求直線問題
已知橢圓的一個頂點為，離心率，直線交橢圓于兩點，如果的重心恰好為橢圓的右焦點，直線方程為________．
已知雙曲線，過能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，且B為線段PQ的中點？
已知拋物線的一條弦恰好以為中點，則弦所在直線的方程是（ ）
A. B. C. D.
已知是拋物線的焦點,是上的兩個點,線段的中點為,則的面積等于 ．
二、求軌跡問題
已知橢圓的方程是.設斜率為的直線,交橢圓于 兩點,的中點為.證明:當直線平行移動時,動點在一條過原點的定直線上。
已知橢圓的弦AB所在的直線過點，求AB的中點F的軌跡方程。
設橢圓方程為:,過點的直線交橢圓于點,是坐標原點,點滿足,當繞點旋轉時，求動點的軌跡方程。
三、與中點有關的圓錐曲線問題
已知橢圓，點為左焦點，點為下頂點，平行于的直線交橢圓于兩點，且的中點為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
已知雙曲線為該雙曲線的右焦點，過的直線交該雙曲線于兩點，且的中點，則該雙曲線的方程為 .
已知為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于兩點，為的中點，為坐標原點.若△是以為底邊的等腰三角形，且△外接圓的面積為，則橢圓的長軸長為___________.
已知直線：與橢圓：交于，兩點.
（1）若直線過橢圓的左焦點，求；
（2）線段的垂直平分線與軸交于點，求.
練習題
1.已知橢圓的右焦點為,過點的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為,則的方程為 ( )
A. B. C. D.
2.已知雙曲線的中心為原點,是的焦點,過的直線與相交于兩點,且的中點為,則的方程為 ( )
A. B. C. D.
3．橢圓的一條弦被點平分，則此弦所在的直線方程是
A． B． C． D．
4．已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
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