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海淀區數學查漏補缺題 2008.05.19
三角部分
1. 已知且
（I）求(或)；(II) 求
解（I），
.
（）
（II），.
，..
解法2：，，. .
2．右圖為函數的一段圖象.
（I）請寫出這個函數的一個解析式；
（II）求與（I）中函數圖象關于直線對稱的函數圖象的解析式，并作出它一個周期內的簡圖.
解：（I）又
由的圖象過
（為其中一個值）.
∴為所求.
（II）設為所求函數圖象上任意一點，該點關于直線對稱點為，則點必在函數的圖象上.
∴，即
的圖象關于直線對稱的函數圖象的解析式是.
列表： 作圖：

0
0
-3
0
3
0
概率
3.（文科）一輛車要直行通過某十字路口，此時前方交通燈為紅燈，且該車前面已有4輛車依次在同一車道上排隊等候（該車道只可以直行或左轉行駛）. 已知每輛車直行的概率是，左轉行駛的概率是，該路口紅綠燈轉換間隔時間均為1分鐘. 假設該車道上一輛直行的車駛出停車線需要10秒鐘，一輛左轉的車駛出停車線需要20秒鐘，求：
（I）前4輛車恰有2輛車左轉行駛的概率；
（II）該車在第一次綠燈亮起時的1分鐘內通過該路口的概率（汽車駛出停車線就算通過路口）
解：（Ⅰ）前4輛恰有2輛左轉行駛的概率
（Ⅱ）該車在第一次綠燈亮起時的1分鐘內通過該路口的概率 .
4.（理科） 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題.規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.
（Ⅰ）求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望；
（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.
解：（Ⅰ）依題意，甲答對試題數ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答對試題數ξ的數學期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.
（Ⅱ）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則
P(A)===，P(B)===.
因為事件A、B相互獨立，
方法一：∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為P()=P()P()=（1－)(1－)=.
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1－P()=1－=.
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.
方法二：∴甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為
P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=.
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.
立體幾何
5. 已知矩形ABCD中，AB=，AD=1. 將△ABD沿BD折起，使點A在平面BCD內的射影落在DC上.
（Ⅰ）求證：平面ADC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點C到平面ABD的距離；
（Ⅲ）若E為BD中點，求二面角B-AC-E的大小.
方法1：
（Ⅰ）證明：∵點A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD經過平面BCD的垂線，
∴平面ADC⊥平面BCD.
（Ⅱ）解：依條件可知BC⊥DC，又平面平面，且平面平面＝
∴BC⊥平面ACD. ∵DA平面ACD，∴BC⊥DA. ① 依條件可知DA⊥AB. ②
∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC.
設點C到平面ABD的距離為d，
∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱錐D-ABC的高.
∴由VC-ABD=VD-ABC，得dS△ABD=DAS△ABC. 解得d=.
即點C到平面ABD的距離為.
（Ⅲ）解：取中點，連為中點
由（Ⅱ）中結論可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
過F作FG⊥AC，垂足為G，連結EG，
則GF為EG在平面ABC的射影，
∴∠EGF是所求二面角的平面角.
在△ABC中
FG＝BC＝, 又EFAD，∴EF＝
在△EFG中容易求出∠EGF=45°.
即二面角B-AC-E的大小是45°.
方法2：（Ⅰ）證明：如圖，以CB所在直線為x軸，DC
所在直線為y軸，過點C，平面BDC方向向上的法向量為Z軸建立空間直角坐標系.
所以C(0，0，0)， B(1，0，0)，D(0，－，0)，設
∵點A在平面BCD上的射影落在DC上，
由且,得.
∴點A的坐標為A(0，，).
∵n1=(0，0，1)是平面BCD的一個法向量.
而=(1，0，0)是平面ADC的一個法向量.
∵n1·= (0，0，1)·(1，0，0)=0，∴平面ACD⊥平面BCD.
（Ⅱ）解：設點C到平面ABD的距離為d，
∵=(0，，-)，=(1，，)，=(0，，)，
容易求出平面ABD的一個法向量為n2=(-，1，-1) .
∴d=|||cos<，n2>|=|1×|=.
即點C到平面ABD的距離為.
（Ⅲ）解：∵= (-1，-，)， =(1，0，0)，
∴容易求出平面ABC的一個法向量為n3= (0，1，1) .
又A(0，-，)，E(，-，0)，∴= (，0，-).
∴容易求出平面AEC的一個法向量為n4= (2，，) .
∵n3·n4=0++=2，| n3|=，| n4|=2，
∴cos< n3，n4>==.
∴二面角B-AC-E的大小是45°.
6*. 如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝NC1.
（Ⅰ）求證：AM面BC；（或若為的中點，求證：.）
（Ⅱ）若二面角B1－AM－N的平面角的余弦值為，求的值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）的前提下，求點B1到平面AMN的距離.
解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，且AB=AC，所以AMBC，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面, AM 又.所以AM平面.
(或：連結， 又,.)
（II）因為AM平面
且M平面，NM平面
∴AMM, AMNM，
∴MN為二面角—AM—N的平面角.
∴，設C1N=，則CN=1－
又M=,MN=,
連N，得N＝，
在MN中，由余弦定理得, 得=.故=2.
（III）過在面內作直線，為垂足.又平面，所以AMH.于是H平面AMN，故H的長即為到平面AMN的距離.在中，
H＝M.故點到平面AMN的距離為1.
解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M（0，，0）,
C(0,1,0), A ()，設N (0,1,a) ,所以，
，,
因為所以,同法可得.
又故AM面BC.
(II)由（Ⅰ）知﹤﹥為二面角—AM—N的平面角,以下同法一.
(Ⅲ)設n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得，由(II)知
. 故可取
到平面AMN的距離為
解不等式
7. 已知集合A＝，B＝.
（I）當a＝2時，求AB； （II）求使BA的實數a的取值范圍.
解：（I）當a＝2時，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ A B＝（4，5）
（II）解集合B＝，
當，則 B=；當，則 B＝（2a，a2＋1），
解集合A＝
當a＜時，A＝（3a＋1，2）；當a＝時，A＝；當a＞時，A＝（2，3a＋1）；
要使BA，
當，則 B=, B A成立；
當，則 B＝（2a，a2＋1），
當a＜時，A＝（3a＋1，2）要使B A，必須， 此時a＝－1；
當a＝時，A＝，而B，故使BA的a不存在；
當a＞且時，A＝（2，3a＋1），要使BA，必須， 此時1綜上可知，使BA的實數a的取值范圍為
8.*(理)已知不等式：----------①
--------------------------------------------②
------------------------------------------③
（I）分別求不等式①②的解集.
（II）若同時滿足①②的x的值也滿足不等式③，求實數m的取值范圍.
（III）若滿足不等式③的x的值至少滿足①②中的一個,求實數m的取值范圍.
(文)已知不等式：----------------------------------------------------①
--------------------------------------------②
------------------------------------------③
（I）分別求不等式①②的解集.
（II）若同時滿足①②的x的值也滿足不等式③，求實數m的取值范圍.
（III）若滿足不等式③的x的值至少滿足①②中的一個,求實數m的取值范圍.
解：(I) ①的解集為A={x|－1I ②的解集為B={}
（II）由（1）:或知
要滿足題意的要求，則方程2x2+mx－1=0的一根小于等于0（文：小于0），另一根大于等于3.
設f(x)= 2x2+mx－1，則（文）
（III）要滿足題意的要求，則方程2x2+mx－1=0的兩根應在區間(－1，4]上.
設f(x)= 2x2+mx－1，拋物線開口向上且f(0)＝－1<0, 故
則.
數列
9.已知各項均為正數的數列，， 其中，
（I）證明 ；
（II）設，試證明 ；
（III）若數列滿足，求數列的前項和.
（I）運用數學歸納法證明如下：
①當時，由條件知，故命題成立；
②假設當時，有 成立
那么當時， 故命題成立
綜上所述，命題對于任意的正整數都成立.
（II）
（III） 且
數列是以為首項，以2為公比的等比數列.
.
10. 已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）.
（I）若，求；
（II）試寫出關于的關系式，并求的取值范圍；
解:（I）.
（II），
，
當時，.
解析幾何
11. 已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（Ⅰ）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程.
解：（I）由題意，可設所求橢圓的標準方程為+，其半焦距.
， ∴，
，故所求橢圓的標準方程為+；
（II）點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）關于直線y＝x的對稱點分別為：
、（0，-6）、（0，6）
設所求雙曲線的標準方程為，由題意知半焦距，
， ∴，
，故所求雙曲線的標準方程為.
12.已知定點點P在軸上運動，M在x軸上，N為動點，且
;
（Ⅰ）求點N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A，B兩點，設點， 的夾角為，求證：
解：（Ⅰ）
由 ①
0，0，即并代入①，
得即為所求.
（Ⅱ）過點的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A，B兩點
設l的方程為且
由消去y，得
設則
.
函數與導數
13. 已知函數和的圖象關于y軸對稱，且
（I）求函數的解析式；
（II）解不等式；
解：（I）設點為函數的圖象上任意一點，則點P關于y軸對稱點為，因為函數和的圖象關于y軸對稱，所以點一定在函數圖象上，代入得，所以.
（II）
或或
所以不等式的解集為
14..如圖，等腰梯形的三邊分別與函數，的圖象切于點.求梯形面積的最小值.
解: 設梯形的面積為，點P的坐標為.
由題意得，點的坐標為，直線的方程為.

直線的方程為
即：
令 得，
令 得，
當且僅當，即時，取“=”且，
時，有最小值為.
梯形的面積的最小值為.
八、應用題
15.某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利額為y萬元.
（I）寫出y與x之間的函數關系式；
（II）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）
（III）使用若干年后，對機床的處理方案有兩種：
（1）當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床；
（2）當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床.
問用哪種方案處理較為合理？請說明理由.
解：（I）依題得：
（II）解不等式
（III）（1）
當且僅當時，即x=7時等號成立.
到2015年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12×7+30＝114萬元.
（2）
故到2018年，盈利額達到最大值，工廠獲利102+12＝114萬元
因為盈利額達到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的時間較短，故方案Ⅰ比較合理.
16*.甲、乙兩人用農藥治蟲，由于計算錯誤，在、兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克，實際要求兩個噴霧器中的農藥的濃度是一樣的，現在只有兩個容量為1千克的藥瓶，他們從、兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將中取得的倒入中，中取得的倒入中，這樣操作進行了次后，噴霧器中藥水的濃度為%，噴霧器中藥水的濃度為%．
（Ⅰ）證明是一個常數；
（Ⅱ）求與的關系式；
（Ⅲ）求的表達式．
解：（Ⅰ）開始時，中含有1012%＝1.2千克的農藥，中含有106%＝0.6千克的農藥，次操作后，中含有10%＝0.1千克的農藥，中含有10%＝0.1千克的農藥，它們的和應與開始時農藥的重量和相等，從而有，所以＝18（常數）.
（Ⅱ）第次操作后，中10千克藥水中農藥的重量具有關系式：，
即，再由（1）知，代入化簡得 ①
（Ⅲ）令，利用待定系數法可求出＝－9，
所以，由①，，，
可知數列是以為首項，為公比的等比數列，
由等比數列的通項公式知：，
所以.　

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