資源簡介

1．簡諧運動
1．知道什么是彈簧振子，理解振動的平衡位置和簡諧運動的概念。
2．通過觀察和分析，理解簡諧運動的位移—時間圖像是一條正弦函數圖線。
3．通過對簡諧運動圖像的描繪，認識簡諧運動的特點。
4．通過對生活中振動實例的觀察，體會振動對生活的影響。
　彈簧振子
1．機械振動　物體或物體的一部分在一個位置附近的往復運動稱為機械振動，簡稱振動。
　機械振動是機械運動的一種，其軌跡可以是直線也可以是曲線。
2．彈簧振子
如圖所示，如果球與桿之間的摩擦可以忽略，且彈簧的質量與小球的質量相比也可以忽略，我們把小球和彈簧組成的系統稱為彈簧振子。
　彈簧振子是一個理想化模型，它是研究一般性振動的基礎。
3．平衡位置　彈簧未形變時，小球所受合力為0的位置。
4．振子的位移　振子相對平衡位置的位移。
如圖所示，將彈簧和鉤碼組成一個振動系統。
問題1　上述振動系統看成彈簧振子需要滿足什么條件？
提示：(1)彈簧的質量很小，相對于鉤碼的質量可以忽略不計。
(2)空氣阻力可以忽略不計。
問題2　平衡位置怎樣確定？
提示：平衡位置在彈簧的彈力和鉤碼重力平衡的位置。
問題3　上述彈簧振子的振動有什么規律？
提示：在平衡位置附近上下做往復性的運動。
1．彈簧振子是理想化的物理模型，類似于我們學習的質點、點電荷模型。
2．實際物體看成彈簧振子的四個條件
(1)彈簧的質量比小球的質量小得多，可以認為質量集中于振子(小球)。
(2)構成彈簧振子的小球體積足夠小，可以認為小球是一個質點。
(3)忽略彈簧及小球與水平桿之間的摩擦力。
(4)彈簧被拉伸(壓縮)的長度在彈性限度內。
3．對平衡位置的理解
(1)系統不振動時，振子靜止時所處的位置。
①水平彈簧振子的平衡位置在彈簧的原長位置；
②豎直彈簧振子的平衡位置在彈力與重力平衡的位置。
(2)振動過程中振子經過平衡位置時速度最大。
4．彈簧振子的位移
位移是指相對平衡位置的位移，大小等于振子所在位置到平衡位置的距離，方向由平衡位置指向振子所在位置。
【典例1】　(多選)彈簧上端固定在O點，下端連接一小球，組成一個振動系統，如圖所示，用手向下拉一小段距離后釋放小球，小球便上下振動起來，關于小球的平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．在小球運動的最低點
B．在彈簧處于原長時的位置
C．在小球速度最大時的位置
D．在小球原來靜止時的位置
CD　[平衡位置是振動系統不振動時，小球(振子)處于平衡狀態時所處的位置，可知此時小球所受的重力與彈簧的彈力大小相等，即mg＝kx，即小球原來靜止的位置，故D正確，A、B錯誤；當小球處于平衡位置時，其加速度為零，速度最大，C正確。]
[母題變式]
在上例中，小球做的運動是勻變速運動嗎？
提示：因小球所受合力變化，小球做非勻變速運動。
　平衡位置的判斷方法
(1)小球上下振動，合力為零時的位置為平衡位置。
(2)小球原來靜止的位置，滿足重力與彈簧彈力相等，即為平衡位置。
(3)小球速度最大時的位置和小球原來靜止時的位置為同一位置。
[跟進訓練]
1．如圖所示為一彈簧振子，O為平衡位置，以向右為正方向，則振子在B、C之間振動時(　　)
A．B→O位移為負、速度為正
B．O→C位移為正、速度為負
C．C→O位移為負、速度為正
D．O→B位移為正、速度為負
A　[速度方向即振子運動方向，則B→O位移向左為負，速度向右為正，A正確；O→C位移向右為正，速度向右為正，B錯誤；C→O位移向右為正，速度向左為負，C錯誤；O→B位移向左為負，速度向左為負，D錯誤。]
　彈簧振子的位移—時間圖像
1．建立坐標系　以小球的平衡位置為坐標原點，沿著它的振動方向建立坐標軸。選定正方向。
2．繪制圖像　
若用橫軸表示振子運動的時間t，縱軸表示振子在振動過程中離開平衡位置的位移x，則振子振動的x t圖像如圖所示，是一條正弦(或余弦)曲線。
　位移—時間圖像描述的是物體的位移隨時間變化的規律，而非物體的運動軌跡。
如圖所示，在彈簧振子的小球上固定安置一記錄用的鉛筆P，在下面放一條白紙帶，鉛筆可在紙上留下痕跡。請思考：
問題1　振子振動時白紙不動，畫出的軌跡是怎樣的？
提示：一條平行于運動方向的線段。
問題2　振子振動時，勻速拖動白紙時，畫出的軌跡又是怎樣的？
提示：一條正弦(或余弦)曲線。
1．位移—時間圖像(x t圖像)的建立
為了研究彈簧振子的運動規律，我們以振子的平衡位置為坐標原點，用橫坐標表示振子振動的時間，縱坐標表示振子相對平衡位置的位移，建立坐標系，如圖所示，這就是彈簧振子的位移—時間圖像。若規定向右的方向為正方向，則小球在平衡位置右側時位移為正，在平衡位置左側時為負。
2．彈簧振子的位移—時間圖像錄制方法
(1)頻閃照相法：頻閃儀每隔0.05 s閃光一次，閃光的瞬時振子被照亮。拍攝時底片從下向上勻速運動，因此在底片上留下小球和彈簧的一系列的像。因底片運動的距離與時間成正比，所以可用底片運動的距離代表時間軸。振子的頻閃照片反映了不同時刻小球離開平衡位置的位移，也就是位移隨時間變化的規律，如圖所示。
(2)描跡法：如圖所示，在彈簧振子的小球上安裝一支繪圖筆，讓一條紙帶在與小球振動方向垂直的方向上勻速運動，繪畫筆在紙帶上畫出的就是小球的振動圖像。
3．位移—時間圖像(x t圖像)的物理意義
位移—時間圖像表示振動物體相對平衡位置的位移隨振動時間的變化規律。
注意：振動位移是矢量，位移的起始位置都是平衡位置，方向為由平衡位置指向振子所在的位置，大小為平衡位置到該位置的距離。
【典例2】　如圖甲所示，彈簧振子中小球運動的最左端M和最右端N距離平衡位置的距離均為l，規定水平向右為正方向，振子的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．圖乙中x0的大小等于l
B．0～時間內小球由M向O運動
C．～時間內小球由M向O運動
D．0～時間內與～T時間內小球運動方向相反
A　[結合甲、乙兩圖可以知道時刻小球的位移為
正值且最大，小球位于N，x0的大小等于l，A選項正確；0～時間內位移為正值，且逐漸增大，小球由O向N運動，B選項錯誤；～時間內位移為正值，且逐漸減小，小球由N向O運動，C選項錯誤；0～時間內小球先從位移為零處沿正方向運動到正的最大位移處，再從正的最大位移處沿負方向運動到位移為零處，～T時間內小球先從位移為零處沿負方向運動到負的最大位移處，再從負的最大位移處沿正方向運動到位移為零處，D選項錯誤。故選A。]
　解決位移—時間圖像問題的方法
解此類題時，首先要理解x t圖像的意義，其次要把x t圖像與質點的實際振動過程聯系起來，圖像上的一個點表示振動中的一個狀態(位置、振動方向等)，圖像上的一段圖線對應振動的一個過程。
[跟進訓練]
2．(多選)如圖所示是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移—時間圖像。有關該圖像的說法正確的是(　　)
A．該圖像的坐標原點建立在彈簧振子的平衡位置
B．從圖像可以看出振子在振動過程中是沿t軸方向移動的
C．為了顯示振子在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直于x軸的方向勻速運動
D．圖像中點的疏密表示振子位置變化的快慢
ACD　[由題圖可知，零時刻振子位移為零，即位于平衡位置，A正確；振子只在x軸方向上振動，B錯誤；由獲得圖像的方法可知C正確；圖像中兩相鄰點之間的時間間隔相同，疏處說明振子位置變化快，密處說明振子位置變化慢，D正確。]
　簡諧運動
1．定義
如果物體的位移與時間的關系遵從正弦函數的規律，即它的振動圖像(x t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動是一種簡諧運動。
2．特點
簡諧運動是最基本的振動，彈簧振子的運動就是簡諧運動。
滑板運動非常有趣。如圖所示，某同學踩著滑板在弧形滑道的內壁來回滑行。
問題1　滑板的這種運動可視為振動嗎？
提示：若這種弧形滑道的半徑遠大于人到最低點距離，則其位移隨時間的變化遵從正弦函數的規律，其運動可視為振動。
問題2　若可以，它的平衡位置在哪里？
提示：平衡位置在滑道的最低點。
1．簡諧運動的性質
簡諧運動的位移隨時間按正弦規律變化，所以它不是勻變速運動，是在變力作用下的非勻變速運動。
2．簡諧運動的速度、加速度的理解
速度 (1)方向：遠離平衡位置運動的過程中速度方向背離平衡位置；衡位置運動的過程中速度方向指向平衡位置。 (2)大小：①振子在平衡位置的速度最大，在最大位移處的速度為零。 ②遠離平衡位置的過程中，振子的速度減小；衡位置的過程中，振子的速度增大。
加速度 (1)方向：總是指向平衡位置，總是與位移方向相反。 (2)大小：①遠離平衡位置運動過程中，振子的加速度增大；衡位置運動過程中，振子的加速度減小。 ②位于平衡位置時振子的加速度為零；位于最大位移處時振子的加速度最大。
3．簡諧運動圖像的應用
(1)任意時刻質點位移的大小和方向。如圖甲所示，質點在t1、t2時刻的位移分別為x1和－x2。
(2)任意時刻質點的振動方向：看下一時刻質點的位置，如圖乙中a點，下一時刻離平衡位置更遠，故a點此刻向上振動。圖乙中b點，下一時刻離平衡位置更近，故b此刻向上振動。
(3)某段時間內位移、速度、加速度的變化情況判斷：先判斷質點在這段時間內的振動方向，從而確定各物理量的變化。如圖甲所示，在t1時刻到t0時刻這段時間內，質點的位移變小，故質點從正位移處向平衡位置運動，速度增大，位移和加速度都變小；t2時刻到下一時刻，質點從負位移處遠離平衡位置運動，則速度為負值且減小，位移、加速度增大。
【典例3】　(2022·岳陽一中高二期末)如圖甲所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動，取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．t＝0.8 s時，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s時，振子在O點右側6 cm處
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，振子的速度逐漸減小
A　[由題圖乙可知，當t＝0.8 s時，振子正通過平衡位置向負方向運動，即向左運動，A正確；在t＝0.2 s時，振子位移為正且大于6 cm，即在O點右側大于6 cm處，B錯誤；t＝0.4 s時，振子位于正向最大位移處，t＝1.2 s時，振子位于負向最大位移處，兩個時刻振子的加速度方向相反，C錯誤；t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，振子向平衡位置運動，速度逐漸增大，D錯誤。]
　簡諧運動圖像中振子速度方向的判斷方法：沿時間軸正方向看，若圖像是上升的，則振子沿x軸正方向運動，若圖像是下降的，則振子沿x軸負方向運動。
[跟進訓練]
3．(2022·湖北高二月考)下列各種運動中，屬于簡諧運動的是(　　)
A．拍皮球時球的往復運動
B．將輕彈簧上端固定，下端掛一鉤碼，鉤碼在豎直方向上來回運動
C．粗糙水平面上，一端固定的輕彈簧和小球固定，小球在水平面上來回運動
D．孩子用力蕩秋千，秋千來回運動
B　[拍皮球時球做往返運動，但是受到的力不滿足簡諧運動的條件，所以不是簡諧運動，故A錯誤；輕彈簧上端固定，下端掛鉤碼，鉤碼上下振動時，為簡諧運動，故B正確；粗糙水平面上，一端固定的輕彈簧和小球固定，小球運動過程受阻力，不滿足簡諧運動條件，故C錯誤；孩子蕩秋千，只有秋千在擺角很小且空氣阻力可以忽略的情況下才能看作是簡諧運動，故D錯誤。]
1．(多選)下列四副圖中物體的運動屬于機械振動的是(　　)
A．圖甲中正在蕩秋千的兒童的運動
B．圖乙中正在走時的擺鐘的擺錘的運動
C．圖丙中運動會上彩旗隨風飄揚的運動
D．圖丁中正在放飛的風箏的運動
AB　[根據機械振動的定義可知正在蕩秋千的兒童的運動、正在走時的擺鐘的擺錘的運動屬于機械振動；運動會上彩旗隨風飄揚的運動、正在放飛的風箏的運動不屬于機械振動。故A、B正確。]
2．如果質點的位移與時間的關系遵從正弦函數規律，這樣的運動叫作簡諧運動。根據圖中各圖像可以判斷出物體可能做簡諧運動的是(　　)
A．①②　　 B．③④
C．①③ D．②④
C　[根據題意，振動圖像與正弦函數圖像相似的①③的運動符合簡諧運動的特征，故A、B、D錯誤，C正確。]
3．(2022·江蘇徐州第一中學月考)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，從最低點位置向上運動時刻開始計時，取豎直向上為正方向，振動圖像如圖乙所示。關于其振動圖像，下列說法正確的是(　　)
A．t＝1.25 s時，振子的加速度為正，速度也為正
B．t＝1.7 s時，振子的加速度為負，速度也為負
C．t＝1.0 s時，振子的速度為零，加速度為負的最大值
D．t＝1.5 s時，振子的速度為零，加速度為負的最大值
C　[t＝1.25 s時，位移為正，故加速度為負，x t圖像上某點切線的斜率表示速度，故速度為負，A錯誤；同理，t＝1.7 s時，位移為負，加速度為正，速度為負，B錯誤；t＝1.0 s時，位移為正的最大值，加速度為負的最大值，速度為零，C正確；t＝1.5 s時，位移為零，加速度為零，速度為負，D錯誤。]
4．(新情境題，以實驗探究為背景，考查簡諧運動)簡諧運動的振動圖像可用下述方法畫出：如圖甲所示，在彈簧振子的小球上安裝一支繪圖筆P，讓一條紙帶在與小球振動方向垂直的方向上勻速運動，繪圖筆P在紙帶上畫出的就是小球的振動圖像。取振子水平向右的方向為振子離開平衡位置的位移正方向，紙帶運動的距離表示時間，得到的振動圖像如圖乙所示。
(1)為什么必須勻速拖動紙帶？__________________________________________
(2)剛開始計時時，振子處在________；t＝17 s時振子相對平衡位置的位移是________。
(3)若紙帶運動的速度為2 cm/s，振動圖像上1 s處和3 s處對應紙帶上兩點間的距離是________。
(4)在0～4 s時間內，振子在________ s末負方向速度最大；振子在________s末正方向加速度最大；2.5 s時振子正在向________方向運動。
[解析]　(1)紙帶勻速運動時，由x＝vt知，紙帶的位移與時間成正比，因此在勻速運動條件下，可以用紙帶通過的位移表示時間。
(2)由題圖乙可知t＝0時，振子在平衡位置左側最大位移處；周期T＝4 s，t＝17 s時振子相對平衡位置的位移為零。
(3)由x＝vt，可知振動圖像上1 s處和3 s處對應紙帶上兩點間的距離x＝2 cm/s×2 s＝4 cm。
(4)在0～4 s時間內，振子在3 s末負方向速度最大；加速度方向總是指向平衡位置，所以t＝0或t＝4 s時正方向加速度最大；t＝2.5 s時，振子正在向負方向運動。
[答案]　(1)在勻速運動條件下，可以用紙帶通過的位移表示時間　(2)左側最大位移處　零　(3)4 cm　(4)3　0(或4)　負
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．彈簧振子的運動具有什么特點？
提示：(1)圍繞著“一個中心”位置。
(2)偏離“平衡位置”位移增大。
(3)在兩點間“往復”運動。
2．簡諧運動中振動物體經過某一位置時，加速度和速度是否同向？
提示：不一定。振動物體經過某一位置時，加速度方向始終指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背離平衡位置。
3．在簡諧運動的圖像中能直接獲取哪些信息？
提示：任一時刻質點所在的位置及運動方向。1．簡諧運動
1．知道什么是彈簧振子，理解振動的平衡位置和簡諧運動的概念。
2．通過觀察和分析，理解簡諧運動的位移—時間圖像是一條正弦函數圖線。
3．通過對簡諧運動圖像的描繪，認識簡諧運動的特點。
4．通過對生活中振動實例的觀察，體會振動對生活的影響。
　彈簧振子
1．機械振動　物體或物體的一部分在一個位置附近的________稱為機械振動，簡稱振動。
　機械振動是機械運動的一種，其軌跡可以是直線也可以是曲線。
2．彈簧振子
如圖所示，如果球與桿之間的摩擦可以________，且彈簧的質量與小球的質量相比也可以________，我們把小球和彈簧組成的系統稱為________。
　彈簧振子是一個理想化模型，它是研究一般性振動的基礎。
3．平衡位置　彈簧未形變時，小球所受________的位置。
4．振子的位移　振子相對________的位移。
如圖所示，將彈簧和鉤碼組成一個振動系統。
問題1　上述振動系統看成彈簧振子需要滿足什么條件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　平衡位置怎樣確定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題3　上述彈簧振子的振動有什么規律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．彈簧振子是理想化的物理模型，類似于我們學習的質點、點電荷模型。
2．實際物體看成彈簧振子的四個條件
(1)彈簧的質量比小球的質量小得多，可以認為質量集中于振子(小球)。
(2)構成彈簧振子的小球體積足夠小，可以認為小球是一個質點。
(3)忽略彈簧及小球與水平桿之間的摩擦力。
(4)彈簧被拉伸(壓縮)的長度在彈性限度內。
3．對平衡位置的理解
(1)系統不振動時，振子靜止時所處的位置。
①水平彈簧振子的平衡位置在彈簧的原長位置；
②豎直彈簧振子的平衡位置在彈力與重力平衡的位置。
(2)振動過程中振子經過平衡位置時速度最大。
4．彈簧振子的位移
位移是指相對平衡位置的位移，大小等于振子所在位置到平衡位置的距離，方向由平衡位置指向振子所在位置。
【典例1】　(多選)彈簧上端固定在O點，下端連接一小球，組成一個振動系統，如圖所示，用手向下拉一小段距離后釋放小球，小球便上下振動起來，關于小球的平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．在小球運動的最低點
B．在彈簧處于原長時的位置
C．在小球速度最大時的位置
D．在小球原來靜止時的位置
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題變式]
在上例中，小球做的運動是勻變速運動嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　平衡位置的判斷方法
(1)小球上下振動，合力為零時的位置為平衡位置。
(2)小球原來靜止的位置，滿足重力與彈簧彈力相等，即為平衡位置。
(3)小球速度最大時的位置和小球原來靜止時的位置為同一位置。
[跟進訓練]
1．如圖所示為一彈簧振子，O為平衡位置，以向右為正方向，則振子在B、C之間振動時(　　)
A．B→O位移為負、速度為正
B．O→C位移為正、速度為負
C．C→O位移為負、速度為正
D．O→B位移為正、速度為負
　彈簧振子的位移—時間圖像
1．建立坐標系　以小球的________為坐標原點，沿著它的________方向建立坐標軸。選定正方向。
2．繪制圖像　
若用橫軸表示振子運動的________，縱軸表示振子在振動過程中離開________的位移x，則振子振動的x t圖像如圖所示，是一條正弦(或余弦)曲線。
　位移—時間圖像描述的是物體的位移隨時間變化的規律，而非物體的運動軌跡。
如圖所示，在彈簧振子的小球上固定安置一記錄用的鉛筆P，在下面放一條白紙帶，鉛筆可在紙上留下痕跡。請思考：
問題1　振子振動時白紙不動，畫出的軌跡是怎樣的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　振子振動時，勻速拖動白紙時，畫出的軌跡又是怎樣的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．位移—時間圖像(x t圖像)的建立
為了研究彈簧振子的運動規律，我們以振子的平衡位置為坐標原點，用橫坐標表示振子振動的時間，縱坐標表示振子相對平衡位置的位移，建立坐標系，如圖所示，這就是彈簧振子的位移—時間圖像。若規定向右的方向為正方向，則小球在平衡位置右側時位移為正，在平衡位置左側時為負。
2．彈簧振子的位移—時間圖像錄制方法
(1)頻閃照相法：頻閃儀每隔0.05 s閃光一次，閃光的瞬時振子被照亮。拍攝時底片從下向上勻速運動，因此在底片上留下小球和彈簧的一系列的像。因底片運動的距離與時間成正比，所以可用底片運動的距離代表時間軸。振子的頻閃照片反映了不同時刻小球離開平衡位置的位移，也就是位移隨時間變化的規律，如圖所示。
(2)描跡法：如圖所示，在彈簧振子的小球上安裝一支繪圖筆，讓一條紙帶在與小球振動方向垂直的方向上勻速運動，繪畫筆在紙帶上畫出的就是小球的振動圖像。
3．位移—時間圖像(x t圖像)的物理意義
位移—時間圖像表示振動物體相對平衡位置的位移隨振動時間的變化規律。
注意：振動位移是矢量，位移的起始位置都是平衡位置，方向為由平衡位置指向振子所在的位置，大小為平衡位置到該位置的距離。
【典例2】　如圖甲所示，彈簧振子中小球運動的最左端M和最右端N距離平衡位置的距離均為l，規定水平向右為正方向，振子的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．圖乙中x0的大小等于l
B．0～時間內小球由M向O運動
C．～時間內小球由M向O運動
D．0～時間內與～T時間內小球運動方向相反
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決位移—時間圖像問題的方法
解此類題時，首先要理解x t圖像的意義，其次要把x t圖像與質點的實際振動過程聯系起來，圖像上的一個點表示振動中的一個狀態(位置、振動方向等)，圖像上的一段圖線對應振動的一個過程。
[跟進訓練]
2．(多選)如圖所示是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移—時間圖像。有關該圖像的說法正確的是(　　)
A．該圖像的坐標原點建立在彈簧振子的平衡位置
B．從圖像可以看出振子在振動過程中是沿t軸方向移動的
C．為了顯示振子在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直于x軸的方向勻速運動
D．圖像中點的疏密表示振子位置變化的快慢
　簡諧運動
1．定義
如果物體的位移與時間的關系遵從________函數的規律，即它的振動圖像(x t圖像)是一條________曲線，這樣的振動是一種簡諧運動。
2．特點
簡諧運動是最基本的________，彈簧振子的運動就是________。
滑板運動非常有趣。如圖所示，某同學踩著滑板在弧形滑道的內壁來回滑行。
問題1　滑板的這種運動可視為振動嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　若可以，它的平衡位置在哪里？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．簡諧運動的性質
簡諧運動的位移隨時間按正弦規律變化，所以它不是勻變速運動，是在變力作用下的非勻變速運動。
2．簡諧運動的速度、加速度的理解
速度 (1)方向：遠離平衡位置運動的過程中速度方向背離平衡位置；衡位置運動的過程中速度方向指向平衡位置。 (2)大小：①振子在平衡位置的速度最大，在最大位移處的速度為零。 ②遠離平衡位置的過程中，振子的速度減小；衡位置的過程中，振子的速度增大。
加速度 (1)方向：總是指向平衡位置，總是與位移方向相反。 (2)大小：①遠離平衡位置運動過程中，振子的加速度增大；衡位置運動過程中，振子的加速度減小。 ②位于平衡位置時振子的加速度為零；位于最大位移處時振子的加速度最大。
3．簡諧運動圖像的應用
(1)任意時刻質點位移的大小和方向。如圖甲所示，質點在t1、t2時刻的位移分別為x1和－x2。
(2)任意時刻質點的振動方向：看下一時刻質點的位置，如圖乙中a點，下一時刻離平衡位置更遠，故a點此刻向上振動。圖乙中b點，下一時刻離平衡位置更近，故b此刻向上振動。
(3)某段時間內位移、速度、加速度的變化情況判斷：先判斷質點在這段時間內的振動方向，從而確定各物理量的變化。如圖甲所示，在t1時刻到t0時刻這段時間內，質點的位移變小，故質點從正位移處向平衡位置運動，速度增大，位移和加速度都變小；t2時刻到下一時刻，質點從負位移處遠離平衡位置運動，則速度為負值且減小，位移、加速度增大。
【典例3】　(2022·岳陽一中高二期末)如圖甲所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動，取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．t＝0.8 s時，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s時，振子在O點右側6 cm處
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，振子的速度逐漸減小
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　簡諧運動圖像中振子速度方向的判斷方法：沿時間軸正方向看，若圖像是上升的，則振子沿x軸正方向運動，若圖像是下降的，則振子沿x軸負方向運動。
[跟進訓練]
3．(2022·湖北高二月考)下列各種運動中，屬于簡諧運動的是(　　)
A．拍皮球時球的往復運動
B．將輕彈簧上端固定，下端掛一鉤碼，鉤碼在豎直方向上來回運動
C．粗糙水平面上，一端固定的輕彈簧和小球固定，小球在水平面上來回運動
D．孩子用力蕩秋千，秋千來回運動
1．(多選)下列四副圖中物體的運動屬于機械振動的是(　　)
A．圖甲中正在蕩秋千的兒童的運動
B．圖乙中正在走時的擺鐘的擺錘的運動
C．圖丙中運動會上彩旗隨風飄揚的運動
D．圖丁中正在放飛的風箏的運動
2．如果質點的位移與時間的關系遵從正弦函數規律，這樣的運動叫作簡諧運動。根據圖中各圖像可以判斷出物體可能做簡諧運動的是(　　)
A．①②　　B．③④　　C．①③　　D．②④
3．(2022·江蘇徐州第一中學月考)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，從最低點位置向上運動時刻開始計時，取豎直向上為正方向，振動圖像如圖乙所示。關于其振動圖像，下列說法正確的是(　　)
A．t＝1.25 s時，振子的加速度為正，速度也為正
B．t＝1.7 s時，振子的加速度為負，速度也為負
C．t＝1.0 s時，振子的速度為零，加速度為負的最大值
D．t＝1.5 s時，振子的速度為零，加速度為負的最大值
4．(新情境題，以實驗探究為背景，考查簡諧運動)簡諧運動的振動圖像可用下述方法畫出：如圖甲所示，在彈簧振子的小球上安裝一支繪圖筆P，讓一條紙帶在與小球振動方向垂直的方向上勻速運動，繪圖筆P在紙帶上畫出的就是小球的振動圖像。取振子水平向右的方向為振子離開平衡位置的位移正方向，紙帶運動的距離表示時間，得到的振動圖像如圖乙所示。
(1)為什么必須勻速拖動紙帶？________________________________________
(2)剛開始計時時，振子處在________；t＝17 s時振子相對平衡位置的位移是________。
(3)若紙帶運動的速度為2 cm/s，振動圖像上1 s處和3 s處對應紙帶上兩點間的距離是________。
(4)在0～4 s時間內，振子在________ s末負方向速度最大；振子在________s末正方向加速度最大；2.5 s時振子正在向________方向運動。
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．彈簧振子的運動具有什么特點？
2．簡諧運動中振動物體經過某一位置時，加速度和速度是否同向？
3．在簡諧運動的圖像中能直接獲取哪些信息？2．簡諧運動的描述
1．理解簡諧運動的振幅、周期、頻率、相位和初相位的概念。
2．知道周期和頻率的關系。
3．知道簡諧運動的表達式，掌握表達式中各物理量的意義，體會數形結合思想的應用。
4．通過實例觀察探究測量物體振動周期的方法。
　簡諧運動的振幅、周期和頻率
1．振幅
(1)定義：振動物體離開平衡位置的最大距離，叫作振動的振幅。用A表示，國際單位為米(m)。
(2)物理意義：振幅是描述振動幅度大小的物理量；振動物體的運動范圍是振幅的兩倍。
2．全振動
類似于O→M→O→M′→O的一個完整的振動過程稱為一次全振動。
　不管以哪個位置作為研究的起點，振動物體完成一次全振動的時間總是相同的。
3．周期(T)和頻率(f)
(1)周期T：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間，叫作振動的周期。單位：秒。
(2)頻率f：物體完成全振動的次數與所用時間之比叫作振動的頻率。單位：赫茲，簡稱赫，符號是Hz。
(3)周期T與頻率f的關系式：f＝。
　簡諧運動的頻率不是用來描述振動物體某時刻運動快慢的物理量，而是用來描述一次全振動快慢的物理量。
(4)ω：一個與周期成反比、與頻率成正比的量，叫作簡諧運動的“圓頻率”，表示簡諧運動的快慢，ω＝＝2πf。
如圖所示為一個水平彈簧振子，振動周期為T，振幅為A，O點為其平衡位置，B、C點為振動的最大位移處，tOD＝tDC，E點與D點關于O點對稱。
問題1　振子經歷DCDOBOD過程的時間是多少？通過的路程是多少？位移是多少？
提示：時間t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。
問題2　振子經歷C→O→B過程的時間是多少？通過的路程是多少？位移是多少？
提示：時間t＝T，路程s＝2A，位移x＝2A。
問題3　振子經歷C→O、O→B兩過程的時間分別是多少？通過的路程分別是多少？位移分別是多少？
提示：兩個過程的時間、路程、位移都相同：時間t＝T，路程s＝A，位移x＝A。
1．全振動的四個特征
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同時與初始狀態相同。
(2)時間特征：歷時一個周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．簡諧運動中振幅與位移、路程、周期的關系
振幅與位移 (1)振幅等于位移的最大值； (2)同一簡諧運動中振幅是確定的，而位移隨時間做周期性的變化
振幅與路程 振動中的路程是隨時間不斷增大的，不同時間內路程與振幅的對應關系： (1)t＝T時，s＝4A，(t＝nT時，s＝n·4A)； (2)t＝T時，s＝2A； (3)t＝T時，可能有s＝A、s>A、s振幅與周期 在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關
【典例1】　(對簡諧運動中物理量的理解)(2022·河北邯鄲高一期中)如圖所示，彈簧振子在B、C間做簡諧運動，O為平衡位置，B、C為兩側的最大位置，若振子振幅為A，由B運動到C的時間為2 s，則(　　)
A．從O點再次回到O點為一次全振動
B．振子經過4 s，振子通過的路程為4A
C．振子從B到C的平均速度為0.5A(m/s)
D．振子經過的路程為A時所用的時間一定為1 s
B　[從O點再次回到O點，不是一次全振動，故A錯誤；由題意B運動到C的時間為2 s可知周期T＝4 s，振子經過4 s通過的路程為4A，故B正確；振子從B到C的平均速度為v＝＝A(m/s)，故C錯誤；振子從最大位移處到平衡位置處或從平衡位置處到最大位移處經過的路程為A時所用的時間一定為1 s，除此之外振子經過的路程為A時所用的時間不一定為1 s，故D錯誤。]
【典例2】　(簡諧運動的周期性和對稱性)(多選)(2022·江蘇邳州高二學情檢測)彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從經過O點開始計時，振子第一次到達P點時用了0.3 s，又經過0.2 s第二次經過P點，則振子第三次經過P點還要經過的時間是(　　)
A．1.6 s　　B．1.4 s　　C． s　　D．0.8 s
BC　[假設彈簧振子在B、C之間振動，如圖甲，若振子開始先向左振動，振子的振動周期T＝×4 s＝ s，則振子第三次通過P點還要經過時間t＝ s－0.2 s＝ s；如圖乙所示，若振子開始先向右振動，振子的振動周期T′＝4× s＝1.6 s，則振子第三次通過P點還要經過時間t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正確，A、D錯誤。]
　由于簡諧運動是一種變加速運動，所以計算簡諧運動的周期，往往要利用簡諧運動的對稱性，先計算出從平衡位置到最大位移處(或從最大位移處到平衡位置)的時間，即，再計算一個周期T的大小。
[跟進訓練]
1．(2022·山東棗莊八中高二月考)一豎直懸掛的彈簧振子，下端裝有一記錄筆，在豎直面內放置有一記錄紙，當振子上下振動時，以速率v水平向左勻速拉動記錄紙，記錄筆在紙上留下如圖所示的圖像。記錄筆與記錄紙之間的摩擦和空氣阻力都忽略不計。y1、y2、x0、2x0為已知量，則(　　)
A．振子平衡位置的縱坐標為y＝
B．該彈簧振子的振動周期為
C．振子在(x0，y2)位置時加速度最大
D．勻速拉動紙帶的速率增大為原來的2倍，振子振動的周期變為原來的
C　[根據簡諧運動的對稱性可知，平衡位置縱坐標為y＝，故A錯誤；由題圖可知，振子在一個周期內沿x軸方向的位移為2x0，水平速度為v，則該彈簧振子的振動周期為T＝，故B錯誤；振子在(x0，y2)位置時處于最大位移處，則回復力最大，由牛頓第二定律知，加速度最大，故C正確；彈簧振子的周期只與彈簧振子本身有關，勻速拉動紙帶的速率增大為原來的2倍，則一個周期內沿x軸方向的位移增大為原來的2倍，振子振動的周期不變，故D錯誤。]
2．一彈簧振子做簡諧運動，周期為T，則(　　)
A．若t時刻和t＋Δt時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數倍
B．若t時刻和t＋Δt時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則Δt一定等于的整數倍
C．若Δt＝T，則在t時刻和t＋Δt時刻振子運動的加速度一定相等
D．若Δt＝，則在t時刻和t＋Δt時刻彈簧的長度一定相等
C　[彈簧振子做簡諧運動的振動圖像如圖所示，圖中A點與B、E、F、I等點的振動位移大小相等，方向相同。由圖可知，A點與E、I等點對應的時間差為T或T的整數倍，A點與B、F等點對應的時間差不為T或T的整數倍，A選項錯誤；圖中A點跟B、C、F、G等點的振動速度大小相等，方向相反，由圖可知A點與C、G等點對應的時間差為或的整數倍，A點與B、F等點對應的時間差不為或的整數倍，B選項錯誤；如果t時刻和t＋Δt時刻相差一個周期T，則振子在這兩個時刻的振動情況完全相同，加速度一定相等，選項C正確；除在平衡位置時，如果t時刻和t＋Δt時刻相差半個周期，則這兩個時刻振子的位移大小相等，方向相反，彈簧的長度顯然是不相等的，選項D錯誤。
]
　相位和簡諧運動的表達式
1．相位：物理學中把ωt＋φ叫作相位。φ是t＝0時的相位，稱作初相位，或初相。
2．相位差
(1)定義：兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位之差。
(2)表示：兩個簡諧運動的頻率相同，其初相分別是φ1和φ2，當φ1>φ2時，它們的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2。
(3)意義：表示1的相位比2超前Δφ，或者說2的相位比1落后Δφ。
　比較相位或計算相位差時，要用同種函數來表示振動方程。
3．簡諧運動的位移表達式
簡諧運動的表達式可以寫成x＝A sin (ωt＋φ)或x＝Asin。振幅、周期、初相位是描述簡諧運動特征的物理量。
如圖所示，一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當日風浪很大，游船上下浮動。可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20 cm，周期為3.0 s。當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10 cm時，游客能舒服地登船。
問題　在一個周期內，游客能舒服地登船的時間是多少？
提示：由題中所給條件寫出游船做簡諧運動的振動方程y＝20sin t＝20sin t(cm)，畫出y t圖像，如圖所示，能舒服登船的時間Δt＝t2－t1，在一個周期內，當y＝10 cm時，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，則Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，即一個周期內，游客能舒服地登船的時間是1.0 s。
1．相位
(1)物理意義：用來描述做簡諧運動的物體在各個時刻所處的不同狀態。
(2)特點：相位是一個隨時間變化的量，它的值為角度，其單位是弧度(rad)或度(°)。
(3)物體經歷一次全振動，相位變化2π。
2．相位差的取值范圍、同相和反相、超前和滯后
(1)相位差的取值范圍：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明兩振動步調完全相同，稱為同相；Δφ＝π，表明兩振動步調完全相反，稱為反相。
(3)超前和滯后：Δφ＞0，表示振動2比振動1超前；Δφ<0，表示振動2比振動1滯后。
3．簡諧運動兩種描述方法的比較
(1)簡諧運動圖像(x t圖像)是直觀表示質點振動情況的一種手段，直觀地表示了質點的位移x隨時間t變化的規律。如圖所示，根據振動圖像可獲知如下信息：
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函數表達式的形式反映質點的振動情況的。
(3)兩者對同一個簡諧運動的描述是一致的，兩種表述方法可以相互轉換。
【典例3】　(簡諧運動表達式的理解與應用)(2022·山東實驗中學檢測)一彈簧振子A的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.1sin 2.5πt，位移x的單位為m，時間t的單位為s。則(　　)
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時，振子的加速度為零
D．若另一彈簧振子B的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.2sin (m)，則A滯后B
D　[由振動方程可知振幅為0.1 m，圓頻率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝ s＝0.8 s，故A、B錯誤；在t＝0.2 s時，x＝0.1 m，即振子的位移最大，加速度最大，故C錯誤；兩振動的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A ，或者說A滯后B ，故D正確。]
　應用簡諧運動的表達式x＝A sin (ωt＋φ0)解答問題時，需要明確振幅A、周期T或頻率f、初相位，圓頻率可通過ω＝＝2πf計算。
【典例4】　(簡諧運動圖像的理解與應用)A、B兩個簡諧運動的位移—時間圖像如圖所示。
請根據圖像寫出：
(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。
(2)兩個簡諧運動的位移隨時間變化的關系式。
[解析]　(1)由題圖知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)由題圖知，t＝0時刻A中振動的質點從平衡位置開始沿負方向振動，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s。則A的簡諧運動的表達式為xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0時刻B中振動的質點從平衡位置沿正方向已振動了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得＝2.5π rad/s, 則B的簡諧運動的表達式為xB＝0.2sin cm。
[答案]　(1)0.5　0.4　0.2　0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm　xB＝0.2sin cm
[母題變式]
在上例中，t＝0.05 s時兩質點的位移分別是多大？
[解析]　將t＝0.05 s分別代入兩個表達式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝
xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。
[答案]　xA＝－ cm　xB＝0.2sin π cm
[跟進訓練]
3．(2022·福建泉州月考)有一個彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負方向的最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝8×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝8×10-3sin m
A　[由題可知，A＝0.8 cm＝8×10-3m，T＝0.5 s，則ω＝＝4π rad/s，初始時刻具有負方向的最大加速度，則初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得彈簧振子的振動方程為x＝8×10-3sin m，A正確。]
4．某簡諧運動的位移—時間圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．簡諧運動的振幅為4 cm
B．簡諧運動的周期為0.4 s
C．位移—時間圖像就是振動質點的運動軌跡
D．圖像中A點對應時刻，質點速度方向沿x軸負方向
B　[由題中圖像可得，簡諧運動的振幅為2 cm，周期為0.4 s，故A錯誤，B正確；該圖像表示質點的位移隨時間變化的規律，不是質點的運動軌跡，故C錯誤；圖像中A點對應時刻，質點向x軸正方向運動，即速度方向沿x軸正方向，故D錯誤。]
1．(多選)如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C間振動，不考慮摩擦，則(　　)
A．從B→O→C→O→B為一次全振動
B．從O→B→O→C→B為一次全振動
C．從C→O→B→O→C為一次全振動
D．B、C兩點關于O點對稱
ACD　[O點為平衡位置，B、C為兩側最遠點，則從B起經O、C、O、B的路程為振幅的4倍，為一次全振動，A正確；若從O起經B、O、C、B的路程為振幅的5倍，超過一次全振動，B錯誤；若從C起經O、B、O、C的路程為振幅的4倍，為一次全振動，C正確；因不考慮彈簧振子的系統的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C兩點關于O點對稱，D正確。]
2．一個做簡諧運動的質點，它的振幅是4 cm，頻率是2.5 Hz，該質點從平衡位置開始經過2.5 s后，位移的大小和經過的路程為(　　)
A．4 cm，10 cm B．4 cm，100 cm
C．0，24 cm D．0，100 cm
B　[質點的振動周期T＝＝0.4 s，故時間t＝所以2.5 s末質點在最大位移處，位移大小為4 cm，質點通過的路程為4×4×6 cm＝100 cm，選項B正確。]
3．(多選)一個質點做簡諧運動的振動圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．在任意1 s內質點經過的路程都是2 cm
B．在5 s末，質點的速度為零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s兩個時刻，質點的位移和速度方向都相反
D．從t＝1.5 s時刻到t＝4.5 s時刻，質點通過的路程為cm
BD　[由題圖可知質點做簡諧運動的周期T＝4 s，則1 s＝T，1 s內質點通過的路程不一定是一個振幅的大小，即不一定是2 cm，A錯誤；在5 s末，質點運動至最大位移處，速度為零，B正確；t＝1.5 s和t＝2.5 s兩個時刻，質點的位移方向相反，但速度方向相同，C錯誤；根據題圖可知質點做簡諧運動的位移的表達式為x＝2sin t(cm)，從t＝1.5 s時刻到t＝4.5 s時刻質點運動了3 s，從位移 cm處到達位移－2 cm處，后再次回到位移 cm處，通過的路程為cm，D正確。]
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．描述簡諧運動的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、頻率、相位。
2．如何判斷一個振動過程是否為一個全振動？
提示：在判斷物體的運動過程是否為一次全振動時不僅要看物體是否回到原位置，而且要判斷物體到達該位置的振動狀態(速度、加速度、位移)是否與原位置相同。
3．簡諧運動的表達式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圓頻率、初相位。2．簡諧運動的描述
1．理解簡諧運動的振幅、周期、頻率、相位和初相位的概念。
2．知道周期和頻率的關系。
3．知道簡諧運動的表達式，掌握表達式中各物理量的意義，體會數形結合思想的應用。
4．通過實例觀察探究測量物體振動周期的方法。
　簡諧運動的振幅、周期和頻率
1．振幅
(1)定義：振動物體離開平衡位置的________，叫作振動的振幅。用A表示，國際單位為米(m)。
(2)物理意義：振幅是描述振動________大小的物理量；振動物體的運動范圍是振幅的________。
2．全振動
類似于O→M→O→M′→O的一個________振動過程稱為一次全振動。
　不管以哪個位置作為研究的起點，振動物體完成一次全振動的時間總是相同的。
3．周期(T)和頻率(f)
(1)周期T：做簡諧運動的物體完成一次________所需要的時間，叫作振動的周期。單位：________。
(2)頻率f：物體完成________的次數與所用時間之比叫作振動的頻率。單位：________，簡稱赫，符號是________。
(3)周期T與頻率f的關系式：f＝。
　簡諧運動的頻率不是用來描述振動物體某時刻運動快慢的物理量，而是用來描述一次全振動快慢的物理量。
(4)ω：一個與周期成反比、與頻率成正比的量，叫作簡諧運動的“圓頻率”，表示簡諧運動的快慢，ω＝＝________。
如圖所示為一個水平彈簧振子，振動周期為T，振幅為A，O點為其平衡位置，B、C點為振動的最大位移處，tOD＝tDC，E點與D點關于O點對稱。
問題1　振子經歷DCDOBOD過程的時間是多少？通過的路程是多少？位移是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　振子經歷C→O→B過程的時間是多少？通過的路程是多少？位移是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題3　振子經歷C→O、O→B兩過程的時間分別是多少？通過的路程分別是多少？位移分別是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．全振動的四個特征
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同時與初始狀態相同。
(2)時間特征：歷時一個周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．簡諧運動中振幅與位移、路程、周期的關系
振幅與位移 (1)振幅等于位移的最大值； (2)同一簡諧運動中振幅是確定的，而位移隨時間做周期性的變化
振幅與路程 振動中的路程是隨時間不斷增大的，不同時間內路程與振幅的對應關系： (1)t＝T時，s＝4A，(t＝nT時，s＝n·4A)； (2)t＝T時，s＝2A； (3)t＝T時，可能有s＝A、s>A、s振幅與周期 在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關
【典例1】　(對簡諧運動中物理量的理解)(2022·河北邯鄲高一期中)如圖所示，彈簧振子在B、C間做簡諧運動，O為平衡位置，B、C為兩側的最大位置，若振子振幅為A，由B運動到C的時間為2 s，則(　　)
A．從O點再次回到O點為一次全振動
B．振子經過4 s，振子通過的路程為4A
C．振子從B到C的平均速度為0.5A(m/s)
D．振子經過的路程為A時所用的時間一定為1 s
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　(簡諧運動的周期性和對稱性)(多選)(2022·江蘇邳州高二學情檢測)彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從經過O點開始計時，振子第一次到達P點時用了0.3 s，又經過0.2 s第二次經過P點，則振子第三次經過P點還要經過的時間是(　　)
A．1.6 s　　B．1.4 s　　C． s　　D．0.8 s
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由于簡諧運動是一種變加速運動，所以計算簡諧運動的周期，往往要利用簡諧運動的對稱性，先計算出從平衡位置到最大位移處(或從最大位移處到平衡位置)的時間，即，再計算一個周期T的大小。
[跟進訓練]
1．(2022·山東棗莊八中高二月考)一豎直懸掛的彈簧振子，下端裝有一記錄筆，在豎直面內放置有一記錄紙，當振子上下振動時，以速率v水平向左勻速拉動記錄紙，記錄筆在紙上留下如圖所示的圖像。記錄筆與記錄紙之間的摩擦和空氣阻力都忽略不計。y1、y2、x0、2x0為已知量，則(　　)
A．振子平衡位置的縱坐標為y＝
B．該彈簧振子的振動周期為
C．振子在(x0，y2)位置時加速度最大
D．勻速拉動紙帶的速率增大為原來的2倍，振子振動的周期變為原來的
2．一彈簧振子做簡諧運動，周期為T，則(　　)
A．若t時刻和t＋Δt時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數倍
B．若t時刻和t＋Δt時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則Δt一定等于的整數倍
C．若Δt＝T，則在t時刻和t＋Δt時刻振子運動的加速度一定相等
D．若Δt＝，則在t時刻和t＋Δt時刻彈簧的長度一定相等
　相位和簡諧運動的表達式
1．相位：物理學中把________叫作相位。φ是t＝0時的相位，稱作________，或初相。
2．相位差
(1)定義：兩個具有相同________的簡諧運動的相位之差。
(2)表示：兩個簡諧運動的頻率相同，其初相分別是φ1和φ2，當φ1>φ2時，它們的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________。
(3)意義：表示1的相位比2________Δφ，或者說2的相位比1________Δφ。
　比較相位或計算相位差時，要用同種函數來表示振動方程。
3．簡諧運動的位移表達式
簡諧運動的表達式可以寫成x＝________或x＝____________。振幅、周期、初相位是描述簡諧運動特征的物理量。
如圖所示，一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當日風浪很大，游船上下浮動。可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20 cm，周期為3.0 s。當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10 cm時，游客能舒服地登船。
問題　在一個周期內，游客能舒服地登船的時間是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．相位
(1)物理意義：用來描述做簡諧運動的物體在各個時刻所處的不同狀態。
(2)特點：相位是一個隨時間變化的量，它的值為角度，其單位是弧度(rad)或度(°)。
(3)物體經歷一次全振動，相位變化2π。
2．相位差的取值范圍、同相和反相、超前和滯后
(1)相位差的取值范圍：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明兩振動步調完全相同，稱為同相；Δφ＝π，表明兩振動步調完全相反，稱為反相。
(3)超前和滯后：Δφ＞0，表示振動2比振動1超前；Δφ<0，表示振動2比振動1滯后。
3．簡諧運動兩種描述方法的比較
(1)簡諧運動圖像(x t圖像)是直觀表示質點振動情況的一種手段，直觀地表示了質點的位移x隨時間t變化的規律。如圖所示，根據振動圖像可獲知如下信息：
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函數表達式的形式反映質點的振動情況的。
(3)兩者對同一個簡諧運動的描述是一致的，兩種表述方法可以相互轉換。
【典例3】　(簡諧運動表達式的理解與應用)(2022·山東實驗中學檢測)一彈簧振子A的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.1sin 2.5πt，位移x的單位為m，時間t的單位為s。則(　　)
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時，振子的加速度為零
D．若另一彈簧振子B的位移x隨時間t變化的關系式為x＝0.2sin (m)，則A滯后B
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　應用簡諧運動的表達式x＝A sin (ωt＋φ0)解答問題時，需要明確振幅A、周期T或頻率f、初相位，圓頻率可通過ω＝＝2πf計算。
【典例4】　(簡諧運動圖像的理解與應用)A、B兩個簡諧運動的位移—時間圖像如圖所示。
請根據圖像寫出：
(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。
(2)兩個簡諧運動的位移隨時間變化的關系式。
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[母題變式]
在上例中，t＝0.05 s時兩質點的位移分別是多大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
3．(2022·福建泉州月考)有一個彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負方向的最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝8×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝8×10-3sin m
4．某簡諧運動的位移—時間圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．簡諧運動的振幅為4 cm
B．簡諧運動的周期為0.4 s
C．位移—時間圖像就是振動質點的運動軌跡
D．圖像中A點對應時刻，質點速度方向沿x軸負方向
1．(多選)如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C間振動，不考慮摩擦，則(　　)
A．從B→O→C→O→B為一次全振動
B．從O→B→O→C→B為一次全振動
C．從C→O→B→O→C為一次全振動
D．B、C兩點關于O點對稱
2．一個做簡諧運動的質點，它的振幅是4 cm，頻率是2.5 Hz，該質點從平衡位置開始經過2.5 s后，位移的大小和經過的路程為(　　)
A．4 cm，10 cm　　　　 B．4 cm，100 cm
C．0，24 cm D．0，100 cm
3．(多選)一個質點做簡諧運動的振動圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．在任意1 s內質點經過的路程都是2 cm
B．在5 s末，質點的速度為零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s兩個時刻，質點的位移和速度方向都相反
D．從t＝1.5 s時刻到t＝4.5 s時刻，質點通過的路程為cm
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．描述簡諧運動的物理量有哪些？
2．如何判斷一個振動過程是否為一個全振動？
3．簡諧運動的表達式中含有哪些物理信息？3．簡諧運動的回復力和能量
1．會分析彈簧振子的受力情況，理解回復力的概念。
2．認識位移、速度、回復力和加速度的變化規律及相互聯系。
3．會用能量觀點分析水平彈簧振子動能、勢能的變化情況，知道簡諧運動中機械能守恒。
　簡諧運動的回復力
1．回復力
(1)定義：振動質點受到的總能使其回到平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表達式：F＝－kx。
　回復力是按照力的作用效果來命名的，分析物體的受力時，不分析回復力。
2．簡諧運動的動力學特征
如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，物體的運動就是簡諧運動。
如圖甲所示為水平方向的彈簧振子，如圖乙所示為豎直方向的彈簧振子，如圖丙所示為m隨M一起振動的系統。
問題1　圖甲中水平方向的彈簧振子的回復力的來源是什么？
提示：彈簧的彈力提供回復力。
問題2　圖乙中豎直方向的彈簧振子的回復力的來源是什么？
提示：彈簧的彈力與重力的合力提供回復力。
問題3　圖丙中水平方向m與M整體的回復力的來源是什么？m的回復力的來源是什么？
提示：m與M整體的回復力由彈簧的彈力提供；m的回復力由M對m的靜摩擦力提供。
1．回復力的理解
(1)作用效果：使振動物體回到平衡位置。
(2)來源：回復力可能由某一個力提供，也可能由幾個力的合力提供，還可能由某一個力的分力提供。歸納起來，回復力一定等于振動物體在振動方向上所受的合力。
(3)回復力是效果力：受力分析時只能分析物體所受的性質力，不能再“額外添加”回復力。
2．簡諧運動的回復力的特點
(1)表達式：F＝－kx。
①大小：與振子的位移大小成正比；
②方向：“—”表示與位移的方向相反，即回復力的方向總是指向平衡位置。
(2)表達式F＝－kx中的k指的是由振動系統本身決定的比例系數，而不一定是彈簧的勁度系數。
　因x＝A sin (ωt＋φ)，故回復力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可見回復力隨時間按正弦規律變化。
3．簡諧運動的加速度的特點
根據牛頓第二定律得a＝x。
(1)大小：與位移大小成正比。
(2)方向：與位移方向相反。
【典例1】　(2022·山東昌樂期中)如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知輕質彈簧的勁度系數為k，A、B的質量分別為m和M，下列說法不正確的是(　　)
A．物體A的回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供
B．滑塊B的回復力是由彈簧的彈力提供
C．物體A與滑塊B看成一個振子，其回復力大小跟位移大小之比為k
D．若A、B之間的動摩擦因數為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅為
B　[物體A做簡諧運動時，在水平方向受到滑塊B對它的靜摩擦力，所以物體A做簡諧運動的回復力是由滑塊B對物體A的靜摩擦力提供，A正確；滑塊B做簡諧運動的回復力是由彈簧的彈力和物體A對滑塊B的靜摩擦力的合力提供，B錯誤；物體A與滑塊B(看成一個振子)的回復力大小滿足F＝－kx，則回復力大小跟位移大小之比為k，C正確；物體間的靜摩擦力最大時，其振幅最大，設為A，以整體為研究對象有kA＝(M＋m)a，以A為研究對象，由牛頓第二定律得μmg＝ma，聯立解得A、B間無相對滑動的最大振幅為A＝，D正確。]
[母題變式]
對于典例1中的物體A，下列給定的四幅圖中能正確反映振動過程中其所受摩擦力Ff與振子相對平衡位置位移x關系的圖像為(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
B　[A、B整體在水平方向只受到彈簧的彈力作用，因此，應做簡諧運動，故A也應做簡諧運動，即A的回復力也應滿足Ff＝－kx的結論，即選項B正確。本題也可從整體法與隔離法的思想求出A受到的靜摩擦力的表達式。在振動過程中A、B始終保持相對靜止，可以把A、B看成整體。設A、B的質量分別為mA、mB，彈簧的勁度系數為k，則有－kx＝(mA＋mB)a，得a＝－，物體A受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx，故選項B正確。]
[跟進訓練]
1．(2022·浙江湖州質檢)如圖所示，物體A、B疊放在光滑水平面上，輕質彈簧的一端固定在墻面上，另一端與A相連，彈簧的軸線與水平面平行。開始時彈簧處于伸長狀態，釋放后物體A、B一起運動，兩物體第一次向右通過平衡位置時開始計時，取向右為正方向，則物體A受到的摩擦力Ff與時間t的關系圖像正確的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
A　[對A、B整體，加速度與振子位移的關系為a＝對B，A對B的摩擦力提供回復力，即Ff＝mBa＝－·x，則B對A的摩擦力Ff＝·x；振子做簡諧運動時，x隨t做正弦規律變化，則Ff也隨t做正弦規律變化，第一次向右通過平衡位置時開始計時，且向右為正方向，所以圖像為過坐標原點的正弦函數圖像。故A正確，B、C、D錯誤。]
　簡諧運動的能量
1．振動系統(彈簧振子)的狀態與能量的對應關系
彈簧振子運動的過程就是動能和勢能互相轉化的過程。
(1)在最大位移處，勢能最大，動能為零。
(2)在平衡位置處，動能最大，勢能為零。
2．簡諧運動的能量特點：在簡諧運動中，振動系統的機械能守恒，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種理想化的模型。
如圖為彈簧振子，觀察振子從B→O→C→O→B的一個循環。
問題1　振子在振動過程中動能、勢能的變化規律。
提示：振子的動能變化規律：B→O過程動能增大，O點動能最大，O→C過程動能減小；振子的勢能變化規律：振子在B、C兩點勢能最大，B→O過程勢能減小，O點勢能為0，O→C過程勢能增大。
問題2　振子在振動過程中機械能守恒嗎？
提示：振子在振動過程中只有彈力做功，故機械能守恒。
1．對簡諧運動的能量的理解
決定 因素 簡諧運動的能量由振幅決定：對一個給定的振動系統，振幅越大，振動越強，系統的機械能越大；振幅越小，振動越弱，系統的機械能越小
能量的獲得 最初的能量來自外部，通過外力做功獲得
能量的轉化 系統只發生動能和勢能的相互轉化，機械能守恒
理想化條件 (1)力的角度：簡諧運動不考慮阻力 (2)能量轉化角度：簡諧運動不考慮因克服阻力做功帶來的能量損耗
注意：1.在振動的一個周期內，動能和勢能完成兩次周期性變化。
2．振子運動經過平衡位置兩側的對稱點時，具有相等的動能和相等的勢能。
2．簡諧運動中各物理量的變化規律
如圖所示，振子以O點為平衡位置在A、B之間做簡諧運動，各物理量的變化規律為：
物理量 運動過程
A→O O→B B→O O→A
位移 大小 減小 增大 減小 增大
方向 向左 向右 向右 向左
回復力、加速度 大小 減小 增大 減小 增大
方向 向右 向左 向左 向右
速度 大小 增大 減小 增大 減小
方向 向右 向右 向左 向左
動能 增大 減小 增大 減小
勢能 減小 增大 減小 增大
(1)通過上表可以看出：位移、回復力、加速度三者的大小同步變化，與速度大小的變化相反。
(2)通過上表可以看出兩個轉折點：
①平衡位置O點是位移方向、加速度方向和回復力方向變化的轉折點；
②最大位移處是速度方向變化的轉折點。
【典例2】　(多選)(2022·遼寧渤海大學附中月考)光滑斜面上有一物塊A被平行于斜面的輕質彈簧拉住并靜止于O點，如圖所示，現將物塊A沿斜面拉到B點無初速度釋放，物塊A在B、C之間做簡諧運動，則下列說法正確的是(　　)
A．OB越長，振動能量越大
B．物塊A在運動過程中機械能守恒
C．物塊A在C點時系統的勢能最大
D．物塊A在B點時機械能最小
[思路點撥]　解答本題要抓住三個關鍵點：
ACD　[OB越長，振動的幅度越大，故振動的能量越大，A正確；在運動過程中，物塊A和彈簧組成的系統的機械能守恒，由于彈簧的彈性勢能是變化的，故物塊A的機械能不守恒，B錯誤；物塊A和彈簧組成的系統的機械能守恒，物塊A在C點時，動能為零，故物塊A與彈簧構成的系統的勢能(重力勢能和彈性勢能之和)最大，C正確；物塊A和彈簧組成的系統的機械能守恒，物塊A在B點時，彈簧的伸長量最大，彈簧的彈性勢能最大，物塊A的機械能最小，故D正確。]
[跟進訓練]
2．如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，周期T＝2 s，從最低點向上運動時開始計時，振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．t＝1.25 s時，振子的加速度為正，速度也為正
B．t＝1 s時，系統的彈性勢能最大，重力勢能最小
C．t＝0.5 s時，系統的彈性勢能為零，重力勢能最小
D．t＝2 s時，系統的彈性勢能最大，重力勢能最小
D　[從題圖乙中可知在t＝1.25 s時振子在平衡位置上方，向下振動，故加速度向下，速度向下，兩者都為負，A錯誤；t＝1 s時，振子在正向最大位移處，即最高點，故振子的重力勢能最大，B錯誤；t＝0.5 s時，振子在平衡位置，位移為零，但不在最低點，所以重力勢能不是最小，C錯誤；t＝2 s時，振子在最低點，重力勢能最小，處于負向最大位移處，彈簧伸長量最大，且大于振子在正向最大位移處的彈簧的壓縮量，故彈性勢能最大，D正確。]
1．如圖所示，對做簡諧運動的小球，受力分析正確的是(　　)
A．重力、支持力、彈簧的彈力
B．重力、支持力、彈簧的彈力、回復力
C．重力、支持力、回復力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
A　[小球受重力、支持力和彈簧的彈力；簡諧運動沒有能量損失，故沒有摩擦力；回復力是由合力提供，是效果力，不能說物體受回復力。故A正確，B、C、D錯誤。]
2．關于簡諧運動的回復力F＝－kx的含義，下列說法正確的是(　　)
A．k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的長度
B．k是回復力跟位移的比值，x是做簡諧運動的物體離開平衡位置的位移
C．根據k＝－，可以認為k與F成正比
D．表達式中的“—”號表示F始終阻礙物體的運動
B　[對彈簧振子來說，k為勁度系數，x為質點離開平衡位置的位移，對于其他簡諧運動來說，k不是勁度系數，而是一個比例系數，故A錯誤，B正確；該系數由系統本身結構決定，與力F和位移x無關，C錯誤；“—”只表示回復力與位移反向，回復力有時是動力，D錯誤。]
3．(2022·山東煙臺高二期末)如圖所示是豎直方向的彈簧振子在0～0.4 s內做簡諧運動的圖像，由圖像可知(　　)
A．在0.25～0.3 s內，彈簧振子受到的回復力越來越小
B．t＝0.7 s時刻，彈簧振子的速度最大
C．系統的動能和勢能相互轉化的周期為0.4 s
D．系統的動能和勢能相互轉化的周期為0.2 s
D　[在0.25～0.30 s內，彈簧振子的位移越來越大，受到的回復力越來越大，A錯誤；振動的周期為0.4 s，彈簧振子在0.7 s時刻的位移最大，速度為零，B錯誤；動能與勢能都是標量，它們變化的周期等于簡諧運動的周期的一半，所以系統的動能和勢能相互轉化的周期為0.2 s，C錯誤，D正確。]
4．(多選)甲、乙兩彈簧振子，振動圖像如圖所示，則可知(　　)
A．兩彈簧振子完全相同
B．振子的振動頻率之比f甲∶f乙＝1∶2
C．振子甲速度為零時，振子乙速度最大
D．兩彈簧振子所受回復力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
BC　[由振動圖像讀出兩彈簧振子的振幅和周期不同，則兩彈簧振子一定不完全相同，故A錯誤；兩彈
簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，頻率之比f甲∶f乙＝1∶2，故B正確；由題圖看出，甲在最大位移處時，乙在平衡位置，即振子甲速度為零時，振子乙速度最大，故C正確；由振動圖像讀出兩振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根據簡諧運動的特征F＝－kx，由于彈簧的勁度系數k可能不等，回復力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D錯誤。]
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．簡諧運動的回復力有什么特點？
提示：回復力是效果力，效果是使物體回到平衡位置，大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反。
2．對于一個確定的振動系統，簡諧運動的能量由什么決定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．簡諧運動的彈簧振子系統機械能是否守恒？
提示：守恒。3．簡諧運動的回復力和能量
1．會分析彈簧振子的受力情況，理解回復力的概念。
2．認識位移、速度、回復力和加速度的變化規律及相互聯系。
3．會用能量觀點分析水平彈簧振子動能、勢能的變化情況，知道簡諧運動中機械能守恒。
　簡諧運動的回復力
1．回復力
(1)定義：振動質點受到的總能使其回到________的力。
(2)方向：指向________。
(3)表達式：F＝________。
　回復力是按照力的作用效果來命名的，分析物體的受力時，不分析回復力。
2．簡諧運動的動力學特征
如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成________，并且總是指向________，物體的運動就是簡諧運動。
如圖甲所示為水平方向的彈簧振子，如圖乙所示為豎直方向的彈簧振子，如圖丙所示為m隨M一起振動的系統。
問題1　圖甲中水平方向的彈簧振子的回復力的來源是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　圖乙中豎直方向的彈簧振子的回復力的來源是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題3　圖丙中水平方向m與M整體的回復力的來源是什么？m的回復力的來源是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．回復力的理解
(1)作用效果：使振動物體回到平衡位置。
(2)來源：回復力可能由某一個力提供，也可能由幾個力的合力提供，還可能由某一個力的分力提供。歸納起來，回復力一定等于振動物體在振動方向上所受的合力。
(3)回復力是效果力：受力分析時只能分析物體所受的性質力，不能再“額外添加”回復力。
2．簡諧運動的回復力的特點
(1)表達式：F＝－kx。
①大小：與振子的位移大小成正比；
②方向：“—”表示與位移的方向相反，即回復力的方向總是指向平衡位置。
(2)表達式F＝－kx中的k指的是由振動系統本身決定的比例系數，而不一定是彈簧的勁度系數。
　因x＝A sin (ωt＋φ)，故回復力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可見回復力隨時間按正弦規律變化。
3．簡諧運動的加速度的特點
根據牛頓第二定律得a＝x。
(1)大小：與位移大小成正比。
(2)方向：與位移方向相反。
【典例1】　(2022·山東昌樂期中)如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知輕質彈簧的勁度系數為k，A、B的質量分別為m和M，下列說法不正確的是(　　)
A．物體A的回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供
B．滑塊B的回復力是由彈簧的彈力提供
C．物體A與滑塊B看成一個振子，其回復力大小跟位移大小之比為k
D．若A、B之間的動摩擦因數為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅為
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[母題變式]
對于典例1中的物體A，下列給定的四幅圖中能正確反映振動過程中其所受摩擦力Ff與振子相對平衡位置位移x關系的圖像為(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
[跟進訓練]
1．(2022·浙江湖州質檢)如圖所示，物體A、B疊放在光滑水平面上，輕質彈簧的一端固定在墻面上，另一端與A相連，彈簧的軸線與水平面平行。開始時彈簧處于伸長狀態，釋放后物體A、B一起運動，兩物體第一次向右通過平衡位置時開始計時，取向右為正方向，則物體A受到的摩擦力Ff與時間t的關系圖像正確的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
　簡諧運動的能量
1．振動系統(彈簧振子)的狀態與能量的對應關系
彈簧振子運動的過程就是________和________互相轉化的過程。
(1)在最大位移處，________最大，________為零。
(2)在平衡位置處，________最大，________為零。
2．簡諧運動的能量特點：在簡諧運動中，振動系統的機械能________，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種________的模型。
如圖為彈簧振子，觀察振子從B→O→C→O→B的一個循環。
問題1　振子在振動過程中動能、勢能的變化規律。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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1．對簡諧運動的能量的理解
決定 因素 簡諧運動的能量由振幅決定：對一個給定的振動系統，振幅越大，振動越強，系統的機械能越大；振幅越小，振動越弱，系統的機械能越小
能量的獲得 最初的能量來自外部，通過外力做功獲得
能量的轉化 系統只發生動能和勢能的相互轉化，機械能守恒
理想化條件 (1)力的角度：簡諧運動不考慮阻力 (2)能量轉化角度：簡諧運動不考慮因克服阻力做功帶來的能量損耗
注意：1．在振動的一個周期內，動能和勢能完成兩次周期性變化。
2．振子運動經過平衡位置兩側的對稱點時，具有相等的動能和相等的勢能。
2．簡諧運動中各物理量的變化規律
如圖所示，振子以O點為平衡位置在A、B之間做簡諧運動，各物理量的變化規律為：
物理量 運動過程
A→O O→B B→O O→A
位移 大小 減小 增大 減小 增大
方向 向左 向右 向右 向左
回復力、加速度 大小 減小 增大 減小 增大
方向 向右 向左 向左 向右
速度 大小 增大 減小 增大 減小
方向 向右 向右 向左 向左
動能 增大 減小 增大 減小
勢能 減小 增大 減小 增大
(1)通過上表可以看出：位移、回復力、加速度三者的大小同步變化，與速度大小的變化相反。
(2)通過上表可以看出兩個轉折點：
①平衡位置O點是位移方向、加速度方向和回復力方向變化的轉折點；
②最大位移處是速度方向變化的轉折點。
【典例2】　(多選)(2022·遼寧渤海大學附中月考)光滑斜面上有一物塊A被平行于斜面的輕質彈簧拉住并靜止于O點，如圖所示，現將物塊A沿斜面拉到B點無初速度釋放，物塊A在B、C之間做簡諧運動，則下列說法正確的是(　　)
A．OB越長，振動能量越大
B．物塊A在運動過程中機械能守恒
C．物塊A在C點時系統的勢能最大
D．物塊A在B點時機械能最小
[思路點撥]　解答本題要抓住三個關鍵點：
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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2．如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，周期T＝2 s，從最低點向上運動時開始計時，振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．t＝1.25 s時，振子的加速度為正，速度也為正
B．t＝1 s時，系統的彈性勢能最大，重力勢能最小
C．t＝0.5 s時，系統的彈性勢能為零，重力勢能最小
D．t＝2 s時，系統的彈性勢能最大，重力勢能最小
1．如圖所示，對做簡諧運動的小球，受力分析正確的是(　　)
A．重力、支持力、彈簧的彈力
B．重力、支持力、彈簧的彈力、回復力
C．重力、支持力、回復力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
2．關于簡諧運動的回復力F＝－kx的含義，下列說法正確的是(　　)
A．k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的長度
B．k是回復力跟位移的比值，x是做簡諧運動的物體離開平衡位置的位移
C．根據k＝－，可以認為k與F成正比
D．表達式中的“—”號表示F始終阻礙物體的運動
3．(2022·山東煙臺高二期末)如圖所示是豎直方向的彈簧振子在0～0.4 s內做簡諧運動的圖像，由圖像可知(　　)
A．在0.25～0.3 s內，彈簧振子受到的回復力越來越小
B．t＝0.7 s時刻，彈簧振子的速度最大
C．系統的動能和勢能相互轉化的周期為0.4 s
D．系統的動能和勢能相互轉化的周期為0.2 s
4．(多選)甲、乙兩彈簧振子，振動圖像如圖所示，則可知(　　)
A．兩彈簧振子完全相同
B．振子的振動頻率之比f甲∶f乙＝1∶2
C．振子甲速度為零時，振子乙速度最大
D．兩彈簧振子所受回復力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．簡諧運動的回復力有什么特點？
2．對于一個確定的振動系統，簡諧運動的能量由什么決定？
3．簡諧運動的彈簧振子系統機械能是否守恒？

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