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素養(yǎng)提升課(五)　連接體問題、臨界問題、動力學(xué)圖像問題
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．學(xué)會處理動力學(xué)中的連接體問題。 2．學(xué)會處理動力學(xué)中的臨界問題。 3．學(xué)會處理動力學(xué)中的圖像問題。
　動力學(xué)中的連接體問題
1．連接體
兩個或兩個以上相互作用的物體組成的具有相同加速度的整體叫連接體。如幾個物體疊放在一起，或并排擠放在一起，或用繩子、細(xì)桿等連在一起。
2．處理連接體問題的方法
(1)整體法：把多個物體組成的系統(tǒng)作為一個研究對象來分析的方法。不必考慮系統(tǒng)內(nèi)力的影響，只考慮系統(tǒng)受到的外力。
(2)隔離法：把系統(tǒng)中的各個部分(或某一部分)隔離，作為一個單獨的研究對象來分析的方法。此時系統(tǒng)的內(nèi)力就有可能成為該研究對象的外力，在分析時要特別注意。
3．整體法與隔離法的選用
(1)求解各部分加速度都相同的連接體問題時，要優(yōu)先考慮整體法；如果還需要求物體之間的作用力，再用隔離法。
(2)求解連接體問題時，隨著研究對象的轉(zhuǎn)換，往往兩種方法交叉運用．一般的思路是先用其中一種方法求加速度，再用另一種方法求物體間的作用力或系統(tǒng)所受合力。
(3)無論運用整體法還是隔離法，解題的關(guān)鍵還是在于對研究對象進(jìn)行正確的受力分析。
【典例1】　如圖所示，A、B、C三個物體以輕質(zhì)細(xì)繩1、2相連，mA＝2 kg，mB＝3 kg，mC＝1 kg，A、C與水平桌面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.25，不計繩2與滑輪間的摩擦，取g＝10 m/s2，求：
(1)系統(tǒng)的加速度大小。
(2)繩1和繩2中的張力大小。
[思路點撥]　解此題應(yīng)抓住以下兩點
(1)物體A、B、C的加速度大小相等。
(2)物體A、C與水平桌面間存在摩擦力，且動摩擦因數(shù)相同，所以A、C可以看作一個“小整體”。
[解析]　設(shè)系統(tǒng)的加速度大小為a，繩1的張力大小為F1，繩2的張力大小為F2。
對物體C由牛頓第二定律得
F1－μmCg＝mCa
對A、C整體由牛頓第二定律得
F2－μ(mA＋mC)g＝(mA＋mC)a
對物體B由牛頓第二定律得
mBg－F2＝mBa
解得：a＝3.75 m/s2，F(xiàn)1＝6.25 N，F(xiàn)2＝18.75 N。
[答案]　(1)3.75 m/s2　(2)6.25 N　18.75 N
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(2022·全國乙卷)如圖，一不可伸長輕繩兩端各連接一質(zhì)量為m的小球，初始時整個系統(tǒng)靜置于光滑水平桌面上，兩球間的距離等于繩長L。一大小為F的水平恒力作用在輕繩的中點，方向與兩球連線垂直。當(dāng)兩球運動至二者相距L時，它們加速度的大小均為(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
A　[當(dāng)兩球運動至二者相距時，二者連線與輕繩之間夾角的余弦值cos θ＝0.6。設(shè)此時輕繩中拉力大小為F1，對輕繩的中點受力分析得F－2F1sin θ＝m繩a，又輕繩質(zhì)量近似為0，解得F1＝。對質(zhì)量為m的小球，由牛頓第二定律有F1＝ma，解得a＝，選項A正確。]
2．(多選)(2022·江西省銅鼓中學(xué)高一檢測)如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于傾角為θ的斜面上，被一個豎直擋板擋住。現(xiàn)用一個水平力F拉斜面，使斜面在水平面上做加速度為a的勻加速直線運動，重力加速度為g；忽略一切摩擦，以下說法正確的是(　　)
A．斜面對小球的彈力為mg cos θ
B．斜面和豎直擋板對小球彈力的合力為m
C．若增大加速度a，斜面對小球的彈力一定增大
D．若增大加速度a，豎直擋板對小球的彈力一定增大
BD　[以小球為研究對象，分析受力情況，小球受到重力mg、豎直擋板對球的彈力N和斜面的彈力F1，由題知斜面的加速度大小為a，根據(jù)牛頓第二定律得，豎直方向F1cos θ＝mg，水平方向N－F1sin θ＝ma，聯(lián)立解得F1＝，與加速度無關(guān)，A、C錯誤；根據(jù)N＝mg tan θ＋ma可知，若增大加速度a，豎直擋板對小球的彈力一定增大，D正確；小球所受重力mg、豎直擋板對球的彈力N和斜面的彈力F1的合力為ma，即ma與重力的合力和N與F1的合力等大反向，斜面和豎直擋板對小球彈力的合力為m， B正確。]
　動力學(xué)中的臨界問題
1．題型概述
在動力學(xué)問題中出現(xiàn)某種物理現(xiàn)象(或物理狀態(tài))剛好要發(fā)生或剛好不發(fā)生的轉(zhuǎn)折狀態(tài)即臨界問題。問題中出現(xiàn)“最大”“最小”“剛好”“恰能”等關(guān)鍵詞語，一般都會涉及臨界問題，隱含相應(yīng)的臨界條件。
2．臨界問題的常見類型及臨界條件
(1)接觸與分離的臨界條件：兩物體相接觸(或分離)的臨界條件是彈力為零且分離瞬間的加速度、速度分別相等。
(2)相對靜止與相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。
(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子斷與不斷的臨界條件是實際張力等于它所能承受的最大張力；繩子松弛的臨界條件是繩上的張力恰好為零。
(4)出現(xiàn)加速度最值與速度最值的臨界條件：當(dāng)物體在變化的外力作用下運動時，其加速度和速度都會不斷變化，當(dāng)所受合力最大時，具有最大加速度；當(dāng)所受合力最小時，具有最小加速度。當(dāng)出現(xiàn)加速度為零時，物體處于臨界狀態(tài)，對應(yīng)的速度達(dá)到最大值或最小值。
3．解題關(guān)鍵
正確分析物體的受力情況及運動情況，對臨界狀態(tài)進(jìn)行判斷與分析，挖掘出隱含的臨界條件。
【典例2】　如圖所示，一質(zhì)量為m的光滑小球，用輕繩連接后，掛在三角劈的頂端，繩與斜面平行，劈置于光滑水平面上，斜面與水平面夾角為θ＝30°，則：
(1)劈以加速度a1＝水平向左加速運動時，繩的拉力為多大？
(2)劈的加速度至少為多大時小球?qū)ε鼰o壓力？此時加速度方向如何？
[解析]　當(dāng)劈水平向左的加速度較小時，小球?qū)ε袎毫ψ饔茫?dāng)劈水平向左的加速度較大時，小球?qū)㈦x開斜面。
(1)對小球進(jìn)行受力分析如圖所示。
在水平方向上有
FT1cos θ－FN1sin θ＝ma1
在豎直方向上有
FT1sin θ＋FN1cos θ＝mg
由以上兩式得FT1＝mg。
(2)對小球進(jìn)行受力分析如圖所示。
由牛頓第二定律得小球?qū)ε鼰o壓力時
FT2cos θ＝ma2
FT2sin θ＝mg
由以上兩式得a2＝g，方向水平向左。
[答案]　(1)mg　(2)g，方向水平向左
[母題變式]　
本題中若劈的加速度為a3＝2g且水平向左加速運動時，繩的拉力又為多大？
提示：FT3＝mg
　解答臨界問題的三種方法
(1)極限法：把問題推向極端，分析在極端情況下可能出現(xiàn)的狀態(tài)，從而找出臨界條件。
(2)假設(shè)法：有些物理過程沒有出現(xiàn)明顯的臨界線索，一般用假設(shè)法，即假設(shè)出現(xiàn)某種臨界狀態(tài)，分析物體的受力情況與題設(shè)是否相同，然后再根據(jù)實際情況處理。
(3)數(shù)學(xué)法：將物理方程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，如二次函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等，然后根據(jù)數(shù)學(xué)中求極值的方法，求出臨界條件。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(2022·北京朝陽高一期中)如圖所示，質(zhì)量為m＝2.5 kg的一只長方體形空鐵箱在水平拉力F作用下沿水平面向右勻加速運動，鐵箱與水平面間的動摩擦因數(shù)μ1＝0.3。這時鐵箱內(nèi)一個質(zhì)量為m′＝0.5 kg 的木塊恰好能靜止在后壁上。木塊與鐵箱內(nèi)壁間的動摩擦因數(shù)μ2＝0.25。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．木塊受到的摩擦力大小為＝2.5 N
B．木塊對鐵箱壓力的大小N＝15 N
C．鐵箱與地面的摩擦力為＝7.5 N
D．水平拉力大小F＝129 N
D　[木塊恰好能靜止在后壁上，在豎直方向由平衡條件得木塊受到的摩擦力大小為＝mg＝0.5×10 N＝5 N，A錯誤；由滑動摩擦力公式可知木塊對鐵箱壓力的大小為N＝＝ N＝20 N，B錯誤；鐵箱與地面的摩擦力為＝μ1(M＋m)g＝0.3×(2.5＋0.5)×10 N＝9 N，C錯誤；對木塊在水平方向上由牛頓第二定律得N＝ma，對整體由牛頓第二定律得＝(M＋m)a，解得F2＝129 N，D正確。]
4．如圖所示，矩形盒內(nèi)用兩根細(xì)線固定一個質(zhì)量為m＝1.0 kg的均勻小球，a線與水平方向成53°角，b線水平。兩根細(xì)線所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N。(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)當(dāng)該系統(tǒng)沿豎直方向勻加速上升時，為保證細(xì)線不被拉斷，加速度可取的最大值。
(2)當(dāng)該系統(tǒng)沿水平方向向右勻加速運動時，為保證細(xì)線不被拉斷，加速度可取的最大值。
[解析]　(1)豎直向上勻加速運動時小球受力如圖所示，當(dāng)a線拉力為15 N時，由牛頓第二定律得
豎直方向有Fmsin 53°－mg＝ma
水平方向有Fmcos 53°＝Fb
解得Fb＝9 N，此時加速度有最大值a＝2 m/s2。
(2)水平向右勻加速運動時，由牛頓第二定律得
豎直方向有Fasin 53°＝mg
水平方向有Fb－Facos 53°＝ma
解得Fa＝12.5 N
當(dāng)Fb＝15 N時，加速度最大，有a＝7.5 m/s2。
[答案]　(1)2 m/s2　(2)7.5 m/s2
　動力學(xué)中的圖像問題
1．常見的圖像形式
在動力學(xué)與運動學(xué)問題中，常見、常用的圖像是位移圖像(x-t圖像)、速度圖像(v-t圖像)和力的圖像(F-t圖像)等，這些圖像反映的是物體的運動規(guī)律、受力規(guī)律，而絕非代表物體的運動軌跡。
v-t圖像 (屬于已知運動求受力) (1)根據(jù)圖像確定物體各段的加速度大小和方向 (2)弄清每段與物體運動的對應(yīng)關(guān)系 (3)對各段進(jìn)行受力分析 (4)用牛頓第二定律求解
F-t圖像 (屬于已知受力求運動) (1)根據(jù)圖像結(jié)合物體運動情況明確物體在各時間段的受力情況 (2)利用牛頓第二定律求出加速度 (3)利用運動學(xué)公式求其他運動量
a-F圖像 圖像的力F是物體受到的某一個力的變化對物體加速度的影響， (1)對物體進(jìn)行全面受力分析 (2)根據(jù)牛頓第二定律求其他未知力
2．圖像問題的分析方法
遇到帶有物理圖像的問題時，要認(rèn)真分析圖像，先從它的物理意義、點、線段、斜率、截距、交點、拐點、面積等方面了解圖像給出的信息，再利用共點力平衡、牛頓運動定律及運動學(xué)公式去解題。
【典例3】　如圖甲所示，質(zhì)量為m＝2 kg的物體在水平面上向右做直線運動。過a點時給物體作用一個水平向左的恒力F并開始計時，選水平向右為速度的正方向，通過速度傳感器測出物體的瞬時速度，所得v-t圖像如圖乙所示，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)力F的大小和物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ；
(2)10 s末物體離a點的距離。
[思路點撥]　①恒力F的方向不變，而摩擦力的方向隨速度方向的改變而改變。②v-t圖像的斜率表示物體的加速度。③v-t圖像與t軸所圍面積表示物體的位移。
[解析]　 (1)設(shè)物體向右做勻減速直線運動的加速度大小為a1，則由v-t圖像得a1＝2 m/s2
根據(jù)牛頓第二定律，有F＋μmg＝ma1
設(shè)物體向左做勻加速直線運動的加速度大小為a2，
則由v-t圖像得a2＝1 m/s2
根據(jù)牛頓第二定律，有F－μmg＝ma2
聯(lián)立解得F＝3 N，μ＝0.05。
(2)設(shè)10 s末物體離a點的距離為d，d應(yīng)為v-t圖像與橫軸所圍的面積，則
d＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m
負(fù)號表示物體在a點左邊。
[答案]　(1)3 N　0.05　(2)在a點左邊2 m處
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
5．(多選)如圖甲所示，物體原來靜止在水平面上，用一水平力F拉物體，在F從0開始逐漸增大的過程中，物體先靜止后又做變加速運動，其加速度隨外力F變化的圖像如圖乙所示，根據(jù)圖乙中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)可計算出(g＝10 m/s2)(　　)
A．物體的質(zhì)量為1 kg
B．物體的質(zhì)量為2 kg
C．物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.3
D．物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.5
BC　[由題圖乙可知F1＝7 N時，a1＝0.5 m/s2，F(xiàn)2＝14 N時，a2＝4 m/s2，由牛頓第二定律得：F1－μmg＝ma1，F(xiàn)2－μmg＝ma2，解得m＝2 kg，μ＝0.3，故選項B、C正確。]
6．質(zhì)量m＝2 kg、初速度v0＝8 m/s的物體沿著粗糙水平地面向右運動，物體與地面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.1，同時物體還受到一個如圖所示的隨時間變化的水平拉力F的作用，設(shè)水平向右為拉力的正方向，且物體在t＝0時刻開始運動，g取10 m/s2，則以下結(jié)論正確的是(　　)
A．0～1 s內(nèi)，物體的加速度大小為2 m/s2
B．1～2 s內(nèi)，物體的加速度大小為2 m/s2
C．0～1 s內(nèi)，物體的位移為7 m
D．0～2 s內(nèi)，物體的總位移為10 m
B　[0～1 s內(nèi)，物體的加速度大小a1＝＝ m/s2＝4 m/s2，A錯誤；1～2 s內(nèi)物體的加速度大小a2＝＝ m/s2＝2 m/s2，B正確；由題可得物體運動的v-t圖像，如圖所示，故0～1 s內(nèi)物體的位移為x1＝ m＝6 m，C錯誤；0～2 s內(nèi)物體的總位移x＝x1＋x2＝[6＋] m＝11 m，D錯誤。故選B。]素養(yǎng)提升課(六)　傳送帶模型和板—塊模型
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．知道傳送帶模型的特點，掌握應(yīng)用動力學(xué)角度解決傳送帶模型的方法。 2．知道板—塊模型的特點，掌握應(yīng)用動力學(xué)角度解決板—塊模型的方法。
　傳送帶模型
1．傳送帶模型分類
傳送帶模型按放置方向分為水平傳送帶和傾斜傳送帶兩種，如圖所示。
2．水平傳送帶
(1)當(dāng)水平傳送帶傳送物體時，應(yīng)特別注意摩擦力的突變和物體運動狀態(tài)的變化。摩擦力的突變，常常導(dǎo)致物體的受力情況和運動性質(zhì)的突變。
(2)滑動摩擦力存在于發(fā)生相對運動的物體之間，因此兩物體的速度達(dá)到相同時，滑動摩擦力突變?yōu)榱恪?br/>3．傾斜傳送帶
(1)當(dāng)傳送帶傾斜時，除了要注意摩擦力的突變和物體運動狀態(tài)的變化外，還要注意物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ和傳送帶傾斜角度θ對受力的影響，從而正確判斷物體的速度和傳送帶速度相等時物體的運動性質(zhì)。
(2)傾斜傳送帶問題的兩種類型。(物體從靜止開始，傳送帶勻速運動且足夠長)。
項目 條件 運動性質(zhì)
向上傳送物體 μ>tan θ 物體先沿傳送帶做向上的加速直線運動，速度相同以后二者相對靜止，一起做勻速運動
μ＝tan θ 物體保持靜止
μ向下 傳送 物體 μ≥tan θ 物體先相對傳送帶向上滑，做初速度為零的勻加速[a＝g(sin θ＋μcos θ)]直線運動，速度相同后二者相對靜止，一起做勻速運動
μ命題角度1　水平傳送帶模型
【典例1】　如圖所示，水平傳送帶以不變的速度v＝10 m/s向右運動，將工件(可視為質(zhì)點)輕輕放在傳送帶的左端，由于摩擦力的作用，工件做勻加速運動，經(jīng)過時間t＝2 s，速度達(dá)到v；再經(jīng)過時間t′＝4 s，工件到達(dá)傳送帶的右端，g取10 m/s2，求：
(1)工件在水平傳送帶上滑動時的加速度的大小；
(2)工件與水平傳送帶間的動摩擦因數(shù)；
(3)傳送帶的長度。
[解析]　(1)工作的加速度a＝
解得a＝5 m/s2。
(2)設(shè)工件的質(zhì)量為m，則由牛頓第二定律得μmg＝ma
所以動摩擦因數(shù)μ＝＝＝0.5。
(3)工件加速運動距離x1＝t
工件勻速運動距離x2＝vt′
工件從左端到達(dá)右端通過的距離x＝x1＋x2
聯(lián)立解得x＝50 m，此即為傳送帶的長度。
[答案]　(1)5 m/s2　(2)0.5　(3)50 m
命題角度2　傾斜傳送帶模型
【典例2】　(2022·福建福州八縣一中聯(lián)考)如圖所示，傳送帶與水平地面夾角θ＝37°，從A到B長度為L＝10.25 m，傳送帶以v0＝10 m/s的速率逆時針轉(zhuǎn)動。在傳送帶上端A無初速地放一個質(zhì)量為m＝0.5 kg的黑色煤塊，它與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5。煤塊在傳送帶上經(jīng)過會留下黑色痕跡。已知sin 37°＝0.6，g＝10 m/s2，求：
(1)當(dāng)煤塊與傳送帶速度相等時，它們能否相對靜止；
(2)煤塊從A到B的時間。
[解析]　(1)煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，當(dāng)煤塊與傳送帶速度相等時，對煤塊分析有
mgsin 37°＞μmgcos 37°，所以它們不能相對靜止。
(2)煤塊剛放上時，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度為
a1＝＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2
加速過程中t1＝＝1 s，
x1＝＝5 m
達(dá)到v0后，煤塊受到沿斜面向上的摩擦力，其加速度為
a2＝＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2
x2＝L－x1＝5.25 m
x2＝v0t2＋
t2＝0.5 s(t2＝－10.5 s舍去)。
煤塊從A到B的時間為t＝t1＋t2＝1.5 s。
[答案]　(1)不能　(2)1.5 s
　傳送帶模型的求解思路
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖所示，一條足夠長的淺色水平傳送帶自左向右勻速運行。現(xiàn)將一個木炭包無初速度地放在傳送帶的最左端，木炭包在傳送帶上將會留下一段黑色的徑跡。下列說法中正確的是(　　)
A．黑色的徑跡將出現(xiàn)在木炭包的左側(cè)
B．木炭包的質(zhì)量越大，徑跡的長度越短
C．傳送帶運動的速度越大，徑跡的長度越短
D．木炭包與傳送帶間動摩擦因數(shù)越大，徑跡的長度越短
D　[剛放上木炭包時，木炭包的速度小，傳送帶的速度大，木炭包相對傳送帶向后滑動，所以黑色的徑跡出現(xiàn)在木炭包的右側(cè)，所以A錯誤；木炭包與傳送帶共速所用時間t＝，木炭包的位移x1＝t＝，傳送帶運動的位移x2＝vt＝，徑跡長L＝x2－x1＝，由此可知選項D正確，B、C錯誤。]
2．(多選)如圖甲所示，足夠長的傳送帶與水平面夾角為θ，在傳送帶上某位置輕輕放置一小木塊，小木塊與傳送帶間動摩擦因數(shù)為μ，小木塊速度隨時間變化關(guān)系如圖乙所示，v0、t0已知，則(重力加速度大小為g)(　　)
A．傳送帶一定逆時針轉(zhuǎn)動
B．μ＝tan θ＋
C．傳送帶的速度大于v0
D．t0后木塊的加速度為2g sin θ－
AD　[若傳送帶順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)木塊下滑時(mg sin θ>μmg cos θ)，將一直勻加速到底端；當(dāng)木塊上滑時(mg sin θ<μmg cos θ)，先勻加速運動，在速度相等后將勻速運動，兩種情況均不符合題圖乙，故傳送帶是逆時針轉(zhuǎn)動，選項A正確。在0～t0內(nèi)，滑動摩擦力向下，木塊勻加速下滑，a1＝g sin θ＋μg cos θ，由題圖乙可知a1＝，則μ＝－tan θ，選項B錯誤。當(dāng)木塊的速度等于傳送帶的速度時，木塊所受的摩擦力變成沿傳送帶向上，故傳送帶的速度等于v0，選項C錯誤。速度相等后木塊的加速度a2＝g sin θ－μg cos θ，代入μ值得a2＝2g sin θ－，選項D正確。]
　板—塊模型
1．模型概述：一個物體在另一個物體上，兩者之間有相對運動。問題涉及兩個物體、多個過程，兩物體的運動時間、速度、位移間有一定的關(guān)系。
2．滑塊—滑板模型的三個基本關(guān)系
加速度 關(guān)系 滑塊與滑板保持相對靜止，可以用“整體法”求出它們一起運動的加速度
如果滑塊與滑板之間發(fā)生相對運動，應(yīng)采用“隔離法”分別求出滑塊與滑板運動的加速度，應(yīng)注意發(fā)掘滑塊與滑板是否發(fā)生相對運動等隱含條件
速度 關(guān)系 滑塊與滑板保持相對靜止時，二者速度相同，分析清楚此時的摩擦力作用情況
滑塊與滑板之間發(fā)生相對運動時，二者速度不相同，明確滑塊與滑板的速度關(guān)系，從而確定滑塊與滑板受到的摩擦力情況，應(yīng)注意摩擦力發(fā)生突變的情況
位移關(guān)系 滑塊和滑板向同一方向運動時，它們的相對滑行距離等于它們的位移之差
滑塊和滑板向相反方向運動時，它們的相對滑行距離等于它們的位移之和
【典例3】　如圖所示，質(zhì)量M＝8 kg的長木板放在光滑的水平面上，在長木板左端加一水平恒定推力F＝8 N，當(dāng)長木板向右運動的速度達(dá)到1.5 m/s時，在長木板前端輕輕地放上一個大小不計、質(zhì)量為m＝2 kg的小物塊，物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，長木板足夠長。(g取10 m/s2)
(1)小物塊放在長木板上后，小物塊及長木板的加速度各為多大；
(2)經(jīng)多長時間兩者達(dá)到相同的速度；
(3)從小物塊放在長木板上開始，經(jīng)過t＝1.5 s小物塊的位移大小為多少。
[思路點撥]　解此題注意以下三點：
(1)“長木板足夠長”說明小物塊不會滑出木板。
(2)判斷“兩者達(dá)到相同的速度”后小物塊的運動情況。
(3)明確“從小物塊放在長木板上開始，經(jīng)過t＝1.5 s”內(nèi)小物塊的運動情況。
[解析]　(1)小物塊的加速度am＝μg＝2 m/s2
長木板的加速度aM＝＝0.5 m/s2。
(2)由a1t＝v0＋aMt可得t＝1 s。
(3)在開始1 s內(nèi)小物塊的位移x1＝amt2＝1 m
1 s末速度為v＝amt＝2 m/s
在接下來的0.5 s內(nèi)小物塊與長木板相對靜止，一起做加速運動且加速度為a＝＝0.8 m/s2
這0.5 s內(nèi)的位移為x2＝vt＋at2＝1.1 m
通過的總位移x＝x1＋x2＝2.1 m。
[答案]　(1)2 m/s2　0.5 m/s2　(2)1 s　(3)2.1 m
　解決板—塊模型的思維方法
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．如圖所示，物塊A、木板B的質(zhì)量均為m＝10 kg，不計A的大小，木板B長L＝3 m。開始時A、B均靜止。現(xiàn)使A以水平初速度v0從B的最左端開始運動。已知A與B、B與水平面之間的動摩擦因數(shù)分別為μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10 m/s2。
(1)求物塊A和木板B運動過程中的加速度的大小；
(2)若A剛好沒有從B上滑下來，求A的初速度v0的大小。
[解析]　(1)分別對物塊A、木板B進(jìn)行受力分析可知，A在B上向右做勻減速運動，設(shè)其加速度大小為a1，則有
a1＝＝3 m/s2
木板B向右做勻加速運動，設(shè)其加速度大小為a2，則有
a2＝＝1 m/s2。
(2)由題意可知，A剛好沒有從B上滑下來，則A滑到B最右端時的速度和B的速度相同，設(shè)為v，則有
時間關(guān)系t＝＝
位移關(guān)系L＝－
解得v0＝2 m/s。
[答案]　(1)3 m/s2　1 m/s2　(2)2 m/s素養(yǎng)提升練(五)　連接體問題、臨界問題、動力學(xué)圖像問題
一、選擇題
1．某運送物資的列車由40節(jié)質(zhì)量相等的車廂組成，在車頭牽引下，列車沿平直軌道勻加速行駛時，第2節(jié)對第3節(jié)車廂的牽引力為F。若每節(jié)車廂所受摩擦力、空氣阻力均相等，則倒數(shù)第3節(jié)對倒數(shù)第2節(jié)車廂的牽引力為(　　)
A．F　　　　　　　　 B．
C． D．
2．(多選)(2022·河北衡水高一檢測)汽車運送圓柱形工件的示意圖如圖所示，圖中P、Q、N是固定在車體上的壓力傳感器。假設(shè)圓柱形工件表面光滑，汽車靜止時，Q傳感器示數(shù)為零，P、N傳感器示數(shù)不為零。汽車以加速度a向左勻加速啟動，重力加速度g＝10 m/s2，下列情況說法正確的是(tan 15°＝0.27)(　　)
A．當(dāng)a＝2 m/s2時，P有示數(shù)，Q無示數(shù)
B．當(dāng)a＝2 m/s2時，P有示數(shù)，Q有示數(shù)
C．當(dāng)a＝3 m/s2時，P有示數(shù)，Q有示數(shù)
D．當(dāng)a＝3 m/s2時，P無示數(shù)，Q有示數(shù)
3．如圖所示，輕彈簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物塊P，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)用一豎直向上的力F作用在P上，使其向上做勻加速直線運動。以x表示P離開靜止位置的位移，在彈簧恢復(fù)原長前，下列表示F和x之間關(guān)系的圖像可能正確的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
4．(多選)(2022·浙江余姚中學(xué)高一期中)如圖所示，質(zhì)量均為M的物塊A、B疊放在光滑水平桌面上，質(zhì)量為m的物塊C用跨過輕質(zhì)光滑定滑輪的輕繩與B連接，且輕繩與桌面平行，A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A．物塊A受到的摩擦力大小可能為μMg
B．物塊B受到的拉力大小為mg
C．若物塊A、B未發(fā)生相對滑動，輕繩對B的拉力大小為F＝
D．若增大C的質(zhì)量，則物塊A的加速度必然增加
5．(2022·福建省廈門集美中學(xué)高一期中)A、B兩物體質(zhì)量均為m＝1 kg，靜止疊放在光滑的水平地面上，A、B間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2。現(xiàn)對B施加一水平拉力F，下列說法正確的是(　　)
A．只有當(dāng)F>2 N，B才會運動
B．當(dāng)F＝3 N時，B的加速度大小為1 m/s2
C．當(dāng)F>4 N時，A相對B滑動
D．當(dāng)F＝5 N時，A的加速度大小為2.5 m/s2
6．滑塊A的質(zhì)量為2 kg，斜面體B的質(zhì)量為10 kg，斜面傾角θ＝30°，已知A、B間和B與地面之間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.27，將滑塊A放在斜面B上端的同時，給B施加一水平力F，為使A沿豎直方向落地，拉力F的大小至少為(g取10 m/s2)(　　)
A．(100＋27) N B．100 N
C．100 N D．200 N
7．某運動員做跳傘訓(xùn)練，他從懸停在空中的直升機上由靜止跳下，跳離飛機一段時間后打開降落傘做減速下落。他打開降落傘后的速度圖線如圖甲所示。降落傘用8根對稱的繩懸掛運動員，每根繩與中軸線的夾角均為α，如圖乙所示。已知人的質(zhì)量為M，不計人所受的阻力，打開傘后傘所受阻力F與速度v成正比，重力加速度為g。則每根懸繩能夠承受的拉力至少為(　　)
A． B．C． D．
8．(多選)如圖所示的裝置叫阿特伍德機。繩子兩端的物體豎直運動的加速度大小總是小于自由落體的加速度g，這使得實驗者可以有較長的時間從容地觀測、研究。已知物體A、B的質(zhì)量均為M，物體C的質(zhì)量為m。輕繩與輕滑輪間的摩擦不計，輕繩不可伸長且足夠長。物體A、B、C由圖示位置靜止釋放后(　　)
A．繩子上的拉力大小T＝(M＋m)g
B．物體A的加速度a＝g
C．的取值小一些，便于觀測和研究
D．的取值大一些，便于觀測和研究
9．(多選)(2022·上海市靜安高一檢測)一個物塊放在粗糙的水平面上，現(xiàn)用一個很大的水平力推物塊，并且推力不斷減小，物塊運動中的加速度a隨推力F變化的圖像如圖所示。重力加速g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．物塊的質(zhì)量為0.5 kg
B．物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.2
C．當(dāng)推力F減小為2 N時，物塊的速度最大
D．當(dāng)推力F減小為0時，物塊的速度為零
10．(2022·江蘇南京市第五高級中學(xué)高一期中)斜面上的物體受到平行于斜面向下的拉力F的作用，力F隨時間變化的圖像及物體運動的v t圖像如圖所示。由圖像中的信息能夠求出的量或可以確定的關(guān)系是(g取10 m/s2)(　　)
A．物體的質(zhì)量m
B．物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ
C．μ＜tan θ
D．斜面的傾角θ
二、非選擇題
11．如圖所示，物塊A和B的質(zhì)量分別為M＝2 kg和m＝1 kg，它們通過跨過光滑定滑輪的輕繩連接，物塊A置于傾角為α(α未知)的光滑固定斜面上，恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)互換A、B兩物塊的位置，然后釋放A，物塊A、B會加速運動，已知重力加速度g取10 m/s2。斜面上方的輕繩始終與斜面平行，則A、B運動過程中，求：
(1)A運動的加速度大小；
(2)輕繩的拉力大小。
12．(2022·江蘇淮安市高一檢測)如圖甲所示，傾角為30°的斜面固定在水平地面上，一個小物塊在沿斜面向上的恒定拉力F作用下，從斜面底端A點由靜止開始運動，一段時間后撤去拉力F，小物塊能達(dá)到的最高位置為C點，已知小物塊的質(zhì)量為0.3 kg，小物塊從A到C的v t圖像如圖乙所示，取g＝10 m/s2，求：
(1)小物塊上升過程中加速和減速的加速度比值；
(2)小物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)和拉力F的大小；
(3)分析小物塊是否能靜止在C點？如果不能，并計算出回到A點的速度大小。
素養(yǎng)提升練(五)
1．C　
2．AD　[僅N傳感器有示數(shù)時，有tan 15°＝，得a＝2.7 m/s2，當(dāng)a＝2 m/s2<2.7 m/s2時，P有示數(shù)，Q無示數(shù)，當(dāng)a＝3 m/s2>2.7 m/s2時，P無示數(shù)，Q有示數(shù)。故選AD。]
3．A　
4．AC　[當(dāng)物塊C的質(zhì)量達(dá)到某一大小時，物塊A相對B發(fā)生滑動，此時物塊A受到的摩擦力為滑動摩擦力μMg，故A正確；三個物塊都做加速運動，所以繩對于物塊C拉力一定小于其重力，物塊B受到的拉力也一定小于mg，B錯誤；若物塊A、B未發(fā)生相對滑動，A、B、C三者加速度的大小相等，由牛頓第二定律得mg＝(2M＋m)a；對A、B整體，F(xiàn)＝2Ma，解得F＝，故C正確；當(dāng)A、B發(fā)生相對滑動之后，再增大C的質(zhì)量，物塊A的加速度不再增大，故D錯誤。]
5．C　6．A　7．C
8．BD　[對物體A，由牛頓第二定律得：T－Mg＝Ma，對B、C整體，由牛頓第二定律得：(M＋m)g－T＝(M＋m)a，聯(lián)立解得T＝Mg＋，a＝g，故A錯誤，B正確；由a＝g＝g知，則a小一些，便于觀測和研究，故C錯誤，D正確。]
9．BC　[由物塊運動中的加速度a隨推力F變化的圖像可知，當(dāng)推力F＝2 N時，加速度為零，運用牛頓第二定律，F(xiàn)－μmg＝0；當(dāng)F＝0時，加速度a＝－2 m/s2，運用牛頓第二定律，－μmg＝ma，聯(lián)立解得μ＝0.2，m＝1.0 kg。即物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.2，物塊的質(zhì)量為1.0 kg，選項A錯誤、B正確；用一個很大的水平力推物塊，并且推力不斷減小，物塊做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)推力F減小為2 N時，物塊的速度最大，選項C正確；當(dāng)推力F減小為0時，物塊做減速運動，物塊的速度不為零，選項D錯誤。]
10．A　
11．解析：(1)當(dāng)系統(tǒng)靜止時：Mg sin α＝mg
解得α＝30°
A、B位置互換后，對A、B整體由牛頓第二定律得Mg－mg sin α＝(M＋m)a
兩式聯(lián)立解得a＝5 m/s2。
(2)對物塊B由牛頓第二定律得FT－mg sin α＝ma
解得FT＝10 N。
答案：(1)5 m/s2　(2)10 N
12．解析：(1)小物塊加速時的加速度大小為a1＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
減速時的加速度大小為a2＝＝ m/s2＝7.5 m/s2
小物塊加速時的加速度和減速時加速度大小的比值為1∶3。
(2)撤去拉力后，根據(jù)牛頓第二定律，有mgsin 30°＋μmgcos 30°＝ma2
即a2＝gsin 30°＋μgcos 30°
得μ＝
在拉力作用下，根據(jù)牛頓第二定律，有F－mgsin 30°－μmgcos 30°＝ma1
代入數(shù)據(jù)得F＝3 N。
(3)在C點，mgsin 30°＞μmgcos 30°，所以小物塊到達(dá)C點后將沿斜面下滑，即
mgsin 30°－μmgcos 30°＝ma3
得a3＝2.5 m/s2
由x＝15 m
v2＝2ax
得v＝5 m/s。
答案：(1)1∶3　(2)μ＝　F＝3 N　(3)不能　v＝5 m/s素養(yǎng)提升練(六)　傳送帶模型和板—塊模型
一、選擇題
1．如圖所示，質(zhì)量為m的木塊在質(zhì)量為M的長木板上受到水平向右的拉力F的作用向右滑行，但長木板保持靜止不動。已知木塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)為μ1，長木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2，下列說法正確的是(　　)
A．長木板受到地面的摩擦力的大小一定為μ1Mg
B．長木板受到地面的摩擦力的大小一定為μ2(m＋M)g
C．只要拉力F增大到足夠大，長木板一定會與地面發(fā)生相對滑動
D．無論拉力F增加到多大，長木板都不會與地面發(fā)生相對滑動
2．(多選)如圖所示，一足夠長的水平傳送帶以恒定的速度向右傳動。將一物體輕輕放在傳送帶的左端，以v、a、x、Ff表示物體速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小。下列選項正確的是(　　)
A　　　 B　　　　C　　　　D
3．如圖所示，物塊在靜止的足夠長的傳送帶上以速度v0勻速下滑時，傳送帶突然啟動，方向如圖中箭頭所示，在傳送帶的速度由零逐漸增加到2v0后勻速運動的過程中，下列分析正確的是(　　)
A．物塊下滑的速度不變
B．物塊開始在傳送帶上加速到2v0后勻速
C．物塊先向下勻速運動，后向下加速，最后沿傳送帶向下勻速運動
D．物塊受的摩擦力方向始終沿斜面向上
4．如圖所示，水平桌面由粗糙程度不同的AB、BC兩部分組成，且AB＝BC。小物塊P(可視為質(zhì)點)以某一初速度從A點滑上桌面，最后恰好停在C點，已知物塊經(jīng)過AB與BC兩部分的時間之比為1∶4，則物塊P與桌面上AB、BC部分之間的動摩擦因數(shù)μ1、μ2之比為(物塊P在AB、BC上所做兩段運動均可看作勻變速直線運動)(　　)
A．1∶4　 B．8∶1　　　　
C．1∶1　 D．4∶1
5．(多選)如圖所示，傳送帶的水平部分長為L，傳動速率為v，在其左端無初速度釋放一小木塊，若木塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，則木塊從左端運動到右端的時間可能是(　　)
A．＋ B．
C． D．
6．(多選)如圖甲所示，光滑水平面上靜置一個薄長木板，長木板上表面粗糙，其質(zhì)量為M，t＝0時刻質(zhì)量為m的物塊以水平速度v滑上長木板，此后木板與物塊運動的v t圖像如圖乙所示，重力加速度g取10 m/s2，則下列說法正確的是(　　)
　
A．M＝m
B．M＝2m
C．木板的長度為8 m
D．木板與物塊間的動摩擦因數(shù)為0.1
7．(多選)如圖所示，水平傳送帶A、B兩端點相距x＝4 m，以v0＝2 m/s的速度(始終保持不變)順時針運轉(zhuǎn)。今將一小煤塊(可視為質(zhì)點)無初速度地輕放至A點處，已知小煤塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.4，g取10 m/s2。由于小煤塊與傳送帶之間有相對滑動，會在傳送帶上留下劃痕。則小煤塊從A運動到B的過程中(　　)
A．小煤塊從A運動到B的時間是 s
B．小煤塊從A運動到B的時間是2.25 s
C．劃痕長度是4 m
D．劃痕長度是0.5 m
二、非選擇題
8．如圖所示，在傾角為θ＝30°的足夠長的固定的光滑斜面上，有一質(zhì)量為M＝3 kg的長木板正以v0＝10 m/s的初速度沿斜面向下運動，現(xiàn)將一質(zhì)量m＝1 kg 的小物塊(大小可忽略)輕放在長木板正中央，已知物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ＝，設(shè)物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)放上小物塊后，木板和小物塊的加速度大小；
(2)要使小物塊不滑離長木板，長木板至少要有多長。
9．(2022·烏魯木齊八一中學(xué)高一階段檢測)如圖所示傳送帶水平部分AB＝2 m，傾斜部分BC＝4 m且與水平面夾角為α＝37°，小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ＝0.25。傳送帶沿順時針方向以2 m/s的速率轉(zhuǎn)動。若將物塊放在A處，它將從靜止開始被傳送帶送到C處(物塊始終不離開傳送帶)，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)小物塊從A到B所用時間；
(2)小物塊從B到C所用時間。
素養(yǎng)提升練(六)
1．D　
2．AB　[物體在傳送帶上先做勻加速運動，當(dāng)達(dá)到共同速度后再做勻速運動，故A、B正確。]
3．C　4．B
5．ACD　[因木塊運動到右端的過程不同，對應(yīng)的時間也不同，若一直勻加速至右端，則L＝μgt2，可得t＝，故C正確；若一直加速到右端的速度恰好與傳送帶速度v相等，則L＝t，可得t＝，故D正確；若先勻加速到傳送帶速度v，再勻速到右端，則＋v＝L，可得t＝＋，故A正確；木塊不可能一直勻速至右端，故B錯誤。]
6．BC　[物塊在木板上運動過程中，μmg＝ma1，而v t圖像的斜率大小表示加速度大小，故a1＝ m/s2＝2 m/s2，解得μ＝0.2，D錯誤；對木板受力分析可知μmg＝Ma2，a2＝＝1 m/s2，解得M＝2m，A錯誤，B正確；由題圖乙可知，2 s時物塊和木板分離，0～2 s內(nèi)，兩者的v t圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積之差等于木板的長度，故L＝×(7＋3)×2 m－×2×2 m＝8 m，C正確。]
7．BD　[小煤塊剛放上傳送帶時，加速度a＝μg＝4 m/s2，由v0＝at1可知，小煤塊加速到與傳送帶同速的時間為t1＝＝0.5 s，此時小煤塊運動的位移x1＝t1＝0.5 m，而傳送帶的位移為x2＝v0t1＝1 m，故小煤塊在傳送帶上的劃痕長度為l＝x2－x1＝0.5 m，選項D正確，C錯誤；之后小煤塊勻速運動，其位移為x－x1＝3.5 m，故勻速運動的時間t2＝＝1.75 s，故小煤塊從A運動到B的時間t＝t1＋t2＝2.25 s，選項A錯誤，B正確。]
8．解析：(1)小物塊在長木板上滑動時受到的沿木板的滑動摩擦力大小為
f＝μmg cos θ＝7.5 N
由牛頓第二定律，對小物塊有f＋mg sin θ＝ma1
代入數(shù)據(jù)得a1＝12.5 m/s2
對長木板，由牛頓第二定律有
Mg sin θ－f＝Ma2
代入數(shù)據(jù)得a2＝2.5 m/s2。
(2)設(shè)當(dāng)小物塊與長木板共速時速度為v1，有
v1＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝1 s，v1＝12.5 m/s
共速后，小物塊與長木板相對靜止，一起向下做勻加速運動，則共速前物塊與木板的相對位移為
s＝t1－t1＝5 m，故長木板長度至少為10 m。
答案：(1)2.5 m/s2　12.5 m/s2　(2)10 m
9．解析：(1)小物塊放在A點后在摩擦力作用下向右做勻加速運動，假設(shè)達(dá)B之前可以和傳送帶共速，則有
a1＝μg＝2.5 m/s2
x1＝＝0.8 m＜AB＝2 m
則假設(shè)成立，達(dá)到共速所需時間t1＝＝0.8 s
此后小物塊隨傳送帶勻速運動，到達(dá)B的時間t2＝＝0.6 s
則小物塊從A到B所用時間t＝t1＋t2＝1.4 s。
(2)小物塊在B到C過程中，由于mgsin 37°＝0.6mg＞μmgcos 37°＝0.2mg
所以小物塊一直勻加速運動，在BC段的加速度大小為
a2＝＝4 m/s2
BC＝vt3＋
解得t3＝1 s。
答案：(1)1.4 s　(2)1 s

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